高考数学热点攻略探索性问题 11页

‎2011年高考数学热点：攻略探索性问题 一、考情分析 探索性问题常常需要由给定的题设条件去探索相应的结论，或由问题的题干去追溯相应的条件，要求在解题之前必须透过问题的表象去寻找、去发现规律性的东西。问题增加了许多可变的因素，思维指向不明显，解题时往往难于下手。‎ 近年来，探索性问题在高考试题中多次出现，主要有以下几类：‎ ‎(1)探索条件型问题：从给定的问题结论出发，追溯结论成立的充分条件；‎ ‎(2)探索结论型问题：从给定的题设条件出发，探求相关的结论；‎ ‎(3)探索存在型问题：从假设相关结论存在出发，从而肯定或否定这种结论是否存在；‎ ‎(4)探索综合型问题：从变更题设条件或问题的结论的某个部分出发，探究问题的相应变化。‎ 二、高考预测 预测年数学试卷中继续保持了探索型、开放型、研究型等题型，形式上也会有所突破，如只猜不证，只算不写等；填空题中出现了条件、结论完全开放的设计，题型的创新，带来了新的理念，这必将促进教学的创新。‎ 三、突破策略 问题的条件不完备，结论不确定是探索性问题的基本特征，从探索性问题的解题过程来看，没有确定的模式，可变性多，对观察、试验、联想、类比、猜想、抽象、概括，特别是对发现问题、分析问题的能力要求较高，探索性问题的解题策略有：‎ ‎1攻略之一——特殊值探路，一般化证明 从最简单、最特殊的情况出发，有时也可借助直觉观察或判断，推测出命题的结论，必要时给出严格证明。‎ ‎【例1】已知试判断与的大小关系。‎ 解析：由＜， ＞，＞，＞，，＜，＜……猜想出结论：当时， ；当、3、4时＞，当或时＜，然后用数学归纳法证明猜想的正确性。‎ ‎2攻略之二——假设存在，推理检验 此类题型需从题目所给出的条件及所探求的结论两方面入手，充分挖掘题设条件的内涵与外延，积极向所探究的结论靠拢。解答这类问题的一般思路是：先假定对象存在，运用条件进行推理。若得到相应的合理结论，断言这个对象是存在的；若出现矛盾，则否定先前假设，断言对象是不存在的。‎ ‎【例2】抛物线过定点A（0，2）且以x轴为准线。‎ ‎（1）求抛物线的顶点M的轨迹C。‎ ‎（2）问过定点B，1是否存在一对互相垂直的直线同时都与轨迹C有公共点？证明你的结论。‎ 解析：（1）利用数形结合法，根据抛物线定义可求得动点M的轨迹方程为：‎ x +4（y－1）= 4（y≠0）‎ ‎（2）过点B的直线与曲线C有交点需满足什么条件？两直线垂直的条件又是什么？这两者中有何关系？从而推出合理的结论。‎ 设过点B，1的直线L为：y－1=k（x+），L与C有交点的条件为方程组 有解 现假设存在一对过B且与轨迹C有公共点的互相垂直的直线L和L，则有,但由上述结果知这就产生矛盾，故这样的直线不存在。‎ ‎【例3】（2008年湖北高考试题）已知数列和满足：,其中为实数，为正整数。‎ ‎（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；‎ ‎（Ⅲ）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有 ‎？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由。‎ ‎（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛an｝是等比数列，则有a22=a‎1a3，即 矛盾。‎ 所以｛an｝不是等比数列。‎ ‎(Ⅱ)解：因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1(an-2n+14)‎ ‎=(-1)n·（an-3n+21）=-bn 又b1=-(λ+18),所以 当λ＝－18，bn=0(n∈N+),此时｛bn｝不是等比数列：‎ 当λ≠－18时，b1=(λ+18) ≠0,由上可知bn≠0，∴(n∈N+).‎ 故当λ≠-18时，数列｛bn｝是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列.‎ ‎(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.‎ ‎∴λ≠-18，故知bn= -（λ+18）·（－）n-1，于是可得 Sn=-‎ 要使a‎3a存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a0)。用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是（ ）。‎ ‎   ‎ ‎4. （2009安徽卷理）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.观察sin220°+cos250°+sin20°cos50°=,sin215°+cos245°+sin15°‎ ‎·cos45°=，写出一个与以上两式规律相同的一个等式 .‎ ‎6. （2009浙江文）设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列。类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则， ， ，成等比数列。‎ ‎7. （2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）‎ 已知椭圆C: 的离心率为 ，过右焦点F的直线l与C相交于A、B ‎ ‎ 两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为 ‎（Ⅰ）求a,b的值；‎ ‎（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？‎ 若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。‎ ‎8.（2009北京卷理）‎ 如图，在三棱锥中，底面，‎ 点，分别在棱上，且 ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；‎ ‎（Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.‎ 参考答案 ‎1.解析：①l⊥α且α∥βl⊥β,mβl⊥m.‎ ‎②α⊥β且l⊥αl∥β,但不能推出l∥m.‎ ‎③l∥m,l⊥αm⊥α,由mβα⊥β.‎ ‎④l⊥m,不能推出α∥β.‎ 答案：B ‎2.解析：选1.1元5张，0.6元2张，0.8元1张.故8张.‎ 答案：B ‎3. 答案：C 解析：先考查拼成三棱柱(如图1)全面积：S1=,‎ 再考查拼成四棱柱(如图2)全面积.‎ ‎(1)若AC=‎5a,AB=‎4a,BC=‎3a则该四棱柱的全面积为S2=‎ ‎(2)若AC=‎4a,AB=‎3a,BC=‎5a则该四棱柱的全面积为S2=‎ ‎(3)若AC=‎3a,AB=‎5a,BC=‎4a则该四棱柱的全面积为S2=‎ 又在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，从而知即a的取值范围是 。‎ ‎4. A x D y C O y=kx+‎ 解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC 由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）‎ ‎∴△ABC=，设与的 交点为D，则由知，∴‎ ‎∴选A。 ‎ ‎5.解析：由50°–20°=(45°–15°)=30°‎ 可得sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=.‎ 答案：sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=‎ ‎6. 答案： ‎ 解析：对于等比数列，通过类比，有等比数列的前项积为，则，，成等比数列。‎ 点评：此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力 ‎7. 解：（Ⅰ）设 当的斜率为1时，其方程为到的距离为 ‎ ‎ ‎ 故 ， ‎ ‎ 由 ‎ ‎ 得 ，=‎ ‎（Ⅱ）C上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立。‎ 由 （Ⅰ）知C的方程为+=6. 设 ‎ (ⅰ) ‎ ‎　C 成立的充要条件是， 且 整理得 ‎ 故 ①‎ 将 ‎ 于是 , =,‎ 代入①解得，，此时 于是=， 即 因此， 当时，， ；‎ 当时，， 。‎ ‎（ⅱ）当垂直于轴时，由知，C上不存在点P使成立。‎ 综上，C上存在点使成立，此时的方程为 ‎。‎ 点评：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。‎ ‎8.解法1（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.‎ 又，∴AC⊥BC.‎ ‎∴BC⊥平面PAC.‎ ‎（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，‎ ‎∴，‎ 又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，‎ ‎∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.‎ ‎∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，‎ ‎∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，‎ ‎∴△ABP为等腰直角三角形，∴，‎ ‎∴在Rt△ABC中，，∴.‎ ‎∴在Rt△ADE中，，‎ ‎∴与平面所成的角的大小.‎ ‎（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，‎ 又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，‎ ‎∴∠AEP为二面角的平面角，‎ ‎∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.‎ ‎∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，‎ 故存在点E使得二面角是直二面角.‎ 解法2：以A为原煤点建立空间直角坐标系，‎ ‎ 设，由已知可得 ‎ .‎ ‎ （Ⅰ）∵，‎ ‎∴，∴BC⊥AP.‎ 又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.‎ ‎（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.‎ ‎∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎∴与平面所成的角的大小.‎ ‎（Ⅲ）同解法1.‎ 点评：本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。www.ks5u.com