备战2013高考数学理6年高考母题精解精析专题03导数与函数 140页

‎【2012年高考试题】‎ 一、选择题 ‎1.【2012高考真题重庆理8】设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是 ‎（A）函数有极大值和极小值 ‎ ‎（B）函数有极大值和极小值 ‎ ‎（C）函数有极大值和极小值 ‎ ‎（D）函数有极大值和极小值 ‎【答案】‎ ‎【解析】由图象可知当时，，所以此时，函数递增.当时，，所以此时，函数递减.当时，，所以此时，函数递减.当时，，所以此时，函数递增.所以函数有极大值，极小值,选D.‎ ‎2.【2012高考真题新课标理12】设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数与函数互为反函数，图象关于对称 ‎ 函数上的点到直线的距离为 ‎ 设函数 ‎ 由图象关于对称得：最小值为,‎ ‎3.【2012高考真题陕西理7】设函数，则（ ）‎ A. 为的极大值点 B.为的极小值点 C. 为的极大值点 D. 为的极小值点[学 ‎【答案】D.‎ ‎【解析】，令，则，当时，当时，所以为极小值点，故选D.‎ ‎4.【2012高考真题辽宁理12】若，则下列不等式恒成立的是 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】设，则 所以所以当时，‎ 同理即，故选C ‎5.【2012高考真题湖北理3】已知二次函数的图象如图所示，则它与 轴所围图形的面积为 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎ 【解析】根据图像可得： ，再由定积分的几何意义，可求得面积为.‎ ‎6.【2012高考真题全国卷理10】已知函数y＝x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝‎ ‎（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1‎ ‎【答案】A ‎【解析】若函数的图象与轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有一个为0，函数的导数为，令，解得，可知当极大值为，极小值为.由，解得，由，解得，所以或，选A.‎ 二、填空题 ‎7.【2012高考真题浙江理16】定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_______。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离为，‎ 曲线C1：y=x2+a对应函数的导数为，令得，所以C1：y=x2+a上的点为，点到到直线l:y=x的距离应为，所以，解得或（舍去）。‎ ‎8.【2012高考真题江西理11】计算定积分___________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】。‎ ‎9.【2012高考真题山东理15】设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知得，所以，所以。‎ ‎10.【2012高考真题广东理12】曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，当时，，此时，故切线方程为，即。‎ ‎11.【2012高考真题上海理13】已知函数的图象是折线段，其中、、，函数（）的图象与轴围成的图形的面积为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当，线段的方程为，当时。线段方程为，整理得，即函数，所以，函数与轴围成的图形面积为。‎ ‎12.【2012高考真题陕西理14】设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为 .‎ ‎【答案】2．‎ ‎【解析】函数在点处的切线为，即.所以D表示的平面区域如图当目标函数直线经过点M时有最大值，最大值为.‎ 三、解答题 ‎13.【2012高考真题广东理21】（本小题满分14分）‎ 设a＜1，集合，，。‎ ‎（1）求集合D（用区间表示）；‎ ‎（2）求函数在D内的极值点．‎ ‎【答案】本题是一个综合性问题，考查集合与导数的相关知识，考查了学生综合解决问题的能力，难度较大.‎ ‎14.【2012高考真题安徽理19】（本小题满分13分）‎ 设。‎ ‎（I）求在上的最小值；‎ ‎（II）设曲线在点的切线方程为；求的值。‎ ‎【答案】本题考查函数、导数的基础知识，运用导数研究函数性质等基本方法，考查分类讨论思想，代数恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题解决问题的能力。‎ ‎【解析】（I）设；则，‎ ①当时，在上是增函数，‎ 得：当时，的最小值为。‎ ②当时，，‎ 当且仅当时，的最小值为。‎ ‎（II），‎ 由题意得：。‎ ‎15.【2012高考真题福建理20】（本小题满分14分）已知函数f（x）=ex＋ax2-ex，a∈R. ‎ ‎（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P. ‎ ‎【答案】本题主要考查函数导数的应用、二次函数的性质、函数零点的存在性定理等基础知识，考查推理论证能力、基本运算能力、抽象概括能力，以及分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想.‎ ‎16.【2012高考真题北京理18】（本小题共13分）‎ ‎【答案】解：（1）由为公共切点可得：‎ ‎，则，，‎ ‎，则，，‎ ‎①‎ 又，，‎ ‎，即，代入①式可得：．‎ ‎（2），设 则，令，解得：，；‎ ‎，，‎ 原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增 ‎①若，即时，最大值为；‎ ‎②若，即时，最大值为 ‎③若时，即时，最大值为．‎ 综上所述：‎ 当时，最大值为；当时，最大值为．‎ ‎17.【2012高考真题新课标理21】（本小题满分12分）‎ 已知函数满足满足；‎ ‎（1）求的解析式及单调区间；‎ ‎（2）若，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎ 令得：‎ ‎ ‎ ‎ 得：‎ ‎ 在上单调递增 ‎ ‎ ‎ 得：的解析式为 ‎ 且单调递增区间为，单调递减区间为 ‎ （2）得 ‎ ①当时，在上单调递增 ‎ 时，与矛盾 ‎ ②当时，‎ ‎ 得：当时，‎ ‎ ‎ ‎ 令；则 ‎ ‎ ‎ 当时，‎ ‎ 当时，的最大值为 ‎18.【2012高考真题天津理20】本小题满分14分）‎ 已知函数的最小值为0，其中 ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若对任意的有≤成立，求实数的最小值；‎ ‎（Ⅲ）证明（）.‎ ‎【答案】‎ ‎19.【2012高考江苏18】（16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点。‎ 已知是实数，1和是函数的两个极值点．‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）设函数的导函数，求的极值点；‎ ‎（3）设，其中，求函数的零点个数．‎ ‎【答案】解：（1）由，得。‎ ‎ ∵1和是函数的两个极值点，‎ ‎ ∴ ，，解得。‎ ‎ （2）∵ 由（1）得， ，‎ ‎ ∴，解得。‎ ‎ ∵当时，；当时，，‎ ‎ ∴是的极值点。‎ ‎ ∵当或时，，∴ 不是的极值点。‎ ‎ ∴的极值点是－2。‎ ‎（3）令，则。‎ ‎ 先讨论关于 的方程 根的情况：‎ 当时，由（2 ）可知，的两个不同的根为I 和一2 ，注意到是奇函数，∴的两个不同的根为一和2。‎ 当时，∵， ，‎ ‎∴一2 , －1，1 ，2 都不是的根。‎ 由（1）知。‎ ‎① 当时， ，于是是单调增函数，从而。‎ 此时在无实根。‎ ‎② 当时．，于是是单调增函数。‎ 又∵，，的图象不间断，‎ ‎∴ 在（1 , 2 ）内有唯一实根。‎ 同理，在（一2 ，一I ）内有唯一实根。‎ ‎③ 当时，，于是是单调减两数。‎ 又∵， ，的图象不间断，‎ ‎∴在（一1，1 ）内有唯一实根。‎ 因此，当时，有两个不同的根满足；当 时 有三个不同的根，满足。‎ 现考虑函数的零点：‎ ‎( i ）当时，有两个根，满足。‎ 而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5 个零点。‎ ‎( 11 ）当时，有三个不同的根，满足。‎ 而有三个不同的根，故有9 个零点。‎ 综上所述，当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点。‎ ‎【解析】（1）求出的导数，根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。‎ ‎ （2）由（1）得，，求出，令，求解讨论即可。‎ ‎ （3）比较复杂，先分和讨论关于 的方程 根的情况；再考虑函数的零点。‎ ‎20.【2012高考真题辽宁理21】本小题满分12分)‎ 设，曲线与 直线在(0，0)点相切。‎ ‎ (Ⅰ)求的值。‎ ‎ (Ⅱ)证明：当时，。‎ ‎【答案】‎ ‎21.【2012高考真题重庆理16】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）‎ 设其中，曲线在点处的切线垂直于轴.‎ ‎（Ⅰ） 求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的极值. ‎ ‎ 【答案】‎ ‎22.【2012高考真题浙江理22】(本小题满分14分)已知a＞0，bR，函数．‎ ‎(Ⅰ)证明：当0≤x≤1时，‎ ‎(ⅰ)函数的最大值为|‎2a－b|﹢a；‎ ‎(ⅱ) ＋|‎2a－b|﹢a≥0；‎ ‎(Ⅱ) 若﹣1≤≤1对x[0，1]恒成立，求a＋b的取值范围．‎ ‎【答案】本题主要考察不等式，导数，单调性，‎ ‎(Ⅰ)(ⅰ)．‎ 当b≤0时，＞0在0≤x≤1上恒成立，‎ 此时的最大值为：＝|‎2a－b|﹢a；‎ 当b＞0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，‎ 此时的最大值为：‎ ‎＝|‎2a－b|﹢a；‎ 综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值为|‎2a－b|﹢a；‎ ‎(ⅱ) 要证＋|‎2a－b|﹢a≥0，即证＝﹣≤|‎2a－b|﹢a．‎ 亦即证在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|‎2a－b|﹢a，‎ ‎∵，‎ ‎∴令．‎ 当b≤0时，＜0在0≤x≤1上恒成立，‎ 此时的最大值为：＝|‎2a－b|﹢a；‎ 当b＜0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，‎ ‎≤|‎2a－b|﹢a；‎ 综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|‎2a－b|﹢a．‎ 即＋|‎2a－b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立．‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知：函数在0≤x≤1上的最大值为|‎2a－b|﹢a，‎ 且函数在0≤x≤1上的最小值比﹣(|‎2a－b|﹢a)要大．‎ ‎∵﹣1≤≤1对x[0，1]恒成立，‎ ‎∴|‎2a－b|﹢a≤1．‎ 取b为纵轴，a为横轴．‎ 则可行域为：和，目标函数为z＝a＋b．‎ 作图如下：‎ 由图易得：当目标函数为z＝a＋b过P(1，2)时，有．‎ ‎∴所求a＋b的取值范围为：．‎ ‎23.【2012高考真题湖南理22】（本小题满分13分）‎ 已知函数=，其中a≠0.‎ 若对一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合.‎ ‎（2）在函数的图像上取定两点，，记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0∈（x1，x2），使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）若，则对一切，，这与题设矛盾，又，‎ 故.‎ 而令 当时，单调递减；当时，单调递增，故当时，取最小值 于是对一切恒成立，当且仅当 ‎　　　　　.　　　　　　　　　　　　　　　　　　①‎ 令则 当时，单调递增；当时，单调递减.‎ 故当时，取最大值.因此，当且仅当即时，①式成立.‎ 综上所述，的取值集合为.‎ ‎（Ⅱ）由题意知，‎ 令则 令，则.‎ 当时，单调递减；当时，单调递增.‎ 故当，即 从而，又 所以 因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使单调递增，故这样的是唯一的，且 ‎.故当且仅当时， .‎ 综上所述，存在使成立.且的取值范围为 ‎.‎ ‎ ‎ 函数与方程 一、选择题 ‎1.【2012高考真题重庆理7】已知是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“为上的增函数”是“为上的减函数”的 ‎（A）既不充分也不必要的条件 （B）充分而不必要的条件 ‎ ‎（C）必要而不充分的条件 （D）充要条件 ‎ ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为为偶函数，所以当在上是增函数，则在上则为减函数，又函数的周期是4，所以在区间也为减函数.若在区间为减函数，根据函数的周期可知在上则为减函数，又函数为偶函数，根据对称性可知，在上是增函数，综上可知，“在上是增函数”是“为区间上的减函数”成立的充要条件，选D.‎ ‎2.【2012高考真题北京理8】某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高。m值为（ ）‎ A.5 B‎.7 C.9 D.11‎ ‎【答案】C ‎【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C。‎ ‎3.【2012高考真题安徽理2】下列函数中，不满足：的是（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎【命题立意】本题考查函数的概念与解析式的判断。‎ ‎【解析】与均满足：得：满足条件．‎ ‎4.【2012高考真题天津理4】函数在区间(0,1)内的零点个数是 ‎（A）0 （B）1‎ ‎ （C）2 （D）3‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为函数的导数为，所以函数单调递增，又，，所以根据根的存在定理可知在区间内函数的零点个数为1个，选B.‎ ‎5.【2012高考真题全国卷理9】已知x=lnπ，y=log52，，则 ‎(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x ‎【答案】D ‎【解析】，，，，所以，选D.‎ ‎6.【2012高考真题新课标理10】 已知函数；则的图像大致为（ ）‎ ‎【答案】B ‎【解析】排除法，因为，排除A.，排除C,D，选B.‎ ‎7.【2012高考真题陕西理2】下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】根据奇偶性的定义和基本初等函数的性质易知A非奇非偶的增函数；B是奇函数且是减函数；C是奇函数且在，上是减函数；D中函数可化为易知是奇函数且是增函数.故选D.‎ ‎8.【2012高考真题重庆理10】设平面点集，则所表示的平面图形的面积为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎ ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由可知或者，在同一坐标系中做出平面区域如图：，由图象可知的区域为阴影部分，根据对称性可知，两部分阴影面积之和为圆面积的一半，所以面积为，选D.‎ ‎9.【2012高考真题山东理3】设且，则“函数在上是减函数 ”，是“函数在上是增函数”的 ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎ ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】若函数在R上为减函数，则有。函数为增函数，则有，所以，所以“函数在R上为减函数”是“函数为增函数”的充分不必要条件，选A.‎ ‎10.【2012高考真题四川理3】函数在处的极限是（ ）‎ A、不存在 B、等于 C、等于 D、等于 ‎ ‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】即为，故其在 处的极限不存在，选A.‎ ‎11.【2012高考真题四川理5】函数的图象可能是（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时单调递增，，故A不正确；‎ 因为恒不过点，所以B不正确；‎ 当时单调递减，，故C不正确 ；D正确.‎ ‎12.【2012高考真题山东理8】定义在上的函数满足.当时，，当时，。则 ‎（A）335 （B）338 （C）1678 （D）2012‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，可知函数的周期为6，所以，，，，，，所以在一个周期内有，所以，选B.‎ ‎13.【2012高考真题山东理9】函数的图像大致为 ‎【答案】D ‎【解析】函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A,令得，所以，，函数零点有无穷多个，排除C,且轴右侧第一个零点为，又函数为增函数，当时，，，所以函数，排除B，选D.‎ ‎14.【2012高考真题山东理12】设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是 A.当时，‎ B. 当时，‎ C. 当时，‎ D. 当时，‎ ‎【答案】B ‎【解析】在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，当时，要想满足条件，则有如图，做出点A关于原点的对称点C,则C点坐标为，由图象知 即，同理当时，则有，故答案选B.‎ 另法：，则方程与同解，故其有且仅有两个不同零点.由得或.这样，必须且只须或，因为，故必有由此得.不妨设，则.所以，比较系数得，故.，由此知，故答案为B.‎ ‎15.【2012高考真题辽宁理11】设函数f(x)满足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且当时，f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为 ‎(A)5 (B)6 (C)7 (D)8‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为当时，f(x)=x3. 所以当，f(x)=f(2x)=(2x)3，‎ 当时，g(x)=xcos；当时，g(x)= xcos，注意到函数f(x)、 g(x)都是偶函数，且f(0)= g(0)， f(1)= g(1)，，作出函数f(x)、 g(x)的大致图象，函数h(x)除了0、1这两个零点之外，分别在区间上各有一个零点，共有6个零点，故选B ‎16.【2012高考真题江西理2】下列函数中，与函数定义域相同的函数为 A． B. C.y=xex D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数的定义域为。的定义域为 ‎,的定义域为，函数的定义域为，所以定义域相同的是D,选D.‎ ‎17.【2012高考真题江西理3】若函数，则f(f(10)=‎ A.lg101 B‎.2 C.1 D.0‎ ‎【答案】B ‎【解析】，所以，选B.‎ ‎18.【2012高考真题江西理10】如右图，已知正四棱锥所有棱长都为1，点E是侧棱上一动点，过点垂直于的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记截面下面部分的体积为则函数的图像大致为 ‎ ‎【答案】A ‎【解析】（定性法）当时，随着的增大，观察图形可知，‎ 单调递减，且递减的速度越来越快；当时，随着的增大，观察图形可知，单调递减，且递减的速度越来越慢；再观察各选项中的图象，发现只有A图象符合.故选A.‎ ‎19．【2012高考真题湖南理8】已知两条直线 ：y=m 和： y=(m＞0)，与函数的图像从左至右相交于点A，B ，与函数的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，的最小值为 A． B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】在同一坐标系中作出y=m，y=(m＞0)，图像如下图，‎ 由= m，得，= ，得.‎ 依照题意得.‎ ‎，.‎ ‎20.【2012高考真题湖北理9】函数在区间上的零点个数为 A．4 B．5 ‎ C．6 D．7‎ ‎【答案】C ‎【解析】，则或，，又，‎ 所以共有6个解.选C.‎ ‎21.【2012高考真题广东理4】下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是 A.y=ln（x+2） B.y=- C.y=（）x D.y=x+‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数y=ln（x+2）在区间（0，+∞）上为增函数；函数y=-在区间（0，+∞）上为减函数；函数y=（）x在区间（0，+∞）上为减函数；函数y=x+在区间（0，+∞）上为先减后增函数．故选A．‎ ‎22.【2012高考真题福建理7】设函数则下列结论错误的是 A.D（x）的值域为{0,1}‎ B. D（x）是偶函数 C. D（x）不是周期函数D. ‎ D（x）不是单调函数 ‎【答案】Ｃ．‎ ‎【解析】根据解析式易知Ａ和Ｄ正确；若是无理数，则和也是无理数，若是有理数，则和也是有理数，所以，从而可知Ｂ正确，Ｃ错误．故选Ｃ．‎ ‎23.【2012高考真题福建理10】函数f（x）在[a,b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a,b]，有则称f（x）在[a,b]上具有性质P.设f（x）在[1,3]上具有性质P，现给出如下命题：‎ ‎①f（x）在[1,3]上的图像时连续不断的；‎ ‎②f（x2）在[1,]上具有性质P；‎ ‎③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1,3]；‎ ‎④对任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有 其中真命题的序号是 A.①② B.①③ C.②④ D.③④‎ ‎【答案】D．‎ ‎ ‎ ‎【解析】若函数在时是孤立的点，如图，则①可以排除；函数具有性质p，而函数不具有性质p，所以②可以排除；设，则,‎ 即，又，所以，因此③正确；‎ 所以④正确.故选D.‎ 二、填空题 ‎24.【2012高考真题福建理15】对于实数a和b，定义运算“﹡”：， ‎ 设，且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_________________.‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】由新定义得，所以可以画出草图，若方程有三个根，则，且当 时方程可化为，易知；当时方程可化为，可解得，所以，又易知当时有最小值，所以，即.‎ ‎25.【2012高考真题上海理7】已知函数（为常数）。若在区间上是增函数，则的取值范围是 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，则在区间上单调递增，而为增函数，所以要是函数在单调递增，则有，所以的取值范围是。‎ ‎26.【2012高考真题上海理9】已知是奇函数，且，若，则 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为为奇函数，所以，所以，，‎ 所以。‎ ‎27.【2012高考江苏5】（5分）函数的定义域为 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得 ‎。‎ ‎28.【2012高考真题北京理14】已知，‎ ‎，若同时满足条件：‎ ‎①，或；‎ ‎②, 。‎ 则m的取值范围是_______。 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据，可解得。由于题目中第一个条件的限制，或成立的限制，导致在时必须是的。当时，不能做到在时，所以舍掉。因此，作为二次函数开口只能向下，故，且此时两个根为，。为保证此条件成立，需要，和大前提取交集结果为；又由于条件2：要求，0的限制，可分析得出在时，恒负，因此就需要在这个范围内有得正数的可能，即应该比两根中小的那个大，当时，，解得，交集为空，舍。当时，两个根同为，舍。当时，，解得，综上所述．‎ ‎29.【2012高考真题天津理14】已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】函数，当时，，当时，‎ ‎，综上函数，做出函数的图象(蓝线)，要使函数与有两个不同的交点，则直线必须在四边形区域ABCD内(和直线平行的直线除外，如图，则此时当直线经过，，综上实数的取值范围是且，即或。‎ ‎30.【2012高考江苏10】（5分）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，‎ 其中．若，‎ 则的值为 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【解析】∵是定义在上且周期为2的函数，∴，即①。‎ ‎ 又∵，，‎ ‎ ∴②。‎ ‎ 联立①②，解得，。∴。‎ 三、解答题 ‎31.【2012高考真题江西理22】 （本小题满分14分）‎ 若函数h(x)满足 ‎（1）h(0)=1，h(1)=0；‎ ‎（2）对任意，有h(h(a))=a；‎ ‎（3）在（0,1）上单调递减。‎ 则称h(x)为补函数。已知函数 ‎（1）判函数h(x)是否为补函数，并证明你的结论；‎ ‎（2）若存在，使得h(m)=m，若m是函数h(x)的中介元，记时h(x)的中介元为xn，且，若对任意的，都有Sn< ,求的取值范围；‎ ‎（3）当=0，时，函数y= h(x)的图像总在直线y=1-x的上方，求P的取值范围。‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎32.【2012高考江苏17】（14分）如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为‎1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．‎ ‎（1）求炮的最大射程；‎ ‎（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为‎3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，‎ 炮弹可以击中它？请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）在中，令，得。‎ ‎ 由实际意义和题设条件知。‎ ‎ ∴，当且仅当时取等号。‎ ‎ ∴炮的最大射程是10千米。‎ ‎ （2）∵，∴炮弹可以击中目标等价于存在，使成立，‎ ‎ 即关于的方程有正根。‎ ‎ 由得。‎ ‎ 此时，（不考虑另一根）。‎ ‎ ∴当不超过‎6千米时，炮弹可以击中目标。‎ ‎【解析】（1）求炮的最大射程即求与 轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解。‎ ‎ （2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解。‎ ‎33．【2012高考真题湖南理20】（本小题满分13分）‎ 某企业接到生产3000台某产品的A，B，Ｃ三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为２,２,１（单位：件）.已知每个工人每天可生产Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件.该企业计划安排２００名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）.‎ ‎（１）设生产Ａ部件的人数为ｘ，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间；‎ ‎（２）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.‎ ‎【解析】解：（Ⅰ）设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为 由题设有 ‎ ‎ 期中均为1到200之间的正整数.‎ ‎（Ⅱ）完成订单任务的时间为其定义域为 易知，为减函数，为增函数.注意到 于是 ‎（1）当时， 此时 ‎ ，‎ 由函数的单调性知，当时取得最小值，解得 ‎.由于 ‎.‎ 故当时完成订单任务的时间最短，且最短时间为.‎ ‎（2）当时， 由于为正整数，故，此时易知为增函数，则 ‎.‎ 由函数的单调性知，当时取得最小值，解得.由于 此时完成订单任务的最短时间大于.‎ ‎（3）当时， 由于为正整数，故，此时由函数的单调性知，‎ 当时取得最小值，解得.类似（1）的讨论.此时 完成订单任务的最短时间为，大于.‎ 综上所述，当时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数 分别为44,88,68.‎ ‎【2011年高考试题】‎ 一、选择题:‎ ‎1. (2011年高考山东卷理科5)对于函数,“的图象关于y轴对称”是 ‎“=是奇函数”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎ ‎（C）充要条件 （D）既不充分也不必要 ‎【答案】B ‎【解析】由奇函数定义,容易得选项B正确.‎ ‎2. (2011年高考山东卷理科9)函数的图象大致是 ‎【答案】C ‎【解析】因为,所以令,得,此时原函数是增函数;令,得,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C正确.‎ ‎3. (2011年高考山东卷理科10)已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时,,则函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为 ‎（A）6 （B）7 （C）8 （D）9‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为当时, ,又因为是上最小正周期为2的周期函数，且,所以,又因为,所以,,故函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为7个,选B.‎ ‎6．(2011年高考辽宁卷理科9)设函数f（x）=则满足f（x）≤2的x的取值范围是（ ）‎ ‎ （A）[-1，2] （B）[0，2] （C）[1，+） （D）[0，+）‎ 答案： D 解析：不等式等价于或解不等式组，可得或，即，故选D.‎ ‎7．(2011年高考辽宁卷理科11)函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x∈R，f’(x)＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）‎ ‎（A）（-1，1） （B）（-1，+） （C）（-，-1） （D）（-，+）‎ 答案： B 解析：设g(x)= f(x)-(2x+4), g’(x)= f’(x)-2.因为对任意，f’（x）＞2，所以对任意，g’(x)>0，则函数g(x)在R上单调递增.又因为g(-1)= f(-1)-(-2+4)=0，故g(x)>0,即f(x)＞2x+4的解集为(-1，+).‎ ‎8．(2011年高考浙江卷理科1)设函数,则实数=‎ ‎（A）-4或-2 （B）-4或2 （C）-2或4 （D）-2或2‎ ‎【答案】 B ‎【解析】：当，故选B ‎9. (2011年高考全国新课标卷理科2)下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数的是（ ）‎ A B C D ‎ ‎【答案】B 解析：由偶函数可排除A，再由增函数排除C,D,故选B；‎ 点评：此题考查复合函数的奇偶性和单调性，因为函数都是偶函数，所以，内层有它们的就是偶函数，但是，它们在的单调性相反，再加上外层函数的单调性就可以确定。‎ ‎10. (2011年高考全国新课标卷理科9)由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为 ‎（A） （B）4 （C） （D）6‎ ‎【答案】C 解析：因为的解为，所以两图像交点为，于是面积故选C 点评：本题考查定积分的概念、几何意义、运算及解决问题的能力。求曲线围成的图形的面积，就是要求函数在某个区间内的定积分。‎ ‎13. (2011年高考天津卷理科8)对实数与，定义新运算“”： 设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． 　　　B． 　‎ C． 　　D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知,若,即时, ;当,即或时, ,要使函数的图像与轴恰有两个公共点，只须方程有两个不相等的实数根即可,即函数的图像与直线有两个不同的交点即可,画出函数的图像与直线,不难得出答案B.‎ ‎14. (2011年高考江西卷理科3)若，则的定义域为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】要使原函数有意义,只须,即,解得,故选A.‎ ‎15. (2011年高考江西卷理科4)若，则的解集为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为,原函数的定义域为,所以由可得,解得,故选C.‎ ‎16. (2011年高考湖南卷理科6)由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为 ‎ A. B. ‎1 C. D. ‎ 答案：D 解析：由定积分的几何意义和微积分基本定理可知S=。故选D评析：本小题主要考查定积分的几何意义和微积分基本定理等知识.‎ ‎17. (2011年高考湖南卷理科8)设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为 ‎ A. 1 B. C. D. ‎ 答案：D 解析：将代入中，得到点的坐标分别为，，从而 对其求导，可知当且仅当时取到最小。故选D 评析：本小题主要考查二次函数和对数函数的图像和性质，以及建立距离函数，用导数法求最值.‎ ‎18．(2011年高考广东卷理科4)设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ） ‎ ‎ A．+|g(x)|是偶函数 B．-|g(x)|是奇函数 C．|| +g(x)是偶函数 D．||- g(x)是奇函数 ‎【解析】A.设 ‎，所以是偶函数，所以选A.‎ ‎19．(2011年高考湖北卷理科6)已知定义在R上的奇函数和偶函数满足且，若，则 A.2 B. C. D.‎ 答案：B ‎ 解析：因为则，联立可得，又因为，故a=2.因为 则，所以选B.‎ ‎20. (2011年高考湖北卷理科10) 放射性元素由于不断有原子放射微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位年）满足函数关系：，其中为t=0时铯137的含量，已知t=30时，铯137含量的变化率是—10ln2（太贝克/年），则M(60)=‎ A.5太贝克 B.75ln2太贝克 C.150ln2太贝克 D.150太贝克 答案：.D ‎ 解析：因为，故其变化率为，又由故，则，所以选D.‎ ‎21．(2011年高考陕西卷理科3)设函数满足，则的图像可能是 ‎ ‎【答案】B ‎【解析】：由知为偶函数，由知周期为2。故选B ‎22．(2011年高考陕西卷理科6)函数在内 ‎ ‎（A）没有零点 （B）有且仅有一个零点 ‎ ‎（C）有且仅有两一个零点（D）有无穷个零点 ‎【答案】B ‎【解析】：令，，则它们的图像如图故选B ‎23.(2011年高考重庆卷理科5)下列区间中，函数，在其上为增函数的是 ‎（A） (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ 解析：选D。用图像法解决，将的图像关于y轴对称得到，再向右平移两个单位，得到，将得到的图像在x轴下方的部分翻折上来，即得到的图像。由图像，选项中是增函数的显然只有D ‎26． (2011年高考全国卷理科8)曲线y=+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为 ‎(A) (B) (C) (D)1‎ ‎ 【答案】A ‎【解析】： ，，切线方程为 由 则 故选A ‎27．(2011年高考全国卷理科9)设是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，=，则=‎ ‎ (A) - (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】 故选A ‎28．(2011年高考福建卷理科5)（e2+2x）dx等于 A．1 B．e‎-1 ‎ C．e D．e+1‎ ‎【答案】C[来源:学科网]‎ ‎【解析】由定积分的定义容易求得答案.‎ ‎29．(2011年高考福建卷理科9)对于函数f（x）=asinx+bx+c（其中，a,bR,cZ）,选取a,b,c的一组值计算f（1）和f（-1），所得出的正确结果一定不可能是 A．4和6 B．3和‎1 ‎ C．2和4 D．1和2‎ ‎【答案】D ‎30．(2011年高考上海卷理科16)下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由偶函数,排除B;由减函数,又排除B、D，故选A.‎ 二、填空题:‎ ‎1. (2011年高考山东卷理科16)已知函数=当2＜a＜3＜b＜4时，函数的零点 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】方程=0的根为,即函数的图象与函数的交点横坐标为,且,结合图象,因为当时,,此时对应直线上的点的横坐标;当时, 对数函数的图象上点的横坐标,直线的图象上点的横坐标,故所求的.‎ ‎2．(2011年高考浙江卷理科11)若函数为偶函数，则实数 。‎ ‎【答案】 0‎ ‎【解析】：：，‎ 则 ‎3. (2011年高考广东卷理科12)函数在 处取得极小值.‎ ‎【解析】2.得 ‎。所以函数的单调递增区间为，减区间为，所以函数在x=2处取得极小值。‎ ‎4．(2011年高考陕西卷理科11)设，若，则 ‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎5. (2011年高考四川卷理科13)计算 .‎ 答案：‎ 解析：.‎ ‎6. (2011年高考四川卷理科16)函数的定义域为A，若时总有为单函数.例如，函数=2x+1（）是单函数.下列命题：‎ 函数=（xR）是单函数；‎ 若为单函数，‎ 若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；‎ 函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数.‎ 其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）‎ 答案：②③‎ 解析：，但，∴①不正确；‎ 与“若A，且时总有”等价的命题是“若A，且时总有，故②③正确.函数在某个区间上具有单调性，但f（x）在整个定义域不一定是单函数，故④错.‎ ‎7.(2011年高考江苏卷2)函数的单调增区间是__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】考察函数性质，容易题。因为,所以定义域为,由复合函数的单调性知:函数的单调增区间是.‎ ‎8.(2011年高考江苏卷8)在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】考察函数与方程，两点间距离公式以及基本不等式，中档题。设坐标原点的直线方程为,则由解得交点坐标为、，即为P、Q两点，所以线段PQ长为，当且仅当时等号成立，故线段PQ长的最小值是4.‎ ‎9．(2011年高考安徽卷江苏11)已知实数，函数，若，则a的值为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为,所以是函数的对称轴,所以,所以的值为.‎ ‎10．(2011年高考北京卷理科13)已知函数若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是_______‎ ‎【答案】（0，1）‎ ‎【解析】画出函数图象与直线y=k,观察,可得结果,考查了函数与方程、数形结合的数学思想.‎ ‎11．(2011年高考上海卷理科1)函数的反函数为 。‎ ‎【答案】[来源:学*科*网]‎ ‎【解析】设,则,故.‎ ‎12．(2011年高考上海卷理科13)设是定义在上，以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本小题考查函数的性质.‎ 三、解答题:‎ ‎1. (2011年高考山东卷理科21)（本小题满分12分）‎ 某企 业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元.‎ ‎（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；‎ ‎（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的.‎ ‎【解析】（I）设容器的容积为V，‎ 由题意知 故 由于 因此 所以建造费用 因此 ‎ （II）由（I）得 由于 当 令 所以 ‎ （1）当时，‎ 所以是函数y的极小值点，也是最小值点。‎ ‎ （2）当即时，‎ 当函数单调递减，[来源:学科网ZXXK]‎ 所以r=2是函数y的最小值点，‎ 综上所述，当时，建造费用最小时 当时，建造费用最小时 ‎2．(2011年高考浙江卷理科22)（本题满分14分）设函数（Ⅰ）若为的极值点，求实数（Ⅱ）求实数的取值范围，使得对任意恒有成立 注：为自然对数的底数 ‎【解析】（Ⅰ）因为所以因为为的极值点所以解得或经检验，符合题意，‎ 所以或 ‎（Ⅱ）①当时， 对于任意实数，恒有 成立 ‎②当 时，由题意，首先有 ‎ 解得 由（Ⅰ）知 ‎ 令 则，‎ 且 又在 内单调递增，所以函数 在内有唯一零点，记此零点为 ，则，从而，当 时， 当 时 ‎ 当 时 即 在内单调递增，在内单调递减，‎ 在 内单调递增。所以要使对恒成立，‎ 只要成立，由，知 将（3）代入（1）得又。注意到函数在内单调递增，故 ‎ 再由（3）以及函数在 内单调递增，可得 ，‎ 由（2）解得 ，所以 综上，的取值范围为.‎ ‎3．(2011年高考辽宁卷理科21) (本小题满分12分)‎ 已知函数f（x）=lnx-ax2+（2-a）x.‎ ‎(I)讨论f（x）的单调性；‎ ‎（II）设a＞0，证明：当0＜x＜时，f（+x）＞f（-x）；‎ ‎（III）若函数y=f（x）的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f’（ x0）＜0.‎ 解析：(I)f(x)的定义域为(0,+∞),,‎ ‎①若a≤0，，所以f(x)在(0,+∞)单调增加；‎ ‎②若a>0，则由得，且当时，，当时，‎ ‎，所以f(x)在单调增加，在单调减少.‎ ‎（II）设，则，‎ ‎4．(2011年高考安徽卷理科16) (本小题满分12分)‎ 设，其中为正实数 ‎（Ⅰ）当时，求的极值点；‎ ‎（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。‎ ‎【命题意图】：本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调性之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力。‎ ‎【解析】：‎ 当时，，由得解得 由得，由得，当x变化时与相应变化如下表：‎ x ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以，是函数的极大值点，是函数的极小值点。‎ 因为为上的单调函数，而为正实数，故为上的单调递增函数 恒成立，即在上恒成立，因此 ‎，结合解得 ‎【解题指导】：极值点的判定一定要结合该点两侧导数的符号，不可盲目下结论。同时还要注意“极值”与“极值点”的区别避免画蛇添足做无用功。‎ 某区间（a,b）上连续可导函数单调性与函数导数符号之间的关系为：‎ 若函数在区间（a,b）上单调递增（递减），则（）‎ 若函数的导数（），则函数在区间（a,b）上单调递增（递减）‎ 若函数的导数恒成立，则函数在区间（a,b）上为常数函数。‎ ‎5. (2011年高考全国新课标卷理科20)（本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA， MA•AB = MB•BA，M点的轨迹为曲线C。‎ ‎（Ⅰ）求C的方程；‎ ‎（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。‎ 分析：（1）按照“建系、设点、列式、化简”求轨迹方程；（2）把点到直线的距离用动点坐标表示，然后化简，利用均值不等式求最值。‎ 解：（Ⅰ）设动点M的坐标为，则依题意：‎ ‎，‎ 由此可得，即曲线C的方程为：‎ ‎(Ⅱ)设点是曲线C上任一点，又因为，所以，直线L的斜率，其直线方程为：即，所以原点到该直线的距离，又因为，，‎ ‎，‎ 所以，当且仅当时，所求的距离最小为2.‎ ‎6. (2011年高考全国新课标卷理科21)（本小题满分12分）‎ 已知函数，曲线在点处的切线方程为。‎ ‎（Ⅰ）求、的值；‎ ‎（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。‎ 分析：（1）利用导数的概念和性质求字母的值；（2）构造新函数，用导数判定单调性，通过分类讨论确定参数的取值范围。‎ 解：（Ⅰ），由题意知：即 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，‎ 设则，‎ ‎⑴如果，由知，当时， ，而 故，由当得：‎ 从而，当时，即 ‎⑵如果，则当，时，‎ 而；得：与题设矛盾；‎ ‎⑶如果，那么，因为而，时，由得：与题设矛盾；‎ ‎ 综合以上情况可得：‎ ‎7. (2011年高考天津卷理科19)（本小题满分14分）‎ 已知，函数（的图像连续不断）‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明：存在，使；‎ ‎（Ⅲ）若存在均属于区间的，且，使，证明．‎ ‎【解析】本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法.‎ ‎（Ⅰ）解:,令,解得.‎ 当变化时, 的变化情况如下表:‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 极大值 所以的单调递增区间是;的单调递减区间是.‎ ‎（Ⅱ）证明: 当时，.由（Ⅰ）知在(0,2)内单调递增,在内单调递减.令,由在(0,2)内单调递增,故,即,‎ 取,则,所以存在，使.‎ ‎（Ⅲ）证明:由及（Ⅰ）的结论知,从而在上的最小值为.‎ 又由,,知.故,即,从而.‎ ‎8．(2011年高考江西卷理科19) (本小题满分12分)‎ 设 ‎（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围．‎ ‎（2）当时，在的最小值为，求在该区间上的最大值．‎ 解析：（1），因为函数在上存在单调递增区间，所以的解集与集合有公共部分，所以不等式解集的右端点落在内，即，解得．‎ ‎（2）由得，又，所以，，所以函数在上单调增，在上单调减，又，，‎ 因为，所以，所以，所以．‎ 最大值为．‎ 本题考查利用导数研究函数的单调性、最值等．‎ ‎9. (2011年高考湖南卷理科20)（本小题满分13分）如图6，长方形物体在雨中沿面（面积为）的垂直方向作匀速移动，速度为（），雨速沿移动方向的分速度为（）. 移动时单位时间内的淋雨量包括量部分：(1) 或的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为.记为移动过程中的总淋雨量.当移动距离，面积时，‎ 写出的表达式；‎ 设，，试根据的不同取值范围，确定移动速 度，使总淋雨量最少.‎ 解：由题意知，移动时单位时间内的 淋雨量为，故 由知， ‎ 当时，‎ 当时，‎ 故 ‎（1）当时，是关于的减函数，故当时，‎ ‎（2）当时，在上，是关于的减函数；在上，是关于的增函数. ‎ 故当时，‎ 评析：本大题主要以生活化、物理性背景着重考查学生的阅读理解能力和抽象概括能力以及数学建模、解模的能力.‎ ‎10. (2011年高考湖南卷理科22)（本小题满分13分）已知函数 求函数的零点个数，并说明理由；‎ 设数列满足证明：存在常数 使得对于任意的都有 解：由知，，而且，‎ ‎，则为的一个零点，且在内由零点，‎ 因此至少有两个零点.‎ 解法1 记则 当时，因此在上单调递增，则在上至多有一个零点，‎ 又因为，，则在内有零点.所以在上有且只有一个零点，记此零点为，则当时，当时，‎ 所以，‎ 当时，单调递减，而则在内无零点；当时，单调递增，则在内至多只有一个零点，从而在上至多有一个零点.‎ 综上所述，有且只有两个零点.‎ 解法2 由，记则 当时，因此在上单调递增，则在上至多有一个零点，‎ 从而在上至多有一个零点.‎ 综上所述，有且只有两个零点.‎ 记的正零点为，即 ‎（1）当时，由得，而，因此.‎ 知 因此，当时，成立 故对任意的成立 综上所述，存在常数使得对于任意的都有 评析：本大题综合考查函数与导数、数列、不等式等数学知识和方法以及数学归纳法、放缩法等证明方法的灵活运用.突出考查综合运用数学知识和方法分析问题、解决问题的能力.‎ ‎11. (2011年高考湖北卷理科17)（本小题满分12分）‎ 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为‎60千米,/小时，研究表明：当时，车流速度v是车流密度的一次函数.‎ ‎(Ⅰ)当时，求函数的表达式；‎ ‎(Ⅱ)当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）‎ 本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.‎ 解析：‎ ‎（Ⅰ）由题意：当时，；当时，设 再由已知得，解得 故函数的表达式为 ‎（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得 当时，为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200；‎ 当时，‎ 当且仅当，即时，等号成立.‎ 所以，当时，在区间[20,200]上取得最大值.‎ 综上，当时，在区间[0,200]上取得最大值.‎ 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.‎ ‎12. (2011年高考湖北卷理科21)（本小题满分14分）‎ ‎(Ⅰ)已知函数，求函数的最大值；‎ ‎(Ⅱ)设均为正数，证明：‎ ‎（1）若，则；‎ ‎（2）若，则 本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想. ‎ 解析：‎ ‎（Ⅰ）的定义域为，令，解得，‎ 当时，，在（0，1）内是增函数；‎ 当时，，在内是减函数；‎ 故函数在处取得最大值 ‎（Ⅱ）‎ ‎（1）由（Ⅰ）知，当时，有，即，‎ ‎，从而有，得，‎ 求和得,‎ ‎,,即 ‎.‎ ‎（2）①先证.‎ 令，则,于是 由（1）得，即 ‎.‎ ‎②再证.‎ 记，令，则，‎ 于是由（1）得.‎ 即，‎ 综合①②，（2）得证.‎ ‎13．(2011年高考陕西卷理科19)（本小题满分12分）如图，从点作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点，再从作 轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：， ；，；；，记点的坐标为（）‎ ‎（Ⅰ）试求与的关系（）‎ ‎（Ⅱ）求 ‎【解析】：（Ⅰ）设 ，由 得 点处切线方程为 ，由得（）‎ ‎（Ⅱ）由， ，得所以 ，‎ 于是 ‎14．(2011年高考陕西卷理科21)（本小题满分14分）[来源:学.科.网Z.X.X.K]‎ 设函数定义在上，，导函数 ‎（Ⅰ）求 的单调区间的最小值；（Ⅱ）讨论 与 的大小关系；（Ⅲ）是否存在，使得 对任意成立？若存在，求出 的取值范围；若不存在请说明理由。‎ ‎【解析】：（Ⅰ）由题设易知 ， ，令 得，当 时，，故 是的单调减区间，当 时， 故 是的单调增区间，因此，是 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为。‎ 即 ，故 ，与假设矛盾。不存在 使 对任意 成立。‎ ‎15．(2011年高考重庆卷理科18)（本小题满分13分。（Ⅰ）小题6分（Ⅱ）小题7分。）‎ 设的导数满足其中常数.‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程。‎ ‎（Ⅱ）设求函数的极值。‎ 解析：（Ⅰ）因，故，‎ 令，得，由已知，解得 又令，得，由已知，解得 因此，从而 又因为，故曲线在点处的切线方程为，即 ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，从而有，‎ 令，解得。‎ 当时，，故在为减函数，‎ 当时，，故在为增函数，‎ 当时，，故在为减函数，‎ 从而函数在处取得极小值，在出取得极大值.‎ ‎16．(2011年高考四川卷理科22) (本小题共l4分)‎ ‎ 已知函数f(x)= x + , h(x)= ．‎ ‎ (I)设函数F(x)=f(x)一h(x)，求F(x)的单调区间与极值；‎ ‎ (Ⅱ)设a∈R，解关于x的方程log4 []=1og2 h(a-x)一log2h (4-x)； ‎ ‎ (Ⅲ)试比较与的大小.‎ 解析：（1），‎ 令 ‎ ‎，‎ 所以是其极小值点，极小值为.‎ ‎（2）；‎ 由 即，即，‎ 方程可以变为，‎ ‎，‎ 当，方程，，；‎ 当，方程，；‎ 当时，方程有一个解；‎ 当方程无解.‎ ‎⑶由已知得，‎ 设数列的前n项和为，且,‎ 从而有 当，‎ 又 对任意的有，‎ 又因为，所以，‎ 故 ‎17．(2011年高考全国卷理科22)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ ‎（Ⅰ）设函数，证明：当时，；‎ ‎（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明：‎ ‎【解析】：（Ⅰ） ‎ 故 ‎（Ⅱ）法一：第次抽取时概率为，则抽得的20个号码互不相同的概率 由（Ⅰ），当 即有故 于是即。故 法二：‎ 所以是上凸函数，于是 因此 故 综上：‎ ‎18.(2011年高考江苏卷17)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为‎60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=cm.‎ ‎（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问应取何值？‎ ‎（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.‎ P ‎【解析】（1）由题意知, 包装盒的底面边长为,高为,所以包装盒侧面积为 S==,当且仅当,即时,等号成立,所以若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，应‎15cm.‎ ‎（1）因为函数和在区间上单调性一致，所以，即 即 ‎（2）当时，因为，函数和在区间（b,a）上单调性一致，所以，‎ 即，‎ 设，考虑点(b,a)的可行域，函数 的斜率为1的切线的切点设为 则；‎ 当时，因为，函数和在区间（a, b）上单调性一致，所以，‎ 即，‎ 当时，因为，函数和在区间（a, b）上单调性一致，所以，‎ 即而x=0时，不符合题意， ‎ 当时，由题意：‎ 综上可知，。‎ ‎20．(2011年高考北京卷理科18)（本小题共13分）‎ 已知函数。‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意的，都有≤，求的取值范围。‎ 解：（Ⅰ）‎ 令，得.‎ 当k>0时，的情况如下 x ‎()‎ ‎(,k)‎ k ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎0‎ ‎↗‎ 所以，的单调递减区间是（）和；单高层区间是当k<0时，的情况如下 x ‎()‎ ‎(,k)‎ k ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎↘‎ ‎0‎ ‎↗‎ ‎↘‎ 所以，的单调递减区间是（）和；单高层区间是 ‎（Ⅱ）当k>0时，因为，所以不会有 当k<0时，由（Ⅰ）知在（0，+）上的最大值是 所以等价于 解得.‎ 故当时，k的取值范围是 ‎21．(2011年高考福建卷理科18)（本小题满分13分）‎ 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中3f(-a),则实数a的取值范围是 ‎（A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞） ‎ ‎（C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-∞，-1）∪（0,1）‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。‎ 由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论。‎ ‎（2010天津理数）（3）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是 ‎ (A)若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数 ‎（B）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数 ‎（C）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数 ‎（D）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查否命题的概念 ，属于容易题。‎ 否命题是同时否定命题的条件结论，故否命题的定义可知B项是正确的。‎ ‎（2010天津理数）（2）函数f(x)=的零点所在的一个区间是 ‎ (A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。‎ 由及零点定理知f(x)的零点在区间（-1，0）上。‎ ‎（2010广东理数）3．若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则 A．f（x）与g（x）均为偶函数 B. f（x）为偶函数，g（x）为奇函数 C．f（x）与g（x）均为奇函数 D. f（x）为奇函数，g（x）为偶函数 ‎3．D．．‎ ‎（2010全国卷1理数）（10）已知函数f(x)=|lgx|.若00，为单调递增区间。‎ 最大值在右端点取到。。‎ ‎（2010重庆理数）（18）（本小题满分13分，（I）小问5分，（II）小问8分）‎ 已知函数其中实数。‎ 若a=-2，求曲线在点处的切线方程；‎ 若在x=1处取得极值，试讨论的单调性。‎ ‎（2010北京理数）(18)(本小题共13分)‎ 已知函数()=In(1+)-+(≥0)。‎ ‎(Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；‎ ‎(Ⅱ)求()的单调区间。‎ 解：（I）当时，，‎ ‎ 由于，，‎ ‎ 所以曲线在点处的切线方程为 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎（II），.‎ ‎ 当时，.‎ ‎ 所以，在区间上，；在区间上，.‎ ‎ 故得单调递增区间是，单调递减区间是.‎ ‎ 当时，由，得，‎ ‎ 所以，在区间和上，；在区间上，‎ ‎ 故得单调递增区间是和，单调递减区间是.‎ ‎ 当时，‎ ‎ 故得单调递增区间是.‎ 当时，，得，.‎ 所以没在区间和上，；在区间上，‎ 故得单调递增区间是和，单调递减区间是 ‎（2010四川理数）（22）（本小题满分14分）‎ 设（且），g(x)是f(x)的反函数.‎ ‎（Ⅰ）设关于的方程求在区间[2，6]上有实数解，求t的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当a＝e（e为自然对数的底数）时，证明：；‎ ‎（Ⅲ）当0＜a≤时，试比较与4的大小，并说明理由.‎ 本小题考产函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考察化归、分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力.‎ 解：(1)由题意，得ax＝＞0‎ 故g(x)＝，x∈(－∞,－1)∪(1,＋∞)‎ 由得w_w w. k#s5_u.c o*m t＝(x-1)2(7-x)，x∈[2,6]‎ 则t'=-3x2+18x-15=-3(x-1)(x-5)‎ 列表如下：‎ x ‎2‎ ‎(2,5)‎ ‎5‎ ‎(5,6)‎ ‎6‎ t'‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ t ‎5‎ ‎↗‎ 极大值32‎ ‎↘‎ ‎25‎ 所以t最小值＝5，t最大值＝32‎ 所以t的取值范围为[5,32]……………………………………………………5分 ‎(2) w_w w. k#s5_u.c o*m ‎ ＝ln()‎ ‎ ＝－ln 令u(z)＝－lnz2－＝－2lnz＋z－，z＞0‎ 则u'(z)＝－＝(1－)2≥0‎ 所以u(z)在(0,＋∞)上是增函数 又因为＞1＞0，所以u()＞u(1)＝0‎ 即ln＞0w_w w. k#s5_u.c o*m 即………………………………………………………………9分 ‎(3)设a＝，则p≥1，1＜f(1)＝≤3‎ 当n＝1时，|f(1)－1|＝≤2＜4‎ 当n≥2时 设k≥2,k∈N *时，则f(k)＝w_w w. k#s5_u.c o*m ‎ ＝1＋‎ 所以1＜f(k)≤1＋‎ 从而n－1＜≤n-1+＝n+1-＜n＋1‎ 所以n＜＜f(1)＋n＋1≤n＋4‎ 综上所述，总有|－n|＜4‎ ‎（2010天津理数）（21）（本小题满分14分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；‎ ‎（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，‎ ‎（Ⅲ）如果，且，证明 ‎【解析】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力，满分14分 ‎（Ⅰ）解：f’‎ 令f’(x)=0,解得x=1‎ 当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表 X ‎()‎ ‎1‎ ‎()‎ f’(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ 极大值 所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。‎ 函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=‎ ‎（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)‎ 令F(x)=f(x)-g(x),即 于是 当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。‎ 又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).‎ Ⅲ)证明：（1）‎ 若 ‎（2）若 根据（1）（2）得 由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以>,即>2.‎ ‎（2010全国卷1理数）(20)(本小题满分12分) ‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）证明： .‎ ‎（2010湖南理数）20.（本小题满分13分）‎ 已知函数对任意的，恒有。‎ ‎（Ⅰ）证明：当时，；‎ ‎（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值。‎ 解析：‎ ‎（2010湖北理数）17．（本小题满分12分）‎ ‎ 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。‎ ‎（Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式。‎ ‎（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。‎ ‎（2010福建理数）20．（本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）已知函数，。‎ ‎（i）求函数的单调区间；[来源:Z*xx*k．Com]‎ ‎（ii）证明：若对于任意非零实数，曲线C与其在点处的切线交于另一点 ‎，曲线C与其在点处的切线交于另一点，线段 ‎（Ⅱ）对于一般的三次函数（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。[ks5u．comZ*X*X*K]‎ ‎【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。‎ ‎【解析】（Ⅰ）（i）由得=，‎ 当和时，；‎ 当时，，‎ 因此，的单调递增区间为和，单调递减区间为。‎ ‎（2010湖北理数）‎ ‎（2010安徽理数）17、（本小题满分12分）‎ ‎ 设为实数，函数。‎ ‎ (Ⅰ)求的单调区间与极值；‎ ‎(Ⅱ)求证：当且时，。‎ ‎（2010江苏卷）20、（本小题满分16分）‎ 设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质。‎ ‎(1)设函数，其中为实数。‎ ‎(i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间。‎ ‎(2)已知函数具有性质。给定设为实数，‎ ‎，，且，‎ 若||<||，求的取值范围。‎ ‎[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。‎ ‎（1）(i)‎ ‎∵时，恒成立，‎ ‎∴函数具有性质；‎ ‎(ii)（方法一）设，与的符号相同。‎ 当时，，，故此时在区间上递增；‎ 当时，对于，有，所以此时在区间上递增；‎ 当时，图像开口向上，对称轴，而，‎ 对于，总有，，故此时在区间上递增；‎ ‎（方法二）当时，对于，‎ ‎ 所以，故此时在区间上递增；‎ 当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而 ‎ 当时，，，故此时在区间 上递减；同理得：在区间上递增。‎ 综上所述，当时，在区间上递增；‎ ‎ 当时，在上递减；在上递增。‎ ‎(2)（方法一）由题意，得：‎ 又对任意的都有>0，‎ 所以对任意的都有，在上递增。‎ 又。‎ 当时，，且，‎ ‎ ‎ 综合以上讨论，得：所求的取值范围是（0，1）。‎ ‎（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，，从而在区间上单调递增。‎ ‎①当时，有，‎ ‎，得，同理可得，所以由的单调性知、，‎ 从而有||<||，符合题设。‎ ‎②当时，，‎ ‎，于是由及的单调性知，所以||≥||，与题设不符。‎ ‎③当时，同理可得，进而得||≥||，与题设不符。‎ 因此综合①、②、③得所求的的取值范围是（0，1）。‎ ‎【2009高考试题】‎ ‎1．( 2009·福建理5)下列函数中，满足“对任意，（0，），当<时，都有>‎ 的是 A．= B． = C ．= D ‎ 答案：A 解析：依题意可得函数应在上单调递减，故由选项可得A正确。‎ ‎2．( 2009·福建理10)．函数的图象关于直线对称。据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程的解集都不可能是 A． B C D ‎ 答案：D 解析：本题用特例法解决简洁快速，对方程中分别赋值求出代入求出检验即得．‎ ‎3．( 2009·广东理3) 若函数是函数的反函数，其图像经过点，则 A． B． C． D． ‎ 答案：B 解析：，代入，解得，所以，选B．‎ ‎4．( 2009·广东理8)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是 A．在时刻，甲车在乙车前面 ‎ B． 时刻后，甲车在乙车后面 C． 在时刻，两车的位置相同 D． 时刻后，乙车在甲车前面 答案：A 解析：由图像可知，曲线比在0～、0～与轴所围成图形面积大，则在、时刻，甲车均在乙车前面，选A． w．w．w．k．s．5．u．c．‎ ‎5． (2009·辽宁文理9)已知偶函数在区间上单调增加，则的x取值范围是 ‎ ‎ 答案： A ‎ 解析：由已知有，即，‎ ‎∴。‎ ‎6．( 2009·辽宁理12)若满足，满足，则+=‎ ‎ ‎ 答案：C ‎ 解析：，，‎ 即，，‎ 作出，的图像（如图），‎ 与的图像关于对称，‎ 它们与的交点A、B的中点为与 的交点C，，∴+=。‎ ‎7．( 2009·宁夏海南12)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值。‎ 设 (x0),则的最大值为 ‎（A） 4 （B） 5 （C） 6 （D） 7‎ 答案：C 解析：画出y＝2x，y＝x＋2，y＝10－x的图象，如右图，观察图象可知，当0≤x≤2时，f（x）＝2x，当2≤x≤3时，f（x）＝x＋2，当x＞4时，f（x）＝10－x，f（x）的最大值在x＝4时取得为6，故选C。．‎ ‎8．( 2009·宁夏海南理12)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值设f（x）=min{, x+2,10-x} (x 0),则f（x）的最大值为 ‎（A）4 （B）5 （C）6 （D）7‎ 解析：选C ‎9．( 2009·山东文理6．) x ‎ y ‎ ‎1 ‎ ‎1 ‎ D ‎ O ‎ x ‎ y ‎ O ‎ ‎1 ‎ ‎1 ‎ C ‎ x ‎ y ‎ O ‎ ‎1 ‎ ‎1 ‎ B ‎ ‎1 ‎ x ‎ y ‎ ‎1 ‎ O ‎ A ‎ 函数的图像大致为( )．‎ 答案：A 解析：:函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A． ‎ 答案:A．‎ ‎10． (2009·浙江理10)对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，有．下列结论中正确的是( )‎ A．若，，则 B．若，，且，则 C．若，，则 D．若，，且，则 答案：C ‎ 解析：对于，即有，令，有，不妨设，，即有，因此有，因此有．‎ ‎11．( 2009·天津理．15) （4）设函数则 A在区间内均有零点。 B在区间内均无零点。‎ C在区间内有零点，在区间内无零点。‎ D在区间内无零点，在区间内有零点。 ‎ 答案：D 解析：由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点 处有极小值；又，故选择D。‎ ‎12．( 2009·山东文理14)若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 ． ‎ 解析：设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点, 就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点（0，a）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点．所以实数a的取值范围是． ‎ 答案：‎ ‎【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答．‎ ‎13．( 2009·山东文理16)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则 ‎ ‎-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 ‎ y ‎ x ‎ f(x)=m (m>0) ‎ 解析：因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以, 由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以 答案：-8‎ ‎14． (2009·浙江理14)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如 下：‎ 高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表 高峰月用电量 ‎（单位：千瓦时）‎ 高峰电价 ‎（单位：元/千瓦时）‎ 低谷月用电量 ‎（单位：千瓦时）‎ 低谷电价 ‎（单位：元/千瓦时）‎ ‎50及以下的部分 ‎0．568‎ ‎50及以下的部分 ‎0．288‎ 超过50至200的部分 ‎0．598‎ 超过50至200的部分 ‎0．318‎ 超过200的部分 ‎0．668‎ 超过200的部分 ‎0．388‎ ‎ 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为千瓦时，低谷时间段用电量为千瓦时，‎ 则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元（用数字作答）．‎ 答案：‎ 解析：对于应付的电费应分二部分构成，高峰部分为；对于低峰部分为，二部分之和为 ‎15． (2009·江苏文理10) 已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为 ▲ ．‎ 答案：m4×240×240‎ ‎9 m1m2‎‎<9×160×160所以,‎ 所以即函数在(0,160)上为减函数.‎ 同理,函数在(160,400)上为增函数,设1609×160×160‎ 所以,‎ 所以即函数在(160,400)上为增函数.‎ 所以当m=160即时取”=”,函数y有最小值,‎ 所以弧上存在一点，当时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.‎ 命题立意:本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题.‎ ‎13. (2009·海南宁夏理21)（本小题满分12分）‎ 已知函数 如，求的单调区间；‎ 若在单调增加，在单调减少，证明 ‎＜6. ‎ ‎ （21）解：‎ ‎（Ⅰ）当时，，故 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当 当 从而单调减少.‎ ‎(Ⅱ)‎ 由条件得：从而 因为所以 ‎ ‎ 将右边展开，与左边比较系数得，故 又由此可得 于是 ‎ ‎15. (2009·辽宁理21)（本小题满分 12 分）‎ 已知函数，‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）证明：若，则对于任意有。‎ 解：（1）的定义域为，--------------2分 ‎（i）若，即a=2，则，故在上单调增加。‎ ‎（ii）若，而，故，则当时，；‎ 当及时，。‎ 故在上单调减少，在，上单调增加。‎ ‎（iii）若，即， 同理可得在上单调减少，在，上单调增加。 ‎ ‎（2）考虑函数，‎ 则，‎ 由于，故，即在上单调增加，从而当时，‎ 有，即，故；‎ 当时，有。 ‎ ‎17. (2009·福建理20)（本小题满分14分）‎ 已知函数,且 ‎ ‎(1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间；‎ ‎（2）令,设函数在处取得极值，记点M (,)，N(,)，P(), ,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：‎ ‎（I）若对任意的m (, x)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；‎ ‎（II）若存在点Q(n ,f(n)), x n< m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程） ‎ 解法一:‎ ‎(Ⅰ)依题意,得 由.‎ 从而 令 ‎①当a>1时, ‎ 当x变化时，与的变化情况如下表：‎ x ‎+‎ ‎－‎ ‎+‎ 单调递增 单调递减 单调递增 由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。‎ ‎②当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R ‎③当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为 综上：‎ 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；‎ 当时，函数的单调增区间为R；‎ 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.‎ ‎(Ⅱ)由得令得 由（1）得增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故M（）N（）。‎ 观察的图象，有如下现象：‎ ‎①当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差Kmp-的值由正连续变为负。‎ ‎②线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp－的m正负有着密切的关联；‎ ‎③Kmp－=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp－的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率；‎ 线段MP的斜率Kmp 当Kmp－=0时，解得 直线MP的方程为 令 当时，在上只有一个零点，可判断函数在 上单调递增，在上单调递减，又，所以在上没有零点，即线段MP与曲线没有异于M，P的公共点。‎ 当时，.‎ 所以存在使得 即当MP与曲线有异于M,P的公共点 综上，t的最小值为2.‎ ‎（2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为 解法二：‎ ‎（1）同解法一.‎ ‎（2）由得，令，得 由（1）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值。故M().N()‎ ‎ (Ⅰ) 直线MP的方程为 由 得 线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数 上有零点.‎ 因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.‎ 又.因此, 在上有零点等价于在 内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.‎ 等价于 即 又因为,所以m 的取值范围为(2,3)‎ 从而满足题设条件的r的最小值为2.‎ ‎18. (2009·福建文21)（本小题满分12分）‎ 已知函数且 ‎ （I）试用含的代数式表示；‎ ‎ （Ⅱ）求的单调区间； ‎ ‎ （Ⅲ）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点；‎ 解法一：‎ ‎（I）依题意，得 ‎ 由得 ‎（Ⅱ）由（I）得（‎ ‎ 故 ‎ 令，则或 ‎ ①当时，‎ ‎ 当变化时，与的变化情况如下表：‎ ‎ ‎ ‎+‎ ‎—‎ ‎+‎ 单调递增 单调递减 单调递增 由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为 ‎②由时，，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调区间为R ‎③当时，，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为 综上：‎ 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；‎ 当时，函数的单调增区间为R；‎ 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为 ‎（Ⅲ）当时，得 ‎ 由，得 ‎ 由（Ⅱ）得的单调增区间为和，单调减区间为 ‎ 所以函数在处取得极值。‎ ‎ 故 ‎ 所以直线的方程为 ‎ 由得 ‎ ‎ 令 ‎ 易得，而的图像在内是一条连续不断的曲线，‎ ‎ 故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于的公共点 解法二：‎ ‎（I）同解法一 ‎（Ⅱ）同解法一。‎ ‎（Ⅲ）当时，得，由，得 由（Ⅱ）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，‎ 故 所以直线的方程为 ‎ 由得 解得 所以线段与曲线有异于的公共点 ‎ ‎19. (2009·广东理20)（本小题满分14分）‎ 已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．‎ ‎（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；‎ ‎（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点． ‎ 解：（1）依题可设 ()，则；‎ ‎ 又的图像与直线平行 ‎ ‎ ， ， ‎ 设，则 当且仅当时，取得最小值，即取得最小值 当时， 解得 ‎ 当时， 解得 ‎ （2）由()，得 ‎ 当时，方程有一解，函数有一零点；‎ 当时，方程有二解，‎ 若，，‎ 函数有两个零点，即；‎ 若，，‎ 函数有两个零点，即；‎ 当时，方程有一解, , ‎ 函数有一零点 ‎ 综上，当时, 函数有一零点；‎ 当()，或（）时，‎ 函数有两个零点；‎ 当时，函数有一零点.‎ ‎22.( 2009·浙江‎20090423‎ 理22)（本题满分14分）已知函数，，‎ 其中．‎ ‎ （I）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；‎ ‎ （II）设函数 是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一 的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存 在，请说明理由．‎ 解析：（I）因，，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由得 ‎，令有，记则在上单调递减，在上单调递增，所以有，于是，得，而当时有在上有两个相等的实根，故舍去，所以；‎ ‎（II）当时有；‎ 当时有，因为当时不合题意，因此，‎ 下面讨论的情形，记A，B=（ⅰ）当时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有，（ⅱ）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此，综合（ⅰ）（ⅱ）；‎ 当时A=B，则，即使得成立，因为在上单调递增，所以的值是唯一的；‎ 同理，，即存在唯一的非零实数，要使成立，所以满足题意．‎ ‎24.（2009·安徽理19）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数，讨论的单调性.‎ 本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。‎ 解：的定义域是(0,+),‎ 设,二次方程的判别式.‎ 当，即时，对一切都有,此时在 上是增函数。‎ 当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。‎ 当，即时，‎ 方程有两个不同的实根,,.‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎_‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递增 极大 单调递减 极小 单调递增 此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.‎ ‎25.（2009·天津理20）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数其中 当时，求曲线处的切线的斜率； ‎ 当时，求函数的单调区间与极值。 ‎ 本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。‎ ‎（I）解：‎ ‎（II） ‎ 以下分两种情况讨论。‎ ‎（1）＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ ‎ ‎（2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ ‎ ‎【2008高考试题】‎ ‎1．（2008·广东卷理19）设，函数，，，试讨论函数的单调性．‎ ‎【解析】 ‎ 对于，‎ 当时，函数在上是增函数；‎ 当时，函数在上是减函数，在上是增函数；‎ 对于，‎ 当时，函数在上是减函数；‎ 当时，函数在上是减函数，在上是增函数。‎ ‎2．（2008·江苏卷18）设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。‎ 求实数的取值范围；‎ 求圆的方程；问圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论 解：本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．‎ ‎（Ⅰ）令＝0，得抛物线与轴交点是（0，b）；‎ 令，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．‎ ‎（Ⅱ）设所求圆的一般方程为 令＝0 得这与＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝．‎ 令＝0 得＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．‎ 所以圆C 的方程为．‎ ‎（Ⅲ）圆C 必过定点，证明如下：‎ 假设圆C过定点 ，将该点的坐标代入圆C的方程，‎ 并变形为 （*）‎ 为使（*）式对所有满足的都成立，必须有，‎ 结合（*）式得 ‎，解得 经检验知，点均在圆C上，因此圆C 过定点。‎ ‎3．（2008·江苏20）若为常数，‎ 且 ‎（I）求对所有的实数成立的充要条件（用表示）；‎ ‎(II)设为两实数，且，若，求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）。‎ 解：（1）由的定义可知，（对所有实数）等价于 ‎（对所有实数）这又等价于，即 对所有实数均成立． （*）‎ 由于的最大值为，‎ 故（*）等价于，即，这就是所求的充分必要条件 ‎（2）分两种情形讨论 ‎ （i）当时，由（1）知（对所有实数）‎ O y x ‎(a,f(a))‎ ‎(b,f(b))‎ 图1‎ 则由及易知， ‎ 再由的单调性可知，‎ 函数在区间上的单调增区间的长度 为（参见示意图1）‎ ‎（ii）时，不妨设，则，于是 ‎ 当时，有，从而；‎ 当时，有 从而 ；‎ 当时，，及，由方程 O y x ‎(a,f(a))‎ ‎(b,f(b))‎ ‎(x0,y0)‎ ‎(p2,2)‎ ‎(p1,1)‎ 图2‎ ‎ 解得图象交点的横坐标为 ‎ ⑴‎ 显然，‎ 这表明在与之间。由⑴易知 ‎ ‎ 综上可知，在区间上， （参见示意图2）‎ 故由函数及的单调性可知，在区间上的单调增区间的长度之和为，由于，即，得 ‎ ⑵‎ 故由⑴、⑵得 ‎ 综合（i）（ii）可知，在区间上的单调增区间的长度和为。‎ ‎4．(2008·山东理14)设函数，若，，则 的值为 。‎ 试题分析 。‎ 而， ∴ ‎ ‎5．(2008·广东理7)设，若函数，有大于零的极值点，则（ B ）‎ A． B． C． D．‎ 答案：B。‎ 解析：，若函数在上有大于零的极值点，‎ 即有正根。当有成立时，（由于）显然有，此时，由我们马上就能得到参数的范围为。‎ ‎7.(安徽理6)设＜b,函数的图像可能是 ‎ ‎ ‎ 解析：，由得，∴当时，取极大值0，当时取极小值且极小值为负。故选C。‎ 或当时，当时，选C ‎8.(安徽理9)已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是学科网 ‎（A） （B） （C） （D）学科网 解析：由得，‎ 即，∴∴，∴切线方程为 ‎，即选A ‎9.(辽宁理7)曲线在点处的切线方程为 ‎ ‎ 答案： D 解析： ，，∴切线方程为，即。‎ ‎10. (福建理4) 等于 A． B. ‎2 C. -2 D. +2‎ 答案：D 解析：∵.故选D ‎11.(天津理4)设函数则 A在区间内均有零点。 B在区间内均无零点。‎ C在区间内有零点，在区间内无零点。‎ D在区间内无零点，在区间内有零点。 ‎ 答案：D 解析：由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又，故选择D。‎ ‎12.（2008·江苏8）直线是曲线的一条切线，则实数b＝ ▲ ‎ 答案：ln2－1‎ 解析：本小题考查导数的几何意义、切线的求法． ，令得，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b＝ln2－1．‎ ‎13. （2008·江苏14） 对于总有≥0 成立，则= ▲ ．‎ 答案：4‎ 解析：本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论取何值，≥0显然成立；当x＞0 即时，≥0可化为，‎ 设，则， 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而≥4；‎ ‎14. （2008·江苏13）若AB=2, AC=BC ，则的最大值 ▲ ‎ 答案：‎ 解析：本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC＝，则AC＝ ，‎ 根据面积公式得=，根据余弦定理得 ‎，代入上式得 ‎=‎ 由三角形三边关系有解得，‎ 故当时取得最大值 ‎5．（2008·广东理科19卷）（本小题满分14分）‎ 设，函数，，。试讨论函数的单调性．‎ 解析 ‎ 对于，‎ 当时，函数在上是增函数；‎ 当时，函数在上是减函数，在上是增函数；‎ 对于，‎ 当时，函数在上是减函数；‎ 当时，函数在上是减函数，在上是增函数。‎ ‎8．(2008·山东理21)（本题满分12分）已知函数其中为常数。‎ ‎（I）当时，求函数的极值；‎ ‎（II）当时，证明：对任意的正整数，当时，有 标准答案:‎ ‎（Ⅰ）解：由已知得函数的定义域为，‎ 当时，，所以．‎ ‎（1）当时，由得，，‎ 此时．‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增．‎ ‎（2）当时，恒成立，所以无极值．‎ 综上所述，时，‎ 当时，在处取得极小值，极小值为．‎ 当时，无极值．‎ ‎（Ⅱ）证法一：因为，所以．‎ 当为偶数时，‎ 令 ，‎ 则（）．‎ 所以 当时，单调递增，‎ 又，‎ 因此 恒成立，‎ 所以 成立．‎ 当为奇数时，‎ 要证，由于，所以只需证，‎ 令 ，‎ 则 （），‎ 所以 当时，单调递增，又，‎ 所以当时，恒有，即命题成立．‎ 综上所述，结论成立．‎ 证法二：当时，．‎ 当时，对任意的正整数，恒有，‎ 故只需证明．‎ 令 ，，‎ 则 ，‎ 当时，，故在上单调递增，‎ 因此 当时，，即成立．‎ 故 当时，有．‎ 即 ．‎ ‎9.(2008·海南、宁夏理21)（本小题满分12分） 设函数，曲线在点 处的切线方程为。‎ ‎（Ⅰ）求的解析式：‎ ‎（Ⅱ）证明：函数的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；‎ ‎（Ⅲ）证明：曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值。‎ 试题解析：（Ⅰ），于是 解得 或 因，故．‎ ‎ （II）证明：已知函数都是奇函数，‎ 所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形。‎ 而函数。‎ 可知，函数的图像按向量a=平移，即得到函数的图象，故函数的图像是以点为中心的中心对称图形。‎ ‎（III）证明：在曲线上任一点。‎ 由知，过此点的切线方程为 ‎。‎ 令得，切线与直线交点为。‎ 令得，切线与直线交点为。‎ 直线与直线的交点为(1,1)。‎ 从而所围三角形的面积为。‎ 所以, 所围三角形的面积为定值2。‎ ‎【2007高考试题】‎ ‎1．（2007·江苏卷）设是奇函数，则使的的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解：依题意，得＝0，即＝0，所以，＝－1， ，‎ 又，所以，，解得：－1＜x＜0，故选（A）。‎ ‎2．(2007·广东卷) 客车从甲地以‎60km/h的速度行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以‎80km/h 的速度行驶1小时到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间的关系图象中，正确的是 解：由题意可知客车在整个过程中的路程函数S(t)的表达式为 ‎ 0≤t≤1‎ S(t)= 1≤t≤3/2‎ ‎ 3/2≤t≤5/2 对比各选项的曲线知应选B 。‎ ‎3．（2007·山东卷）设，则使函数的定义域为 且为奇函数的所有值为（ ）‎ A．， B．， C．， D．，，‎ 解：观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项A。‎ ‎4．（2007·宁夏、海南卷）设函数为奇函数，则　　　　．‎ 解：‎ ‎5．(2007海南、宁夏理10)曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ 答案：D 分析：曲线在点处的切线斜率为，因此切线方程 为则切线与坐标轴交点为所以：‎ ‎　　　　　‎ ‎6.（2007山东理18）(本小题满分14分)设函数f(x)=x2+b ln(x+1),其中b≠0.‎ ‎(Ⅰ)当b>时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；‎ ‎（Ⅱ）求函数f(x)的极值点；‎ ‎（Ⅲ）证明对任意的正整数n,不等式ln()都成立.‎ ‎.答案(I) 函数的定义域为.‎ ‎，‎ 令，则在上递增，在上递减，‎ ‎.‎ 当时，，‎ 在上恒成立.‎ 即当时,函数在定义域上单调递增。‎ ‎（II）分以下几种情形讨论：‎ ‎（1）由（I）知当时函数无极值点.‎ ‎（2）当时，，‎ 时，‎ 时，‎ 时，函数在上无极值点。‎ ‎（3）当时，解得两个不同解，.‎ 当时，，，‎ 此时在上有唯一的极小值点.‎ 当时，‎ 在都大于0 ，在上小于0 ，‎ 此时有一个极大值点和一个极小值点.‎ 综上可知，时，在上有唯一的极小值点；‎ 时，有一个极大值点和一个极小值点；‎ 时，函数在上无极值点。‎ ‎（III） 当时，‎ 令则 在上恒正，‎ 在上单调递增，当时，恒有.‎ 即当时，有，‎ 对任意正整数，取得