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  • 2021-05-13 发布

高考真题突破二项分布及其应用正态分布

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专题十一 概率与统计 第三十六讲二项分布及其应用、正态分布 一、选择题 ‎1.(2015湖北)设,,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是 A.‎ B.‎ C.对任意正数,‎ D.对任意正数,‎ ‎2.(2015山东)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布,从中随机取一件,其长度误差落在区间内的概率为 ‎(附:若随机变量服从正态分布,则,)‎ A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%‎ ‎3.(2014新课标2)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是 A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45‎ ‎4.(2011湖北)已知随机变量服从正态分布,且,则 A. B. C. D.‎ 二、填空题 ‎5.(2017新课标Ⅱ)一批产品的二等品率为,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取次,表示抽到的二等品件数,则= .‎ ‎6.(2016四川)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数的均值是 .‎ ‎7.(2015广东)已知随机变量服从二项分布,若,,则 .‎ ‎8.(2012新课标)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布,且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .‎ 三、解答题 ‎9.(2017新课标Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.‎ ‎(1)假设生产状态正常,记表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数,求及的数学期望;‎ ‎(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.‎ ‎(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;‎ ‎(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:‎ ‎9.95‎ ‎10.12‎ ‎9.96‎ ‎9.96‎ ‎10.01‎ ‎9.92‎ ‎9.98‎ ‎10.04‎ ‎10.26‎ ‎9.91‎ ‎10.13‎ ‎10.02‎ ‎9.22‎ ‎10.04‎ ‎10.05‎ ‎9.95‎ 经计算得,‎ ,其中为抽取的第个零件的尺寸,=1,2,…,16.‎ 用样本平均数作为的估计值,用样本标准差作为的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除之外的数据,用剩下的数据估计和 (精确到0.01).‎ 附:若随机变量服从正态分布,则=0.997 4,,.‎ ‎10.(2016新课标Ⅱ)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 保 费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:‎ 一年内出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 概 率 ‎0.30‎ ‎0.15‎ ‎0.20‎ ‎0.20‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎(Ⅰ)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;‎ ‎(Ⅱ)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出的概率;‎ ‎(Ⅲ)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.‎ ‎11.(2015湖南)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.‎ ‎(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;‎ ‎(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为,求的分布列和数学期望.‎ ‎12.(2015湖北)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品.生产1吨产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨 产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天产品的产量不超过产品产量的2倍,设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为 W ‎12‎ ‎15‎ ‎18‎ P ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利(单位:元)是一个随机变量.‎ ‎(Ⅰ)求的分布列和均值;‎ ‎(Ⅱ) 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.‎ ‎13.(2015新课标Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度,从,两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:‎ 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76‎ ‎78 86 95 66 97 78 88 82 76 89‎ 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82‎ ‎93 48 65 81 74 56 54 76 65 79‎ ‎(Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可);‎ ‎(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:‎ 满意度评分 低于70分 ‎70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”,假设两地区用户的评价结果相互独立,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.‎ ‎14.(2014山东)‎ 甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率是.假设各局比赛结果互相独立.‎ ‎(1)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率 ‎(2)若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分、对方得1分,求乙队得分的分布列及数学期望.‎ ‎15.(2014陕西)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:‎ ‎(Ⅰ)设表示在这块地上种植1季此作物的利润,求的分布列;‎ ‎(Ⅱ)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.‎ ‎16.(2014广东)随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位:件),获得数据如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36,根据上述数据得到样本的频率分布表如下:‎ 分组 频数 频率 ‎[25,30 ]‎ ‎3‎ ‎0.12‎ ‎(30,35 ]‎ ‎5‎ ‎0.20‎ ‎(35,40 ]‎ ‎8‎ ‎0.32‎ ‎(40,45 ]‎ ‎(45,50 ]‎ ‎(1)确定样本频率分布表中和的值;‎ ‎(2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图;‎ ‎(3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率.‎ ‎17.(2011大纲)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立.‎ ‎(Ⅰ)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率;‎ ‎(Ⅱ)表示该地的l00位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数.求的期望.‎ 专题十一 概率与统计 第三十六讲二项分布及其应用、正态分布 答案部分 ‎1.C【解析】由正态分布密度曲线的性质可知,,的密度曲线分别关于直线,对称,因此结合题中所给图象可得,,所以,故错误.又得密度曲线较的密度曲线“瘦高”,所以,所以,B错误.对任意正数,,,C正确,D错误.‎ ‎2.B【解析】.‎ ‎3.A【解析】根据条件概率公式,可得所求概率为.‎ x y O ‎4‎ ‎2‎ ‎4.C【解析】如图,正态分布的密度函数示意图所示,‎ 函数关于直线对称,所以,并且 则 所以选C.‎ ‎5.1.96【解析】由题意可得,抽到二等品的件数符合二项分布,即,由二项分布的期望公式可得 ‎ ‎6.【解析】同时抛掷两枚质地均匀的硬币,可能的结果有(正正),(正反),(反正),(反反),所以在1次试验中成功次数的取值为,‎ 其中 在1次试验中成功的概率为,‎ 所以在2次试验中成功次数的概率为,,.‎ 解法2由题意知,实验成功的概率,故,所以.‎ ‎7.【解析】由,得.‎ ‎8.【解析】 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布得:三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为,超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率, 那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为.‎ ‎9.【解析】(1)抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026,故.因此 ‎.‎ 的数学期望为.‎ ‎(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.‎ ‎(ii)由,,得的估计值为,的估计值为 ‎,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外,因此需对当天的生产过程进行检查.‎ 剔除之外的数据9.22,剩下数据的平均数为 ‎,‎ 因此的估计值为10.02.‎ ‎,‎ 剔除之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为 ‎,‎ 因此的估计值为.‎ ‎10.【解析】(Ⅰ)设续保人本年度的保费高于基本保费为事件,‎ ‎.‎ ‎(Ⅱ)设续保人保费比基本保费高出为事件,‎ ‎.‎ ‎(Ⅲ)解:设本年度所交保费为随机变量.‎ 平均保费 ‎,‎ ‎∴平均保费与基本保费比值为.‎ ‎11.【解析】(Ⅰ)记事件={从甲箱中摸出的1个球是红球},‎ ‎={从乙箱中摸出的1个球是红球},={顾客抽奖1次获一等奖},={顾客抽奖1次获二等奖},={顾客抽奖1次能获奖}.‎ 由题意,与相互独立,与互斥,与互斥,‎ 且=,=+,C=+.‎ 因()==,()==,‎ 所以()=()=()()==,‎ ‎()=(+)=()+()‎ ‎=() (1-())+(1-())()=(1-)+(1-)=,‎ 故所求概率为(C)= (+)=()+()=+=.‎ ‎(Ⅱ)顾客抽奖3次独立重复试验,由(I)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为,‎ 所以.于是 (=0)==,‎ ‎(=1)==,‎ ‎(=2)==,(=3)== .‎ 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 的数学期望为 ()=3=.‎ ‎12.【解析】(Ⅰ)设每天两种产品的生产数量分别为,相应的获利为,则有 ‎(1)目标函数为.‎ 第10题解答图1‎ 第10题解答图2‎ 第10题解答图3‎ 当时,(1)表示的平面区域如图1,三个顶点分别为.‎ 将变形为,‎ 当时,直线:在轴上的截距最大,‎ 最大获利.‎ 当时,(1)表示的平面区域如图2,三个顶点分别为.‎ 将变形为,‎ 当时,直线:在轴上的截距最大,‎ 最大获利.‎ 当时,(1)表示的平面区域如图3,‎ 四个顶点分别为.‎ 将变形为,‎ 当时,直线:在轴上的截距最大,‎ 最大获利.‎ 故最大获利的分布列为 ‎8160‎ ‎10200‎ ‎10800‎ ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ ‎ 因此,.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,一天最大获利超过10000元的概率,‎ 由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为 ‎.‎ ‎13.【解析】(Ⅰ)两地区用户满意度评分的茎叶图如下 通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散.‎ ‎(Ⅱ)记表示事件:“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”;‎ 表示事件:“A地区用户满意度等级为非常满意”;‎ 表示事件:“B地区用户满意度等级为不满意”;‎ 表示事件:“B地区用户满意度等级为满意”.‎ 则与独立,与独立,与互斥,.‎ ‎.‎ 由所给数据得,,,发生的概率分别为,,,.‎ 故,,,,‎ 故.‎ ‎14.【解析】:(1)记“甲队以3:0胜利”为事件,“甲队以3:1胜利”为事件,“甲队以3:2胜利”为事件,由题意,各局比赛结果相互独立,‎ 故,‎ ‎,‎ 所以,甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率分别是,,;‎ ‎(2)设“乙队以3:2胜利”为事件,由题意,各局比赛结果相互独立,所以 由题意,随机变量的所有可能的取值为0,1,2,3,,根据事件的互斥性得 ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以.‎ ‎15.【解析】(Ⅰ)设A表示事件“作物产量为300kg”,B表示事件“作物市场价格为6元/kg”.由题设知,.‎ 因为利润=产量市场价格成本,所以所有可能的取值为 ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 所以的分布列为 ‎4000‎ ‎2000‎ ‎800‎ ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ ‎(Ⅱ)设表示事件“第季利润不少于2000元”,‎ 由题意知相互独立,由(1)知,‎ ‎3季利润均不少于2000元的概率为 ‎3季中有2季利润不少于2000元的概率为 所以,这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为 ‎16.【解析】:(1),;‎ ‎(2)样本频率分布直方图为 日加工零件数 频率 组距 ‎0.016‎ ‎0.024‎ ‎0.04‎ ‎0.056‎ ‎0.064‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎40‎ ‎45‎ ‎50‎ ‎0‎ ‎(3)根据样本频率分布直方图,每人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率0.2,‎ 设所取的4人中,日加工零件数落在区间(30,35]的人数为,则,‎ ‎,‎ 所以4人中,至少有1人的日加工零件数落在区间(30,50]的概率约为0.5904.‎ ‎17.【解析】记表示事件: 该地的1位车主购买甲种保险;‎ 表示事件: 该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险;‎ 表示事件: 该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种;‎ 表示事件: 该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买.‎ ‎(Ⅰ), , ‎ ‎(Ⅱ),‎ ‎,即服从二项分布,‎ 所以期望.‎