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- 2021-05-13 发布
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第一章 集合与简易逻辑
第 1 课时 集合的概念及运算
【考点导读】
1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集
合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．
2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含
义．
3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集
合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系
及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要
复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想．
【基础练习】
1. 集 合 {( , ) 0 2,0 2, , }x y x y x y Z 用 列 举 法 表 示
{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)} ．
2.设集合 { 2 1, }A x x k k Z ， { 2 , }B x x k k Z ，则 A B ．
3.已知集合 {0,1,2}M ， { 2 , }N x x a a M ，则集合 M N _______．
4.设全集 {1,3,5,7,9}I ，集合 {1, 5 ,9}A a ， {5,7}IC A ，则实数 a 的值为____8
或 2___．
【范例解析】
例 . 已 知 R 为 实 数 集 ， 集 合 2{ 3 2 0}A x x x . 若 RB C A R ，
{ 0 1RB C A x x 或 2 3}x ，求集合 B.
分析：先化简集合 A，由 RB C A R 可以得出 A 与 B 的关系；最后，由数形结合，
利用数轴直观地解决问题.
解：（1） { 1 2}A x x ， { 1RC A x x 或 2}x .又 RB C A R ， RA C A R ，
可得 A B .
而 { 0 1RB C A x x 或 2 3}x ，
{ 0 1x x 或 2 3}x .B
借助数轴可得 B A { 0 1x x 或 2 3}x { 0 3}x x .
【反馈演练】
1．设集合 2,1A ， 3,2,1B ， 4,3,2C ，则 CBA U =_________．
2 ． 设 P ， Q 为 两 个 非 空 实 数 集 合 ， 定 义 集 合
P+Q= },5,2,0{},,|{ PQbPaba 若 }6,2,1{Q ，则 P+Q 中元素的个数是____8___个．
3．设集合 2{ 6 0}P x x x ， { 2 3}Q x a x a .
（1）若 P Q P ，求实数 a 的取值范围；
（2）若 P Q ，求实数 a 的取值范围；
（3）若 { 0 3}P Q x x ，求实数 a 的值.
解：（1）由题意知： { 2 3}P x x ， P Q P ， Q P .
①当Q 时，得 2 3a a ，解得 3a ．
②当Q 时，得 2 2 3 3a a ，解得 1 0a ．
综上， ( 1,0) (3, )a ．
（2）①当Q 时，得 2 3a a ，解得 3a ；
{0,2}
②当Q 时，得 2 3,
3 2 2 3
a a
a a
或 ，解得 35 32a a 或 ．
综上， 3( , 5] [ , )2a ．
（3）由 { 0 3}P Q x x ，则 0a ．
第 2 课 命题及逻辑联结词
【考点导读】
1. 了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系．
2. 了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关
的数学内容．
3. 理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内
容．理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题
进行否定．
【基础练习】
1.下列语句中：① 2 3 0x ；②你是高三的学生吗？③3 1 5 ；④5 3 6x ．
其中，不是命题的有____①②④_____．
2.一般地若用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为若 q 则
p ，否命题可表示为 p q 若 则 ，逆否命题可表示为 q p 若 则 ；原命题与逆
否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．
【范例解析】
例 1. 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假.
（1） 平行四边形的对边相等；
（2） 菱形的对角线互相垂直平分；
（3） 设 , , ,a b c d R ，若 ,a b c d ，则 a c b d .
分析：先将原命题改为“若 p 则 q”，在写出其它三种命题.
解：
（1）
原命题：若一个四边形是平行四边形，则其两组对边相等；真命题；
逆命题：若一个四边形的两组对边相等，则这个四边形是平行四边形；真命题；
否命题：若一个四边形不是平行四边形，则其两组对边至少一组不相等；真命题；
逆否命题：若一个四边形的两组对边至少一组不相等，则这个四边形不是平行四边
形；真命题.
（2）
原命题：若一个四边形是菱形，则其对角线互相垂直平分；真命题；
逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；真命题；
否命题：若一个四边形不是菱形，则其对角线不垂直或不平分；真命题；
逆否命题：若一个四边形的对角线不垂直或不平分，则这个四边形不是菱形；真命
题.
（3）
原命题：设 , , ,a b c d R ，若 ,a b c d ，则 a c b d ；真命题；
逆命题：设 , , ,a b c d R ，若 a c b d ，则 ,a b c d ；假命题；
否命题：设 , , ,a b c d R ，若 a b 或c d ，则 a c b d ；假命题；
逆否命题：设 , , ,a b c d R ，若 a c b d ，则 a b 或c d ；真命题.
点评：已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若 p 则 q”的形式，找
出其条件 p 和结论 q，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，
在改写命题时大前提不要动；在写命题 p 的否定即 p 时，要注意对 p 中的关键词的
否定，如“且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”，“都是”的否定为“不都是”
等.
例 2.写出由下列各组命题构成的“p 或 q”，“p 且 q”，“非 p”形式的命题，并判断
真假.
（1）p：2 是 4 的约数，q：2 是 6 的约数；
（2）p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；
（3）p：方程 2 1 0x x 的两实根的符号相同，q：方程 2 1 0x x 的两实根的绝
对值相等.
分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假.
解：
（1）p 或 q：2 是 4 的约数或 2 是 6 的约数，真命题；
p 且 q：2 是 4 的约数且 2 是 6 的约数，真命题；
非 p：2 不是 4 的约数，假命题.
（2）p 或 q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；
p 且 q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；
非 p：矩形的对角线不相等，假命题.
（3）p 或 q：方程 2 1 0x x 的两实根的符号相同或绝对值相等，假命题；
p 且 q：方程 2 1 0x x 的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题；
非 p：方程 2 1 0x x 的两实根的符号不同，真命题.
点评：判断含有逻辑联结词“或”，“且”，“非”的命题的真假，先要把结构弄清楚，
确定命题构成的形式以及构成它们的命题 p，q 的真假然后根据真值表判断构成新命
题的真假.
例 3.写出下列命题的否定，并判断真假.
（1）p：所有末位数字是 0 或 5 的整数都能被 5 整除；
（2）p：每一个非负数的平方都是正数；
（3）p：存在一个三角形，它的内角和大于 180°；
（4）p：有的四边形没有外接圆；
（5）p：某些梯形的对角线互相平分.
分析：全称命题“ , ( )x M p x ”的否定是“ , ( )x M p x ”，特称命题“ , ( )x M p x ”
的否定是“ , ( )x M p x ” .
解：
（1） p ：存在末位数字是 0 或 5 的整数，但它不能被 5 整除，假命题；
（2） p ：存在一个非负数的平方不是正数，真命题；
（3） p ：任意一个三角形，它的内角和都不大于 180°，真命题；
（4） p ：所有四边形都有外接圆，假命题；
（5） p ：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题.
点评：一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：
正面词语 等于 大于 小于 是 都是
否定词语 不等于 不大于 不小于 不是 不都是
正面词语 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的 …
否定词语 至少有两个 一个也没有 某个 某些 …
【反馈演练】
1．命题“若 a M ，则b M ”的逆否命题是__________________.
2．已知命题 p ： 1sin, xRx ，则 :p ,sin 1x R x .
3．若命题 m 的否命题 n，命题 n 的逆命题 p，则 p 是 m 的____逆否命题____.
4．命题“若 ba ，则 122 ba ”的否命题为________________________．
5．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．
（1）设 ,a b R ，若 0ab ，则 0a 或 0b ；
（2）设 ,a b R ，若 0, 0a b ，则 0ab ．
解：
（1）逆命题：设 ,a b R ，若 0a 或 0b ，则 0ab ；真命题；
否命题：设 ,a b R ，若 0ab ，则 0a 且 0b ；真命题；
逆否命题：设 ,a b R ，若 0a 且 0b ，则 0ab ；真命题；
（2）逆命题：设 ,a b R ，若 0ab ，则 0, 0a b ；假命题；
否命题：设 ,a b R ，若 0a 或 0b ，则 0ab ；假命题；
逆否命题：设 ,a b R ，若 0ab ，则 0a 或 0b ；真命题．
第 3 课时 充分条件和必要条件
【考点导读】
1. 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要
条件．
2. 从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论：
若 b M ，则 a M
若 a b ，则 2 2 1a b
若集合 P Q ，则 P 是Q 的充分条件；
若集合 P Q ，则 P 是Q 的必要条件；
若集合 P Q ，则 P 是Q 的充要条件．
3. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力．
【基础练习】
1.若 p q ，则 p 是 q 的充分条件．若 q p ，则 p 是 q 的必要条件．若 p q ，则
p 是 q 的充要条件．
2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填
空.
（1）已知 : 2p x ， : 2q x ，那么 p 是 q 的_____充分不必要___条件．
（2）已知 :p 两直线平行， :q 内错角相等，那么 p 是 q 的____充要_____条件．
（3）已知 :p 四边形的四条边相等， :q 四边形是正方形，那么 p 是 q 的___必要不充
分__条件．
3.若 x R ，则 1x 的一个必要不充分条件是 0x ．
【范例解析】
例.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填
空.
（1） 2,
2.
x
y
是 4,
4.
x y
xy
的___________________条件；
（2）( 4)( 1) 0x x 是 4 01
x
x
的___________________条件；
（3） 是 tan tan 的___________________条件；
（4） 3x y 是 1x 或 2y 的___________________条件.
分析：从集合观点“小范围大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.
解：（1）因为 2,
2.
x
y
结合不等式性质易得 4,
4.
x y
xy
，反之不成立，若 1
2x ， 10y ，
有 4,
4.
x y
xy
，但 2,
2.
x
y
不成立，所以 2,
2.
x
y
是 4,
4.
x y
xy
的充分不必要条件.
（ 2 ） 因 为 ( 4)( 1) 0x x 的 解 集 为 [ 1,4] ， 4 01
x
x
的 解 集 为 ( 1,4] ， 故
( 4)( 1) 0x x 是 4 01
x
x
的必要不充分条件.
（3）当
2
时，tan ,tan 均不存在；当 tan tan 时，取
4
， 5
4
，
但 ，所以 是 tan tan 的既不充分也不必要条件.
（4）原问题等价其逆否形式，即判断“ 1x 且 2y 是 3x y 的____条件”，故
3x y 是 1x 或 2y 的充分不必要条件.
点评：①判断 p 是 q 的什么条件，实际上是判断“若 p 则 q”和它的逆命题“若 q
则 p”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则 p 为 q 的充分不必要条件；若原命
题为假，逆命题为真，则 p 为 q 的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，
则 p 为 q 的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则 p 为 q 的既不充分也不必要条
件.②在判断时注意反例法的应用.③在判断“若 p 则 q”的真假困难时，则可以判
断它的逆否命题“若q 则p”的真假.
【反馈演练】
1．设集合 }30|{ xxM ， }20|{ xxN ，则“ Ma ”是“ Na ”的_必
要不充分
条件．
2．已知 p：1＜x＜2，q：x(x－3)＜0，则 p 是 q 的 条件．
3．已知条件 2: { 1 0}p A x R x ax ，条件 2: { 3 2 0}q B x R x x ．若 q 是
p 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．
解： : { 1 2}q B x R x ，若 q 是 p 的充分不必要条件，则 A B ．
若 A ，则 2 4 0a ，即 2 2a ；
充分不必要
若 A ，则
2
2 2
4 0,
4 4 ,2 2
a
a a a ax
解得 5 22 a ．
综上所述， 5 22 a ．
第二章 函数 第 1 课 函数的概念
【考点导读】
1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画
函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定
义域和值域．
2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数．
【基础练习】
1．设有函数组：① y x ， 2y x ；② y x ， 3 3y x ；③ y x ， xy
x
；④
1 ( 0),
1 ( 0),
xy x
， xy x
；⑤ lg 1y x ， lg10
xy ．其中表示同一个函数的有___②
④⑤___．
2.设集合 { 0 2}M x x ， { 0 2}N y y ，从 M 到 N 有四种对应如图所示：
其中能表示为 M 到 N 的函数关系的有_____②③____．
3.写出下列函数定义域：
(1) ( ) 1 3f x x 的 定 义 域 为 ______________ ； (2) 2
1( ) 1f x x
的 定 义 域 为
______________；
(3) 1( ) 1f x x x
的 定 义 域 为 ______________ ； (4)
0( 1)( ) xf x
x x
的 定 义 域 为
_________________．
4．已知三个函数:(1) ( )
( )
P xy Q x
； (2) 2 ( )ny P x ( *)n N ； (3) ( )log ( )Q xy P x ．写出使各
函数式有意义时， ( )P x ， ( )Q x 的约束条件：
(1)______________________ ； (2)______________________ ；
(3)______________________________．
5.写出下列函数值域：
(1) 2( )f x x x ， {1,2,3}x ；值域是{2,6,12}．
(2) 2( ) 2 2f x x x ； 值域是[1, ) ．
(3) ( ) 1f x x ， (1,2]x ． 值域是 (2,3] ．
【范例解析】
例 1.设有函数组：①
2 1( ) 1
xf x x
， ( ) 1g x x ；② ( ) 1 1f x x x ， 2( ) 1g x x ；
③ 2( ) 2 1f x x x ， ( ) 1g x x ；④ ( ) 2 1f x x ， ( ) 2 1g t t ．其中表示同一个函
数的有③④．
分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同．
解：在①中， ( )f x 的定义域为{ 1}x x ， ( )g x 的定义域为 R ，故不是同一函数；在②中， ( )f x
的定义域为[1, ) ， ( )g x 的定义域为 ( , 1] [1, ) ，故不是同一函数；③④是同一函数．
点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数．而当一个函数定义域和对应
法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对
应法则是否相同即可．
例 2.求下列函数的定义域：① 21 12y xx
； ②
1
2
( )
log (2 )
xf x
x
；
解：（1）① 由题意得：
2
2 0,
1 0,
x
x
解得 1x 且 2x 或 1x 且 2x ，
故定义域为 ( , 2) ( 2, 1] [1,2) (2, ) ．
② 由题意得： 1
2
log (2 ) 0x ，解得1 2x ，故定义域为 (1,2) ．
例 3.求下列函数的值域：
（1） 2 4 2y x x ， [0,3)x ；
（2）
2
2 1
xy x
( )x R ；
1
2
2 x
y
O
①
y
1
2
2 xO
②
1
2
2 xO
③
y
1
2
2 xO
④
y
R { 1}x x
[ 1,0) (0, ) ( , 1) ( 1,0)
( ) 0Q x ( ) 0P x ( ) 0Q x 且 ( ) 0P x 且 ( ) 1Q x
（3） 2 1y x x ．
分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域．
（1） 解： 2 24 2 ( 2) 2y x x x ， [0,3)x ，函数的值域为[ 2,2] ；
（2） 解 法 一 ： 由
2
2 2
111 1
xy x x
， 2
10 11x
， 则 2
11 01x
，
0 1y ，故函数值域为[0,1) ．
解法二：由
2
2 1
xy x
，则 2
1
yx y
， 2 0x ， 01
y
y
， 0 1y ，故函数
值域为[0,1) ．
（3）解：令 1x t ( 0)t ，则 2 1x t ， 2 22 1 ( 1) 2y t t t ，
当 0t 时， 2y ，故函数值域为[ 2, ) ．
点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；
用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围．
【反馈演练】
1．函数 f(x)＝ x21 的定义域是___________．
2．函数
)34(log
1)( 2
2
xx
xf 的定义域为_________________．
3. 函数 2
1 ( )1y x Rx
的值域为________________．
4. 函数 2 3 13 4y x x 的值域为_____________．
5．函数 )34(log 2
5.0 xxy 的定义域为_____________________．
6.记函数 f(x)=
1
32
x
x 的定义域为 A，g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定义域为 B．
(1) 求 A；
(2) 若 B A，求实数 a 的取值范围．
解：(1)由 2－
1
3
x
x ≥0，得
1
1
x
x ≥0，x<－1 或 x≥1， 即 A=(－∞，－1)∪[1，+ ∞) ．
(2) 由(x－a－1)(2a－x)>0，得(x－a－1)(x－2a)<0．
∵a<1，∴a+1>2a，∴B=(2a，a+1) ．
∵B A， ∴2a≥1 或 a+1≤－1，即 a≥
2
1 或 a≤－2，而 a<1，
∴
2
1 ≤a<1 或 a≤－2，故当 B A 时， 实数 a 的取值范围是(－∞,－2]∪[
2
1 ,1)．
第 2 课 函数的表示方法
【考点导读】
1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数．
2.求解析式一般有四种情况：（1）根据某个实际问题须建立一种函数关系式；（2）给出函数特征，
利用待定系数法求解析式；（3）换元法求解析式；（4）解方程组法求解析式．
【基础练习】
1.设函数 ( ) 2 3f x x ， ( ) 3 5g x x ，则 ( ( ))f g x _________； ( ( ))g f x __________．
2.设函数 1( ) 1f x x
， 2( ) 2g x x ,则 ( 1)g _____3_______； [ (2)]f g 1
7
；
[ ( )]f g x 2
1
3x
．
3.已知函数 ( )f x 是一次函数，且 (3) 7f ， (5) 1f ,则 (1)f __15___．
4.设 f(x)＝
2
| 1| 2,| | 1,
1 , | | 11
x x
xx
，则 f[f(
2
1 )]＝_____________．
( ,0]
(1,2) (2,3)
(0,1]
( ,4]
1 3[ ,0) ( ,1]4 4
第 5 题
6 7x 6 4x
4
13
|1|2
3
2
3 xy (0≤x≤2)
5.如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________．
【范例解析】
例 1.已知二次函数 ( )y f x 的最小值等于 4，且 (0) (2) 6f f ，求 ( )f x 的解析式．
分析：给出函数特征，可用待定系数法求解．
解法一：设 2( ) ( 0)f x ax bx c a ，则
2
6,
4 2 6,
4 4.4
c
a b c
ac b
a
解得
2,
4,
6.
a
b
c
故所求的解析式为 2( ) 2 4 6f x x x ．
解 法 二 ： (0) (2)f f ， 抛 物 线 ( )y f x 有 对 称 轴 1x ． 故 可 设
2( ) ( 1) 4( 0)f x a x a ．
将点 (0,6) 代入解得 2a ．故所求的解析式为 2( ) 2 4 6f x x x ．
解法三：设 ( ) ( ) 6.F x f x ，由 (0) (2) 6f f ，知 ( ) 0F x 有两个根 0，2，
可设 ( ) ( ) 6 ( 0)( 2)F x f x a x x ( 0)a ， ( ) ( 0)( 2) 6f x a x x ，
将点 (1,4) 代入解得 2a ．故所求的解析式为 2( ) 2 4 6f x x x ．
点评：三种解法均是待定系数法，也是求二次函数解析式常用的三种形式：一般式，顶点式，
零点式．
例 2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是
2km，甲 10 时出发前往乙家．如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程 y（km）与时间 x（分）
的关系．试写出 ( )y f x 的函数解析式．
分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式．
解：当 [0,30]x 时，直线方程为 1
15y x ，当 [40,60]x 时，直线方程为 1 210y x ，
1
[0,30],15
( ) 2 (30,40),
1 [40,60].210
x x
f x x
xx
点评：建立函数的解析式是解决实际问题的关键，把题中文字语言描述的数学关系用数学符号
语言表达．要注意求出解析式后，一定要写出其定义域．
【反馈演练】
1．若 ( ) 2
x xe ef x
， ( ) 2
x xe eg x
，则 (2 )f x （ D ）
Ａ． 2 ( )f x Ｂ．2[ ( ) ( )]f x g x Ｃ．2 ( )g x Ｄ． 2[ ( ) ( )]f x g x
2．已知 1( 1) 2 32f x x ，且 ( ) 6f m ，则 m 等于________．
3. 已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称，且 f(x)＝x2＋2x．求函数 g(x)的解析式．
解：设函数 y f x 的图象上任意一点 0 0,Q x y 关于原点的对称点为 ,P x y ，
则
0
0
0 0
0, ,2
.0,2
x x
x x
y y y y
即
∵点 0 0,Q x y 在函数 y f x 的图象上
∴ 2 2 22 2 , 2y x x y x x g x x x ，即 故 ．
第 3 课 函数的单调性
【考点导读】
1.理解函数单调性，最大（小）值及其几何意义；
2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性．
【基础练习】
1.下列函数中：
x
y
O
1
2
3
4
10 20 30 40 50 60
例 2
1
4
① 1( )f x x
； ② 2 2 1f x x x ； ③ ( )f x x ； ④ ( ) 1f x x ．
其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有___②___．
2.函数 y x x 的递增区间是___ R ___．
3.函数 2 2 3y x x 的递减区间是__________．
4.已知函数 ( )y f x 在定义域 R 上是单调减函数，且 ( 1) (2 )f a f a ，则实数 a 的取值范围
__________．
5.已知下列命题：
①定义在 R 上的函数 ( )f x 满足 (2) (1)f f ，则函数 ( )f x 是 R 上的增函数；
②定义在 R 上的函数 ( )f x 满足 (2) (1)f f ，则函数 ( )f x 在 R 上不是减函数；
③定义在 R 上的函数 ( )f x 在区间 ( ,0] 上是增函数，在区间[0, ) 上也是增函数，则函数
( )f x 在 R 上是增函数；
④定义在 R 上的函数 ( )f x 在区间 ( ,0] 上是增函数，在区间 (0, ) 上也是增函数，则函数
( )f x 在 R 上是增函数．
其中正确命题的序号有_____②______．
【范例解析】
例 . 求证：（1）函数 2( ) 2 3 1f x x x 在区间 3( , ]4
上是单调递增函数；
（2）函数 2 1( ) 1
xf x x
在区间 ( , 1) 和 ( 1, ) 上都是单调递增函数．
分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定．
证明：（1）对于区间 3( , ]4
内的任意两个值 1x ， 2x ，且 1 2x x ，
因为 2 2
1 2 1 1 2 2( ) ( ) 2 3 1 ( 2 3 1)f x f x x x x x 2 2
2 1 1 22 2 3 3x x x x
1 2 1 2( )[3 2( )]x x x x ，
又 1 2
3
4x x ，则 1 2 0x x ， 1 2
3
2x x ，得 1 23 2( ) 0x x ，
故 1 2 1 2( )[3 2( )] 0x x x x ，即 1 2( ) ( ) 0f x f x ，即 1 2( ) ( )f x f x ．
所以，函数 2( ) 2 3 1f x x x 在区间 3( , ]4
上是单调增函数．
（2）对于区间 ( , 1) 内的任意两个值 1x ， 2x ，且 1 2x x ，
因为 1 2
1 2
1 2
2 1 2 1( ) ( ) 1 1
x xf x f x x x
1 2
1 2
3( )
( 1)( 1)
x x
x x
，
又 1 2 1x x ，则 1 2 0x x ， 1( 1) 0x ， 2( 1) 0x 得， 1 2( 1)( 1) 0x x
故 1 2
1 2
3( ) 0( 1)( 1)
x x
x x
，即 1 2( ) ( ) 0f x f x ，即 1 2( ) ( )f x f x ．
所以，函数 2 1( ) 1
xf x x
在区间 ( , 1) 上是单调增函数．
同理，对于区间 ( 1, ) ，函数 2 1( ) 1
xf x x
是单调增函数；
所以，函数 2 1( ) 1
xf x x
在区间 ( , 1) 和 ( 1, ) 上都是单调增函数．
点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：（1）在给定区间内任意取两值 1x ， 2x ；
（2）作差 1 2( ) ( )f x f x ，化成因式的乘积并判断符号；（3）给出结论．
例 2.确定函数 1( )
1 2
f x
x
的单调性．
分析：作差后，符号的确定是关键．
解：由1 2 0x ，得定义域为 1( , )2
．对于区间 1( , )2
内的任意两个值 1x ， 2x ，且 1 2x x ，
则
1 2
1 2
1 1( ) ( )
1 2 1 2
f x f x
x x
2 1
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
x x
x x
( , 1]
(1, )
1 2
1 2 1 2
2( )
1 2 1 2 ( 1 2 1 2 )
x x
x x x x
又 1 2 0x x ， 1 2 1 21 2 1 2 ( 1 2 1 2 ) 0x x x x ，
1 2( ) ( ) 0f x f x ，即 1 2( ) ( )f x f x ．
所以， ( )f x 在区间 1( , )2
上是增函数．
点评：运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定．
【反馈演练】
1．已知函数 1( ) 2 1xf x
，则该函数在 R 上单调递__减__，（填“增”“减”）值域为_________．
2．已知函数 2( ) 4 5f x x mx 在 ( , 2) 上是减函数，在 ( 2, ) 上是增函数，则
(1)f __25___.
3. 函数 2 2y x x 的单调递增区间为 1[ 2, ]2
.
4. 函数 2( ) 1f x x x 的单调递减区间为 1( , 1],[ ,1]2
．
5. 已知函数 1( ) 2
axf x x
在区间 ( 2, ) 上是增函数，求实数 a 的取值范围．
解：设对于区间 ( 2, ) 内的任意两个值 1x ， 2x ，且 1 2x x ，
则 1 2
1 2
1 2
1 1( ) ( ) 2 2
ax axf x f x x x
2 1
1 2
(1 2 )( ) 0( 2)( 2)
a x x
x x
，
1 2 0x x ， 1( 2) 0x ， 2( 2) 0x 得， 1 2( 2)( 2) 0x x ， 1 2 0a ，即 1
2a ．
第 4 课 函数的奇偶性
【考点导读】
1.了解函数奇偶性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性；
2.定义域对奇偶性的影响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件；
不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数．
【基础练习】
1.给出 4 个函数：① 5( ) 5f x x x ；②
4
2
1( ) xf x x
；③ ( ) 2 5f x x ；④ ( ) x xf x e e ．
其中奇函数的有___①④___；偶函数的有____②____；既不是奇函数也不是偶函数的有____③
____．
2. 设函数
x
axxxf 1 为奇函数，则实数 a －1 ．
3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ A ）
A. Rxxy ,3 B. Rxxy ,sin C. Rxxy ,
D. Rxxy ,)2
1(
【范例解析】
例 1.判断下列函数的奇偶性：
（1）
2(1 2 )( ) 2
x
xf x ； （2） 2( ) lg( 1)f x x x ；
（3） 2
2
1( ) lg lgf x x x
； （4） 1( ) (1 ) 1
xf x x x
；
(0,1)
（5） 2( ) 1 1f x x x ； （6）
2
2
( 0),( ) ( 0).
x x xf x xx x
分析：判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再利用定义判断．
解 ： （ 1 ） 定 义 域 为 x R ， 关 于 原 点 对 称 ；
2 2 2
2
(1 2 ) 2 (1 2 )( ) 2 2 2
x x x
x x xf x
2(1 2 ) ( )2
x
x f x ,
所以 ( )f x 为偶函数．
（ 2 ） 定 义 域 为 x R ， 关 于 原 点 对 称 ；
2 2( ) ( ) lg( 1) lg( 1) lg1 0f x f x x x x x ，
( ) ( )f x f x ，故 ( )f x 为奇函数．
（3）定义域为 ( ,0) (0, )x ，关于原点对称； ( ) 0f x ， ( ) ( )f x f x 且
( ) ( )f x f x ，
所以 ( )f x 既为奇函数又为偶函数．
（4）定义域为 [ 1,1)x ，不关于原点对称；故 ( )f x 既不是奇函数也不是偶函数．
（ 5 ） 定 义 域 为 x R ， 关 于 原 点 对 称 ； ( 1) 4f ， (1) 2f ， 则 ( 1) (1)f f 且
( 1) (1)f f ，故 ( )f x 既不是奇函数也不是偶函数．
（6）定义域为 x R ，关于原点对称；
2
2
( ) ( )( 0),( ) ( 0).( ) ( )
x x xf x xx x
，
2
2
( 0),( ) ( 0).
x x xf x xx x
又 (0) 0f ，
2
2
( 0),( ) ( 0).
x x xf x xx x
( ) ( )f x f x ，故 ( )f x 为奇函数．
点评：判断函数的奇偶性，应首先注意其定义域是否关于原点对称；其次，利用定义即
( ) ( )f x f x 或 ( ) ( )f x f x 判 断 ， 注 意 定 义 的 等 价 形 式 ( ) ( ) 0f x f x 或
( ) ( ) 0f x f x ．
例 2. 已知定义在 R 上的函数 ( )f x 是奇函数，且当 0x 时， 2( ) 2 2f x x x ，求函数 ( )f x
的解析式，并指出它的单调区间．
分析：奇函数若在原点有定义，则 (0) 0f ．
解：设 0x ，则 0x ， 2( ) 2 2f x x x ．
又 ( )f x 是奇函数， ( ) ( )f x f x ， 2( ) ( ) 2 2f x f x x x ．
当 0x 时， (0) 0f ．
综上， ( )f x 的解析式为
2
2
2 2, 0
( ) 0, 0
02 2,
x x x
f x x
xx x
．
作出 ( )f x 的图像，可得增区间为 ( , 1] ，[1, ) ，减区间为[ 1,0) ， (0,1]．
点评：（1）求解析式时 0x 的情况不能漏；（2）两个单调区间之间一般不用“ ”连接；（3）
利用奇偶性求解析式一般是通过“ x ”实现转化；（4）根据图像写单调区间．
【反馈演练】
1．已知定义域为 R 的函数 xf 在区间 ,8 上为减函数，且函数 8 xfy 为偶函数，则
（ D ）
A． 76 ff B． 96 ff C． 97 ff D． 107 ff
2. 在 R 上定义的函数 xf 是偶函数，且 xfxf 2 ，若 xf 在区间 2,1 是减函数，则
函数 xf （ B ）
A.在区间 1,2 上是增函数，区间 4,3 上是增函数
B.在区间 1,2 上是增函数，区间 4,3 上是减函数
C.在区间 1,2 上是减函数，区间 4,3 上是增函数
D.在区间 1,2 上是减函数，区间 4,3 上是减函数
3. 设
3,2
1,1,1 ，则使函数 xy 的定义域为 R 且为奇函数的所有 的值为____1，3
___．
4．设函数 ))(( Rxxf 为奇函数， ),2()()2(,2
1)1( fxfxff 则 )5(f ________．
5．若函数 )(xf 是定义在 R 上的偶函数，在 ]0,( 上是减函数，且 0)2( f ，则使得 0)( xf
的 x 的取
值范围是（－2，2）．
6. 已知函数
2 1( ) axf x bx c
( , , )a b c Z 是奇函数．又 (1) 2f ， (2) 3f ,求 a，b，c 的值；
解：由 ( ) ( )f x f x ，得 ( )bx c bx c ，得 0c ．又 (1) 2f ，得 1 2a b ，
而 (2) 3f ，得 4 1 31
a
a
，解得 1 2a ．又 a Z ， 0a 或 1．
若 0a ，则 1
2b Z ，应舍去；若 1a ，则 1b Z ．
所以， 1, 1, 0a b c ．
综上，可知 ( )f x 的值域为{0,1,2,3,4}．
第 5 课 函数的图像
【考点导读】
1.掌握基本初等函数的图像特征，学会运用函数的图像理解和研究函数的性质；
2.掌握画图像的基本方法：描点法和图像变换法．
【基础练习】
2
5
1.根据下列各函数式的变换，在箭头上填写对应函数图像的变换：
（1） 2xy 12xy 12 3xy ；
（ 2 ） 2logy x 2log ( )y x
2log (3 )y x ．
2.作出下列各个函数图像的示意图：
（1） 3 1xy ； （2） 2log ( 2)y x ； （3） 2
1
xy x
．
解：（1）将 3xy 的图像向下平移 1 个单位，可得 3 1xy 的图像．图略；
（2）将 2logy x 的图像向右平移 2 个单位，可得 2log ( 2)y x 的图像．图略；
（3）由 2 1 11 1
xy x x
，将 1y x
的图像先向右平移 1 个单位，得 1
1y x
的图像，再
向下平移 1 个单位，可得 2
1
xy x
的图像．如下图所示：
3.作出下列各个函数图像的示意图：
（1） 1
2
log ( )y x ； （2） 1( )2
xy ； （3） 1
2
logy x ； （4） 2 1y x ．
解：（1）作 1
2
logy x 的图像关于 y 轴的对称图像，如图 1 所示；
（2）作 1( )2
xy 的图像关于 x 轴的对称图像，如图 2 所示；
（3）作 1
2
logy x 的图像及它关于 y 轴的对称图像，如图 3 所示；
（4）作 2 1y x 的图像，并将 x 轴下方的部分翻折到 x 轴上方，如图 4 所示．
4. 函数 ( ) | 1|f x x 的图象是 （ B ）
【范例解析】
例 1.作出函数 2( ) 2 2 3f x x x 及 ( )f x ， ( )f x ， ( 2)f x ， ( )f x ， ( )f x 的图像．
分析：根据图像变换得到相应函数的图像．
解： ( )y f x 与 ( )y f x 的图像关于 y 轴对称；
( )y f x 与 ( )y f x 的图像关于 x 轴对称；
将 ( )y f x 的图像向左平移 2 个单位得到 ( 2)y f x 的图像；
保留 ( )y f x 的图像在 x 轴上方的部分，将 x 轴下方的部分关于 x 轴翻折上去，并去掉原下方
的部分；
将 ( )y f x 的图像在 y 轴右边的部分沿 y 轴翻折到 y 轴的左边部分替代原 y 轴左边部分，并保
留 ( )y f x 在 y 轴右边部分．图略．
点评：图像变换的类型主要有平移变换，对称变换两种．平移变换：左“+”右“－”，上“+”
O
y
x1
－1
A
1 x
y
O
B
1 x
y
O
C
1 x
y
O
D
1 x
y
O-1 -1 -1 -1
1 1 1 1
－1 O
y
x
图 1
－1
O
y
x
图 2
－1 O
y
x
图 3
1
向右平移 1 个单位 向上平移 3 个单位
作关于 y 轴对称的图形 向右平移 3 个单位
－1 O
y
x
图 4
下“－”；对称变换： ( )y f x 与 ( )y f x 的图像关于 y 轴对称；
( )y f x 与 ( )y f x 的图像关于 x 轴对称； ( )y f x 与 ( )y f x 的图像关于原点对称；
( )y f x 保留 ( )y f x 的图像在 x 轴上方的部分，将 x 轴下方的部分关于 x 轴翻折上去，并
去掉原下方的部分；
( )y f x 将 ( )y f x 的图像在 y 轴右边的部分沿 y 轴翻折到 y 轴的左边部分替代原 y 轴左边
部分，并保留 ( )y f x 在 y 轴右边部分．
例 2.设函数 54)( 2 xxxf .
（1）在区间 ]6,2[ 上画出函数 )(xf 的图像；
（2）设集合 ),6[]4,0[]2,(,5)( BxfxA . 试判断集合 A和 B 之间的
关系，并给出证明.
分析：根据图像变换得到 )(xf 的图像，第（3）问实质是恒成立问题．
解：（1）
（2）方程 5)( xf 的解分别是 4,0,142 和 142 ，由于 )(xf 在 ]1,( 和 ]5,2[ 上
单 调 递 减 ， 在 ]2,1[ 和 ),5[ 上 单 调 递 增 ， 因 此
,142]4,0[142, A .
由于 AB ,2142,6142 .
【反馈演练】
1．函数
1
11
xy 的图象是（ B ）
O
y
x－1
1
C．
O
y
－1
1
D．
x
O
y
x1
1
A．
O
y
1
1
B．
x
2. 为了得到函数 xy )3
1(3 的图象，可以把函数 xy )3
1( 的图象向右平移 1 个单位长度得到．
3．已知函数 kxyxy 与
4
1log 的图象有公共点 A，且点 A 的横坐标为 2，则 k = 1
4
．
4．设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 y=f (x)的图象关于直线
2
1x 对称，则
f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_____0____ ．
5. 作出下列函数的简图：
（1） 2 ( 1)y x x ； （2） 2 1xy ； （3） 2log 2 1y x ．
第 6 课 二次函数
【考点导读】
1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的图像和性质；
2.能结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程
根的联系．
【基础练习】
1. 已知二次函数 2 3 2y x x ,则其图像的开口向__上__；对称轴方程为 3
2x ；顶点坐标为
3 1( , )2 4
，与 x 轴的交点坐标为 (1,0),(2,0) ，最小值为 1
4
．
2. 二次函数 2 22 3y x mx m 的图像的对称轴为 2 0x ,则 m __－2___，顶点坐标
为 ( 2,3) ，递增区间为 ( , 2] ，递减区间为[ 2, ) ．
3. 函数 22 1y x x 的零点为 11, 2
．
4. 实系数方程 2 0( 0)ax bx c a 两实根异号的充要条件为 0ac ；有两正根的充要条件
为 0, 0, 0b c
a a
；有两负根的充要条件为 0, 0, 0b c
a a
．
5. 已知函数 2( ) 2 3f x x x 在区间 [0, ]m 上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围是
__________．
【范例解析】
例 1.设 a 为实数，函数 1||)( 2 axxxf ， Rx ．
（1）讨论 )(xf 的奇偶性；
（2）若 2a 时，求 )(xf 的最小值．
分析：去绝对值．
解：（1）当 0a 时，函数 )(1||)()( 2 xfxxxf
此时， )(xf 为偶函数．
当 0a 时， 1)( 2 aaf ， 1||2)( 2 aaaf ，
)()( afaf ， )()( afaf ．
此时 )(xf 既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）
2 1
2 3)( 2
2
xxx
xxxxf
由于 )(xf 在 ),2[ 上的最小值为 3)2( f ，在 )2,( 内的最小值为
4
3)2
1( f ．
故函数 )(xf 在 ),( 内的最小值为
4
3 ．
点评：注意分类讨论；分段函数求最值，先求每个区间上的函数最值，再确定最值中的最值．
例 2.函数 ( )f x 21
2 ax x a ( )a R 在区间[ 2,2] 的最大值记为 )(ag ，求 )(ag 的表达式．
分析：二次函数在给定区间上求最值，重点研究其在所给区间上的单调性情况．
解：∵直线 1x a
是抛物线 ( )f x 21
2 ax x a 的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：
（1）当 0a 时，函数 ( )y f x ， [ 2,2]x 的图象是开口向上的抛物线的一段，
由 1 0x a
知 ( )f x 在 [ 2,2]x 上单调递增，故 )(ag (2)f 2 a ；
（2）当 0a 时， ( )f x x ， [ 2,2]x ，有 )(ag =2；
[1,2]
（3）当 0a 时，，函数 ( )y f x ， [ 2,2]x 的图象是开口向下的抛物线的一段，
若 1x a
]2,0( 即
2
2a 时， )(ag ( 2) 2f ，
若 1x a
]2,2( 即 ]2
1,2
2( a 时， )(ag 1 1( ) 2f aa a
，
若 1x a
),2( 即 )0,2
1(a 时， )(ag (2)f 2 a ．
综上所述，有 )(ag =
)2
2(2
)2
1
2
2(,2
1
)2
1(2
a
aaa
aa
．
点评：解答本题应注意两点：一是对 0a 时不能遗漏；二是对 0a 时的分类讨论中应同时考
察抛物线的开口方向，对称轴的位置及 ( )y f x 在区间[ 2,2] 上的单调性．
【反馈演练】
1．函数 ,02 xcbxxy 是单调函数的充要条件是 0b ．
2．已知二次函数的图像顶点为 (1,16)A ，且图像在 x 轴上截得的线段长为 8，则此二次函数的
解析式为 2 2 15y x x ．
3. 设 0b ，二次函数 122 abxaxy 的图象为下列四图之一：
则 a 的值为 （ B ）
A．1 B．－1 C．
2
51 D．
2
51
4．若不等式 2 1 0x ax 对于一切 1(0, )2x 成立，则 a 的取值范围是 5[ , )2
．
5.若关于 x 的方程 2 4 0x mx 在[ 1,1] 有解，则实数 m 的取值范围是 ( , 5] [5, ) ．
6.已知函数 2( ) 2 2 3f x x ax 在[ 1,1] 有最小值，记作 ( )g a ．
（1）求 ( )g a 的表达式；
（2）求 ( )g a 的最大值．
解：（1）由 2( ) 2 2 3f x x ax 知对称轴方程为
2
ax ，
当 12
a 时，即 2a 时， ( ) ( 1) 2 5g a f a ；
当 1 12
a ，即 2 2a 时，
2
( ) ( ) 32 2
a ag a f ；
当 12
a ，即 2a 时， ( ) (1) 5 2g a f a ；
综上，
2
2 5,( 2)
( ) 3 ,( 2 2)2
5 2 ,( 2)
a a
ag a a
a a
．
（2）当 2a 时， ( ) 1g a ；当 2 2a 时， ( ) 3g a ；当 2a 时， ( ) 1g a ．故当 0a
时， ( )g a 的最大值为 3．
7. 分别根据下列条件,求实数 a 的值：
（1）函数 2( ) 2 1f x x ax a 在在[0,1] 上有最大值 2；
（2）函数 2( ) 2 1f x ax ax 在在[ 3,2] 上有最大值 4．
解：（1）当 0a 时， max( ) (0)f x f ，令1 2a ，则 1a ；
当 0 1a 时， max( ) ( )f x f a ，令 ( ) 2f a ， 1 5
2a （舍）；
当 1a 时， max( ) (1)f x f ，即 2a ．
综上，可得 1a 或 2a ．
（2）当 0a 时， max( ) (2)f x f ，即8 1 4a ，则 3
8a ；
当 0a 时， max( ) ( 1)f x f ，即1 4a ，则 3a ．
综上， 3
8a 或 3a ．
8. 已知函数 2( ) ,( )f x x a x R ．
（1）对任意 1 2,x x R ，比较 1 2
1[ ( ) ( )]2 f x f x 与 1 2( )2
x xf 的大小；
（2）若 [ 1,1]x 时，有 ( ) 1f x ，求实数 a 的取值范围．
解：（1）对任意 1x ， 2x R ， 21 2
1 2 1 2
1 1[ ( ) ( )] ( ) ( ) 02 2 4
x xf x f x f x x
故 1 2
1 2
1[ ( ) ( )] ( )2 2
x xf x f x f ．
（2）又 ( ) 1f x ，得 1 ( ) 1f x ，即 21 1x a ，
得
2
max
2
min
( 1) , [ 1,1]
( 1) , [ 1,1]
a x x
a x x
，解得 1 0a ．
第 7 课 指数式与对数式
【考点导读】
1.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算性质；
2.理解对数的概念，掌握对数的运算性质；
3.能运用指数，对数的运算性质进行化简，求值，证明，并注意公式成立的前提条件；
4.通过指数式与对数式的互化以及不同底的对数运算化为同底对数运算．
【基础练习】
1.写出下列各式的值： ( 0, 1)a a
2(3 ) 3 ；
2
38 ____4____；
3
481
1
27
；
log 1a ___0_____； loga a ____1____； 1
2
log 4 __－4__．
2.化简下列各式： ( 0, 0)a b
（1）
2 1 1 1
3 3 3 324 ( )3a b a b
6a ；
（2） 2 2 2 2( 2 ) ( )a a a a
2
2
1
1
a
a
．
3.求值：（1） 3 5
1
2
log (8 4 ) ___－38____；
（2） 3 3(lg 2) 3lg 2 lg5 (lg5) ____1____；
（3） 2 3 4 5 6 7log 3 log 4 log 5 log 6 log 7 log 8 _____3____．
【范例解析】
例 1. 化简求值：
（1）若 1 3a a ，求
1 1
2 2a a
及
4 4
2 2
4
8
a a
a a
的值；
（2）若 3log 4 1x ，求
3 32 2
2 2
x x
x x
的值．
分析：先化简再求值．
解：（1）由 1 3a a ，得
1 1
22 2( ) 1a a
，故
1 1
2 2 1a a
；
又 1 2( ) 9a a ， 2 2 7a a ； 4 4 47a a ，故
4 4
2 2
4 438
a a
a a
．
（2）由 3log 4 1x 得 4 3x ；则
3 32 2 74 1 42 2 3
x x
x x
x x
．
点评：解条件求值问题：（1）将已知条件适当变形后使用；（2）先化简再代入求值．
例 2.（1）求值：
11 lg9 lg 2402 12 361 lg 27 lg3 5
；
（2）已知 2log 3 m ， 3log 7 n ，求 42log 56 ．
分析：化为同底．
解：（1）原式= lg10 lg3 lg 240 136lg10 lg9 lg 5
1lg 8 1 0lg8
；
（ 2 ） 由 2log 3 m ， 得 3
1log 2 m
； 所 以
3 3 3
42
3 3 3
log 56 3log 2 log 7 3log 56 log 42 1 3log 2 log 7 1
mn
m mn
．
点评：在对数的求值过程中，应注意将对数化为同底的对数．
例 3. 已知3 5a b c ，且 1 1 2a b
，求 c 的值．
分析：将 a，b 都用 c 表示．
解：由3 5a b c ，得 1 log 3ca
， 1 log 5cb
；又 1 1 2a b
，则 log 3 log 5 2c c ，
得 2 15c ． 0c ， 15c ．
点评：三个方程三个未知数，消元法求解．
【反馈演练】
1．若 210 25x ，则10 x 1
5
．
2．设 lg321 a ，则 lg0.321 3a ．
3．已知函数 1( ) lg1
xf x x
，若 ( )f a b ，则 ( )f a －b．
4．设函数
0
,0,12
)( ,
2
1
xx
x
xf
x
若 1)( 0 xf ，则 x0 的取值范围是（－∞，－1）∪（1，+∞）．
5．设已知 f (x6) = log2x，那么 f (8)等于 1
2
．
6．若 618.03 a ， )1,[ kka ，则 k =__－1__．
7．已知函数
2
1 (0 )
( )
2 1 ( 1)
x
c
cx x c
f x
c x
＜ ＜
＜
，且
8
9)( 2 cf ．
（1）求实数 c 的值；
（2）解不等式 18
2)( ＞xf ．
解：（1）因为 0 1c ，所以 2c c ，
由 2 9( ) 8f c ，即 3 91 8c ， 1
2c ．
（2）由（1）得：
4
1 11 02 2( )
12 1 12
x
x x
f x
x
≤
由 2( ) 18f x 得，当 10 2x 时，解得 2 1
4 2x ．
当 1 12 x ≤ 时，解得 1 5
2 8x ≤ ，
所以 2( ) 18f x 的解集为 2 5
4 8x x
．
第 8 课 幂函数、指数函数及其性质
【考点导读】
1.了解幂函数的概念，结合函数 y x ， 2y x ， 3y x ， 1y x
，
1
2y x 的图像了解它们的
变化情况；
2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性；
3.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型．
【基础练习】
1.指数函数 ( ) ( 1) xf x a 是 R 上的单调减函数，则实数 a 的取值范围是 (1,2) ．
2.把函数 ( )f x 的图像分别沿 x 轴方向向左，沿 y 轴方向向下平移 2 个单位，得到 ( ) 2xf x 的图
像，则 ( )f x 22 2x ．
3.函数 220.3 x xy 的定义域为___R__；单调递增区间 1( , ]2
；值域
1
4(0,0.3 ] ．
4.已知函数 1( ) 4 1xf x a
是奇函数，则实数 a 的取值 1
2
．
5.要使 11( )2
xy m 的图像不经过第一象限，则实数 m 的取值范围 2m ．
6.已知函数 2 1( ) 1xf x a ( 0, 1)a a 过定点，则此定点坐标为 1( ,0)2
．
【范例解析】
例 1.比较各组值的大小：
（1） 0.20.4 ， 0.20.2 ， 0.22 ， 1.62 ；
（2） ba ， ba ， aa ，其中 0 1a b ；
（3）
1
31( )2
，
1
21( )3
．
分析：同指不同底利用幂函数的单调性，同底不同指利用指数函数的单调性．
解：（1） 0.2 0.2 00.2 0.4 0.4 1 ，而 0.2 1.61 2 2 ，
0.2 0.2 0.2 1.60.2 0.4 2 2 ．
（2） 0 1a 且 b a b ， b a ba a a ．
（3）
1 1 1
3 2 21 1 1( ) ( ) ( )2 2 3
．
点评：比较同指不同底可利用幂函数的单调性，同底不同指可利用指数函数的单调性；另注意
通过 0，1 等数进行间接分类．
例 2.已知定义域为 R 的函数 1
2( ) 2
x
x
bf x a
是奇函数,求 ,a b 的值；
解：因为 ( )f x 是奇函数，所以 (0)f =0，即 1
1 1 20 1 ( )2 2
x
x
b b f xa a
又由 f（1）= －f（－1）知
111 2 2 2.4 1 aa a
例 3.已知函数 2( ) ( 1)1
x xf x a ax
，求证：
（1）函数 ( )f x 在 ( 1, ) 上是增函数；
（2）方程 ( ) 0f x 没有负根．
分析：注意反证法的运用．
证明：（1）设 1 21 x x ， 1 2 2 1
1 2
1 2
3( )( ) ( ) ( 1)( 1)
x x x xf x f x a a x x
，
1a ， 2 1 0x xa a ，又 1 21 x x ，所以 2 1 0x x ， 1 1 0x ， 2 1 0x ，则
1 2( ) ( ) 0f x f x
故函数 ( )f x 在 ( 1, ) 上是增函数．
（ 2 ） 设 存 在 0 0x 0( 1)x ， 满 足 0( ) 0f x ， 则 0 0
0
2
1
x xa x
． 又 00 1xa ，
0
0
20 11
x
x
即 0
1 22 x ，与假设 0 0x 矛盾，故方程 ( ) 0f x 没有负根．
点评：本题主要考察指数函数的单调性，函数和方程的内在联系．
【反馈演练】
1．函数 )10()( aaaxf x 且 对于任意的实数 yx, 都有（ C ）
A． )()()( yfxfxyf B． )()()( yfxfxyf
C． )()()( yfxfyxf D． )()()( yfxfyxf
2．设
7
13 x ，则（ A ）
A．－20，即 )(xf 在（0，1）内单调递减，
由于 )(xf 是奇函数，所以 )(xf 在（－1，0）内单调递减.
点评：本题重点考察复合函数单调性的判断及证明，运用函数性质解决问题的能力．
【反馈演练】
1．给出下列四个数：① 2(ln 2) ；② ln(ln 2) ；③ ln 2 ；④ ln 2 .其中值最大的序号是___④___.
2．设函数 ( ) log ( )( 0, 1)af x x b a a 的图像过点 (2,1) ， (8,2) ，则 a b 等于___5_ _．
3．函数 log ( 3) 1( 0, 1)ay x a a 的图象恒过定点 A ，则定点 A 的坐标是 ( 2, 1) ．
4．函数 ]1,0[)1(log)( 在 xaxf a
x 上的最大值和最小值之和为 a，则 a 的值为 1
2
．
5．函数
1,34
1,44
2 xxx
xxxf 的图象和函数 xxg 2log 的图象的交点个数有___3___个.
6．下列四个函数：① lgy x x ； ② lgy x x ；③ lgy x x ；
④ lgy x x .其中，函数图像只能是如图所示的序号为___②___.
7．求函数 2 2( ) log 2 log 4
xf x x , 1[ ,4]2x 的最大值和最小值．
解： 2 2 2 2( ) log 2 log (log 1)(log 2)4
xf x x x x 2
2 2log log 2x x
令 2logt x ， 1[ ,4]2x ，则 [ 1,2]t ，
即求函数 2 2y t t 在[ 1,2] 上的最大值和最小值．
故函数 ( )f x 的最大值为 0，最小值为 9
4
．
8．已知函数 ( ) loga
x bf x x b
( 0, 1, 0)a a b ．
（1）求 ( )f x 的定义域；（2）判断 ( )f x 的奇偶性；（3）讨论 ( )f x 的单调性，并证明．
解：（1）解：由 0x b
x b
，故的定义域为 ( ) ( , )b b ．
（2） ( ) log ( ) ( )a
x bf x f xx b
，故 ( )f x 为奇函数．
（3）证明：设 1 2b x x ，则 1 2
1 2
2 1
( )( )( ) ( ) log ( )( )a
x b x bf x f x x b x b
，
1 2 2 1
2 1 2 1
( )( ) 2 ( )1 0( )( ) ( )( )
x b x b b x x
x b x b x b x b
．
当 1a 时， 1 2( ) ( ) 0f x f x ，故 )(xf 在 ( , )b 上为减函数；同理 )(xf 在 ( , )b 上也
为减函数；
当 0 1a 时， 1 2( ) ( ) 0f x f x ，故 )(xf 在 ( , )b ， ( , )b 上为增函数．
第 10 课 函数与方程
【考点导读】
1.能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数
零点与方程根的联系．
2.能借助计算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的实质．
3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法．
【基础练习】
1.函数 2( ) 4 4f x x x 在区间[ 4, 1] 有_____1 ___个零点．
2.已知函数 ( )f x 的图像是连续的，且 x 与 ( )f x 有如下的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
( )f x －2.3 3.4 0 －1.3 －3.4 3.4
则 ( )f x 在区间[1,6] 上的零点至少有___3__个．
第 6 题
【范例解析】
例 1. ( )f x 是定义在区间[－c，c]上的奇函数，其图象如图所示：令 ( ) ( )g x af x b ，
则下列关于函数 ( )g x 的结论：
①若 a<0，则函数 ( )g x 的图象关于原点对称；
②若 a=－1，－2b>c， 且 f（1）=0，证明 f（x）的图象与 x 轴有
2 个交点.
证明： 2(1) 0 , 0 0, 4 0,f a b c a b c a c b ac 且 且
( )f x 的图象与 x 轴有两个交点.
第 11 课 函数模型及其应用
【考点导读】
1.能根据实际问题的情境建立函数模型，结合对函数性质的研究，给出问题的解答．
2.理解数据拟合是用来对事物的发展规律进行估计的一种方法，会根据条件借助计算工具解决一
些简单的实际问题．
3.培养学生数学地分析问题，探索问题，解决问题的能力．
【基础练习】
1 今有一组实验数据如下：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
v 1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，
① 2logv t ② 1
2
logv t ③
2 1
2
tv ④ 2 2v t
其中最接近的一个的序号是______③_______．
2.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆，出厂价为 1.2 万元/辆，年销
售量为 1000 辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入
成本增加的比例为 x(0 < x < 1)，则出厂价相应的提高比例为 0.75x，同时预计年销售量增加的比
例为 0.6x.已知年利润 = (出厂价－投入成本)×年销售量.
(Ⅰ)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式；
(Ⅱ)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例 x 应在什么范围内？
解：（Ⅰ）由题意得 y = [ 1.2×(1+0.75x)－1×(1 + x) ] ×1000×( 1+0.6x )（0 < x < 1）
整理得 y = －60x2 + 20x + 200（0 < x < 1）.
（Ⅱ）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当
.10
,01000)12.1(
x
y
即
.10
,02060 2
x
xx 解不等式得
3
10 x .
答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例 x 应满足 0 < x < 0.33.
【范例解析】
例. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的 300 天内，西红柿市场售价
与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物
线段表示．
(Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式 p=f(t)；写出图二表示的种植成本与时间的函
数关系式 Q=g(t)；
(Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天)
解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为
.3002003002
,2000300
tt
tttf ，
，
由图二可得种植成本与时间的函数关系为
g(t)=
200
1 (t－150)2+100，0≤t≤300．
(Ⅱ)设 t 时刻的纯收益为 h(t)，则由题意得
h(t)=f(t)－g(t)，
即
.3002002
1025
2
7
200
1
,20002
175
2
1
200
1
2
2
ttt
ttt
th
，
，
当 0≤t≤200 时，配方整理得
h(t)=－
200
1 (t－50)2+100，
所以，当 t=50 时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值 100；
当 20087.5 可知，h(t)在区间[0，300]上可以取得最大值 100，此时 t=50，即从二月一
日开始的第 50 天时，上市的西红柿纯收益最大
【反馈演练】
1．把长为 12cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，则这两个正三角形面积之和的最
小值是______ 4 3 _____ 2cm ．
2．某地高山上温度从山脚起每升高 100m 降低 0.7℃，已知山顶的温度是 14.1℃，山脚的温度是
26℃，则此山的高度为_____17_____m．
3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为 L1=5.06x－0.15 x 2 和 L2=2
x，其中 x 为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售 15 辆车，则能获得的最大利润为
____45.6___万元．
4．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为 x，y(单位：m)的矩形.上部是
等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积 8cm2. 问 x、y 分别为多少时用料最省?
解：由题意得 xy+
4
1 x2=8，∴y=
x
x
48
2
=
4
8 x
x
(0 R， ，≤ ≤ 的图象与 y 轴相交于点 (0 3)， ，
且该函数的最小正周期为 ．
（1）求 和 的值；
（2）已知点 π 02A
， ，点 P 是该函数图象上一点，点 0 0( )Q x y， 是 PA 的中点，
当 0
3
2y ， 0
π π2x
， 时，求 0x 的值．
解：（1）将 0x ， 3y 代入函数 2cos( )y x 得 3cos 2
，
因为 0 2
≤ ≤ ，所以
6
．
又因为该函数的最小正周期为 ，所以 2 ，
因此 2cos 2 6y x
．
（2）因为点 02A
， ， 0 0( )Q x y， 是 PA 的中点， 0
3
2y ，
所以点 P 的坐标为 02 32x
， ．
又因为点 P 在 2cos 2 6y x
的图象上，所以 0
5 3cos 4 6 2x
．
因为 02 x ≤ ≤ ，所以 0
7 5 1946 6 6x ≤ ≤ ，
从而得 0
5 114 6 6x 或 0
5 134 6 6x ．
即 0
2
3x 或 0
3
4x ．
第 6 课 三角函数的图像和性质（二）
【考点导读】
1. 理 解 三 角 函 数 siny x ， cosy x ， tany x 的 性 质 ， 进 一 步 学 会 研 究 形 如 函 数
sin( )y A x 的性质；
第 6 题
y
x
3
O
P
A
第 7 题
2.在解题中体现化归的数学思想方法，利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数来研究．
【基础练习】
1.写出下列函数的定义域：
（1） sin 3
xy 的定义域是______________________________；
（2） sin 2
cos
xy x
的定义域是____________________．
2．函数 f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期是____________．
3．函数 2 2sin sin4 4f x x x （ ） （ ） （ ）的最小正周期是_______．
4. 函数 y=sin(2x+
3
)的图象关于点_______________对称．
5. 已知函数 tany x 在（－
2
，
2
）内是减函数，则 的取值范围是______________．
【范例解析】
例 1.求下列函数的定义域：
（1） sin 2sin 1tan
xy xx
；（2） 1
2
2 log tany x x ．
解：（1）
,2
tan 0,
2sin 1 0.
x k
x
x
即
,2
,
72 2 .6 6
x k
x k
k x k
，
故函数的定义域为 7{ 2 26 6x k x k 且 ,x k , }2x k k Z
（2）
1
2
2 log 0,
tan 0.
x
x
即
0 4,
.2
x
k x k
故函数的定义域为 (0, ) [ ,4]2
．
点评：由几个函数的和构成的函数，其定义域是每一个函数定义域的交集；第（2）问可用数轴
取交集．
例 2．求下列函数的单调减区间：
（1） sin( 2 )3y x ； （2） 2cos
sin( )4 2
xy x
；
解 ：（ 1 ） 因 为 2 2 22 3 2k x k ， 故 原 函 数 的 单 调 减 区 间 为
5[ , ]( )12 12k k k Z ．
（2）由sin( ) 04 2
x ，得{ 2 , }2x x k k Z ，
又 2cos 4sin( )2 4sin( )4 2
x xy x
，
所以该函数递减区间为 32 22 2 4 2
xk k ，即 5(4 ,4 )( )2 2k k k Z ．
点评：利用复合函数求单调区间应注意定义域的限制．
例 3．求下列函数的最小正周期：
（1） 5tan(2 1)y x ；（2） sin sin3 2y x x
．
解：（1）由函数 5tan(2 1)y x 的最小正周期为 π
2
，得 5tan(2 1)y x 的周期
2T ．
（2） sin( )sin( ) (sin cos cos sin )cos3 2 3 3y x x x x x
21 3 1 3 1 cos2sin cos cos sin 22 2 4 2 2
xx x x x
3 1 sin(2 )4 2 3x T ．
点评：求三角函数的周期一般有两种：（1）化为 sin( )A x 的形式特征，利用公式求解；（2）
{ 6 6 3 , }x k x k k Z
{ , }2x x k k Z
（
3
，0）
1 0
利用函数图像特征求解．
【反馈演练】
1．函数 xxy 24 cossin 的最小正周期为_____________．
2 ． 设 函 数 ( ) sin ( )3f x x x R ， 则 ( )f x 在 [0,2 ] 上 的 单 调 递 减 区 间 为
___________________．
3．函数 ( ) sin 3 cos ( [ ,0])f x x x x 的单调递增区间是________________．
4．设函数 ( ) sin3 | sin3 |f x x x ，则 ( )f x 的最小正周期为_______________．
5．函数 2 2( ) cos 2cos 2
xf x x 在[0, ] 上的单调递增区间是_______________．
6．已知函数
π1 2 cos 2 4( ) πsin 2
x
f x
x
．
（Ⅰ）求 ( )f x 的定义域；
（Ⅱ）若角 在第一象限且 3cos 5
，求 ( )f ．
解：（Ⅰ） 由 πsin 02x
得 π π2x k ，即 ππ 2x k ( )k Z ．
故 ( )f x 的定义域为 π| π 2x x k k R Z， ．
（Ⅱ）由已知条件得
2
2 3 4sin 1 cos 1 5 5
．
从而
π1 2 cos 2 4( ) πsin 2
f
π π1 2 cos2 cos sin 2 sin4 4
cos
21 cos2 sin 2 2cos 2sin cos
cos cos
142(cos sin ) 5
．
7． 设函数 )(),0( )2sin()( xfyxxf 图像的一条对称轴是直线
8
x ．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求函数 )(xfy 的单调增区间；
（Ⅲ）画出函数 )(xfy 在区间 ],0[ 上的图像
解：（Ⅰ） )(8 xfyx 是函数 的图像的对称轴， ,1)82sin(
, .4 2k k Z .4
3,0
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ).4
32sin(,4
3 xy因此
由题意得 .,224
3222 Zkkxk
所以函数 .],8
5,8[)4
32sin( Zkkkxy 的单调增区间为
（Ⅲ）由 知)4
32sin( xy
x 0 8
8
3
8
5
8
7
y
2
2 －1 0 1 0
2
2
2
[ ,0]6
3
2
[ , ]3
2[ , ]6 3
， 7 5[ , ]6 3
故函数 上图像是在区间 ],0[)( xfy
-1
-
3
2
3
2
1
1
2
-
1
2
7
8
3
4
5
8
2
3
8
4
8
o
y
x
第 7 课 三角函数的值域与最值
【考点导读】
1.掌握三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题；
2.求三角函数值域与最值的常用方法：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性
或单调性求解；（2）化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法或图像法求解；
（3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解；（4）换元法．
【基础练习】
1.函数 xxy cos3sin 在区间[0, ]2
上的最小值为 1 ．
2.函数 )(2cos2
1cos)( Rxxxxf 的最大值等于 ．
3.函数 tan( )2y x ( 4 4x 且 0)x 的值域是___________________．
4.当
20 x 时，函数
x
xxxf 2sin
sin82cos1)(
2 的最小值为 4 ．
【范例解析】
例 1.（1）已知 1sin sin 3x y ，求 2sin cosy x 的最大值与最小值．
（2）求函数 sin cos sin cosy x x x x 的最大值．
分析：可化为二次函数求最值问题．
解：（1）由已知得： 1sin sin3y x ， sin [ 1,1]y ，则 2sin [ ,1]3x ．
2 21 11sin cos (sin )2 12y x x ， 当 1sin 2x 时 ， 2sin cosy x 有 最 小 值 11
12
； 当
2sin 3x 时， 2sin cosy x 有最小值 4
9
．
（2）设sin cosx x t ( 2 2)t ，则
2 1sin cos 2
tx x ，则 21 1
2 2y t t ，当 2t
时， y 有最大值为 1 22
．
点评：第（1）小题利用消元法，第（2）小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题；
但要注意变量的取值范围．
例 2.求函数 2 cos (0 )sin
xy xx
的最小值．
分析：利用函数的有界性求解．
解 法 一 ： 原 式 可 化 为 sin cos 2(0 )y x x x ， 得 21 sin( ) 2y x ， 即
2
2sin( )
1
x
y
，
故
2
2 1
1 y
，解得 3y 或 3y （舍），所以 y 的最小值为 3 ．
解法二： 2 cos (0 )sin
xy xx
表示的是点 (0,2)A 与 ( sin ,cos )B x x 连线的斜率，其中点
B 在左半圆 2 2 1( 0)a b a 上，由图像知，当 AB 与半圆相切时， y 最小，此时 3ABk ，
所以 y 的最小值为 3 ．
4
3
( , 1] [1, )
点评：解法一利用三角函数的有界性求解；解法二从结构出发利用斜率公式，结合图像求解．
例 3.已知函数 2 π( ) 2sin 3 cos24f x x x
， π π
4 2x
， ．
（I）求 ( )f x 的最大值和最小值；
（II）若不等式 ( ) 2f x m 在 π π
4 2x
， 上恒成立，求实数 m 的取值范围．
分析：观察角，单角二次型，降次整理为 sin cosa x b x 形式．
解：（Ⅰ） π( ) 1 cos 2 3 cos2 1 sin 2 3 cos22f x x x x x
∵
π1 2sin 2 3x
．
又 π π
4 2x
，∵ ， π π 2π26 3 3x ∴ ≤ ≤ ，即 π2 1 2sin 2 33x
≤ ≤ ，
max min( ) 3 ( ) 2f x f x ，∴ ．
（Ⅱ） ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2f x m f x m f x ∵ ， π π
4 2x
， ，
max( ) 2m f x ∴ 且 min( ) 2m f x ，
1 4m ∴ ，即 m 的取值范围是 (1 4)， ．
点评：第（Ⅱ）问属于恒成立问题，可以先去绝对值，利用参数分离转化为求最值问题．本小
题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的
能力．
【反馈演练】
1．函数 ))(6cos()3sin(2 Rxxxy 的最小值等于____－1_______．
2．当 0 4x 时，函数
2
2
cos( ) cos sin sin
xf x x x x
的最小值是______4 _______．
3．函数 sin
cos 2
xy x
的最大值为_______，最小值为________.
4．函数 cos tany x x 的值域为 .
5．已知函数 ( ) 2sin ( 0)f x x 在区间 ,3 4
上的最小值是 2 ，则 的最小值等于
_________．
6．已知函数 ( ) 2cos (sin cos ) 1f x x x x x R， ．
（Ⅰ）求函数 ( )f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数 ( )f x 在区间 π 3π
8 4
， 上的最小值和最大值．
解：（Ⅰ） π( ) 2cos (sin cos ) 1 sin 2 cos2 2 sin 2 4f x x x x x x x
．
因此，函数 ( )f x 的最小正周期为 π ．
（Ⅱ）因为 π( ) 2 sin 2 4f x x
在区间 π 3π
8 8
， 上为增函数，在区间 3π 3π
8 4
， 上为减函数，
又 π 08f
， 3π 28f
， 3π 3π π π2 sin 2 cos 14 2 4 4f
，
故函数 ( )f x 在区间 π 3π
8 4
， 上的最大值为 2 ，最小值为 1 ．
3
2
3
3
3
3
( 1,1)
第８课 解三角形
【考点导读】
1.掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形；
2.解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角
为边，实施边和角互化．
【基础练习】
1．在△ABC 中，已知 BC＝12，A＝60°，B＝45°，则 AC＝ .
2．在 ABC 中，若sin :sin :sin 5:7 :8A B C ，则 B 的大小是______________.
3．在 ABC△ 中，若 1tan 3A ， 150C ， 1BC ，则 AB ．
【范例解析】
例 1.在△ABC 中，a，b，c 分别为∠A，∠B，∠C 的对边，已知 20a c ， 2C A ， 3cos 4A ．
（1）求 c
a
的值；（2）求b 的值．
分析：利用 2C A 转化为边的关系．
解：（1）由 sin sin 2 32cossin sin 2
c C A Aa A A
．
（2）由
20,
3.2
a c
c
a
得 8,
12.
a
c
．由余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A
得： 2 18 80 0b b ，解得： 8b 或 10b ，
若 8b ，则 A B ，得
4A ，即 2 3cos 2 4A 矛盾，故 10b ．
点评：在解三角形时，应注意多解的情况，往往要分类讨论．
例 2.在三角形 ABC 中，已知 2 2 2 2( )sin( ) ( )sin( )a b A B a b A B ，试判断该三角形的形
状．
解法一：(边化角)由已知得： 2 2[sin( ) sin( )] [ sin( ) sin( )]a A B A B b A B A B ，
化简得 2 22 cos sin 2 cos sina A B b B A ，
由 正 弦 定 理 得 ： 2 2sin cos sin sin cos sinA A B B B A ， 即
sin sin (sin cos sin cos ) 0A B A A B B ，
又 , (0, )A B ， sin sin 0A B ， sin 2 sin 2A B ．
又 2 ,2 (0,2 )A B ， 2 2A B 或 2 2A B ，即该三角形为等腰三角形或直角三角形．
解法二：(角化边)同解法一得： 2 22 cos sin 2 cos sina A B b B A ，
由正余弦定理得：
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
b c a a c ba b b abc ac
，
整理得： 2 2 2 2 2( )( ) 0a b c a b ，即 a b 或 2 2 2c a b ，
即该三角形为等腰三角形或直角三角形．
点评：判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化，从而利用角或边判定三角形形
状．
例 3.如图，D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点，AB=AD，记∠CAD= ，∠ABC= .
（1）证明：sin cos2 0 ；
（2）若 AC= 3 DC，求 ．
分析：识别图中角之间的关系，从而建立等量关系.
（1）证明： C ，
2C B ， 2 2
，
sin cos2 0
（2）解：AC= 3 DC， 2sin 3sin 3 cos2 2 3sin 3 .
(0, )2
， 3sin 2
，
3
.
点评：本题重点是从图中寻找到角之间的等量关系，从而建立三角函数关系，进而求出 的值.
B D C
α
β
A
例 4
4 6
3
10
2
【反馈演练】
1．在 ABC 中， ,75,45,3 00 CAAB 则 BC =_____________．
2． ABC 的内角∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c，若 a，b，c 成等比数列，且 2c a ，
则 cos B _____．
3．在 ABC 中，若 2a b c ， 2sin sin sinA B C ，则 ABC 的形状是____等边___三角形．
4．若 ABC 的内角 A 满足 2sin 2 3A ，则sin cosA A = ．
5．在 ABC 中，已知 2AC ， 3BC ， 4cos 5A ．
（Ⅰ）求 sin B 的值；
（Ⅱ）求 sin 2 6B
的值．
解：（Ⅰ）在 ABC 中，
2
2 4 3sin 1 cos 1 5 5A A
，由正弦定理，
sin sin
BC AC
A B
．所以 2 3 2sin sin 3 5 5
ACB ABC
．
（Ⅱ）因为 4cos 5A ，所以角 A 为钝角，从而角 B 为锐角，于是
2
2 2 21cos 1 sin 1 5 5B B
，
2 221 17cos2 2cos 1 2 ( ) 15 25B B ，
2 21 4 21sin 2 2sin cos 2 5 5 25B B B ．
sin 2 sin 2 cos cos2 sin6 6 6B B B
4 21 3 17 1
25 2 25 2
12 7 17
50
．
6．在 ABC 中，已知内角 A
，边 2 3BC ．设内角 B x ，周长为 y ．
（1）求函数 ( )y f x 的解析式和定义域；（2）求 y 的最大值．
解：（1） ABC 的内角和 A B C ，由 0 0A B C
， ， 得 20 B
．
应用正弦定理，知 2 3sin sin 4sinsin sin
BCAC B x xA
，
2sin 4sinsin
BCAB C xA
． 因为 y AB BC AC ，
所以 2 24sin 4sin 2 3 0 3y x x x
，
（2）因为 14 sin cos sin 2 32y x x x
54 3sin 2 3x x
，
所以，当 x
，即 x
时， y 取得最大值 6 3 ．
7．在 ABC 中， 1tan 4A ， 3tan 5B ．
（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若 ABC 最大边的边长为 17 ，求最小边的边长．
解：（Ⅰ） π ( )C A B ，
1 3
4 5tan tan( ) 11 31 4 5
C A B
．
又 0 πC ， 3 π4C ．
（Ⅱ） 3
4C ， AB 边最大，即 17AB ．
33 3
4
15
3
北
1B
2B
1A
2A120
105
乙
甲
例 1（1）
又 tan tan 0A B A B ， ， ， ，角 A 最小， BC 边为最小边．
由
2 2
sin 1tan cos 4
sin cos 1
AA A
A A
，
，
且 π0 2A
， ，
得 17sin 17A ．由
sin sin
AB BC
C A
得： sin 2sin
ABC AB C
．
所以，最小边 2BC ．
第 9 课 解三角形的应用
【考点导读】
1.运用正余弦定理等知识与方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
2.综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题，深化对三角公式和基础知识的理解，进一步
提高三角变换的能力．
【基础练习】
1．在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30°，60°，则塔高为_________ m ．
2．某人朝正东方向走 x km 后，向右转 150°，然后朝新方向走 3km，结果他离出发点恰好 3 km，
那么 x 的值为_______________ km．
3．一船以每小时 15km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60 ，行驶 4h 后，
船到达 C 处，看到这个灯塔在北偏东15 ，这时船与灯塔的距离为 km．
4．如图，我炮兵阵地位于 A 处，两观察所分别设于 B，D，已知 ABD 为边长等于 a 的正三角
形，当目标出现于 C 时，测得 45BDC ， 75CBD ，求炮击目标的距离 AC
解：在 BCD 中，由正弦定理得：
sin 60 sin 45
a BC
∴ 6
3BC a
在 ABC 中，由余弦定理得： 2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC ABC
∴ 5 2 3
3AC a
答：线段 AC 的长为 5 2 3
3 a ．
【范例解析】
例 .如图，甲船以每小时30 2 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲
船位于 1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105 方向的 1B 处，此时两船相距 20 海里，当
甲船航行 20 分钟到达 2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120 方向的 2B 处，此时两
船相距10 2 海里，问乙船每小时航行多少海里？
分析：读懂题意，正确构造三角形，结合正弦定理或余弦定理求解．
解法一：如图(2)，连结 1 2A B ，由已知 2 2 10 2A B ，
1 2
2030 2 10 260A A ， 1 2 2 2A A A B ， 北
1B
2B
1A
2A120
105
A
B
C
D
第 4 题
2 3 或 3
3
400
30 2
又 1 2 2 180 120 60A A B ∠ ， 1 2 2A A B△ 是等边三角形，
1 2 1 2 10 2A B A A ，
由已知， 1 1 20A B ， 1 1 2 105 60 45B A B ∠ ，
在 1 2 1A B B△ 中，由余弦定理，
2 2 2
1 2 1 1 1 2 1 1 1 22 cos45B B A B A B A B A B 2 2 220 (10 2) 2 20 10 2 2
200 ．
1 2 10 2B B ．因此，乙船的速度的大小为10 2 60 30 220
（海里/小时）．
答：乙船每小时航行30 2 海里．
解法二：如图（3），连结 2 1A B ，
由已知 1 1 20A B ， 1 2
2030 2 10 260A A ， 1 1 2 105B A A ∠ ，
cos105 cos(45 60 ) cos45 cos60 sin 45 sin 60 2(1 3)
4
，
sin105 sin(45 60 ) sin 45 cos60 cos45 sin 60 2(1 3)
4
．
在 2 1 1A A B△ 中，由余弦定理，
2 2 2
2 1 1 1 1 2 1 1 1 22 cos105A B A B A A A B A A
2 2 2(1 3)(10 2) 20 2 10 2 20 4
100(4 2 3) ．
2 1 10(1 3)A B ．
由正弦定理 1 1
1 2 1 1 1 2
2 1
20 2(1 3) 2sin sin 4 210(1 3)
A BA A B B A AA B
∠ ∠ ，
1 2 1 45A A B ∠ ，即 1 2 1 60 45 15B A B ∠ ， 2(1 3)cos15 sin105 4
．
在 1 2 2B A B△ 中，由已知 2 2 10 2A B ，由余弦定理，
2 2 2
1 2 2 1 2 2 2 1 2 22 cos15B B A B A B A B A B
2 2 2 2(1 3)10 (1 3) (10 2) 2 10(1 3) 10 2 4
200 ．
1 2 10 2B B ，乙船的速度的大小为10 2 60 30 220
（海里/小时）．
答：乙船每小时航行30 2 海里．
点评：解法二也是构造三角形的一种方法，但计算量大，通过比较二种方法，学生要善于利用
条件简化解题过程．
【反馈演练】
1．江岸边有一炮台高 30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为 45和30 ，而且两条
船与炮台底部连线成30 角，则两条船相距____________m．
2．有一长为 1km 的斜坡，它的倾斜角为 20，现要将倾斜角改为10 ，则坡底要伸长____1___km．
3．某船上的人开始看见灯塔在南偏东30 方向，后来船沿南偏东 60方向航行 45 海里后，看见
灯塔在正西方向，则此时船与灯塔的距离是__________海里．
4．把一根长为 30cm 的木条锯成两段，分别作钝角三角形 ABC 的两边 AB 和 BC ，且
120ABC ，则第三条边 AC 的最小值是____________cm．
5．设 )(tfy 是某港口水的深度 y（米）关于时间 t（时）的函数，其中 240 t .下表是该
港口某一天
从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
经长期观察，函数 )(tfy 的图象可以近似地看成函数 )sin( tAky 的图象.下面的
函数中,
最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 （ A ）
北
1B
2B
1A
2A120
105
乙 甲
例 1（3）
10 3
15 3
15 3
O
A
P
Q
B
a
b
第 4 题
A． ]24,0[,6sin312 tty B． ]24,0[),6sin(312 tty
C． ]24,0[,12sin312 tty D． ]24,0[),212sin(312 tty
第四章 平面向量与复数 第 1 课 向量的概念及基本运算
【考点导读】
1. 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.
2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义.
3. 了解平面向量基本定理及其意义.
【基础练习】
1.出下列命题：①若 a b ，则 a b ；②若 A、B、C、D 是不共线的四点，则 DCAB 是
四边形为平行四边形的充要条件；③若 , a b b c ，则 a c ；④ a b 的充要条件是 a b
且 //a b ；⑤若 //a b ， //b c ，则 //a c 。其中，正确命题材的序号是②③
2. 化简 AC
BD
CD
AB
得 0
3.在四边形 ABCD 中， AB =a+2b， BC =－4a－b， CD =－5a－3b，其中 a、b 不共线，则四边
形 ABCD 为梯形
4.如图，设点 P、Q 是线段 AB 的三等分点，
若 OA
＝a， OB
＝b，则 OP
＝ 2 1
3 3
a b ，
OQ
＝ 1 2
3 3
a b (用 a、b 表示)
【范例导析】
例 1 .已知任意四边形 ABCD 的边 AD 和 BC 的中点分别为 E、F，
求证： 2AB DC EF
.
分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明.
证明：如图，连接 EB 和 EC ，
由 EA AB EB 和 EF FB EB 可得， EA AB EF FB （1）
由 ED DC EC 和 EF FC EC 可得， ED DC EF FC （2）
（1）+（2）得， 2EA ED AB DC EF FB FC （3）
∵E、F 分别为 AD 和 BC 的中点，∴ 0EA ED ， 0FB FC ，
代入（3）式得， 2AB DC EF
点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形.
例 2.已知 ,OA OB
不共线，OP aOA bOB
,求证：A,P,B 三点共线的充要条件是 1a b
分析：证明三点共线可以通过向量共线来证明.
解：先证必要性：若 A,P,B 三点共线，则存在实数 ，使得 AP AB
,即 OP OA OB OA ,
∴ 1 ,OP OA OB ∵OP aOA bOB
,∴ 1 ,a b ，∴ 1.a b
再证充分性：若 1.a b 则 AP OP OA = 1a OA bOB b OB OA =bAB
,∴
AP
与 AB
共线，∴A,P,B 三点共线.
点拨:向量共线定理是向量知识中的一个基本定理,通常可以证明三点共线、直线平行等问题.
【反馈练习】
1．已知向量 a 和 b 反向，则下列等式成立的是（C）
A. |a|－|b|=|a－b| B. |a|－|b|=|a+b| C.|a|＋|b|=|a－b| D. |a|＋
|b|=|a+b|
2.设四边形 ABCD 中，有 1 ,2DC AB AD BC 则这个四边形是（C）
A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形
3.设 A、B、C、D、O 是平面上的任意五点，试化简：
① AB BC CD ， ② DB AC BD ， ③ OA OC OB CO 。
解析：①原式= ( )AB BC CD AC CD AD ；
②原式= ( ) 0DB BD AC AC AC ；
D
C
E F
A B
例 1
③原式= ( ) ( ) ( ) 0OB OA OC CO AB OC CO AB AB 。
4.设 x 为未知向量， a 、 b 为已知向量， x 满足方程 2 x (5 a +3 x 4 b )+
2
1 a 3 b =0，
则 x = 9
2 a b （用 a 、 b 表示）
5.在四面体 O-ABC 中， OA ,OB ,OC ,Da b c 为 BC 的中点，E 为 AD 的中点，则
OE = 1 1 1
2 4 4a b c （用 a，b，c 表示）
6 如图平行四边形 OADB 的对角线 OD,AB 相交于点 C，线段 BC 上有一点 M 满足 BC=3BM,线
段 CD 上有一点 N 满足 CD＝3CN,设 OA ,OB , , OM,ON,MNa b a b 试用 表示
解： 1 1 1 1 1BM= BC= BA, BM= BA= OA-OB =3 6 6 6 6 a b
1 5OM=OB+BM 6 6a b
. ODCDONCDCN 3
2
3
4,3
1
2 2 2ON= OD= OA+OB3 3 3 a b 1 1MN=ON-OM 2 6a b
第 2 课 向量的数量积
【考点导读】
1. 理解平面向量数量积的含义及几何意义.
2. 掌握平面向量数量积的性质及运算律.
3. 掌握平面向量数量积的坐标表达式.
4. 能用平面向量数量积处理有关垂直、角度、长度的问题.
【基础练习】
1.已知 ,a b 均为单位向量，它们的夹角为 060 ，那么 3 a b 13
2.在直角坐标系 xOy 中， ,i j 分别是与 x 轴， y 轴平行的单位向量，若直角三角形 ABC 中，
2
AB i j ， 3
AC i kj ，则 k 的可能值个数为 2 个
第 6 题
3. 若 1a , 2b ， a 与 b 的夹角为 060 ，若 (3 +5 ) a b ( )ma b ，则 m 的值为 23
8
4.若| | 1,| | 2, a b c a b ，且 c a ，则向量a 与b 的夹角为 120°
【范例导析】
例 1.已知两单位向量 a 与 b 的夹角为 0120 ，若 2 , 3 c a b d b a ，试求 c 与 d 的夹角的余
弦值。
分析:利用 2 2a a 及 cos
a b
a b
求解.
解：由题意， 1 a b ，且 a 与 b 的夹角为 0120 ，所以， 1cos120 2
a b a b ，
2 2 22 2 4 4 7 c c c a b a b a a b b 7 c ， 同 理 可 得
2 4 13 d b ac 而 c d 2 2 17(2 ) (3 ) 7 3 2 2
a b b a a b b a ，设 为 c 与
d 的夹角，则 17 17 91cos 1822 7 13
点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。
例 2.已知平面上三个向量 a 、 b 、 c 的模均为 1，它们相互之间的夹角均为 120°，
（1）求证： ( )a b ⊥ c ；（2）若| | 1 ka b c )( Rk ，求 k 的取值范围.
分 析 : 问 题 （ 1 ） 通 过 证 明 ( ) 0 a b c 证 明 ( ) a b c , 问 题 （ 2 ） 可 以 利 用
22| | ka b c ka b c
解：（1）∵ | | | | | | 1 a b c ，且 a 、 b 、 c 之间的夹角均为 120°，
∴ 0 0( ) | || | cos120 | || | cos120 0 a b c a c b c a c b c
∴ ( ) 0 a b c
（2）∵ | | 1 ka b c ，即 2| | 1 ka b c
也就是 2 2 2 2 2 2 2 1 k a b c ka b ka c b c
∵ 1
2
a b b c a c ，∴ 022 kk
所以 0k 或 2k ．
解:对于有关向量的长度、夹角的求解以及垂直关系的判断通常是运用平面向量的数量积解决.
例 3.如图，在直角△ABC 中，已知 BC a ，若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点，问 BCPQ与
的夹角 取
何值时 CQBP 的值最大？并求出这个最大值
分析:本题涉及向量较多,可通过向量的加减法则得
( ) ( )BP CQ AP AB AQ AC
,再结合直角三
角形和各线段长度特征法解决问题
解： , 0.AB AC AB AC
, , ,
( ) ( )
AP AQ BP AP AB CQ AQ AC
BP CQ AP AB AQ AC
2
2
2
2
2 2
( )
1
2
1
2
cos .
AP AQ AP AC AB AQ AB AC
a AP AC AB AP
a AP AB AC
a PQ BC
a PQ BC
a a
2cos 0, ( ) , . .2 PQ BC BP CQ a 故当 即 与 方向相同 时 最大其最大值为
点拨:运用向量的方法解决几何问题,充分体现了向量的工具性,对于大量几何问题,不仅可以用向
量语言加以叙述,而且完全可以借助向量的方法予以证明和求解,从而把抽象的问题转化为具体
的向量运算.
【反馈练习】
1.已知向量 a,b 满足 1 4, 2a = , b a b 且 ,则 a 与 b 的夹角为
3
例 3
D
C
B
A
2.如图，在四边形 ABCD 中，| | | | | | 4,AB BD DC
0,AB BD BD DC
4|||||||| DCBDBDAB ，则
ACDCAB )( 的值为 4
3.若向量 a,b 满足 = 1a = b , a,b 的夹角为 60°，则 a a + a b = 3
2
4.若向量 1 2, 2a = , b a b 且 - ,则 a b + 6
5.已知| a|=4,|b|=5,|a+b|= 21 ,求：① a·b ；②(2a－b) ·(a+3b)
解：（1）|a+b|2=（a+b）2=a2+2ab+b2=|a|2+2a·b+|b|2，∴
2 2 2
102
a b a ba b
（2）（2a－b）·（a+3b）=2a2+5a·b－3b2=2|a|2+5a·b－3|b|2=2×42+5×（－10）－3×52=－93.
6.已知 a 与 b 都是非零向量，且 a+3b 与 7a-5b 垂直，a－4b 与 7a－2b 垂直，求 a 与 b 的夹角.
解：∵且 a+3b 与 7a-5b 垂直，a－4b 与 7a－2b 垂直，
∴（a+3b）·（7a-5b）=0，（a－4b）·（7a－2b）=0 ∴7a2＋16 a·b－15 b2=0，7a2－30 a·b＋8 b2=0，
∴b2=2 a·b，|a|=|b| ∴ 1cos 2
a b
a b
∴ 60
第 3 课 向量的坐标运算
【考点导读】
1. 掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
2. 会用坐标表示平面向量的加减及数乘、数量积运算.
3.掌握平面向量平行的充要条件的坐标表示,并利用它解决向量平行的有关问题.
【基础练习】
1 若OA = )8,2( ，OB = )2,7( ，则
3
1 AB = ( 3, 2)
2 平面向量 ,a b 中，若 (4, 3) a ， b =1，且 5 a b ，则向量 b = 4 3( , )5 5
3.已知向量 ( ,12), (4,5), ( ,10)OA k OB OC k ，且 A、B、C 三点共线，则 k= 2
3
4.已知平面向量 (3,1)a ， ( , 3) b x ，且 a b ，则 x 1
【范例导析】
例 1.平面内给定三个向量 3,2 , 1,2 , 4,1 a b c ，回答下列问题：
（1）求满足 a mb nc 的实数 m,n；
（2）若 // 2 a kc b a ，求实数 k；
（3）若 d 满足 // d c a b ，且 5 d c ，求 d
分析:本题主要考察向量及向量模的坐标表示和向量共线的充要条件.
解：（1）由题意得 1,42,12,3 nm
所以
22
34
nm
nm ，得
9
8
9
5
n
m
（2） 2,52,2,43 abkkcka
13
16,025432 kkk
（3）设 ,d x y ，则 4,2,1,4 bayxcd
由题意得
514
01244
22 yx
yx
得
1
3
y
x 或
3
5
y
x ∴ 3, 1 5 3d 或 ，
点拨:根据向量的坐标运算法则及两个向量平等行的充要条件、模的计算公式，建立方程组求解。
例 2.已知△ABC 的顶点分别为 A(2，1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC 边上的高为 AD，求 AD 及
点 D 的坐标、
分析:注意向量坐标法的应用,及平行、垂直的充要条件.
解：设点 D 的坐标为(x,y)
∵AD 是边 BC 上的高，
∴AD⊥BC，∴ AD ⊥ BC
又∵C、B、D 三点共线，
∴ BC ∥ BD
又 AD =(x－2,y－1), BC =(－6,－3)
BD =(x－3,y－2)
∴
0)3(3)2(6
0)1(3)2(6
xy
yx
解方程组，得 x= 5
9 ,y= 5
7
∴点 D 的坐标为( 5
9 ，
5
7 )， AD 的坐标为(－
5
1 ，
5
2 )
点拨:在解题中要注意综合运用向量的各种运算解决问题.
例 3．已知向量 3 3cos ,sin , cos , sin ,2 2 2 2
x x x xa b 且
2,0 x
求（1） a b 及 a b ；（2）若 2 f x a b a b 的最小值是
2
3 ，求 的值。
分析:利用向量的坐标运算转化为函数的最值问题求解.
解：（1） 3 3cos cos sin sin cos22 2 2 2
x xa b x x x
，
2 23 3cos cos sin sin2 2 2 2
x xa b x x .cos22cos22 xx
0, , 2cos2
x a b x 。
（2） 12cos21cos4cos2cos42cos 222 xxxxxxf
1,0cos2,0
xx
（1） 当 1,0 时， 12,cos 2
min xfx 2
5,2
312 2
（2） 当 0 时，
2
31,0cos min xfx
（3） 当 1 时， 18
5
2
341,1cos min xfx
综上所述：
2
5 。
点拨:注意运用不同章节知识综合处理问题,对于求二次函数得分最值问题,注意分类讨论.
【反馈练习】
1．已知向量 ( 5,6)a ， (6,5)b ，则 a 与 b （A）
A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向
例 2
2.与向量 a= 7 1, ,2 2
b=
2
7,2
1 的夹解相等，且模为 1 的向量是 4 3 4 3, ,5 5 5 5
或
3.已知向量 (4,6), (3,5),OA OB 且 , // ,OC OA AC OB 则向量OC
等于
21
4,7
2
4.已知向量 5(1,2), ( 2, 4),| | 5, ( ) ,2a b c a b c a c 若 则 与 的夹角为 120°
5.若 (1,2), (2,3), ( 2,5)A B C ，试判断则△ABC 的形状____直角三角形_____
6.已知向量 (cos ,sin )a ，向量 ( 3, 1)b ，则 2a b 的最大值是 4
7.若 ,a b 是非零向量且满足 ( 2 )a b a ， ( 2 )b a b ，则 a 与 b 的夹角是
3
8.已知： a 、 b 、 c 是同一平面内的三个向量，其中 a =（1，2）
（1）若| c| 52 ，且 //c a ，求 c 的坐标；
（2）若| b |= ,2
5 且 2a b 与 2a b 垂直，求 a 与 b 的夹角 .
解：（1）设 ( )c x,y ，由 //c a 和 2 5c 可得：
20
021
22
yx
xy ∴
4
2
y
x 或
4
2
y
x
∴ (2,4)c ，或 ( 2, 4)c
（2） ( 2 ) (2 ),a b a b ( 2 ) (2 ) 0a b a b 即 2 22 3 2 0,a a b b
2 22 | | 3 2 | | 0a a b b
∴ 52 5 3 2 04a b ， 所以 5
2a b
∴ cos 1,| | | |
a b
a b
∵ ],0[
∴ .
9. 已 知 点 O 是
，，内的一点， 00 90BOC150AOB ABC OA ,OB ,OC ,a b c 设 且
2, 1, 3,a b c 试用 ,a b c和 表示 .
解：以 O 为原点，OC，OB 所在的直线为 x 轴和 y 轴建立如图 3 所示的坐标系.
由 OA=2， 0120AOx ，所以 ,31-A,120sin2,120cos2 00 ，即A ，
易求 3,0C1-0B ，， ，设
.
3
1-λ
3-λ
λ-3
λ31-
3,0λ1-0λ31-,λλOA
2
1
1
2
2121
，
，，，即OCOB
13 3a b c .
第 4 课 向量综合应用
【考点导读】
1. 能综合运用所学向量知识及有关数学思想方法解决向量知识内部综合问题和与函数、不等
式、三角函数、数列等知识的综合问题.
2. 能从实际问题中提炼概括数学模型,了解向量知识的实际应用.
【基础练习】
1.已知 a＝（5，4），b＝（3，2），则与 2a－3b 平行的单位向量为 5 2 5
5 5( , )e
第 9 题
2.已知 a ＝1， b ＝1，a 与 b 的夹角为 60°，x＝2a－b,y＝3b－a，则 x 与 y 的夹角
的余弦值为 21
14
【范例导析】
例 1.已知平面向量 a＝( 3 ，－1)，b＝(
2
1 ,
2
3 ).
(1) 若存在实数 k 和 t，便得 x＝a＋(t2－3)b, y＝－ka＋tb，且 x⊥y，试求函数的关系式 k＝f（t）；
(2) 根据(1)的结论，确定 k＝f(t)的单调区间。
分析:利用向量知识转化为函数问题求解.
解:（1）法一：由题意知 x＝(
2
3322 t ,
2
2323 2 t ), y＝(
2
1 t－ 3 k，
2
3 t＋k)，
又 x⊥y
故 x · y＝
2
3322 t ×（
2
1 t－ 3 k）＋
2
2323 2 t ×(
2
3 t＋k)＝0。
整理得：t3－3t－4k＝0，即 k＝
4
1 t3－
4
3 t.
法二：∵a＝( 3 ，－1)，b＝(
2
1 ,
2
3 ), ∴. a ＝2， b ＝1 且 a⊥b
∵x⊥y，∴x · y＝0，即－k a 2＋t(t2－3) b 2＝0，∴t3－3t－4k＝0,即 k＝
4
1 t3－
4
3 t
(2) 由(1)知：k＝f(t) ＝
4
1 t3－
4
3 t ∴k´＝f´(t) ＝
4
3 t2－
4
3 ,
令 k´＜0 得－1＜t＜1；令 k´＞0 得 t＜－1 或 t＞1.
故 k＝f(t)的单调递减区间是(－1, 1 )，单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）.
点拨:第 1 问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求
得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量的垂直的充要条件，其过
程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注
意）。第 2 问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用。
例 2.已知两个力（单位：牛） 1f
与 2f
的夹角为 60 ，其中 1f （2，0），某质点在这两个力的
共同作用下，由点 A（1，1）移动到点 B（3，3）（单位：米）
（1） 求 1f
；
（2） 求 1f
与 2f
的合力对质点所做的功
分析:理解向量及向量数量积的物理意义,将物理中的求力和功的问题转化为向量问题解决.
解： 1 2 2 2 0 （ ，）， ，令 （ ）f = f = f = t t1 2
1 32 =22 2
， （ 3+1）t t t 2 （ 3+1，3+3）f
( ) 22 3+3 3+3 221 2 2 W= （，）=（ ， ）（，）=12+4 3f AB f f
点拨:学习向量要了解向量的实际背景,并能用向量的知识解决方一些简单的实际问题.
【反馈练习】
1.平面直角坐标系 中，O 为坐标原点，已 知两点 A(3, 1)，B(－1, 3)， 若点 C 满足
OC OA OB ，其中 ， ∈R 且 + =1，则点 C 的轨迹方程为 x＋2y－5=0
2.已知 a,b 是非零向量且满足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，则 a 与 b 的夹角是
3
3. 已知直线 x+y=a 与圆 x2+y2=4 交于 A、B 两点,且| OA+OB |=| OA - OB |,其中 O 为原点,则实
数 a 的值为 2 或-2
4.已知向量 a=( cos ,sin )，向量 b=( 3, 1 )，则|2a－b|的最大值是 4
5．如图， AB (6,1),BC ( , ),CD ( 2, 3)
x y ，
（1）若 BC
∥ DA
，求 x 与 y 间的关系；
（2）在（1）的条件下，若有 AC BD ，求 x,y 的值及四边形 ABCD 的面积.
解（1） ),2,4( yxAD 又 BC ∥ ,DA
x(y 2) y(4 x) 0 x 2y 0 ①
（2）由 AC ⊥ BD ，得（x－2）(6＋x)＋(y－3)·(y＋1)＝0,②
即 x2＋y2＋4x－2y－15＝0 由①，②得 6
3
x
y
或 2
1
x
y
16S
第 5 课 复数的概念和运算
【考点导读】
1.了解数系的扩充的基本思想,了解引入复数的必要性.
2.理解复数的有关概念,掌握复数的代数表示和几何意义.
【基础练习】
1.设 a 、 b 、 c 、 d R ，若 i
i
a b
c d
为实数，则 0bc ad
2.复数
iz
1
1 的共轭复数是 i2
1
2
1
3.在复平面内，复数
1
i
i
＋(1＋ 3 i)2 对应的点位于第二象限
4.若复数 z 满足方程 022 z ，则 3z i 22
【范例导析】
例 .m 取何实数时，复数 immm
mmz )152(3
6 2
2
（1）是实数？（2）是虚数？（3）
是纯虚数？
分析：本题是判断复数在何种情况下为实数、虚数、纯虚数．由于所给复数 z 已写成标准形式，
即 )R( babiaz 、 ，所以只需按题目要求，对实部和虚部分别进行处理，就极易解决此题．
解：（1）当
03
01522
m
mm 时，即
3
5 35
m
mmm 即时或
∴ 5m 时，z 是实数．
（2）当
03
01522
m
mm 时，即
3
35
m
mm 且
∴当 5m 且 3m 时，z 是虚数．
第 5 题
（3）当
0152
03
06
2
2
mm
m
mm
时 即
35
3
23
mm
m
mm
且
或
∴当 3m 或 2m 时，z 是纯虚数．
点拨：研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、
虚部是有意义的，这是一个前提条件，学生易忽略这一点．如本题易忽略分母不能为 0 的条件，
丢掉 03 m ，导致解答出错．
【反馈练习】
1.如果复数 2( )(1 )m i mi 是实数，则实数 m 1
2.已知复数 z 满足（ 3 ＋3i）z＝3i，则 z＝ 3 3
4 4 i＋
3.若复数 Z=
2
1 i ，则 Z 100 +Z 50 +1+i 的值为 0
4.设 x 、 y 为实数，且
ii
y
i
x
31
5
211
，则 x + y =4.
第五章 数列 第 1 课 数列的概念
【考点导读】
1． 了解数列（含等差数列、等比数列）的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公
式），了解数列是一种特殊的函数；
2． 理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系；
3． 能通过一些基本的转化解决数列的通项公式和前 n 项和的问题。
【基础练习】
1.已知数列 }{ na 满足 )(
13
3,0 *
11 Nn
a
aaa
n
n
n
，则 20a = 3 。
分析:由 a1=0, )(
13
3
1
Nn
a
aa
n
n
n 得 ,0,3,3 432 aaa 由此可知: 数列
}{ na 是周期变化的,且三个一循环,所以可得: .3220 aa
2．在数列{ }na 中，若 1 1a ， 1 2( 1)n na a n ，则该数列的通项 na 2n-1 。
3．设数列{ }na 的前 n 项和为 nS ， *1(3 1) ( )2
n
n
aS n N ，且 4 54a ，则 1a ____2__.
4．已知数列{ }na 的前 n 项和 (5 1)
2n
n nS ，则其通项 na 5 2n ．
【范例导析】
例 1．设数列{ }na 的通项公式是 2 8 5na n n ，则
（1）70 是这个数列中的项吗？如果是，是第几项？
（2）写出这个数列的前 5 项，并作出前 5 项的图象；
（3）这个数列所有项中有没有最小的项？如果有，是第几项？
分析：70 是否是数列的项，只要通过解方程 270 8 5n n 就可以知道；而作图时则要注意数
列与函数的区别，数列的图象是一系列孤立的点；判断有无最小项的问题可以用函数的观点来
解决，一样的是要注意定义域问题。
解：（1）由 270 8 5n n 得： 13n 或 5n
所以 70 是这个数列中的项，是第 13 项。
（2）这个数列的前 5 项是 2, 7, 10, 11, 10 ；（图象略）
（3）由函数 2( ) 8 5f x x x 的单调性： ( ,4) 是减区间， (4, ) 是增区间，
所以当 4n 时， na 最小，即 4a 最小。
点评：该题考察数列通项的定义，会判断数列项的归属，要注重函数与数列之间的联系，用函
数的观点解决数列的问题有时非常方便。
例 2．设数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，点 ( , )( )nSn n Nn
均在函数 y＝3x－2 的图像上,求数列{ }na
的通项公式。
分析：根据题目的条件利用 nS 与 na 的关系： na 1( 1 )
( 2 )n
S n
S n
当 时
当 时 ，（要特别注意讨论 n=1 的
情况）求出数列{ }na 的通项。
解：依题意得， 3 2,n nn
S 即 23 2n n nS 。
当 n≥2 时， 22(3 2 ) 3 1 2( 1) 6 51na n n n n nn nS S ;
当 n=1 时， 1 1 1a S 所以 *6 5( )na n n N 。
例 3．已知数列｛a n ｝满足 11 a , )(12 *
1 Nnaa nn
（Ⅰ）求数列{ }na 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{ }nb 满足 1 2 11 1 *4 4 ...4 ( 1) .( )n nb bb b
na n N ,证明：{ }nb 是等差数列;
分析：本题第 1 问采用构造等比数列来求通项问题，第 2 问依然是构造问题。
解：（I） *
1 2 1( ),n na a n N 1 1 2( 1),n na a
1na 是以 1 1 2a 为首项，2 为公比的等比数列。 1 2 .n
na
即 *2 1( ).n
na n N
（II） 1 2 11 14 4 ...4 ( 1) .n nb bb b
na
1 2( ... )4 2 .n nb b b n nb 1 22[( ... ) ] ,n nb b b n nb ①
1 2 1 12[( ... ) ( 1)] ( 1) .n n nb b b b n n b ②；
②－①，得 1 12( 1) ( 1) ,n n nb n b nb 即 1( 1) 2 0,n nn b nb ③
∴ 2 1( 1) 2 0.n nnb n b ④
③－④，得 2 12 0,n n nnb nb nb 即
2 12 0,n n nb b b *
2 1 1 ( ),n n n nb b b b n N nb 是等差数列。
点评：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能
力。
【反馈演练】
1．若数列 na 前 8 项的值各异，且 8n na a 对任意 n∈N*都成立，则下列数列中可取遍 na 前
8 项值的数列为 （2） 。
（1） 2 1ka （2） 3 1ka （3） 4 1ka （4） 6 1ka
2．设 Sn 是数列 na 的前 n 项和，且 Sn=n2，则 na 是 等差数列，但不是等比数列 。
3．设 f（n）=
nnnn 2
1
3
1
2
1
1
1
（n∈N），那么 f（n+1）－f（n）等于
22
1
12
1
nn
。
4．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量 Sn（万件）近似
地满足 Sn=
90
n （21n－n2－5）（n=1，2，……，12）.按此预测，在本年度内，需求量超过 1.5
万件的月份是 7 月、8 月 。
5．在数列{ }na 中， 1 2 3 41, 2 3, 4 5 6, 7 8 9 10,a a a a 则 10a 505 。
6．数列 na 中，已知
2 1( )3n
n na n N
，
（1）写出 10a ， 1na ， 2na ； （2） 279 3
是否是数列中的项？若是，是第几项？
解：（1）∵
2 1( )3n
n na n N
，∴ 10a
210 10 1 109
3 3
，
1na
2 21 1 1 3 1
3 3
n n n n ， 2na 22 2 4 21 1
3 3
n n n n ；
（2）令 279 3
2 1
3
n n ，解方程得 15, 16n n 或 ，
∵ n N ，∴ 15n ， 即 279 3
为该数列的第 15 项。
第 2 课 等差、等比数列
【考点导读】
1． 掌握等差、等比数列的通项公式、前 n 项和公式，能运用公式解决一些简单的问题；
2． 理解等差、等比数列的性质，了解等差、等比数列与函数之间的关系；
3． 注意函数与方程思想方法的运用。
【基础练习】
1．在等差数列{an}中，已知 a5＝10，a12＝31，首项 a1= -2 ，公差 d= 3 。
2．一个等比数列的第 3 项与第 4 项分别是 12 与 18，则它的第 1 项是16
3
，第 2 项是 8 。
3．设 na 是公差为正数的等差数列，若 1 2 3 15a a a ， 1 2 3 80a a a ，则 11 12 13a a a 105。
4．公差不为 0 的等差数列{an}中，a2，a3，a6 依次成等比数列，则公比等于 3 。
【范例导析】
例 1．（1）若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这
个数列有
13 项。
（2）设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为 48，则它的首项是 2 。
解：（1）答案：13
法 1：设这个数列有 n 项
∵
dnnnaS
dndaSSS
daS
n
nn
2
)1(
633
2
233
1
133
13
∴
3902
)1(
146)2(33
34)(3
1
1
1
dnnna
nda
da
∴n＝13
法 2：设这个数列有 n 项
∵ 1 2 3 1 234, 146n n na a a a a a
∴ 1 2 1 3 2 1( ) ( ) ( ) 3( ) 34 146 180n n n na a a a a a a a ∴ 1 60na a
又 1( ) 3902
nn a a ∴n＝13
（2）答案：2 因为前三项和为 12，∴a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝
3
3S ＝4
又 a1·a2·a3＝48， ∵a2＝4，∴a1·a3＝12，a1＋a3＝8，
把 a1，a3 作为方程的两根且 a1＜a3，
∴x2－8x＋12＝0，x1＝6，x2＝2，∴a1＝2，a3＝6，∴选 B.
点评：本题考查了等差数列的通项公式及前 n 项和公式的运用和学生分析问题、解决问题的能
力。
例 2．（1）已知数列 ))}1({log *
2 Nnan 为等差数列，且 .9,3 31 aa
（Ⅰ）求数列 }{ na 的通项公式；（Ⅱ）证明 .1111
12312
nn aaaaaa
分析：（1）借助 .9,3 31 aa 通过等差数列的定义求出数列 ))}1({log *
2 Nnan 的公差，再
求出数列 }{ na 的通项公式，（2）求和还是要先求出数列 }1{
1 nn aa
的通项公式，再利用通项公
式进行求和。
解：（1）设等差数列 )}1({log2 na 的公差为 d，
由 ,8log2log)2(log2:9,3 22231 daa 得 即 d=1。
所以 ,1)1(1)1(log 2 nnan 即 .12 n
na
（II）证明：因为 nnn
nn aa 2
1
22
11
1
1
，
所以 n
nn aaaaaa 2
1
2
1
2
1
2
1111
321
12312
L
.1
2
11
2
11
2
1
2
1
2
1
n
n
点评：该题通过求通项公式，最终通过通项公式解释复杂的不等问题，属于综合性的题目，解
题过程中注意观察规律。
例 3．已知数列 na 的首项 1 2 1a a （ a 是常数，且 1a ）， 242 2
1 nnaa nn
（ 2n ），数列 nb 的首项 1b a ， 2nab nn （ 2n ）。
（1）证明： nb 从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列；
（2）设 nS 为数列 nb 的前 n 项和，且 nS 是等比数列，求实数 a 的值。
分析：第（1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出。
解：（1）∵ 2nab nn ∴ 222
11 )1(2)1(4)1(2)1( nnnanab nnn
nn bna 222 2 (n≥2)
由 1 2 1a a 得 2 4a a ， 2 2 4 4 4b a a ，∵ 1a ，∴ 2 0b ，
即{ }nb 从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列。
（2）
1(4 4)(1 2 ) 3 4 (2 2)21 2
n
n
n
aS a a a
当 n≥2 时， 1 1
1
(2 2)2 3 4 3 42(2 2)2 3 4 ( 1)2 3 4
n
n
n n
n
S a a a
S a a a a
∵ }{ nS 是等比数列, ∴
1n
n
S
S (n≥2)是常数， ∴3a+4=0，即 4
3a 。
点评：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性
。
【反馈演练】
1．已知等差数列 na 中， 2 47, 15a a ，则前 10 项的和 10S ＝ 210 。
2．在等差数列 na 中，已知 1 2 32, 13,a a a 则 4 5 6a a a ＝ 42 。
3．已知等差数列共有 10 项，其中奇数项之和 15，偶数项之和为 30，则其公差是 3 。
4．如果 1, , , , 9a b c 成等比数列，则b 3 ， ac -9 。
5．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0.
(1)求公差 d 的取值范围；
(2)指出 S1、S2、…、S12 中哪一个值最大，并说明理由.
解：(1)依题意有：
02
121313
02
111212
,122
113
112
13
daS
daS
daa
解之得公差 d 的取值范围为－
7
24 ＜d＜－3.
(2)解法一：由 d＜0 可知 a1>a2>a3>…>a12>a13,因此，在 S1，S2，…，S12 中 Sk 为最大值的条件为：
ak≥0 且 ak+1＜0,即
0)2(
0)3(
3
3
dka
dka
∵a3=12, ∴
122
123
dkd
dkd ， ∵d＜0, ∴2－
d
12 ＜k≤3－
d
12
∵－
7
24 ＜d＜－3,∴
2
7 ＜－
d
12 ＜4,得 5.5＜k＜7.
因为 k 是正整数，所以 k=6,即在 S1，S2，…，S12 中，S6 最大.
解法二：由 d＜0 得 a1>a2>…>a12>a13，
因此若在 1≤k≤12 中有自然数 k,使得 ak≥0,且 ak+1＜0,则 Sk 是 S1，S2，…，S12 中的最大值。又
2a7=a1+a13=
13
2 S13＜0, ∴a7＜0, a7+a6=a1+a12=
6
1 S12>0, ∴a6≥－a7>0
故在 S1，S2，…，S12 中 S6 最大.
解法三：依题意得： )(2)212()1(2
2
1 nnddndnnnaSn
222 )]245(2
1[,0,)245(8)]245(2
1[2 dndd
d
dnd 最小时，Sn 最大；
∵－
7
24 ＜d＜－3, ∴6＜
2
1 (5－
d
24 )＜6.5.
从而，在正整数中，当 n=6 时，［n－
2
1 (5－
d
24 )］2 最小，所以 S6 最大.
点评：该题的第(1)问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不高，入手容易.
第(2)问难度较高，为求{Sn}中的最大值 Sk（1≤k≤12）：思路之一是知道 Sk 为最大值的充要条件
是 ak≥0 且 ak+1＜0；而思路之二则是通过等差数列的性质等和性探寻数列的分布规律，找出“分
水岭”，从而得解；思路之三是可视 Sn 为 n 的二次函数，借助配方法可求解，它考查了等价转化
的数学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了高考试题注重能力考查的特点.
第 3 课 数列的求和
【考点导读】
对于一般数列求和是很困难的，在推导等差、等比数列的和时出现了一些方法可以迁移到一般
数列的求和上，掌握数列求和的常见方法有：
（1）公式法：⑴ 等差数列的求和公式，⑵ 等比数列的求和公式
（2）分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，
再运用公式法求和（如：通项中含 n(-1) 因式，周期数列等等）
（3）倒序相加法：如果一个数列｛a n ｝，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可
用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这一求和方法称为
倒序相加法。特征：an+a1=an-1+a2
（4）错项相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所组成，
此时求和可采用错位相减法。
（5）裂项相消法：把一个数列的各项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前 n
项之和变成首尾若干少数项之和。
【基础练习】
1．已知公差不为 0 的正项等差数列｛an｝中,Sn 为前 n 项之和,lga1、lga2、lga4 成等差数列，若
a5=10,
则 S5 = 30 。
2．已知数列｛an｝是等差数列,且 a2=8,a8=26,从｛an｝中依次取出第 3 项,第 9 项,第 27 项…,
第 3n 项,按原来的顺序构成一个新的数列｛bn｝, 则 bn=__3n+1+2___
3．若数列 na 满足： 1,2,1 11 naaa nn ，2，3….则 naaa 21 2 1n .
【范例导析】
例 1.已知等比数列 432 ,,,}{ aaaan 中 分别是某等差数列的第 5 项、第 3 项、第 2 项，且
1,641 qa 公比
（Ⅰ）求 na ；
（Ⅱ）设 nn ab 2log ，求数列 .|}{| nn Tnb 项和的前
解：（I）依题意 032),(3 2244342 aaaaaaa 即
032 1
3
1
3
1 qaqaqa 2
110132 2 qqqq 或
2
11 qq 1)2
1(64 n
na故
（II） nb nn
n 72log])2
1(64[log 7
2
1
2
77
77|| nn
nnbn
2
)13(
2
)76(,6||,7 1
nnnnTbn n
时当
2
)7)(6(212
)7)(71(,1||,7 78
nnnnTTbn n时当
)7(212
)7)(6(
)7(2
)13(
nnn
nnn
Tn
点评：本题考查了等比数列的基本性质和等差数列的求和，本题还考查了转化的思想。
例 2．数列 }{ na 前 n 项之和 nS 满足： *
1( 1) (2 1) ( , 0)n nt S t S n N t
（1） 求证：数列 }{ na 是等比数列 ( 2)n ；
（2） 若数列 }{ na 的公比为 ( )f t ,数列 }{ nb 满足： 1 1
11, ( )n
n
b b f b ，求数列 }{ nb 的通项公
式；
（3） 定义数列 }{ nc 为
1
1
n
n n
c b b
，，求数列 }{ nc 的前 n 项之和 nT 。
解：（1）由 *
1( 1) (2 1) ( , 0)n nt S t S n N t 得： 1( 1) (2 1) ( 2)n nt S t S n
两式相减得： 1 (2 1) ,( 2)n nt a t a n 即 1 2 1 12 ,( 2)n
n
a t na t t
,
∴数列 }{ na 是等比数列 ( 2)n 。
（2） 1
1( ) 2n n
n
b f bb ，则有 1 2n nb b ∴ 2 1nb n 。
（3）
1
1 1 1 1 1( )(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n
n n
c b b n n n n
，
∴ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) (1 )2 3 3 5 5 7 2 1 2 1 2 2 1nT n n n
点评：本题考查了 na 与 nS 之间的转化问题，考查了基本等差数列的定义，还有裂项相消法求和
问题。
例 3．已知数列 na 满足
4
1
1 a ， ),2(
21 1
1 Nnn
a
aa
n
n
n
n
．
（Ⅰ）求数列 na 的通项公式 na ； （Ⅱ）设 2
1
n
n a
b ，求数列 nb 的前 n 项和 nS ；
（Ⅲ）设
2
)12(sin nac nn ，数列 nc 的前 n 项和为 nT ．求证：对任意的 Nn ，
7
4nT ．
分析：本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列，对数列中不等式的证
明通常是放缩通项以利于求和。
解：（Ⅰ）
1
2)1(1
n
n
n aa ， ])1(1)[2()1(1 1
1
n
n
n
n aa
，
又 3)1(1
1
a ，数列
n
na 11 是首项为3 ，公比为 2 的等比数列．
1)2(3)1(1 nn
na
， 即
123
)1(
1
1
n
n
na .
（Ⅱ） 12649)123( 1121 nnn
nb ．
9264321
)21(1641
)41(19
nnS nn
nn
n ．
（Ⅲ） 1)1(2
)12(sin nn ，
123
1
)1()2(3
)1(
11
1
nnn
n
nc ．
当 3n 时，则
123
1
123
1
123
1
13
1
12
nnT
2
1
2
2
1
12
1
132 1
])(1[
28
11
23
1
23
1
23
1
7
1
4
1
n
n
7
4
84
48
84
47
6
1
28
11])2
1(1[6
1
28
11 2 n ．
321 TTT ， 对任意的 Nn ，
7
4nT ．
点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列 na 的通项 na ，第二问
分组求和法是非常常见的方法，第三问不等式的证明要用到放缩的办法，放缩的目的是利于求
和，所以通常会放成等差、等比数列求和，或者放缩之后可以裂项相消求和。
【反馈演练】
1．已知数列 }{ na 的通项公式 *2 1( )na n n N ，其前 n 项和为 nS ，则数列 }{ n
Sn 的前 10 项
的和为 75 。
2．已知数列 }{ na 的通项公式 12 ( 2 1) *
2 1( 2 ){ ( )n n k
n n n ka k N
，其前 n 项和为 nS ，则 9S 377 。
3．已知数列 }{ na 的前 n 项和为 nS ，且 2 1n nS a ，则数列 }{ na 的通项公式为 12n
na 。
4．已知数列 }{ na 中， 1 1,a 且有 *
1(2 1) (2 3) ( , 2)n nn a n a n N n ，则数列 }{ na 的通项
公式为
3 1 1( )2 2 1 2 1na n n
，前 n 项和为 3
2 1
n
n
。
5．数列{an}满足 a1=2，对于任意的 n∈N*都有 an＞0, 且(n+1)an
2+an·an+1－nan+1
2=0，
又知数列{bn}的通项为 bn=2n－1+1.
(1)求数列{an}的通项 an 及它的前 n 项和 Sn；
(2)求数列{bn}的前 n 项和 Tn；
解：(1）可解得
n
n
a
a
n
n 11 ，从而 an=2n，有 Sn=n2+n，
(2)Tn=2n+n－1.
6．数列{an}中，a1=8,a4=2 且满足 an+2=2an+1－an,(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设 Sn=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜,求 Sn;
(3)设 bn=
)12(
1
nan
(n∈N*),Tn=b1+b2+……+bn(n∈N*),是否存在最大的整数 m，使得对任意 n
∈N*均有 Tn＞
32
m 成立？若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由.
解：(1）由 an+2=2an+1－an an+2－an+1=an+1－an 可知{an}成等差数列，
d=
14
14
aa =－2,∴an=10－2n.
(2)由 an=10－2n≥0 可得 n≤5，当 n≤5 时，Sn=－n2+9n，当 n＞5 时，Sn=n2－9n+40，
故 Sn=
5 409
51 9
2
2
nnn
nnn
(3)bn= )1
11(2
1
)22(
1
)12(
1
nnnnan n
)1(2)]1
11()3
1
2
1()2
11[(2
1
21
n
n
nnbbbT nn ；要使 Tn＞
32
m 总成
立，需
32
m ＜T1=
4
1 成立，即 m＜8 且 m∈Z，故适合条件的 m 的最大值为 7.
第 4 课 数列的应用
【考点导读】
1．能在具体的问题情景中发现数列的等差、等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。
2．注意基本数学思想方法的运用，构造思想：已知数列构造新数列，转化思想：将非等差、等
比数列转化为等差、等比数列。
【基础练习】
1．若数列 na 中，
3
1
1 a ，且对任意的正整数 p 、 q 都有 qpqp aaa ，则 na 1
3n .
2．设等比数列 na 的公比为 q ，前 n 项和为 nS ，若 1 2, ,n n nS S S 成等差数列，则 q 的值为
2 。
3．已知等差数列 na 的公差为 2，若 1 3 4, ,a a a 成等比数列，则 2a 6 。
【范例导析】
例 1．已知正数组成的两个数列 }{},{ nn ba ，若 1, nn aa 是关于 x 的方程 02 1
22 nnnn bbaxbx
的两根
（1）求证： }{ nb 为等差数列；
（2）已知 ,6,2 21 aa 分别求数列 }{},{ nn ba 的通项公式；
（3）求数 n
n
n snb 项和的前}2{ 。
（1）证明：由 02, 1
22
1 nnnnnn bbaxbxxaa 的方程是关于 的两根得：
11
2
1 ,2 nnnnnnnn bbaaabaa ,2 11
2
nnnnn bbbbb
0nb )1(2 11
2 nbbb nnn }{ nb 是等差数列
（2）由（1）知 ,82 21
2
1 aab ,21 b
nbnbbbba n 12212 ,1,3,
∴ )1)(1(1 nnnbba nnn 又 21 a 也符合该式，
)1( nnan
（3） nn
ns
2
1
2
4
2
3
2
2
32
①
132 2
1
2
4
2
3
2
1
nn
ns ②
①—②得
1432 2
1
2
1
2
1
2
1
2
112
1
nnn
ns 1
1
2
1
2
11
)
2
11(4
1
1
n
n n
11 2
1)
2
11(2
11
nn
n
nn
ns
2
33 .
例 2．设数列 nn ba , 满足 3,4,6 332211 bababa ，且数列
Nnaa nn 1
是等差数列，数列 Nnbn 2 是等比数列。
（I）求数列 na 和 nb 的通项公式；
（II）是否存在 *Nk ，使
2
1,0kk ba ，若存在，求出 k ，若不存在，说明理由。
解 ： 由 题 意 得 ：
)()()( 113121 nnn aaaaaaaa )4(0)1()2(6 n
2
)1()4()2(6 nn ＝
2
1872 nn ；
由已知 22,42 21 bb 得公比
2
1q
11
1 2
142
122
nn
n bb
n
nb
2
182 （2） kk bakf )(
k
21 7 19 2 82 2 2k k
2 k1 7 49 18 72 2 4 2k
，所以当 4k 时， )(kf 是增函数。
又
2
1)4( f ， 所以当 4k 时
2
1)( kf ，
又 0)3()2()1( fff ， 所以不存在 k ，使
2
1,0)(kf 。
【反馈演练】1．制造某种产品，计划经过两年要使成本降低 36%，则平均每年应降低成本
20% 。
2．等比数列 }{ na 的前 n 项和为 nS ， 5 102, 6S S ，则 16 17 18 19 20a a a a a 54 。
3．设 }{ na 为等差数列， nS 为数列 }{ na 的前 n 项和，已知 7 157, 75S S ， nT 为数列｛
n
Sn ｝
的前 n 项和，则 nT
2 9
4
n n ．
4.已知数列 .4,3,,}{ 422 SSanSa nn 且项和为其前为等差数列
（1）求数列 }{ na 的通项公式； （2）求证数列 }2{ na 是等比数列；
（3）求使得 nSS nn 的成立的22 的集合.
解：（1）设数列 daan 公差为的首项为 ,}{ 1 ，由题意得：
dada
da
64)2(4
3
11
1
解得： 122,11 nada n
（2）由题意知： 4
2
2
2
2
32
12
1
n
n
a
a
n
n
，
}2{ na数列 为首项为 2，公比为 4 的等比数列
（3）由 2
1 ,12,2,1 nSnada nn 得
}4,3,2,1{:
4,3,2,1
8)2(2)2(2 222
2
的集合为故n
n
nnnSS nn
5.已知数列 na 的各项均为正数， nS 为其前 n 项和，对于任意 *Nn ，满足关系 22 nn aS .
证明： na 是等比数列；
证明：∵ *)(22 NnaS nn ① ∴ *)(22 11 NnaS nn ②
②－①，得 *)(22 11 Nnaaa nnn
∵ *)( 2,0 1 Nna
aa
n
n
n
故:数列{an}是等比数列
第六章 不等式 第 1 课 基本不等式
【考点导读】
1. 能用基本不等式证明其他的不等式，能用基本不等式求解简单的最值问题。
2. 能用基本不等式解决综合形较强的问题。
【基础练习】
1.“a>b>0”是“ab<
2 2
2
a b ”的充分而不必要条件(填写充分而不必要条件、必要而不充分条
件、充分必要条件、既不充分也不必要条件)
2. cabcabaccbba 则,2,2,1 222222 的最小值为 1 32
3.已知 ,x y R ，且 4 1x y ，则 x y 的最大值为
16
1
4.已知 lg lg 1x y ，则 5 2
x y
的最小值是 2
【范例导析】
例 1.已知 5
4x ，求函数 14 2 4 5y x x
的最大值.
分析：由于 4 5 0x ，所以首先要调整符号.
解：∵ 5
4x ∴5 4 0x
∴y=4x-2+ 1
4 5x
= 15 4 35 4x x
≤-2+3=1
当且仅当 15 4 5 4x x
，即 x=1 时，上式成立，故当 x=1 时， max 1y .
例 2.（1）已知 a，b 为正常数，x、y 为正实数，且 1a b+ =x y
，求 x+y 的最小值。
（2） 已知 00 yx ， ，且 302 xyyx ，求 xy 的最大值．
分析：问题（1）可以采用常数代换的方法也可以进行变量代换从而转化为一元函数再利用基本
不等式求解；问题（2）既可以直接利用基本不等式将题目中的等式转化为关于 xy 的不等式，
也可以采用变量代换转换为一元函数再求解.
解:(1)法一：直接利用基本不等式： a b bx ayx+ y = (x+ y)( + )= a+b+ +x y y x
≥ a+b+ 2 ab
当且仅当
ay bx=x y
a b+ = 1x y
，即 x = a+ ab
y = b+ ab
时等号成立
法二：
由 a b+ = 1x y
得 ayx = y - b
ay a( y b ) abx y y yy b y b
ab aba y ( y b ) a by b y b
∵ x>0，y>0，a>0 ∴ 由 ay
y - b
>0 得 y-b>0 ∴ x+y≥ 2 ab + a+b
当且仅当
ab = y - by - b
a b+ = 1x y
，即 y = b+ ab
x = a+ ab
时，等号成立
（2）法一：由 302 xyyx ，可得， )300(2
30
xx
xy ．
x
xx
x
xxxy
2
64)2(34)2(
2
30 22
2
64)2(34 xx
注意到 162
64)2(22
64)2(
xxxx ．可得， 18xy ．
当且仅当
2
642
xx ，即 6x 时等号成立，代入 302 xyyx 中得 3y ，故 xy 的最大
值为 18．
法二： Ryx, ， xyxyyx 22222 ，
代入 302 xyyx 中得： 3022 xyxy
解此不等式得 180 xy ．下面解法见解法一，下略．
点拨：求条件最值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方
法，也可考虑通过变形直接利用基本不等式解决.
【反馈练习】
1.设 a＞1,且 2log ( 1), log ( 1), log (2 )a a am a n a p a ,则 pnm ,, 的大小关系为 m＞p＞n
2.已知下列四个结论：
①若 ,, Rba 则 22
b
a
a
b
b
a
a
b ； ②若 Ryx, ,则 yxyx lglg2lglg ；
③若 , Rx 则 4424
xxxx ； ④若 , Rx 则 222222 xxxx 。
其中正确的是④
3.已知不等式 1( )( ) 9ax y x y
对任意正实数 ,x y 恒成立，则正实数 a 的最小值为 6
4.（1）已知： 0 x y ，且： 1xy ，求证： 22
22
yx
yx ，并且求等号成立的条件．
（2）设实数 x，y 满足 y+x2=0，00 的解集是 ),3()2,(
4.若不等式 02 cbxx 的解集是 }13{ xxx 或 ，则 b=__-2____ c=__-3____.
【范例导析】
例.解关于ｘ的不等式 )1(12
)1(
ax
xa
解:原不等式等价于 02
)2()1(
x
axa ∵ 1a ∴等价于：
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
02
1
21
x
a
axa
（*）
a>１时，（*）式等价于
2
1
2
x
a
ax
>0∵
1
111
2
aa
a <１∴x<
1
2
a
a 或 x>２
a<１时，（*）式等价于
2
1
2
x
a
ax
<0 由２－
1
2
a
a ＝
1a
a 知：
当 0２，∴２１时，原不等式的解集为（－∞，
1
2
a
a ）
∪（2，＋∞）。
思维点拨:含参数不等式,应选择恰当的讨论标准对所含字母分类讨论,要做到不重不漏.
【反馈练习】
1.若关于 x 的不等式 2 1 0,ax ax a 的解集为 R，则 a 的取值范围是 ,0
2.不等式 2 2 0ax bx 解集为 1 1
2 3x ，则 ab 值分别为-12，-2
3.若函数 f(x) =
2 22 1x ax a 的定义域为 R，则 a 的取值范围为 1 0 ，
4.已知 M 是关于 x 的不等式 2x2+(3a－7)x+3＋a－2a2<0 解集，且 M 中的一个元素是 0，求实数 a
的取值范围，并用 a 表示出该不等式的解集.
解：原不等式即(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，
由 0x 适合不等式故得 0)32)(1( aa ，所以 1a ，或
2
3a .
若 1a ，则 5)1(2
5
2
132 aaa ，∴
2
123 aa ，
此时不等式的解集是 }232
1|{ axax ；
若
2
3a ，由
4
5)1(2
5
2
132 aaa ，∴
2
123 aa ，
此时不等式的解集是 }2
123|{ axax 。
第 3 课 线性规划
【考点导读】
1. 会在直角坐标系中表示二元一次不等式、二元一次不等式组对应的区域，能由给定的平面区
域确定所对应的二元一次不等式、二元一次不等式组.
2. 能利用图解法解决简单的线性规划问题，并从中体会线性规划所体现的用几何图形研究代数
问题的思想.
【基础练习】
1.原点（0,0）和点 P（1,1）在直线 0x y a 的两侧，则 a 的取值范围是 00，x－y+2>0，2x+y－5<0
因此所求区域的不等式组为
x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0
作平行于直线 3x－2y=0 的直线系 3x－2y=t（t 为参数），即平移直线 y=
2
3 x，观察图形可知：当
直线 y=
2
3 x－
2
1 t 过 A（3，－1）时，纵截距－
2
1 t 最小此时 t 最大，tmax=3×3－2×（－1）=11；
当直线 y=
2
3 x－
2
1 t 经过点 B（－1，1）时，纵截距－
2
1 t 最大，此时 t 有最小值为 tmin= 3×（－
1）－2×1=－5
因此，函数 z=3x－2y 在约束条件 x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0 下的最大值为 11，最小
值为－5
。
第 4 课 不等式综合
【考点导读】
能利用不等式性质、定理、不等式解法及证明解决有关数学问题和实际问题，如最值问题、
恒成立问题、最优化问题等.
【基础练习】
1.若函数
2 21 12 , 02 2
x
f x x x g x xx
，则 f x 与 g x 的大小关系是
0 100 200 300
100
200
300
400
500
x
l M
例 3
第 10 题
f x g x
2.函数 22f x a x a 在区间 0,1 上恒为正，则 a 的取值范围是 0＜a＜2
3.当点 ,x y 在直线 3 2 0x y 上移动时， 3 27 1x yz 的最小值是 7
4.对于 0≤m≤4 的 m，不等式 x2+mx＞4x+m－3 恒成立，则 x 的取值范围是 x＞3 或 x＜－1
【范例导析】
例 1、已知集合
2,2
1P ，函数 22log 2
2 xaxy 的定义域为 Q
（1）若 QP ，求实数 a 的取值范围。
（2）若方程 222log 2
2 xax 在
2,2
1 内有解，求实数 a 的取值范围。
分析：问题（1）可转化为 2 2 2 0ax x 在
2,2
1 内有有解；从而和问题（2）是同一类型的
问题，既可以直接构造函数角度分析，亦可以采用分离参数.
解：（1）若 QP ， 0222 xax 在
2,2
1 内有有解
xx
a 22
2
令
2
1
2
11222 2
2
xxx
u 当
2,2
1x 时，
2
1,4u
所以 a>-4,所以 a 的取值范围是 4aa
（2）方程 222log 2
2 xax 在
2,2
1 内有解， 则 0222 xax 在
2,2
1 内有解。
2
1
2
11222 2
2
xxx
a
当
2,2
1x 时，
12,2
3a
所以
12,2
3a 时， 222log 2
2 xax 在
2,2
1 内有解
点拨：本题用的是参数分离的思想.
例 2.甲、乙两地相距 kms ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过 km/hc ，已知汽车每小．．
时的运输成本．．．．．．（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 km/hv 的平方成正
比，且比例系数为b ；固定部分为 a 元．
（1）把全程运输成本 y 元表示为速度 km/hv 的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
分析：需由实际问题构造函数模型，转化为函数问题求解
解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为 hv
s ，全程运输成本为
)(2 bvv
asv
sbvv
say ．故所求函数为 )( bvb
asy ，定义域为 )0( cv ， ．
（2）由于 vbas 、、、 都为正数，
故有 bvb
asbvv
as 2)( ，即 absbvv
as 2)( ．
当且仅当 bvv
a ，即
b
av 时上式中等号成立．
若 cb
a 时，则
b
av 时，全程运输成本 y 最小；
当 cb
a ， 易 证 cv 0 ， 函 数 )()( bvv
asvfy 单 调 递 减 ， 即 cv 时 ，
)(min bcc
asy ．
综上可知，为使全程运输成本 y 最小，
在 cb
a 时，行驶速度应为
b
av ；
在 cb
a 时，行驶速度应为 cv ．
点拨：本题主要考查建立函数关系式、不等式性质（公式）的应用．也是综合应用数学知
识、思想和方法解决实际问题的一道优秀试题．
【反馈练习】
1.设 10 a ，函数 )22(log)( 2 xx
a aaxf ，则使 0)( xf 的 x 的取值范围是 ),0(
2.如果函数 2
1
3
log ( 2 3)y x x 的单调递增区间是(-∞，a]，那么实数 a 的取值范围是____
a<-1____
3.若关于 x 的不等式 mxx 42 对任意 ]1,0[x 恒成立，则实数 m 的取值范围为 ( , 3]
4 已知二次函数 f (x)= 0,,12 aRbabxax 且 ,设方程 f (x)=x 的两个实根为 x1 和 x2．如果
x1<2＜x2<4，且函数 f (x)的对称轴为 x=x0，求证：x0＞—1．
证明：设 g(x)= f (x)—x= 0242.011 21
2 gxxaxbax 得，由，且 ，且 g(4)>0，
即 ,8
1,22
144
3,22
144
3
,03416
,0124
aaaababa
ba 得由
∴ .1
8
14
112,4
1128
32
a
bxaa
b
a
故
第七章 立体几何初步 第 1 课 空间几何体
【考点导读】
1．观察认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简
单物体的结构；
2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上
述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；
3．通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表
示形式；
4.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。
【基础练习】
1．一个凸多面体有 8 个顶点，①如果它是棱锥，那么它有 14 条棱， 8 个面；②如果
它是棱柱，那么它有 12 条棱 6 个面。
2.（1）如图，在正四面体 A－BCD 中，E、F、G 分别是三角形 ADC、ABD、BCD 的中心，则△EFG
在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是 ③④ 。
（2）如图，E、F 分别为正方体的面 ADD1A1、面 BCC1B1 的中心，则四边形 BFD1E 在该正方体的面
上的射影可能是图的 ②③ （要求：把可能的图的序号都．填上）.
【范例导析】
例 1．下列命题中，假命题是 （1）（3） 。（选出所有可能的答案）
（1）有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
（2）四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
（3）有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
（4）若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体
分析：准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征是解决概念题的关键。
（1）中将两个斜棱柱对接在一起就是反例。（3）中是不是棱台还要看侧棱的延长线是否交于一
点。
例 2． CBA 是正△ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若 CBA 的面积为 3 ，
那么△ABC 的面积为_______________。
解析： 62 。
点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应
关系。特别底和高的对应关系。
例 3．（1）画出下列几何体的三视图
（2）某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状
分析：三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。
解析：（1）这两个几何体的三视图分别如下：
（2）该几何体为一个正四棱锥。
点评：画三视图之前，应把几何体的结构弄清楚，选择一个合适的主视方向。一般先画主视图，
① ② ③ ④
A
B C
D
EF
G
其次画俯视图，最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成虚线。物
体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。主视图反映物体的主要形状特征，主要体
现物体的长和高，不反映物体的宽。而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。左视图和 俯
视图共同反映物体的宽要相等。据此就不难得出该几何体的形状。
【反馈演练】
1．一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是
2
21 。
2．如图，一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为 r 的实心铁球，
水面高度恰好升高 r，则
r
R =
3
32 。
解析：水面高度升高 r，则圆柱体积增加πR2·r。恰好是半径为 r 的实心铁球的体积，因此有
3
4
πr3=πR2r。故
3
32
r
R 。答案为
3
32 。
点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。
3．在△ABC 中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如图所示），若将△ABC 绕直线 BC 旋转
一周，则所形成的旋转体的体积是
2
3 。
4．空间四边形 ABCD 中， 8AC ， 12BD ， HGFE 、、、 分别是 DACDBCAB 、、、
边上的点，且 EFGH 为平行四边形，则四边形 EFGH 的周长的取值范围是
_ )24,16( _。
5．三棱锥 ABCP 中， xPC ，其余棱长均为 1。
（1）求证： ABPC ；
（2）求三棱锥 ABCP 的体积的最大值。
解：（1）取 AB 中点 M ，∵ PAB 与 CAB 均为正三角形，
∴ CMABPMAB , ，
∴ AB 平面 PCM 。
∴ PCAB
(2)当 PM 平面 ABC 时，三棱锥的高为 PM ，
此时 8
1
2
3
4
3
3
1
3
1
max PMSV ABC
6．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心 O1 且平行于母线 AB 的平面所截，若截
面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为 p 的抛物线.
（1）求圆锥的母线与底面所成的角；
（2）求圆锥的全面积．
解: （1）设圆锥的底面半径为 R，母线长为 l，
由题意得： Rl 2 ,
即
2
1cos 1
l
RACO ,
所以母线和底面所成的角为 .600
(2)设截面与圆锥侧面的交线为 MON，
其中 O 为截面与 AC 的交点，则 OO1//AB 且 .2
1
1 ABOO
在截面 MON 内，以 OO1 所在有向直线为 y 轴，O 为原点，建立坐标系，
则 O 为抛物线的顶点，所以抛物线方程为 x2=－2py，
点 N 的坐标为（R，－R），代入方程得：R2=－2p（－R），
得：R=2p，l=2R=4p.
∴圆锥的全面积为 2222 1248 pppRRl .
第 2 课 平面的性质与直线的位置关系
【考点导读】
1．掌握平面的基本性质，能够画出空间两条直线的各种位置关系，能够根据图形想象它们
之间的位置关系。
2．掌握两条直线之间的平行与垂直的有关问题，并能进行解决和证明相关问题。
3．理解反证法证明的思路，会用反证法进行相关问题的证明。
【基础练习】
1 下面是一些命题的叙述语,其中命题和叙述方法都正确的是 （3） 。
（1）∵ BA , ，∴ AB ． （2）∵ aa , ，∴ a ．
（3）∵ aaA , ，∴ A ． （4）∵ aaA , ，∴ A ．
2．下列推断中，错误的是 （4） 。
（1） lBlBAlA ,,,
（2） CBACBA ,,,,, ，A,B,C 不共线 , 重合
P
A
B
C
M
E
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
D
1
（3） ABBBAA ,,,
（4） AlAl ,
3．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
（1）空间三点可以确定一个平面 （ ）
（2）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（ ）
（3）两条直线可以确定一个平面（ ）
（4）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（ ）
（5）两条相交直线可以确定一个平面（ ）
（6）三条平行直线可以确定三个平面（ ）
（7）一条直线和一个点可以确定一个平面（ ）
（8）两两相交的三条直线确定一个平面（ ）
⑴×⑵×⑶×⑷√⑸√⑹×⑺×⑻×
4．如右图，点 E 是正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱 1DD 的中点，则过点 E 与直线 AB 和 1 1B C 都
相交的直线的条数是： 1 条
5．完成下列证明，已知直线 a、b、c 不共面，它们相交于点 P，Aa，Da，Bb，Ec
求证：BD 和 AE 是异面直线
证明：假设__ 共面于，则点 A、E、B、D 都在平面_ _内
Aa，Da，∴__γ. Pa，∴P__.
Pb，Bb，Pc，Ec ∴_ _， __，这与____矛盾
∴BD、AE__________
答案：假设 BD、AE 共面于，则点 A、E、B、D 都在平面 内。
∵Aa，Da，∴ a . ∵Pa，P .
∵Pb，Bb，Pc，Ec. ∴ b ，c ，这与 a、b、c 不共面矛盾
∴BD、AE 是异面直线
【范例导析】
例 1．已知 ABCD ，从平面 AC 外一点O 引向量
, , ,OE kOA OF KOB OG kOC OH kOD ，
（1）求证：四点 , , ,E F G H 共面；（2）平面 AC // 平面 EG ．
分析 ：证明四点共面可以采用平面向量中的平面向量基本定理证明，
也可以转化为直线共面的条件即几何证法。
解：法一：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AC AB AD ，
∵ EG OG OE ，
( ) ( )
( )
k OC k OA k OC OA k AC k AB AD
k OB OA OD OA OF OE OH OE
EF EH
∴ , , ,E F G H 共面；
（2）∵ ( )EF OF OE k OB OA k AB ，又∵ EG k AC ，
∴ // , //EF AB EG AC
所以，平面 //AC 平面 EG ．
法二：（1） EF OF OE
, ,OE kOA OF KOB
∴ ( )EF k OB OA k AB
∴ //EF AB 同理 //HG DC 又 //AB DC ∴ //EF HG
∴ , , ,E F G H 共面；
（2）由（1）知： //EF AB ，从而可证 //EF ABCD面
同理可证 //FG ABCD面 ，所以，平面 //AC 平面 EG ．
点评：熟练掌握定理是证明的关键，要学会灵活运用。
例 2．已知空间四边形 ABCD.
(1)求证：对角线 AC 与 BD 是异面直线;
(2)若 AC⊥BD,E,F,G,H 分别这四条边 AB,BC,CD,DA 的中点,试判断四边形 EFGH 的形状;
(3)若 AB＝BC＝CD＝DA,作出异面直线 AC 与 BD 的公垂线段.
分析：证明两条直线异面通常采用反证法。
证明：(1)（反证法）假设 AC 与 BD 不是异面直线，则 AC 与 BD 共面，
所以 A、B、C、D 四点共面
这与空间四边形 ABCD 的定义矛盾
所以对角线 AC 与 BD 是异面直线
(2)解：∵E,F 分别为 AB,BC 的中点,∴EF//AC,且 EF=
2
1 AC.
O
A B
CD
H
F
G
E
A
C
D
P
B
同理 HG//AC,且 HG=
2
1 AC.∴EF 平行且相等 HG,∴EFGH 是平行四边形.
又∵F,G 分别为 BC,CD 的中点,∴FG//BD,∴∠EFG 是异面直线 AC 与 BD 所成的角.
∵AC⊥BD,∴∠EFG=90o.∴EFGH 是矩形.
(3)作法取 BD 中点 E,AC 中点 F,连 EF,则 EF 即为所求.
点评：在空间四边形中我们通常会遇到上述类似的问题，取中点往往是很有效的方法，特别是
遇到等腰三角形的时候。
例 3．如图，已知 E，F 分别是正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱 1AA 和棱 1CC 上的点，且 1AE C F ，
求证：四边形 1EBFD 是平行四边形
简证：由 1AE C F 可以证得 ABE ≌ 1 1C D F
所以 1BE D F 又可以由正方体的性质证明 1//BE D F
所以四边形 1EBFD 是平行四边形
例 4：如图，已知平面 , ，且 , , , ,AB PC PD C D 是垂足．
（Ⅰ）求证： AB 平面 PCD ；
（Ⅱ）若 1, 2PC PD CD ，试判断平面 与平面 的位置关系，并证明你的结论．
解：（Ⅰ）因为 ,PC AB ，所以 PC AB ．
同理 PD AB ．
又 PC PD P ，故 AB 平面 PCD ．
（Ⅱ）平面 平面 。证明如下：设 AB 与平面 PCD 的交点为 H ，
连结 CH 、 DH ．因为 AB 平面 PCD ，所以 ,AB CH AB DH ，
所以 CHD 是二面角C AB D 的平面角．
又 1, 2PC PD CD ，所以 2 2 2 2CD PC PD ，即 090CPD ．
在平面四边形 PCHD 中， 090PCH PDH CPD ，
所以 090CHD ．故平面 平面 ．
【反馈演练】
1．判断题（对的打“√”，错的打“×”）
（1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条 （ ）
（2）两线段 AB、CD 不在同一平面内，如果 AC=BD，AD=BC，则 AB⊥CD（ ）
（3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为 60º （ ）
（4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直 （ ）
答案：（1）× （2）× （3）√ （4）×
2．定点 P 不在△ABC 所在平面内，过 P 作平面α，使△ABC 的三个顶点到α的距离相等，这样
的平面共有 4 个。
3．给出以下四个命题：（1）若空间四点不共面，则其中无三点共线；（2）若直线上有一点在平
面外，则该直线在平面外；（3）若直线 a,b,c 中，a 与 b 共面且 b 与 c 共面，则 a 与 c 共面；（4）
两两相交的三条直线共面。其中所有正确命题的序号是 (1)(2) 。
4．如图，已知 , , ,l A l B l （A,B 不重合）
过 A 在平面α内作直线 AC，过 B 在平面β内作直线 BD。
求证：AC 和 BD 是异面直线。
证明：（反证法）若 AC 和 BD 不是异面直线，
设确定平面γ，则由题意可知：平面α和γ都过 AC 和 AC 外一点 B，所以两平面重合。
同理可证平面β和γ也重合，所以平面α和β也重合。
这与已知条件平面α和β相交矛盾。
所以 AC 和 BD 是异面直线。
第 3 课 空间中的平行关系
【考点导读】
1．掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。
2．明确定义与定理的不同，定义是可逆的，既是判定也是性质，而判定定理与性质定理多是不
可逆的。
3．要能灵活的对“线线平行”、“线面平行”和“面面平行”进行转化。
【基础练习】
1．若 ba、 为异面直线，直线 c∥a，则 c 与 b 的位置关系是 异面或相交 。
2．给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行.
α
β
l
D
B
C
A
A
1A
B
CD
1B
1C
F
1D
E
③若直线 1 2,l l 与同一平面所成的角相等,则 1 2,l l 互相平行.
④若直线 1 2,l l 是异面直线,则与 1 2,l l 都相交的两条直线是异面直线.
其中假．命题的个数是 4 个。
3．对于任意的直线 l 与平面 a,在平面 a 内必有直线 m,使 m 与 l 垂直 。
4. 已知 a、b、c 是三条不重合的直线，α、β、r 是三个不重合的平面，下面六个命题：
①a∥c，b∥c a∥b；②a∥r，b∥r a∥b；③α∥c，β∥c α∥β；
④α∥r，β∥r α∥β；⑤a∥c，α∥c a∥α；⑥a∥r，α∥r a∥α．
其中正确的命题是 ①④ 。
【范例导析】
例 1．如图，在四面体 ABCD 中，截面 EFGH 是平行四边形．
求证：AB∥平面 EFG．
证明 ：∵面 EFGH 是截面．
∴点 E，F，G，H 分别在 BC，BD，DA，AC 上．
∴EH 面 ABC，GF 面 ABD，
由已知，EH∥GF．∴EH∥面 ABD．
又 ∵EH 面 BAC，面 ABC∩面 ABD=AB
∴EH∥AB．
∴AB∥面 EFG．
例 2． 如图，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，点 N 在 BD 上，点 M 在 B1C 上，并且 CM=DN.
求证:MN∥平面 AA1B1B.
分析：“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是可以互相转化的。本题可以采用任何一种转化
方式。
简证：法 1：把证“线面平行”转化为证“线线平行”。
即在平面 ABB1A1 内找一条直线与 MN 平行，如图所示作平行线即可。
法 2：把证“线面平行”转化为证“线线平行”。连 CN 并延长交直线 BA 于点 P，
连 B1P，就是所找直线，然后再设法证明 MN∥B1P.
法 3：把证“线面平行”转化为证“面面平行”。
过 M 作 MQ//BB1 交 BC 于 B1，连 NQ,则平面 MNQ 与平面 ABB1A1 平行，
从而证得 MN∥平面 ABB1A1.
点评：证明线面或面面平行的时候一定要注意相互的转化，非常灵活。
【反馈演练】
1．对于平面 和共面的直线 m 、 ,n 下列命题中真命题是（3）。
（1）若 , ,m m n 则 n ∥ （2）若 m ∥ ,n∥ ,则 m∥n
（3）若 ,m n ∥ ,则 m∥n （4）若 m 、 n 与 所成的角相等，则 m∥n
2. 设 a、b 是两条异面直线，那么下列四个命题中的假命题是 （2） 。
（1）经过直线 a 有且只有一个平面平行于直线 b
（2）经过直线 a 有且只有一个平面垂直于直线 b
（3）存在分别经过直线 a 和 b 的两个互相平行的平面
（4）存在分别经过直线 a 和 b 的两个互相垂直的平面
3．关于直线 a、b、l 及平面 M、N，下列命题中正确的是（4） 。
（1）若 a∥M，b∥M，则 a∥b （2）若 a∥M，b⊥a，则 b⊥M
（3）若 a M，b M，且 l⊥a，l⊥b，则 l⊥M （4）若 a⊥M，a∥N，则 M⊥N
4．“任意的 a ，均有 //a ”是“任意 b ，均有 //b ”的 充要条件 。
5.在正方体 AC1 中，过 A1C 且平行于 AB 的截面是 面 A1B1CD .
6．在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，经过其对角线 BD1 的平面分别与棱 AA1,CC1 相交于 E,F 两点，则四
边形 EBFD!的形状为 平行四边形 。
7. 已知Ｐ为平行四边形ＡＢＣＤ所在平面外一点，Ｍ为ＰＢ的中点，
求证：ＰＤ∥平面ＭＡＣ．
证明 连ＡＣ交ＢＤ于Ｏ，连ＭＯ，
则ＭＯ为△ＰＢＤ的中位线，
∴ＰＤ∥ＭＯ，∵ＰＤ 平面ＭＡＣ，ＭＯ平面ＭＡＣ，
∴ＰＤ∥平面ＭＡＣ．
8．如图，已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是 AB 、PC 的中点（1）
求证： //MN 平面 PAD ；（2）若 4MN BC ， 4 3PA ， 求异面直线
PA 与 MN 所成的角的大小
略证：（1）取 PD 的中点 H，连接 AH，
M
N
H
A
B
C
D
P
D
M
A1
1
B1
1
D1
1
C1
1
DCNHDCNH 2
1,//
AMNHAMNHAMNH ,// 为平行四边形
PADAHPADMNAHMN ,,// PADMN //
(2): 连接 AC 并取其中点为 O，连接 OM、ON，则 OM 平行且等于 BC 的一半，ON 平行且等于
PA 的一半，所以 ONM 就是异面直线 PA 与 MN 所成的角，由 4MN BC ， 4 3PA 得，
OM=2，ON= 32
所以 030ONM ，即异面直线 PA 与 MN 成 030 的角
9．两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB，M∈AC，N∈FB，且 AM=FN，求证：MN∥
平面 BCE。
证法一：作 MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q 为垂足，
则 MP∥AB，NQ∥AB。
∴MP∥NQ，又 AM=NF，AC=BF，
∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45°
∴Rt△MCP≌Rt△NBQ
∴MP=NQ，故四边形 MPQN 为平行四边形
∴MN∥PQ
∵PQ 平面 BCE，MN 在平面 BCE 外，
∴MN∥平面 BCE。
证法二：如图过 M 作 MH⊥AB 于 H，则 MH∥BC，
∴
AB
AH
AC
AM
连结 NH，由 BF=AC，FN=AM，得
AB
AH
BF
FN
∴ NH//AF//BE
由 MH//BC, NH//BE 得:平面 MNH//平面 BCE
∴MN∥平面 BCE。
第 4 课 空间中的垂直关系
【考点导读】
1．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并能用它们证明和解决有关问题。
2．线面垂直是线线垂直与面面垂直的枢纽，要理清楚它们之间的关系，学会互相转化，善于利
用转化思想。
【基础练习】
1．“直线l 垂直于平面 内的无数条直线”是“l ⊥ ”的 必要 条件。
2．如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的位置关系是 平行或相交 。
3．在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的面对角线的条数是 6 。
4．两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系是
平行、相交或在另一个平面内 。
5．在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，写出过顶点 A 的一个平面__AB1D1_____，使该平面与正方体
的 12 条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可
能的情况)。
【范例导析】
例 1．如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中
点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F.
（1）证明 PA//平面 EDB； （2）证明 PB⊥平面 EFD.
解析：本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直基础知识,考查空间想象能力和推理论证能
力.
证明：（1）连结 AC,AC 交 BD 于 O,连结 EO.
∵底面 ABCD 是正方形,∴点 O 是 AC 的中点
在 PAC 中,EO 是中位线,∴PA // EO
而 EO 平面 EDB 且 PA 平面 EDB,
所以,PA // 平面 EDB
（2）∵PD⊥底面 ABCD 且 DC 底面 ABCD,∴ DCPD
∵PD=DC,可知 PDC 是等腰直角三角形,而 DE 是斜边 PC 的中线,
∴ PCDE . ①
同样由 PD⊥底面 ABCD,得 PD⊥BC.
∵底面 ABCD 是正方形,有 DC⊥BC,∴BC⊥平面 PDC.
而 DE 平面 PDC,∴ DEBC . ②
由①和②推得 DE 平面 PBC. 而 PB 平面 PBC,∴ PBDE
又 PBEF 且 EEFDE ,所以 PB⊥平面 EFD.
例 2．如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面 ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，
M 是 EA 的中点，
求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面 BDM ⊥平面 ECA ；
（3）平面 DEA ⊥平面 ECA。
分析：（1）证明 DE ＝DA ，可以通过图形分割，证明△DEF ≌△DBA。（2）证
Q
P
M
N
F
E
D C
B
A
H
M
N
F
E
D C
B
A
A B
C D
P
E F
明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面。由（1）知 DM ⊥EA ，取 AC 中点 N ，
连结 MN 、NB ，易得四边形 MNBD 是矩形。从而证明 DM ⊥平面 ECA。
证明：（1）如图，取 EC 中点 F ，连结 DF。
∵ EC ⊥平面 ABC ，BD ∥CE ，得 DB ⊥平面 ABC 。
∴ DB ⊥AB ，EC ⊥BC。
∵ BD ∥CE ，BD ＝
2
1 CE ＝FC ，
则四边形 FCBD 是矩形，DF ⊥EC。
又 BA ＝BC ＝DF ，∴ Rt△DEF ≌Rt△ABD ，所以 DE ＝DA。
（2）取 AC 中点 N ，连结 MN 、NB ，
∵ M 是 EA 的中点，∴ MN
2
1 EC。
由 BD
2
1 EC ，且 BD ⊥平面 ABC ，可得四边形 MNBD 是矩形，于是 DM ⊥MN。
∵ DE ＝DA ，M 是 EA 的中点，∴ DM ⊥EA ．又 EA MN ＝M ，
∴ DM ⊥平面 ECA ，而 DM 平面 BDM ，则平面 ECA ⊥平面 BDM。
（3）∵ DM ⊥平面 ECA ，DM 平面 DEA ，
∴ 平面 DEA ⊥平面 ECA。
点评：面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决。
例 3．如图，直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，
∠ACB ＝90°，AA1 ＝ 2 ，D 是 A1B1 中点．
（1） 求证 C1D ⊥平面 A1B ；（2）当点 F 在 BB1 上什么位置时，
会使得 AB1 ⊥平面 C1DF ？并证明你的结论。
分析：（1）由于 C1D 所在平面 A1B1C1 垂直平面 A1B ，只要证明 C1D 垂直交线 A1B1 ，
由直线与平面垂直判定定理可得 C1D ⊥平面 A1B。（2）由（1）得 C1D ⊥AB1 ，
只要过 D 作 AB1 的垂线，它与 BB1 的交点即为所求的 F 点位置。
证明：（1）如图，∵ ABC—A1B1C1 是直三棱柱，
∴ A1C1 ＝B1C1 ＝1，且∠A1C1B1 ＝90°。又 D 是 A1B1 的中点，
∴ C1D ⊥A1B1 .∵ AA1 ⊥平面 A1B1C1 ，C1D 平面 A1B1C1 ，
∴ AA1 ⊥C1D ，∴ C1D ⊥平面 AA1B1B。
（2）解：作 DE ⊥AB1 交 AB1 于 E ，延长 DE 交 BB1 于 F ，连结 C1F ，则 AB1 ⊥平面 C1DF ，点
F 即为所求。
∵ C1D ⊥平面 AA1BB ，AB1 平面 AA1B1B ，
∴ C1D ⊥AB1 ．又 AB1 ⊥DF ，DF C1D ＝D ，∴ AB1 ⊥平面 C1DF 。
点评：本题（1）的证明中，证得 C1D ⊥A1B1 后，由 ABC—A1B1C1 是直三棱柱知平面 C1A1B1 ⊥平
面 AA1B1B ，立得 C1D ⊥平面 AA1B1B。（2）是开放性探索问题，注意采用逆向思维的方法分析问
题。
【反馈演练】
1．下列命题中错误的是 （3） 。
（1）若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这一平面内所有直线
（2）若一平面经过另一平面的垂线，则两个平面互相垂直
（3）若一条直线垂直于平面内的一条直线，则此直线垂直于这一平面
（4）若平面内的一条直线和这一平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直
2．设 zyx ,, 是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若
zx ，且 yxzy //,则 ”为真命题的是 ①③④ （填所有正确条件的代号）
①x 为直线，y，z 为平面 ②x，y，z 为平面
③x，y 为直线，z 为平面 ④x，y 为平面，z 为直线
⑤x，y，z 为直线
3．在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可以有___4__个。
4．若 AB 的中点 M 到平面 的距离为 cm4 ，点 A 到平面 的距离为 cm6 ，则点 B 到平面 的
距离为_2 或 14________ cm 。
5．命题 A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥。
命题 A 的等价命题 B 可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥。
答案：侧棱相等（或侧棱与底面所成角相等……）
6．α、β是两个不同的平面，m、n 是平面α及β之外的两条不同直线.给出四个论断：
①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α
以 其 中 三 个 论 断 作 为 条 件 ， 余 下 一 个 论 断 作 为 结 论 ， 写 出 你 认 为 正 确 的 一 个． ．命
题： 。
答案：m⊥α，n⊥β，α⊥β m⊥n 或 m⊥n，m⊥α，n⊥β α⊥β
7．在直角梯形 ABCD 中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面 ABCD，AB=AD=a，S D= a2 ，在线
段 SA 上取一点 E（不含端点）使 EC=AC，截面 CDE 与 SB 交于点 F。
（1）求证：四边形 EFCD 为直角梯形；
（2）设 SB 的中点为 M，当
AB
CD 的值是多少时，能使△DMC 为直角三角形？请给出证明.
解：（1）∵ CD∥AB，AB 平面 SAB ∴CD∥平面 SAB
面 EFCD∩面 SAB=EF，
∴CD∥EF ∵ ,,900 ADCDD
又 SD 面 ABCD
∴ CDSD CD 平面 SAD，∴ EDCD 又 CDABEF
EFCD 为直角梯形
(2)当 2CD
AB
时， DMC 为直角三角形 .
022 45,2,2, BDCaADABBDaCDaAB BDBCaBC ,2 ,
SD 平面 BCBCSDABCD ,, 平面 SBD .
在 SBD 中， MDBSD , 为 SB 中点， SBMD .
MD 平面 MCSBC, 平面 ,SBC MD MC DMC 为直角三角形。 A B
CD
S
E F
M
2014 高中数学复习讲义 第八章 直线和圆的方程
【知识图解】
【方法点拨】
1．掌握直线的倾斜角，斜率以及直线方程的各种形式，能正确地判断两直线位置关系，并
能熟练地利用距离公式解决有关问题．注意直线方程各种形式应用的条件．了解二元一次不等
式表示的平面区域，能解决一些简单的线性规划问题．
2.掌握关于点对称及关于直线对称的问题讨论方法,并能够熟练运用对称性来解决问题.
3．熟练运用待定系数法求圆的方程．
4．处理解析几何问题时，主要表现在两个方面：(1)根据图形的性质，建立与之等价的代数
结构;(2)根据方程的代数特征洞察并揭示图形的性质．
5．要重视坐标法，学会如何借助于坐标系，用代数方法研究几何问题，体会这种方法所体现
的数形结合思想．
6.要善于综合运用初中几何有关直线和圆的知识解决本章问题；还要注意综合运用三角函数、
平面向量等与本章内容关系比较密切的知识．
第 1 课 直线的方程
【考点导读】
理解直线倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的几种形式，
能根据条件，求出直线的方程．
高考中主要考查直线的斜率、截距、直线相对坐标系位置确定和求在不同条件下的直线方
程，属中、低档题，多以填空题和选择题出现，每年必考.
【基础练习】
1. 直线 xcosα＋ 3 y＋2＝0 的倾斜角范围是 50, ,6 6
2. 过点 )3,2(P ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 1 0 3 2 0 或x y x y
3.直线 l 经过点（3，-1），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线 l 的方程为
4 2 或y x y x
4.无论 k 取任何实数，直线 1 4 2 3 2 14 0k x k y k 必经过一定点 P，则 P 的坐标
为（2，2）
【范例导析】
例 1.已知两点 A（－1，2）、B（m，3）
（1）求直线 AB 的斜率 k；
（2）求直线 AB 的方程；
（3）已知实数 m 3 1, 3 13
，求直线 AB 的倾斜角α的取值范围．
分析：运用两点连线的子斜率公式解决，要注意斜率不存在的情况.
解:（1）当 m=－1 时，直线 AB 的斜率不存在．
点
中点坐标
两点间距离
圆
位置关系
点与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
圆与圆的位置关系
方程形式
标准方程
一般方程
点到直线的距离
直
线
直线斜率与倾斜角
两条直线位置关系
平行
相交 垂直
方
程
形
式
点斜式
斜截式
两点式
截距式
一般式
点与直线位置关系
直
线
与
圆
的
方
程
空间直角坐标系
当 m≠－1 时， 1
1k m
，
（2）当 m=－1 时，AB：x=－1，
当 m≠1 时，AB： 12 11y xm
.
（3）①当 m=－1 时，
2
；
②当 m≠－1 时，
∵ 1 3, 3 ,1 3k m
∴ 2, ,6 2 2 3
故综合①、②得，直线 AB 的倾斜角 2,6 3
点拨：本题容易忽视对分母等于 0 和斜率不存在情况的讨论.
例 2.直线 l 过点 P(2,1),且分别交 x 轴、y 轴的正半轴于点 A、B、O 为坐标原点.
(1)当△AOB 的面积最小时,求直线 l 的方程;
(2)当|PA|·|PB|取最小值时,求直线 l 的方程.
分析： 引进合适的变量,建立相应的目标函数,通过寻找函数最值的取得条件来求 l 的方程.
解 （1）设直线 l 的方程为 y-1=k(x-2),则点 A(2- 1
k
,0),B(0,1-2k),且 2- 1
k
>0, 1-2k>0,即 k<0.
△AOB 的面积 S= 1
2
(1-2k)(2- 1
k
)= 1
2
[(-4k)+ 1
k
+4]≥4,当-4k= 1
k
,即 k= 1
2
时, △AOB 的面积
有最小值 4,则所求直线方程是 x+2y-4=0.
(2)解法一:由题设,可令直线方程 l 为 y-1=k(x-2).
分别令 y=0 和 x=0,得 A(2- 1
k
,0),B(0,1-2k),
∴ |PA| · |PB|= 2 2
2 2
1 1(4 4 )(1 ) 8 4( ) 4k kk k
, 当 且 仅 当 k2=1, 即 k= ± 1 时 ,
|PA|·|PB|取得最小值 4.又 k<0, ∴k=-1,这是直线 l 的方程是 x+y-3=0.
解法二:如下图,设∠BAO=θ,由题意得θ∈(0,
2
),且|PA|·|PB|=| | | | 4 4sin cos sin2
PE PF
当且仅当θ=
4
时, |PA|·|PB|取得最小值 4,此时直线 l 的斜率为-1, 直线 l 的方程是 x+y-3=0.
点评 ①求直线方程的基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线
的基本量.②在研究最值问题时，可以从几何图形开始，找到取最值时的情形，也可以从代数角
度出发，构建目标函数，利用函数的单调性或基本不等式等知识来求最值.
例 3.直线 l 被两条直线 l1：4x＋y＋3＝0 和 l2：3x－5y－5＝0 截得的线段中点为 P（－1，2）.
求直线 l 的方程.
分析 本题关键是如何使用好中点坐标，对问题进行适当转化.
解：解法一 设直线 l 交 l1 于 A（a，b），则点（－2－a，4－b）必在 l2，所以有
4 3 0
3( 2 ) 5(4 ) 5 0
a b
a b
，解得 2
5
a
b
直线 l 过 A(-2,5),P(-1,2),它的方程是 3x＋y＋1＝0.
解法二 由已知可设直线 l 与 l1 的交点为 A（－1＋m，2＋n），则直线 l 与 l2 的交点为 B（－1－m，
2－n），且 l 的斜率 k＝ n
m
，∵A,B 两点分别 l1 和 l2 上，∴ 4( 1 ) (2 ) 3 0
3( 1 ) 5(2 ) 5 0
m n
m n
，消去常
数项得－3m＝n，所以 k＝－3，
从而直线 l 的方程为 3x＋y＋1＝0.
解法三 设 l1、l2 与 l 的交点分别为 A,B，则 l1 关于点 P（－1，2）对称的直线 m 过点 B，利用对
称关系可求得 m 的方程为 4x＋y＋1＝0，因为直线 l 过点 B，故直线 l 的方程可设为 3x－5y－5
＋λ（4x＋y＋1）＝0.由于直线 l 点 P（－1，2），所以可求得λ＝－18，从而 l 的方程为 3x－5y
－5－18（4x＋y＋1）＝0，即 3x＋y＋1＝0.
点评 本题主要复习有关线段中点的几种解法，本题也可以先设直线方程，然后求交点，再根
据中点坐标求出直线 l 的斜率，但这种解法思路清晰，计算量大，解法一和解法二灵活运用中点
坐标公式，使计算简化，对解法二还可以用来求已知中点坐标的圆锥曲线的弦所在直线方程，
y
xO
P
E
F
B
A
例 2 图
解法三是利用直线系方程求解，对学生的思维层次要求较高。
【反馈练习】
1.已知下列四个命题①经过定点 P0(x0,y0)的直线都可以用方程 y-y0＝k(x-x0)表示；②经过任意两
个不同点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)＝(x-x1)(y2-y1)表示；③不经过原点
的直线都可以用方程
a
x +
b
y ＝1 表示；④经过定点 A(0，b)的直线都可以用方程 y＝kx+b 表示，
其中正确的是①③④
2.设直线 l 的方程为 2 3 2 6 0 3x k y k k ,当直线 l 的斜率为-1 时，k 值为__5__,当
直线 l 在 x 轴、y 轴上截距之和等于 0 时，k 值为 1 或 3
3.设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 ，且 sin +cos =0，则 a,b 满足的关系式为 0 ba
4.若直线 l：y＝kx 3 与直线 2x＋3y－6＝0 的交点位于第一象限，则直线 l 的倾斜角的取值范
围是 )2,6(
5.若直线 4x-3y-12＝0 被两坐标轴截得的线段长为
c
1 ，则 c 的值为
5
1
6．若直线(m2
─1)x─y─2m+1=0 不经过第一象限，则实数 m 的取值范围是 1 12
，
7.已知两直线 a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0 的交点为 P（2，3），求过两点 Q1（a1，b1）、Q2（a2，
b2）（a1≠a2）的直线方程
分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答
解：∵P（2，3）在已知直线上，∴ 2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=0
∴2（a1－a2）+3（b1－b2）=0，即
21
21
aa
bb
=－
3
2 ∴所求直线方程为 y－b1=－
3
2 （x－a1）
∴2x+3y－（2a1+3b1）=0，即 2x+3y+1=0
点拨：1.由已知求斜率; 2.运用了整体代入的思想，方法巧妙.
8.一条直线经过点 P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程：
（1）倾斜角是直线 x－4y+3=0 的倾斜角的 2 倍；
（2）与 x、y 轴的正半轴交于 A、B 两点，且△AOB 的面积最小（O 为坐标原点）
解：（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则θ＝2α，且 tanα＝
4
1 ，tanθ＝tan2α＝
15
8 ，
从而方程为 8x－15y+6=0
（2）设直线方程为
a
x ＋
b
y ＝1，a＞0，b＞0，
代入 P（3，2），得
a
3 ＋
b
2 ＝1≥2
ab
6 ，得 ab≥24，
从而 S△AOB＝
2
1 ab≥12，
此时
a
3 ＝
b
2 ，∴k＝－
a
b ＝－
3
2
点拨：此题（2）也可以转化成关于 a 或 b 的一元函数后再求其最小值
第 2 课 两条直线的位置关系
【考点导读】
1.掌握两条直线平行与垂直的条件，能根据直线方程判定两条直线的位置关系，会求两条相交
直线的交点，掌握点到直线的距离公式及两平行线间距离公式.
2.高考数学卷重点考察两直线平行与垂直的判定和点到直线的距离公式的运用，有时考察单一
知识点,有时也和函数三角不等式等结合，题目难度中等偏易.
【基础练习】
1.已知过点 A(-2，m)和 B(m，4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行，则 m 的值为-8
2.过点（－1，3）且垂直于直线 x－2y+3=0 的直线方程为 2x+y－1=0
3.若三条直线 2 3 8 0,x y 1 0x y 和 1 02x ky k 相交于一点，则 k 的值等于
1
2
.
【范例导析】
例 1.已知两条直线 1l :x+m2y+6=0, 2l :(m-2)x+3my+2m=0，当 m 为何值时, 1l 与 2l
（1） 相交；（2）平行；（3）重合？
分析：利用垂直、平行的充要条件解决.
解:当ｍ＝0 时， 1l ：x＋６＝０， 2l ：x＝０，∴ 1l ∥ 2l ，
当ｍ＝2 时， 1l ：x＋４y＋６＝０， 2l ：３y＋２＝０
∴ 1l 与 2l 相交；
当 m≠０且 m≠２时，由
m
m
m 32
1 2
得 m＝－１或 m＝３，由
mm 2
6
2
1
得 m＝3
故（１）当 m≠－１且 m≠３且 m≠０时 1l 与 2l 相交。
（２）m＝－１或 m＝０时 1l ∥ 2l ，
（３）当 m＝３时 1l 与 2l 重合。
点拨：判断两条直线平行或垂直时，不要忘了考虑两条直线斜率是否存在.
例 2.已知直线l 经过点 P（3，1），且被两平行直线 1l ：x+y+1=0 和 2l ：x+y+6=0 截得的线段之长
为 5。求直线l 的方程。
分析：可以求出直线l 与两平行线的交点坐标，运用两点距离公式求出直线斜率
解法一：:若直线l 的斜率不存在，则直线 l 的方程为 x=3，此时与 1l 、 2l 的交点分别是 A1（3，
-4）和
B1（3，-9），截得的线段 AB 的长|AB|=|-4+9|=5，符合题意。若直线l 的斜率存在，则设l 的方程
为 y=k（x-3）+1，
解方程组
1 0
3 1
x y
y k x
得 A（ ,1
23
k
k －
1
14
k
k ）
解方程组
6 0
3 1
x y
y k x
得 B（
1
73
k
k ，－
1
19
k
k ）
由|AB|=5 得
23 2 3 7
1 1
k k
k k
+
24 1 9 1
1 1
k k
k k
=25，
解之，得 k=0，即所求的直线方程为 y=1。
综上可知，所求l 的方程为 x=3 或 y=1。
解法二.设直线l 与 1l 、 2l 分别相交于 A（x1，y1）、B（x2，y2），则 x1+y1+1=0，
x2+y2+6=0。两式相减，得（x1-x2）+（y1-y2）=5 ①
又（x1-x2）2+（y1-y2）2=25 ②
联立① ②，可得 1 2
1 2
5
0
x x
y y
或 1 2
1 2
0
5
x x
y y
由上可知，直线l 的倾斜角为 0°或 90°，又由直线l 过点 P（3，1），故所求l 的方程为 x=3 或
y=1。
点拨：用待定系数法求直线方程时，要注意对斜率不存在的情况的讨论.
【反馈练习】
1.已知直线l 在 x 轴上的截距为 1，且垂直于直线 xy 2
1 ，则l 的方程是 22 xy
2.若直线 3)1( yaax 与 5)32()1( yaxa 互相垂直，则 a -3 或 1
3.若直线 l1：ax+2y+6=0 与直线 l2：x+（a－1）y+（a2－1）=0 平行，则 a 的值是___-1___.
4.已知
20 ，且点 )cos,1( 到直线 1cossin yx 的距离等于
4
1 ，则 等于
6
5. 经过直线 0732 yx 与 01157 yx 的交点，且平行于直线 032 yx 的直线方程是
3x+6y-2=0
6.线 1l 过点 )0,5(A ， 2l 过点 )1,0(B ， 1l ∥ 2l ，且 1l 与 2l 之间的距离等于 5，求 1l 与 2l 的方程。
解： 1l 与 2l 的方程分别为：12x-5y-60=0,12x-5y+5=0 或 x=5,x=0
7.已知 ABC 的三边方程分别为 AB: 4 3 10 0x y ，BC: 2 0y ，CA:3 4 5 0x y .
求：（1）AB 边上的高所在直线的方程；（2）∠BAC 的内角平分线所在直线的方程.
解：（1）AB 边上的高斜率为 3
4
且过点 C，解方程组 2 0
3 4 5 0
y
x y
得点 C（13
3
，2）所以 AB
边上的高方程为3 4 21 0x y .
（2）设 P ,x y 为∠BAC 的内角平分线上任意一点，则
2 22 2
4 3 10 3 4 5
4 3 3 4
x y x y
解得
7 7 5 0x y 或 15 0x y ，由图形知 7 7 5 0x y 即为所求.
第 3 课 圆的方程
【考点导读】
1.掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；理解圆的标
准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。
2.本节内容主要考查利用待定系数法求圆的方程，利用三角换元或数形结合求最值问题，题型
难度以容易题和中档题为主.
【基础练习】
1.已知点 A(3，－2)，B(－5，4)，以线段 AB 为直径的圆的方程为(x + 1)2 + (y－1)2 = 25
2.过点 A（1，－1）、B（－1，1）且圆心在直线 x＋y－2＝0 上的圆的方程是（x－1）2＋（y－1）
2＝4
3.已知圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上，直线 0443 yx 与圆 C 相切，则圆 C 的
方程为 0422 xyx
4.圆 2 2 4 2 0x y x y c 与 y 轴交于 A、B 两点，圆心为 P，若∠APB=120°，则实数 c 值为
_-11__
5.如果方程 2 2 0x y Dx Ey F 2 2 4 0D E F 所表示的曲线关于直线 y x 对称，
那么必有__D=E__
【范例导析】
【例 1】 设方程 2 2 2 42( 3) 2(1 4 ) 16 9 0x y m x m y m ，若该方程表示一个圆，求 m
的取值范围及这时圆心的轨迹方程。
分析:配成圆的标准方程再求解
解 ： 配 方 得 ： 22 2 2( 3) (1 4 ) 1 6 7x m y m m m 该 方 程 表 示 圆 ， 则 有
21 6 7 0m m ，得 1( ,1)7m ，此时圆心的轨迹方程为 2
3
4 1
x m
y m
，消去 m ，得
24( 3) 1y x ，由 1( ,1)7m 得 x=m+3 20 ,47
所求的轨迹方程是 24( 3) 1y x ，
20 ,47x
注意：方程表示圆的充要条件，求轨迹方程时，一定要讨论变量的取值范围，如题中 20 ,47x
变式 1：方程 2 2 4( 1) 4 0ax ay a x y 表示圆，求实数 a 的取值范围，并求出其中半径最
小的圆的方程。
解：原方程可化为
2 2
2
2
2( 1) 2 4( 2 2)( )a a ax ya a a
2 2 2 0,a a 当 a 0 时，原方程表示圆。
又 22 22
2 2 2
2 22 2( 4 4)4( 2 2) 2 2aa a aa ar a a a
当 min2, 2a r ，所以半径最小的圆方程为 2 21 1 2x y
例 2 求半径为 4，与圆 042422 yxyx 相切，且和直线 0y 相切的圆的方程．
分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．
解：则题意，设所求圆的方程为圆 222 )()( rbyaxC ： ．
圆C 与直线 0y 相切，且半径为 4，则圆心C 的坐标为 )4,(1 aC 或 )4,(2 aC ．
又已知圆 042422 yxyx 的圆心 A 的坐标为 )1,2( ，半径为 3．
若两圆相切，则 734 CA 或 134 CA ．
(1) 当 )4,(1 aC 时 ， 222 7)14()2( a ， 或 222 1)14()2( a ( 无 解 ) ， 故 可 得
1022 a ．
∴所求圆方程为 222 4)4()1022( yx ，或 222 4)4()1022( yx ．
(2) 当 )4,(2 aC 时 ， 222 7)14()2( a ， 或 222 1)14()2( a ( 无 解 ) ， 故
622 a ．
∴所求圆的方程为 222 4)4()622( yx ，或 222 4)4()622( yx ．
【反馈练习】
1. 关 于 x,y 的 方 程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表 示 一 个 圆 的 充 要 条 件 是 B=0 且 A=C ≠
0,D2+E2-4AF＞0
2.过点 P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是(5，-1)
3.若两直线 y=x+2k 与 y=2x+k+1 的交点 P 在圆 x2+y2=4 的内部，则 k 的范围是 1 15 k
4.已知圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，则这个圆的方程是
2 2 4 6 0x y x y
5.直线 y=3x+1 与曲线 x2+y2=4 相交于 A、B 两点，则 AB 的中点坐标是 3 1,10 10
6.方程 21 1 ( 1)x y 表示的曲线是_两个半圆
7.圆 2)4()3( 22 yx 关于直线 0 yx 的对称圆的方程是 2 2( 4) ( 3) 2x y
8.如果实数 x、y 满足等式 2 22 3x y ，那么 y
x
的最大值是 3
9.已知点 )1,1(A 和圆 4)7()5(: 22 yxC ，求一束光线从点 A 经 x 轴反射到圆周 C 的最
短路程为___8___
10．求经过点 A(5,2),B(3,2),圆心在直线 2x─y─3=0 上的圆的方程;
解：设圆心 P(x0,y0),则有
2
0
2
0
2
0
2
0
00
)2()3()2()5(
032
yxyx
yx
,
解得 x0=4, y0=5,
∴半径 r= 10 ,
∴所求圆的方程为(x─4)2+(y─5)2=10
11. 一圆与 y 轴相切，圆心在直线 x－3y=0 上，且直线 y=x 截圆所得弦长为 2 7 ，求此圆的方
程
解：因圆与 y 轴相切，且圆心在直线 x－3y=0 上，
故设圆方程为 2 2 2( 3 ) ( ) 9x b y b b
又因为直线 y=x 截圆得弦长为 2 7 ，
则有 2| 3 |( )
2
b b + 2( 7) =9b2，
解得 b=±1故所求圆方程为
2 2( 3) ( 1) 9x y 或 2 2( 3) ( 1) 9x y
点拨:（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）待定系数法;（3）尽量利用几何
关系求 a、b、r 或 D、E、F.
第 4 课 直线与圆的位置关系
【考点导读】
能利用代数方法和几何方法判定直线与圆的位置关系；熟练运用圆的有关性质解决直线与
圆、圆与圆的综合问题，运用空间直角坐标系刻画点的位置，了解空间中两点间的距离公式及
其简单应用.
【基础练习】
1.若直线 4x-3y-2=0 与圆 x2+y2-2ax+4y+a2-12=0 总有两个不同交点，则 a 的取值范围是-6＜a＜4
2.直线 x-y+4=0 被圆 x2+y2+4x-4y+6=0 截得的弦长等于 2 2
3.过点 P(2，1)且与圆 x2+y2-2x+2y+1=0 相切的直线的方程为 x=2 或 3x-4y-2=0 .
【范例导析】
例 1.已知圆 C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线 l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）.
（1）证明：不论 m 取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；
（2）求直线被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程.
分析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.
（1）证明：l 的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.
由 2 7 0
4 0
x y
x y
得 3
1
x
y
即 l 恒过定点 A（3，1）.
∵圆心 C（1，2），｜AC｜＝ 5 ＜5（半径）， ∴点 A 在圆 C 内，从而直线 l 恒与圆 C 相交于
两点.
（2）解：弦长最小时，l⊥AC，由 kAC＝－
2
1 ， ∴l 的方程为 2x－y－5=0.
点拨:直线与圆相交截得弦长的最小值时,可以从垂径定理角度考虑,充分利用圆的几何性质.
例 2.已知圆 O: 122 yx ，圆 C: 1)4()2( 22 yx ，由两圆外一点 ),( baP 引两圆切
线 PA、PB，切点分别为 A、B，满足|PA|=|PB|.求实数 a、b 间满足的等量关
系.
解：连结 PO、PC，∵|PA|=|PB|，|OA|=|CB|=1
∴|PO|2=|PC|2，从而 2222 )4()2( baba
化简得实数 a、b 间满足的等量关系为: 052 ba .
例 3.已知圆 C 与两坐标轴都相切，圆心 C 到直线 y x 的距离等于 2 .
求圆 C 的方程.
解：设圆 C 半径为 r ，由已知得：
2
2
a b
r a
a b
∴ 1
1
a b
r
，或 1
1
a b
r
∴圆 C 方程为 2 2 2 2( 1) ( 1) 1, ( 1) ( 1) 1x y x y 或 ＋ ＋ .
例 4.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，平行于 x 轴且过点 A(3 3，2)的入射光线 l1 被直线 l：y= 3
3 x
反射．反射光线 l2 交 y 轴于 B 点，圆 C 过点 A 且与 l1, l2 都相切.
(1)求 l2 所在直线的方程和圆 C 的方程；
(2)设 P，Q 分别是直线 l 和圆 C 上的动点，求 PB+PQ 的
最小值及此时点 P 的坐标．
解：（1）直线 1 : 2,l y 设 1 2 3 2l l D D交 于点 ，则 （ ，）.
l 的倾斜角为30 ， 2 60l 的倾斜角为 ， 2 3.k 反射光线 2l 所在的直线方程为
2 3( 2 3)y x . 即 3 4 0x y .
已知圆 C 与 1l A切于点 ，设C（a,b),
圆心 C 在过点 D 且与l 垂直的直线上， 3 8b a ,又圆心 C 在过点 A
且与 1l 垂直的直线上， 3 3a , 3 8 1b a ，圆 C 的半径 r=3，
故所求圆 C 的方程为 2 2( 3 3) ( 1) 9x y .
（ 2 ） 设 点 0, 4B 关 于 l 的 对 称 点 0 0( , )B x y ， 则
0 0
0
0
4 3
2 3 2
4 3
y x
y
x
， 得
( 2 3,2)B ,固定点 Q 可发现，当 B P Q、 、 共线时， PB PQ 最小，
故 PB PQ 的最小值为 3 2 21 3B C .此时由
1 3 3
2 1 2 3 3 3
3
3
y x
y x
,得 3 1( , )2 2P .
【反馈练习】
1.圆 x2+y2-4x=0 在点 P(1, 3 )处的切线方程为 3 2 0x y
2.已知直线l 过点 ），（ 02 ，当直线l 与圆 xyx 222 有两个交点时，其斜率 k 的取值范
围是 2 2
4
（ ， ）4
x
y
O
A
B
l2
l1
l
例 2
例 4
3.设 m>0,则直线 2 (x+y)+1+m=0 与圆 x2+y2=m 的位置关系为相切或相离
解析：圆心到直线的距离为 d=
2
1 m ,圆半径为 m .
∵d-r=
2
1 m - m =
2
1 (m-2 m +1)=
2
1 ( m -1)2≥0,∴直线与圆的位置关系是相切或相离.
4.圆(x-3)2+(y-3)2=9 上到直线 3x+4y-11=0 的距离等于 1 的点有个数为 3
5.点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 122 yx 逆时针方向运动
3
2 弧长到达 Q 点,则 Q 的坐标为
)2
3,2
1(
6.若圆 04
122 mxyx 与直线 1y 相切，且其圆心在 y 轴的左侧，则 m 的值为 3
4
7.设 P 为圆 122 yx 上的动点，则点 P 到直线 01043 yx 的距离的最小值为 1 .
8.已知平面区域
0
0
2 4 0
x
y
x y
恰好被面积最小的圆 2 2 2: ( ) ( )C x a y b r 及其内
部所覆盖．
(1)试求圆C 的方程.
(2)若斜率为 1 的直线l 与圆 C 交于不同两点 , .A B 满足CA CB ,求直线l 的方程.
解:(1)由题意知此平面区域表示的是以 (0,0), (4,0), (0,2)O P Q 构成的三角形及其内部,且△
OPQ 是直角三角形, 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是 5 ,
所以圆C 的方程是 2 2( 2) ( 1) 5x y .
(2)设直线l 的方程是: y x b .
因为 CA CB ,
所以圆心 C 到直线l 的距离是 10
2
,
即
2 2
| 2 1 | 10
21 1
b
解得: 1 5b .所以直线l 的方程是: 1 5y x .
2014 高中数学复习讲义 第九章 圆锥曲线
【知识图解】
【方法点拨】
解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。而圆锥曲线
是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线
两大特征。它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数
与几何的完美结合。高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。
圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程
往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方
法的能力要求较高。
1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理
论，又关注图形的几何性质.
2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解
决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，
探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运
算能力.
3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其
中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应
引起重视.
4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简
化解题过程
第 1 课 椭圆 A
【考点导读】
1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单
的几何性质;
2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一
些简单的实际问题.
【基础练习】
1．已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆
2
2 13
x y 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一
个焦点在 BC 边上，则△ABC 的周长是 4 3
2.椭圆 14 22 yx 的离心率为
2
3
3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F（－2 3 ，0），且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭圆的
标准方程是
2 2
116 4
x y
4. 已知椭圆 198
22
y
k
x 的离心率
2
1e ，则 k 的值为 54 4k k 或
【范例导析】
例 1.（1）求经过点 3 5( , )2 2
，且 2 29 4 45x y 与椭圆有共同焦点的椭圆方程。
（2）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的 3 倍，点 P（3,0）在该椭圆上，求椭圆
的方程。
【分析】由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是：①定位,即确定椭圆的焦点在哪轴上；②
定量，即根据条件列出基本量 a、b、c 的方程组，解方程组求得 a、b 的值;③写出方程.
圆
锥
曲
线 双曲线
椭圆
抛物线
几何性质
定义
几何性质
标准方程
定义
几何性质
标准方程
圆锥曲线应用
定义 标准方程
解：（1）∵椭圆焦点在 y 轴上，故设椭圆的标准方程为
2 2
2 2 1y x
a b
（ 0a b ），
由椭圆的定义知，
2 2 2 23 5 3 5 3 12 ( ) ( 2) ( ) ( 2) 10 10 2 102 2 2 2 2 2a ，
∴ 10a ，又∵ 2c ，∴ 2 2 2 10 4 6b a c ，
所以，椭圆的标准方程为
2 2
110 6
y x 。
（2）方法一：①若焦点在 x 轴上，设方程为
2 2
2 2 1 0x y a ba b
，
∵点 P（3,0）在该椭圆上∴ 2
9 1a
即 2 9a 又 3a b ，∴ 2 1b ∴椭圆的方程为
2
2 19
x y .
②若焦点在 y 轴上，设方程为
2 2
2 2 1 0y x a ba b
，
∵点 P（3,0）在该椭圆上∴ 2
9 1b
即 2 9b 又 3a b ，∴ 2 81a ∴椭圆的方程为
2 2
181 9
y x
方法二：设椭圆方程为 2 2 1 0, 0,Ax By A B A B .∵点 P（3,0）在该椭圆上∴9A=1，
即 1
9A ,又 3a b ∴ 11 81B 或 ， 2 81a ∴椭圆的方程为
2
2 19
x y 或
2 2
181 9
y x .
【 点 拨 】 求 椭 圆 标 准 方 程 通 常 采 用 待 定 系 数 法 ， 若 焦 点 在 x 轴 上 ， 设 方 程 为
2 2
2 2 1 0x y a ba b
，若焦点在 y 轴上，设方程为
2 2
2 2 1 0y x a ba b
，有时为了运算
方便，也可设为 2 2 1Ax By ，其中
0, 0,A B A B .
例 2.点 A、B 分别是椭圆 12036
22
yx 长轴的左、右端点，点 F 是椭圆的右焦点，点 P 在椭圆上，
且位于 x 轴上方， PFPA 。
（1）求点 P 的坐标；
（2）设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点，M 到直线 AP 的距离等于 || MB ，求椭圆上的点到点 M 的
距离 d 的最小值。
【分析】①列方程组求得 P 坐标；②解几中的最值问题通常可转化为函数的最值来求解，要注
意椭圆上点坐标的范围.
解：（1）由已知可得点 A(－6,0),F(0,4)
设点 P( x , y ),则 AP
=（ x +6, y ）, FP
=（ x －4, y ）,由已知可得
2 2
2
136 20
( 6)( 4) 0
x y
x x y
则 2 2x +9 x －18=0, x =
2
3 或 x =－6.
由于 y >0,只能 x =
2
3 ,于是 y =
2
35 . ∴点 P 的坐标是(
2
3 ,
2
35 )
(2) 直线 AP 的方程是 x － 3 y +6=0. 设点 M( m ,0),则 M 到直线 AP 的距离是
2
6m .
于是
2
6m = 6m ,又－6≤ m ≤6,解得 m =2. 椭圆上的点( x , y )到点 M 的距离 d 有
2 2 2 2 2 25 4 9( 2) 4 4 20 ( ) 159 9 2d x y x x x x ,
由于－6≤ m ≤6, ∴当 x =
2
9 时,d 取得最小值 15
点拨:本题考查了二次曲线上的动点与定点的距离范围问题，通常转化为二次函数值域问题.
【反馈练习】
1.如果 222 kyx 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是（0，1）
2.设椭圆的两个焦点分别为 F1、、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为等腰直
角三角形，则椭圆的离心率是 2 1
3.椭圆
312
22 yx =1 的焦点为 F1 和 F2，点 P 在椭圆上.如果线段 PF1 的中点在 y 轴上，那么|PF1|
是|PF2|的 7 倍
4.若椭圆
2 2
15
x y
m
的离心率 10
5e ,则 m 的值为 253 3
或
5.．椭圆 134
22
yx 的右焦点到直线 xy 3 的距离为 3
2
6.与椭圆
2 2
14 3
x y 具有相同的离心率且过点（2，- 3 ）的椭圆的标准方程是
2 2
18 6
x y 或
2 23 4 125 25
y x
7.椭圆 1416
22
yx 上的点到直线 022 yx 的最大距离是 10
8. 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P 到两焦点的距离分别为
3
54 和
3
52 ，过 P 点
作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
分析：讨论椭圆方程的类型，根据题设求出 a 和b （或 2a 和 2b ）的值．从而求得椭圆方程．
解：设两焦点为 1F 、 2F ，且
3
54
1 PF ，
3
52
2 PF ．
从椭圆定义知 522 21 PFPFa ．即 5a ．
从 21 PFPF 知 2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在 12FPFRt 中，
2
1sin
1
2
21
PF
PFFPF ，
可求出
621
FPF ，
3
52
6cos2 1 PFc ，从而
3
10222 cab ．
∴所求椭圆方程为 110
3
5
22
yx 或 1510
3 22
yx ．
第 2 课 椭圆 B
【考点导读】
1. 掌握椭圆的第二定义,能熟练运用两个定义解决椭圆的有关问题;
2. 能解决椭圆有关的综合性问题.
【基础练习】
1.曲线
2 2
1 610 6
x y mm m
与曲线
2 2
1 5 95 9
x y nn n
的（D）
A 焦点相同 B 离心率相等 C 准线相同 D 焦距相
等
2.如果椭圆 11625
22
yx 上的点 A 到右焦点的距离等于 4,那么点 A 到两条准线的距离分别是
2010 3
，
3 离心率
3
5e ，一条准线为 3x 的椭圆的标准方程是
2 29 15 20
x y
【范例导析】
例 1.椭圆 12
2
2
2
b
y
a
x （a>b>0）的二个焦点 F1(-c，0)，F2(c，0)，M 是椭圆上一点，且
021 MFMF 。
求离心率 e 的取值范围.
分析:离心率与椭圆的基本量 a、b、c 有关，所以本题可以用基本量表示椭圆上点的坐标，再借
助椭圆椭圆上点坐标的范围建立关于基本量的不等式，从而确定离心率的范围.
解：设点 M 的坐标为(x，y)，则 ),(1 ycxMF ， ),(2 ycxMF 。由 021 MFMF ，得
x2-c2+y2=0，即 x2-c2=-y2。 ①
又由点 M 在椭圆上，得 y2=b2 2
2
2
x
a
b ，代入①，得 x2-c2 22
2
2
bx
a
b ，即 2
22
22
c
baax 。
∵0≤ 2x ≤ 2a ，∴0≤ 2a 2
22
c
ba ≤ 2a ，即 0≤ 2
22
c
ca ≤1，0≤ 11
2
e
≤1，解得
2
2 ≤ e ≤1。
又∵0＜ e ＜1，∵
2
2 ≤ e ≤1.
例 2.如图，已知某椭圆的焦点是 F1(－4，0)、F2(4，0)，过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一
个交点为 B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点 A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|
成等差数列.
(1)求该弦椭圆的方程；
(2)求弦 AC 中点的横坐标.
分析：第一问直接可有第一定义得出基本量 a，从而写出方程；第二问涉及到焦半径问题，可以
考虑利用第二定义的得出焦半径表达式，结合等差数列的定义解决.
解：(1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得 a=5,又 c=4,所以 b= 22 ca =3.
故椭圆方程为
925
22 yx =1.
(2)由点 B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB|=
5
9 .因为椭圆右准线方程为 x= 4
25 ,离心率为
5
4 ，根据椭圆定义，有|F2A|= 5
4 ( 4
25 －x1),|F2C|= 5
4 ( 4
25 －x2)，
由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得
5
4 ( 4
25 －x1)+ 5
4 ( 4
25 －x2)=2×
5
9 ,由此得出：x1+x2=8.
设弦 AC 的中点为 P(x0,y0),则 x0= 2
21 xx =4.
【反馈练习】
1.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ，焦点到相应准线的距离为 1，则该椭圆的
离心率为
2
2
2．已知 F1、F2 为椭圆
2
2 12
x y 的两个焦点，过 F1 作倾斜角为
4
的弦 AB，则△F2AB 的面积
为 4
3
3.已知正方形 ABCD ，则以 A B， 为焦点，且过C D， 两点的椭圆的离心率为 2 1
4.椭圆 136100
22
yx 上的点 P 到它的左准线的距离是 10，那么点 P 到它的右焦点的距离是
12
5.椭圆 1925
22
yx 上不同三点 11 yxA ， ，
5
94，B ， 22 yxC ， 与焦点 04，F 的距离成等差
数列．
求证: 821 xx ；
证明：由椭圆方程知 5a ， 3b ， 4c ．
由圆锥曲线的统一定义知：
a
c
xc
a
AF
1
2 ，∴ 11 5
45 xexaAF ．
同理 25
45 xCF ．
∵ BFCFAF 2 ，且
5
9BF ，
∴
5
18
5
455
45 21
xx ，即 821 xx ．
第 3 课 双曲线
例 2
【考点导读】
1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,了解其几何性质
2. 能用双曲线的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题.
【基础练习】
1.双曲线 2 2 1mx y 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 1
4m
2. 方程 133
22
k
y
k
x 表示双曲线，则 k 的范围是 3 3k k 或
3．已知中心在原点，焦点在 y 轴的双曲线的渐近线方程为 xy 2
1 ，则此双曲线的离心率为 5
4. 已知焦点 1 2(5,0), ( 5,0)F F ，双曲线上的一点 P 到 1 2,F F 的距离差的绝对值等于 6 ，则双曲
线的标准方程为
2 2
19 16
x y
【范例导析】
例 1. (1) 已知双曲线的焦点在 y 轴上，并且双曲线上两点 1 2,P P 坐标分别为 9(3, 4 2),( ,5)4
，
求双曲线的标准方程;
（2）求与双曲线 1916
22
yx 共渐近线且过 332 ，A 点的双曲线方程及离心率．
分析：由所给条件求双曲线的标准方程的基本步骤是：①定位,即确定双曲线的焦点在哪轴上；
②定量，即根据条件列出基本量 a、b、c 的方程组，解方程组求得 a、b 的值;③写出方程.
解：（1）因为双曲线的焦点在 y 轴上，所以设所求双曲线的标准方程为
2 2
2 2 1( 0, 0)y x a ba b
①；
∵点 1 2,P P 在双曲线上，∴点 1 2,P P 的坐标适合方程①。
将 9(3, 4 2),( ,5)4
分别代入方程①中，得方程组：
2 2
2 2
2
2 2
( 4 2) 3 1
9( )25 4 1
a b
a b
将 2
1
a
和 2
1
b
看着整体，解得
2
2
1 1
16
1 1
9
a
b
，
∴
2
2
16
9
a
b
即双曲线的标准方程为
2 2
116 9
y x 。
点评：本题只要解得 2 2,a b 即可得到双曲线的方程，没有必要求出 ,a b 的值；在求解的过程
中也可以用换元思想，可能会看的更清楚。
（2）解法一：双曲线 1916
22
yx 的渐近线方程为： xy 4
3
当焦点在 x 轴时，设所求双曲线方程为 12
2
2
2
b
y
a
x 0, 0a b
∵ 3
4
a
b
，∴ ab 4
3 ①
∵ 332 ，A 在双曲线上
∴ 1912
22
ba
②
由①－②，得方程组无解
当焦点在 y 轴时，设双曲线方程为 12
2
2
2
b
x
a
y 0, 0a b
∵
4
3
a
b ，∴ ab 3
4 ③
∵ 332 ，A 在双曲线上，∴ 1129
22
ba
④
由③④得
4
92 a ， 42 b
∴所求双曲线方程为： 14
4
9
22
xy 且离心率
3
5e
解法二：设与双曲线 1916
22
yx 共渐近线的双曲线方程为： 0916
22
yx
∵点 332 ，A 在双曲线上，∴
4
1
9
9
16
12
∴所求双曲线方程为：
4
1
916
22
yx ，即 14
4
9
22
xy ．
点评：一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程
02
2
2
2
b
y
a
x 求双曲线方程较为方便．通常是根据题设中的另一条件确定参数 ．
例 2. 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听
到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各观测点到该中心的距离都
是 1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为 340m/ s :相关各点均在同一平
面上)
解：如图:
以接报中心为原点 O，正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设 A、B、C 分别是
西、东、北观测点，则 A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）
设 P（x,y）为巨响为生点，由 A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故 P 在 AC 的垂直平分线 PO
上，PO 的方程为 y=－x，因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360
由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线 12
2
2
2
b
y
a
x
上，
依题意得 a=680, c=1020，
1
3405680
34056801020
2
2
2
2
222222
yx
acb
故双曲线方程为
用 y=－x 代入上式，得 5680x ，∵|PB|>|PA|,
10680),5680,5680(,5680,5680 POPyx 故即
答：巨响发生在接报中心的西偏北 450 距中心 m10680 处.
例 3.双曲线 )0,1(12
2
2
2
ba
b
y
a
x 的焦距为 2c，直线l 过点（a，0）和（0，b），且点（1，
0）到直线l 的距离与点（－1，0）到直线l 的距离之和 .5
4 cs 求双曲线的离心率 e 的取值范围.
解：直线l 的方程为 1
b
y
a
x ，即 .0 abaybx
由点到直线的距离公式，且 1a ，得到点（1，0）到直线 l 的距离
221
)1(
ba
abd
，
同理得到点（－1，0）到直线 l 的距离
222
)1(
ba
abd
.22
2221 c
ab
ba
abdds
由 ,5
42,5
4 cc
abcs 得 即 .25 222 caca
于是得 .025254,215 2422 eeee 即
解不等式，得 .54
5 2 e 由于 ,01 e 所以 e 的取值范围是 .52
5 e
点拨：本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.
【反馈练习】
1.双曲线 142
22
yx 的渐近线方程为 xy 2
2.已知双曲线的离心率为 2 ，焦点是 ( 4 0) ， ， (4 0)， ，则双曲线方程为
2 2
14 12
x y
3.已知双曲线的两个焦点为 )0,5(1 F ， )0,5(2F ，P 是此双曲线上的一点，且 21 PFPF ，
2|||| 21 PFPF ，则该双曲线的方程是 14
2
2
yx
4. 设 P 是双曲线
2 2
2
x y 19a
－ ＝ 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 3 2 0x y ， 1F 、 2F 分别
例 2
y
xoA B
CP
是双曲线左右焦点，若 1PF =3,则 2PF =7
5.与椭圆
2 2
125 5
x y 共焦点且过点 (3 2, 2) 的双曲线的方程
2 2
1
20 2 10 2 10
x y
6. （1）求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点 31 ，P 且离心率为 2 的双曲线标准方程．
（2）求以曲线 01042 22 xyx 和 222 xy 的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长
为 12 的双曲线的标准方程．
解：（1）设所求双曲线方程为： 01
22
kk
y
k
x ，则 131 2
kk
，
∴ 191
kk
，∴ 8k ，∴所求双曲线方程为 188
22
xy
（2）∵
22
01042
2
22
xy
xyx ，∴
2
3
y
x 或
2
3
y
x ，∴渐近线方程为 xy 3
2
当焦点在 x 轴上时，由
3
2
a
b 且 6a ，得 4b ．
∴所求双曲线方程为 11636
22
yx
当焦点在 y 轴上时，由
3
2
b
a ，且 6a ，得 9b ．
∴所求双曲线方程为 18136
22
xy
7.设双曲线 12
2
2
2
b
y
a
x )0( ba 的半焦距为 c ，直线 l 过 )0,(a 、 ),0( b 两点，且原点到直
线l 的距离为 c4
3 ，求双曲线的离心率．
分析：由两点式得直线l 的方程，再由双曲线中 a 、b 、 c 的关系及原点到直线l 的距离建立等
式，从而解出
a
c 的值．
解：由l 过两点 )0,(a ， ),0( b ，得l 的方程为 0 abaybx ．
由点到l 的距离为 c4
3 ，得 c
ba
ab
4
3
22
．
将 22 acb 代入，平方后整理，得 0316)(16 2
2
2
2
2
c
a
c
a ．
令 xc
a 2
2
，则 031616 2 xx ．解得
4
3x 或
4
1x ．
而
a
ce ，有
xe 1 ．故
3
32e 或 2e ．
因 ba 0 ，故 21 2
222
a
b
a
ba
a
ce ，
所以应舍去
3
32e ．故所求离心率 2e ．
说明：此题易得出错误答案： 2e 或
3
32e ．其原因是未注意到题设条件 )0( ba ，从
而离心率 2e ．而 23
32 ，故应舍去．
8.已知双曲线的中心在原点，焦点 1 2,F F 在坐标轴上，离心率为 2 ，且过点 4, 10 ．
（1）求双曲线方程；（2）若点 3,M m 在双曲线上，求证： 1 2 0MF MF ；
（3）对于（2）中的点 M ，求 21MFF 的面积．
解：（1）由题意，可设双曲线方程为 2 2x y ，又双曲线过点 4, 10 ，解得 6
∴ 双曲线方程为 2 2 6x y ；
（2）由（1）可知， 6a b ， 2 3c ， ∴ 1 2 3,0F ， 2 2 3,0F
∴ 1 2 3 3,MF m ， 2 2 3 3,MF m ， ∴ 2
1 2 3MF MF m ，
又点 3,M m 在双曲线上， ∴ 29 6m ，
∴ 2 3m ， 即 1 2 0MF MF ；
（3） 1 2 1 2
1 1 4 3 3 62 2S F MF F F m ∴ 21MFF 的面积为 6．
第 4 课 抛物线
【考点导读】
1.了解抛物线的定义,掌握抛物线标准方程的四种形式和抛物线的简单几何性质.
2.会用抛物线的标准方程和几何性质解决简单的实际问题.
【基础练习】
1.焦点在直线 x－2y－4=0 上的抛物线的标准方程是 2 8 2 =16 或y x x y
2.若抛物线 2 2y px 的焦点与椭圆
2 2
16 2
x y 的右焦点重合，则 p 的值为 4
3.抛物线 )0(42 aaxy 的焦点坐标是__(a,0)_
4.抛物线 2 12y x 上与焦点的距离等于 9 的点的坐标是 6,6 2
5．点 P 是抛物线 xy 42 上一动点，则点 P 到点 )1,0( A 的距离与 P 到直线 1x 的距离和
的最小值 2
【范例导析】
例 1. 给定抛物线 y2=2x，设 A（a，0），a＞0，P 是抛物线上的一点，且｜PA｜=d，试求 d 的最
小值．
解：设 P（x0，y0）（x0≥0），则 y02=2x0，
∴d=｜PA｜= 2
0
2
0 )( yax
= 0
2
0 2)( xax = 12)]1([ 2
0 aax ．
∵a＞0，x0≥0，
∴（1）当 0＜a＜1 时，1－a＞0，
此时有 x0=0 时，dmin= 12)1( 2 aa =a．
（2）当 a≥1 时，1－a≤0，
此时有 x0=a－1 时，dmin= 12 a ．
例 2.如图所示，直线 1l 和 2l 相交于点 M， 1l ⊥ 2l ，点 1lN ，以 A、B 为端点的曲线段 C 上的任
一点到 2l 的距离与到点 N 的距离相等，若△AMN 为锐角三角形， 7AM ， 3AN ，且
6BN ，建立适当的坐标系，求曲线段 C 的方程．
分析：因为曲线段 C 上的任一点是以点 N 为焦点，以 2l 为准线的抛物线的一段，所以本题关键
是建立适当坐标系，确定 C 所满足的抛物线方程．
解：以 1l 为 x 轴，MN 的中点为坐标原点 O，建立直角坐标系．
由题意，曲线段 C 是 N 为焦点，以 2l 为准线的抛物线的一段，其中 A、B 分别
为曲线段的两端点．
∴设曲线段 C 满足的抛物线方程为： ),0,)(0(22 yxxxppxy BA 其
中 Ax 、 Bx 为 A、B 的横坐标
令 ,pMN 则 )0,2(),0,2( pNpM ， 3,17 ANAM
∴由两点间的距离公式，得方程组：
92)2(
172)2(
2
2
AA
AA
pxpx
pxpx
解得
1
4
Ax
p 或
2
2
Ax
p
例 2
∵△AMN 为锐角三角形，∴ Axp
2
，则 4p ， 1Ax
又 B 在曲线段 C 上， 4262
pBNxB
则曲线段 C 的方程为 ).0,41(82 yxxy
【反馈练习】
1.抛物线
2
8
yx 的准线方程是 2x
2.抛物线 )0(2 aaxy 的焦点到其准线的距离是
2
|| a
3.设 O 为坐标原点，F 为抛物线 xy 42 的焦点，A 为抛物线上的一点，若 4 AFOA ，则
点 A 的坐标为 2,2 2
4.抛物线 2y x 上的点到直线 4 3 8 0x y 距离的最小值是 4
3
5.若直线 l 过抛物线 2y ax (a>0)的焦点，并且与 y 轴垂直，若 l 被抛物线截得的线段长为 4，
则 a= 1
4
6.某抛物线形拱桥跨度是 20 米，拱高 4 米，在建桥时每隔 4 米需用一支柱支撑，求其中最长的
支柱的长.
解：以拱顶为原点，水平线为 x 轴，建立坐标系，
如图，由题意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B 坐标分别为(－10，－4）、(10，－4）
设抛物线方程为 x2=－2py,将 A 点坐标代入，得 100=－2p×(－4),解得 p=12.5,
于是抛物线方程为 x2=－25y.
由题意知 E 点坐标为(2，－4)，E′点横坐标也为 2，将 2 代入得 y=－0.16,从而|EE′|=
(－0.16)－(－4)=3.84.故最长支柱长应为 3.84 米.
7.已知抛物线的顶点在原点，焦点 F 在 x 轴的正半轴，且过点 P（2,2），过 F 的直线交抛物线于
A，B 两点.（1）求抛物线的方程；
（2）设直线 l 是抛物线的准线，求证：以 AB 为直径的圆与直线 l 相切．
分析：可设抛物线方程为 )0(22 ppxy ．用待定系数法求得方程，对于第二问的证明只须证
明 12 MMAB ，则以 AB 为直径的圆，必与抛物线准线相切.
解：（1）设抛物线的方程 2 2 0y px p ，将（2，2）代入得 1p ∴所求抛物线方程为 2 2y x
（2）证明：作 lAA 1 于 lBBA 11, 于 1B ．M 为 AB 中点，作 lMM 1 于 1M ，则由抛物线的
定义可知： BFBBAFAA 11 ,
在直角梯形 AABB 11 中：
ABBFAFBBAAMM 2
1)(2
1)(2
1
111
ABMM 2
1
1 ，故以 AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切．
点拨：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦
为直径的圆与相应的准线相交．
第 6 题
第 5 课 圆锥曲线的统一定义
【考点导读】
1. 了解圆锥曲线的第二定义.
2. 能用第二定义解决简单的圆锥曲线问题.
【基础练习】
1.抛物线 2 6y x 的焦点的坐标是 3( ,0)2
, 准线方程是 3
2x
2..如果双曲线的两个焦点分别为 )0,3(1 F 、 )0,3(2F ，一条渐近线方程为 xy 2 ，那么它的
两条准线间的距离是 2
3.若双曲线
2
2 1x ym
上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 1
3
，则 m =
8
1
4.点 M 与点 F (4,0) 的距离比它到直线: 5 0x 的距离小 1,则点 M 的轨迹方程是 2 16y x
【范例导析】
例 1.已知双曲线的渐近线方程为 023 yx ，两条准线间的距离为 1313
16 ，求双曲线标准方
程．
分析：（可根据双曲线方程与渐近线方程的关系，设出双曲线方程，进而求出双曲线标准方程．
解：∵双曲线渐近线方程为 xy 3
2 ，∴设双曲线方程为 0194
22
yx
①若 0 ，则 42 a ， 92 b
∴准线方程为：
13
1342
c
ax ，∴
13
1316
13
138 ，∴ 4
②若 0 ，则 92 a ， 42 b
∴准线方程为：
13
1392
c
ay ，∴
13
1316
13
1318 ，∴
81
64
∴所求双曲线方程为： 13616
22
yx 或 1256
81
64
9 22
xy
点拨：求圆锥曲线方程时，一般先由条件设出所求方程，然后再根据条件列出基本的方程组解
方程组得出结果.
例 2.已知点 03，A ， 02，F ，在双曲线 13
2
2 yx 上求一点 P ，使 PFPA 2
1 的值最小．
解：∵ 1a ， 3b ，∴ 2c ，∴ 2e
设点 P 到与焦点 02，F 相应准线的距离为 d 则 2
d
PF
∴ dPF
2
1 ，∴ dPAPFPA
2
1
至此，将问题转化成在双曲线上求一点 P ，
使 P 到定点 A 的距离与到准线距离和最小．
即到定点 A 的距离与准线距离和最小为直线 PA 垂直于准线时，
解之得，点
23
21，P ．
点拨：灵活巧妙地运用双曲线的比值定义于解题中，将会带给我们意想不到的方便和简单．教
学中应着重培养学生灵活运用知识的能力．
【反馈练习】
1.若双曲线 12
2
ym
x 上的点到左准线的距离是到左焦点距离的
3
1 ，则 m 8
1
2.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ，焦点到相应准线的距离为 1，则该椭圆的
离心率为
2
2
3.已知双曲线 )0( 12
2
2
ay
a
x 的一条准线为
2
3x ，则该双曲线的离心率为
2
3
4 双曲线 1916
22
yx 右支点上的一点 P 到右焦点的距离为 2，则 P 点到左准线的距离为
8
第 6 课 圆锥曲线综合
【考点导读】
1. 在理解和掌握圆锥曲线的定义和简单几何性质的基础上,把握有关圆锥曲线的知识内在联系,
灵活地运用解析几何的常用方法解决问题.
2. 通过问题的解决,理解函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想.
3. 能够抓住实际问题的本质建立圆锥曲线的数学模型,实现实际问题向数学问题的转化,并运
用圆锥曲线知识解决实际问题.
【基础练习】
1. 给出下列四个结论：
①当 a 为任意实数时，直线 012)1( ayxa 恒过定点 P，则过点 P 且焦点在 y 轴上的抛
物线的标准方程是 yx 3
42 ；
②已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为 02 yx ，则双曲线的标准方程是
1205
22
yx ；
③抛物线
ayaaxy 4
1)0(2 的准线方程为 ；
④已知双曲线 14
22
m
yx ，其离心率 )2,1(e ，则 m 的取值范围是（－12，0）。
其中所有正确结论的个数是 4
2.设双曲线以椭圆 1925
22
yx 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近
线的斜率为
2
1
3.如果椭圆 1936
22
yx 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是 082 yx
【范例导析】
例 1. 已知抛物线 2 4x y 的焦点为 F，A、B 是热线上的两动点，且 ( 0).AF FB 过 A、
B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M。
（I）证明 .FM AB
为定值；
（II）设 ABM 的面积为 S，写出 ( )S f 的表达式，并求 S 的最小值。
解：（1）F 点的坐标为(0,1)设 A 点的坐标为
2
1
1, 4
xx
B 点的坐标为
2
2
2 , 4
xx
由 ( 0).AF FB 可得
2 2
1 2
1 2,1 , 14 4
x xx x
因此
1 2
2 2
1 21 ( 1)4 4
x x
x x
过 A 点的切线方程为
2
1 1
1( )4 2
x xy x x (1)
过 B 点的切线方程为
2
2 2
2( )4 2
x xy x x (2)
解(1)( 2)构成的方程组可得点 M 的坐标,从而得到 FM AB
=0 即为定值
（2） FM AB
=0 可得 FM AB 三角形面积 ( ) 2
FM ABS f
21 1, ( )FM AB
所以 3 31 1 1( ) ( ) 2 42 2 2
FM ABS f
当且仅当 1 时取等号
点拨：本题主要考察共线向量的关系,曲线的切线方程,直线的交点以及向量的数量积等知识点
涉及均值不等式,计算较复杂.难度很大
【反馈练习】
1.已知双曲线的中心在原点，离心率为 3 .若它的一条准线与抛物线 xy 42 的准线重合，则该
双曲线与抛物线 xy 42 的交点到原点的距离是 21
2.设 1 2F F， 分别是双曲线
2
2 19
yx 的左、右焦点．若点 P 在双曲线上，且 1 2 0PF PF
，则
1 2PF PF
2 10
3.设 P 是椭圆
2 2
19 4
x y 上一点， 1F 、 2F 是椭圆的两个焦点，则 1 2cos F PF 的最小值是 1
9
4.已知以 F1（2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线 3 4 0x y 有且仅有一个交点，则椭圆
的长轴长为 72
5. 双曲线 C 与椭圆
2 2
149 24
x y 的焦点相同，离心率互为倒数，则双曲线 C 的渐近线的方程是
xy 5
62
6.已知椭圆
2 2
125 9
x y 与双曲线
2 2
19 7
x y 在第一象限内的交点为 P ，则点 P 到椭圆右焦点
的距离等于__2 _
7.如图，点 A 是椭圆 C： )0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x 的短轴位于 x 轴下方的端点，过 A 作斜率为 1
的直线交椭圆于 B 点，点 P 在 y 轴上，且 BP∥x 轴， APAB ＝9,若点 P 的坐标为(0，1)，求椭
圆 C 的方程.
8.在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆C 与直线 y x 相切于坐
标原点O ．椭圆
2 2
2 19
x y
a
与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．求圆C 的方程.
解：设圆心坐标为(m，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8 已知该圆与直线 y=x 相
切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则
2
nm
=2 2
即 nm =4 ①
又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得
m2+n2=8 ②
联立方程①和②组成方程组解得
2
2
n
m
故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8
9.已知动圆过定点 ,02
p
，且与直线
2
px 相切，其中 0p ,求动圆圆心C 的轨迹的方程.
解：如图，设 M 为动圆圆心， ,02
p
为记为 F ，过点 M 作直线
2
px 的垂线，垂足为 N ，
由题意知： MF MN 即动点 M 到定点 F 与定直线
2
px 的距离相等
由抛物线的定义知，点 M 的轨迹为抛物线，其中 ,02
pF
为焦点，
2
px 为准线
所以轨迹方程为 2 2 ( 0)y px P ；
y A
xo
B
,02
pF
MN
2
px
第 9 题
2014 高中数学复习讲义 第十章 算法初步与框图
【知识图解】
【方法点拨】
1.学习算法要理解算法的含义.明确建立算法就是设计完成一件事的操作步骤.一般地说，这
样的操作步骤应该具有通用性，能处理一类问题.
2.掌握算法的三种基本结构.顺序结构、条件结构和循环结构是算法的三种基本结构.要通.
具体实例了解三种基本结构的使用范围，通过流程图认识它们的基本特征.
3.掌握流程图的画法.用流程图表示算法具有、清晰的特点，也是高考重点考查的内容，要
予以重视.特别是循环结构的流程图，对判断框中的条件与前测试还是后测试之间的关系一定要
弄清楚.
4.熟悉建立算法的基本操作程序.建立算法的操作程序一般为：先探寻解决问题的方法，并
用通俗的语言进行表述，再将通俗的算法语言用流程图直观表示，最后根据流程图选择适当的
算法语句用伪代码表示算法过程.
第 1 课 算法的含义
【考点导读】
正确理解算法的含义.掌握用自然语言分步骤表达算法的方法. 高考要求对算法的含义有最
基本的认识，并能解决相关的简单问题.
【基础练习】
1．下列语句中是算法的个数为 3 个
①从济南到巴黎：先从济南坐火车到北京，再坐飞机到巴黎；
②统筹法中“烧水泡茶”的故事；
③测量某棵树的高度，判断其是否是大树；
④已知三角形的一部分边长和角，借助正余弦定理求得剩余的边角，再利用三角形的面积公式
求出该三角
形的面积.
2．早上从起床到出门需要洗脸刷牙（5 min）、刷水壶（2 min）、烧水（8 min）、泡面（3 min）、
吃饭（10 min）、
听广播（8 min）几个步骤.从下列选项中选最好的一种算法 ③ .
①S1 洗脸刷牙、S2 刷水壶、S3 烧水、S4 泡面、S5 吃饭、S6 听广播
②S1 刷水壶、S2 烧水同时洗脸刷牙、S3 泡面、S4 吃饭、S5 听广播
③S1 刷水壶、S2 烧水同时洗脸刷牙、S3 泡面、S4 吃饭同时听广播
④S1 吃饭同时听广播、S2 泡面、S3 烧水同时洗脸刷牙、S4 刷水壶
3．写出交换两个大小相同的杯子中的液体（A 水、B 酒）的两个算法.
答案：解析：算法 1：
S1.再找一个大小与 A 相同的空杯子 C；
S2.将 A 中的水倒入 C 中；
S3.将 B 中的酒倒入 A 中；
S4.将 C 中的水倒入 B 中，结束.
算法 2：
S1.再找两个空杯子 C 和 D；
S2.将 A 中的水倒入 C 中，将 B 中的酒倒入 D 中；
算法
算法的描述
流程图 伪代码自然语言
条
件
结
构
循
环
结
构
顺
序
结
构
条
件
结
构
循
环
结
构
输
入
( 出
) 语
句
顺
序
结
构
顺
序
结
构
顺
序
结
构
S3.将 C 中的水倒入 B 中，将 D 中的酒倒入 A 中，结束.
注意：一个算法往往具有代表性，能解决一类问题，如，可以引申为：交换两个变量的值.
4．写出求 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7 的一个算法.
解析：本例主要是培养学生理解概念的程度，了解解决数学问题都需要算法
算法一：按照逐一相加的程序进行.
第一步 计算 1＋2，得到 3；
第二步 将第一步中的运算结果 3 与 3 相加，得到 6；
第三步 将第二步中的运算结果 6 与 4 相加，得到 10；
第四步 将第三步中的运算结果 10 与 5 相加，得到 15；
第五步 将第四步中的运算结果 15 与 6 相加，得到 21；
第六步 将第五步中的运算结果 21 与 7 相加，得到 28.
算法二：可以运用公式 1＋2＋3＋…＋n＝n（n＋1）
2
直接计算.
第一步 取 n＝7；第二步 计算n（n＋1）
2
；第三步 输出运算结果.
点评：本题主要考查学生对算法的灵活准确应用和自然语言表达一个问题的算法的方法.算法不
同，解决问题的繁简程度也不同，我们研究算法，就是要找出解决问题的最好的算法.
【范例解析】
例 1 下列关于算法的说法，正确的有 .
（1）求解某一类问题的算法是惟一的 （2）算法必须在有限步骤操作之后停
止
（3）算法的每一操作必须是明确的，不能有歧义或模糊（4）算法执行后一定产生确定的结果
解 由于算法具有可终止性，明确性和确定性，因而（2）（3）（4）正确，而解决某类问题的算
法不一定是惟一的，从而（1）错.
例 2.写出解方程 x2-2x-3=0 的一个算法.
分析 本题是求一元二次方程的解的问题，方法很多，下面利用配方法，求根公式法写出这个
问题的两个算法
算法一：
（1）移项，得 x2-2x=3； ①
（2）①两边同加 1 并配方，得(x-1)2=4 ②
（3）②式两边开方，得 x-1= 2; ③
（4）解③，得 x=3 或 x=-1.
算法二：（1）计算方程的判别式，判断其符号： 22 4 3 16 0;
（2）将 a=1，b=-2,c= -3,代入求根公式，得
2
1,2 1 2
4 , 3, 1.2
b b acx x xa
得
点评 比较两种算法，算法二更简单，步骤最少，由此可知，我们只要有公式可以利用，利用
公式解决问题是最理想，合理的算法.因此在寻求算法的过程中，首先是利用公式.下面我们设
计一个求一般的一元二次方程的 ax2+bx+c=0 根的算法如下：
(1) 计 算 2 4b ac （ 2 ） 若 0; （ 3 ） 方 程 无 实 根 ; （ 4 ） 若 0; （ 5 ） 方 程 根
2
1,2
4
2
b b acx a
例 3：一个人带三只狼和三只羚羊过河.只有一条船，同船可以容一个人和两只动物.没有人在的
时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊.
（1）设计安全渡河的算法;
（2）思考每一步算法所遵循的相同原则是什么.
解析：（1）S1 人带两只狼过河.
S2 人自己返回.
S3 人带两只羚羊过河.
S4 人带一只狼返回.
S5 人带一只羚羊过河.
S6 人自己返回.
S7 人带两只狼过河.
（2）在人运送动物过河的过程中，人离开岸边时必须保证每个岸边的羚羊数目要大于狼的数目.
点评 这是一个实际问题，生活中解决任何问题都需要算法，我们要在处理实际问题的过程中
理解算法的含义，体会算法设计的思想方法.
【反馈演练】：
1．下面对算法描述正确的一项是 C .
A．算法只能用伪代码来描述 B．算法只能用流程图来表示
C．同一问题可以有不同的算法 D．同一问题不同的算法会得到不同的结果
解析：自然语言、图形和伪代码都可以表示算法，只要是同一问题，不同的算法也应该有相同
的结果.
2．计算下列各式中的 S 的值，能设计算法求解的是 ① ③ .
① 100321 S ；② 321S ；③ )2(321 N nnnS 且
解析：因为算法步骤具有“有限性”特点，故②不可用算法求解.
3．已知一个学生的语文成绩为 89，数学成绩为 96，外语成绩为 99，求他的总分和平均成绩的
一个算法为：
第一步 取 A＝89，B＝96，C＝99;
第二步 ① ；
第三步 ② ；
第四步 输出 D，E.
请将空格部分（两个）填上适当的内容
答案：①计算总分 D＝A+B+C ②计算平均成绩 E＝
3
D
4．写出 1×2×3×4×5×6 的一个算法.
答案：解析：按照逐一相乘的程序进行.
第一步 计算 1×2，得到 2；
第二步 将第一步中的运算结果 2 与 3 相乘，得到 6；
第三步 将第二步中的运算结果 6 与 4 相乘，得到 24；
第四步 将第三步中的运算结果 24 与 5 相乘，得到 120；
第五步 将第四步中的运算结果 120 与 6 相乘，得到 720；
第六步 输出结果.
5．已知一个三角形的三边边长分别为 2、3、4，设计一个算法，求出它的面积.
答案：解析：可利用公式
S＝ ))()(( cpbpapp 求解.
第一步 取 a＝2，b＝3，c＝4；
第二步 计算 p＝
2
cba ；
第三步 计算三角形的面积 S＝ ))()(( cpbpapp ；
第四步 输出 S 的值.
6. 求 1734，816，1343 的最大公约数.
分析：三个数的最大公约数分别是每个数的约数，因此也是任意两个数的最大公约数的约数，
也就是说三个数的最大公约数是其中任意两个数的最大公约数与第三个数的最大公约数.
解：用“辗转相除法”.
先求 1734 和 816 的最大公约数，
1734=816×2+102；
816=102×8；
所以 1734 与 816 的最大公约数为 102.
再求 102 与 1343 的最大公约数，
1343=102×13+17；102=17×6.
所以 1343 与 102 的最大公约数为 17，即 1734，816，1343 的最大公约数为 17.
7. 写出用二分法求关于 x 的方程 x2－2＝0 的根（精确到 0.005）的算法.
第一步 令 f(x)=x2-2，因为 f(1)<0，f(2)>0，所以设 x1=1，x2=2
第二步 令 m=(x1+x2)/2，判断 f(m)是否为 0，若是，则 m 为所求，否则，则继续判断 f(x1)·f(m)
大于 0 还是小于 0.
第三步 若 f(x1)·f(m) >0 则令 x1=m，否则 x2=m.
第四步 判断|x1-x2|<0.005 是否成立？若是则 x1、x2 之间的任意值均为满足条件的近似值；否则
返回第二步.
点评 .区间二分法是求方程近似解的常用算法，其解法步骤为
S1 取［a，b］的中点 x0=（a+b）/2；
S2 若 f(x0)=0，则 x0 就是方程的根，否则
若 f(a)f(x0)>0，则 a←x0；否则 b←x0；
S3 若|a－b|b ；（2） b-a
【范例解析】
例 1.已知梯形的上底、下底和高分别为 5、8、9，写出求梯形的面积的算法，画出流程图.
解 算法如下
S1 a←5；
S2 b←8；
开始
结束
b
h
a 5
8
9
S ( + )× /2a b h
输出S
（第 3 题）
开始
①
输入 a,b
结束
输出 a-b 输出 ②
NY
S3 h←9；
S4 S←（a+b）×h/2；
S5 输出 S.
流程图为 ：
点评 本题中用的是顺序结构是最简单的算法结构，是任何一个算法都离不开的基本结构.
例 2 .设计求解不等式 ax＋b＞0（a≠0）的一个算法，并用流程图表示.
解：第一步 输入 a，b；
第二步 0
bx a
第三步 若 a＞0，那么输出 x>x0,否则输出 x20 .
结束
输出 s
开始
s=0,n=2,i=1
s=s+1/n
n=n+2
i=i+1
Y
N
(第 4 题) (第 5 题)结束
输出 a
开始
a=b
输出 a,b,c
a>b
a>c
a=c
Y
Y
N
N
（第 2 题）
开始
a>0
0 /x b a
输入 a,b
结束
输出 x>x0
输出 xb then
Print b
Else
Print a
End if
第 4 课 算法语句 B
【考点导读】
1.循环结构的算法用循环语句表示.
2 理解“While 循环”和“For 循环”，前者是前测试的当当型循环，后者是在循环次数已知时使
用的循环.
【基础练习】
1．下列伪代码中的循环次数为 9 ．
s←0
For I from 1 to 25 step 3
s←s+I
End for
Print s
2. 要 使 以 下 For 循 环 执 行 20 次 ， 循 环 变 量 的 初 值 应 该 是
14 .(For k From To -5 Step -1)
3.下面这段伪 代码的功能 计算其中小于 0 数的个数 .
I 1
For n from 1 to 11 step 2
I 2I+1
If I>20 Then
I I－20
End if
End for
Print I
（第 2 题）
Read x
If x≤5 Then
y←10x
Else
4．下面是一个算法的伪代码．如果输出的 y 的值是 20，则输入的 x 的值是 2 或 6 .
解析：若 5x ，由 2010 x ，则 2x ；若 5x ，由 2055.2 x ，得 6x .
【范例解析】
例 1.设计算法，求 1 1 1 1(1 )(1 )(1 )...(1 )2 3 4 100
的值.
解 伪代码：
s←1
For I from 2 to 100
1(1 )S S I
End for
Print s
点评 本题是连乘求积的问题，自然想到用循环语句设计算法，算法的设计又带有灵活性和通
用性，熟练地掌握这一类题的解法，对于解决与此相关的问题有很大帮助.
例 3.某城市现有人口总数为 100 万人，如果年自然增长率为 1.2%，试解答下面的问题：
（1）写出该城市人口数 y（万人）与年份 x（年）的函数关系式；
（2）用伪代码写出计算 10 年以后该城市人口总数的算法；
（3）用伪代码写出计算大约多少年以后该城市人口将达到 120 万人.
解：（1）y=100×（1+0.012）x.
（2）10 年后该城市人口总数为 y=100×（1+0.012）10.
算法如下：
y←100
t←1.012
For I from 1 to 10
y←y×t
End for
Print y
End
（3）设 x 年后该城市人口将达到 120 万人，即 100×（1+0.012）x=120.
算法如下：
S←100
I←1.012
T←0
While S<120
S←S×I
T←T+1
End while
Print T
End
【反馈演练】
1．如果执行下面的程序框图，那么输出的 S 2550 .
3．下图是一个循环结构的算法，下列说法中：(1)①是循环变量的初始化，循环将要开始；(2)
②为循环体；(3)③是判断是否继续循环的条件；(4)①可以省略不写．其中正确的的是 ① ②
③ ．
4．在如下程序框图中，输入 f0(x)=cosx，则输出的是 cosx ．
5. 当 x=2 时 ，下面程序运行结果是 15 . 1i
开始
1k
0S
50?k ≤
是
2S S k
1k k
否
输出 S
结束
开始
n←1
a←15n
输出 a
n←n+1
n>66
结束
Y
N
①
③
②
(第 3 题)
N
Y
开始
输入 f0(x)
i←0
i←i+1
fi (x)←f’i-1 (x)
i=2008
输出 fi(x)
结束 (第 4 题)
0s
While 4i
1s s x
1i i
End while
Print s
End
6．依据不同条件，给出下面的流程图的运行结果：
（1）当箭头 a 指向①时，输出 S 6 ；
（2）当箭头 a 指向②时，输出 S 20 .
；
7.已知数列{ }na 中， 1 2a ，且 1n na n a ( 2)n ，求这个数列的第 m 项 ma 的值 ( 2)m .现给
出此算法流程图的一部分，请将空格部分（两个）填上适当的内容① 2
② m+1
开始
0S
1i
①
②
a
输出 S
S S i
N
结束
1i i
5i
Y
(第 6 题)
Y
输入 m
S←T+S
N
Y
T≥ ②
结束
输出 m,S
开始
T←T+1
S←2，T← ①
(第 7 题)
(第 5 题)
2014 高中数学复习讲义 第十一章 统计与概率
【知识图解】
【方法点拨】
1、 准确理解公式和区分各种不同的概念
正确使用概率的加法公式与乘法公式、随机变量的数学期望与方差的计算公式.注意事件的
独立性与互斥性是两个不同的概念，古典概型与几何概型都是等可能事件，对立事件一定是
互斥事件，反之却未必成立.
2、 掌握抽象的方法
抽象分为简单的随机抽样、系统抽样、分层抽样.系统抽样适用于总体较多情况，分层抽样
适用于总体由几个差异明显的部分组成的情况.
3、 学会利用样本和样本的特征数去估计总体
会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，并体会它们各自特点，特别
注意频率分布直方图的纵坐标为频率/组距；会计算样本数据平均数、方差（标准差），利用
样本的平均数可以估计总体的平均数，利用样本的方差估计总体的稳定程度.
4、 关于线性回归方程的学习
在线性相关程度进行校验的基础上，建立线性回归分析的基本算法步骤.学会利用线性回归
的方法和最小二乘法研究回归现象，得到的线性回归方程（不要求记忆系数公式）可用于预
测和估计，为决策提供依据.
第 1 课 抽样方法
【考点导读】
1. 抽样方法分为简单随机抽样、系统抽样、分层抽样.
2 .系统抽样适用于总体个数较多情况，分层抽样适用于总体由几个差异明显的部分组成的情况.
【基础练习】
1．为了了解全校 900 名高一学生的身高情况，从中抽取 90 名学生进行测量，下列说法正确的
是 ④ .
总体
抽样 分析 估计
简
单
随
机
抽
样
系
统
抽
样
分
层
抽
样
样
本
分
布
样
本
特
征
数
相
关
系
数
总
体
分
布
总
体
特
征
数
相
关
系
数
统计
概
率
等可能事件
必然事件
随机事件
不可能事件
概率分布
随机变量
随机现象
概 率
独立性
数字特征
条件概率
事件独立性
数学期望
方 差
应 用
古典概型
几何概型
概率
互斥、对立事件
①总体是 900 ②个体是每个学生 ③样本是 90 名学生 ④样本容量是 90
2．对总数为 N 的一批零件抽取一个容量为 30 的样本，若每个零件被抽到的概率为 0.25，则 N
的值为 120 .
3．高三年级有 12 个班，每班 50 人按 1—50 排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为 18
的同学留下进行交流，这里运用的是 系统 抽样法.
4．某校有学生 2000 人，其中高三学生 500 人．为了解学生身体情况，采用按年级分层抽样的
方法，从该校学生中抽取一个 200 人的样本，则样本中高三学生的人数为 50
5.将参加数学竞赛的 1000 名学生编号如下：0001，0002，0003，…，1000，打算从中抽取一个
容量为 50 的样本，按系统抽样的方法分成 50 个部分，如果第一部分编号为 0001，0002，0003，…，
0020，第一部分随机抽取一个号码为 0015，则抽取的第 40 个号码为 0795 ．
【范例解析】
例 1：某车间工人加工一种轴 100 件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取 10 件轴在同一条件
下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？
分析 简单随机抽样一般采用两种方法：抽签法和随机数表法.
解法 1：（抽签法）将 100 件轴编号为 1，2，…，100，并做好大小、形状相同的号签，分别写
上这 100 个数，将这些号签放在一起，进行均匀搅拌，接着连续抽取 10 个号签，然后测量这个
10 个号签对应的轴的直径.
解法 2：（随机数表法）将 100 件轴编号为 00，01，…99，在随机数表中选定一个起始位置，如
取第 21 行第 1 个数开始，选取 10 个为 68，34，30，13，70，55，74，77，40，44，这 10 件即
为所要抽取的样本.
点评 从以上两种方法可以看出，当总体个数较少时用两种方法都可以，当样本总数较多时，
方法 2 优于方法 1.
例 2、某校高中三年级的 295 名学生已经编号为 1，2，……，295，为了了解学生的学习情况，
要按 1：5 的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程.
分析 按 1：5 分段，每段 5 人，共分 59 段，每段抽取一人，关键是确定第 1 段的编号.
解：按照 1：5 的比例，应该抽取的样本容量为 295÷5=59，我们把 259 名同学分成 59 组，每组
5 人，第一组是编号为 1～5 的 5 名学生，第 2 组是编号为 6～10 的 5 名学生，依次下去，59 组
是编号为 291～295 的 5 名学生.采用简单随机抽样的方法，从第一组 5 名学生中抽出一名学生，
不妨设编号为 k(1≤k≤5)，那么抽取的学生编号为 k+5L(L=0,1,2,……，58)，得到 59 个个体
作为样本，如当 k=3 时的样本编号为 3，8，13，……，288，293.
点评 系统抽样可按事先规定的规则抽取样本. 本题采用的规则是第一组随机抽取的学生编号
为 k，那么第 m 组抽取的学生编号为 k+5(m-1).
例 3：一个地区共有 5 个乡镇，人口 3 万人，其中人口比例为 3：2：5：2：3，从 3 万人中抽取
一个 300 人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问
应采取什么样的方法？并写出具体过程.
分析 采用分层抽样的方法.
解：因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层
抽样的方法，具体过程如下：
（1）将 3 万人分为 5 层，其中一个乡镇为一层.
（2）按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本.
300×3/15=60（人），300×2/15=40（人），300×5/15=100（人），300×2/15=40（人），300×
3/15=60（人），因此各乡镇抽取人数分别为 60 人、40 人、100 人、40 人、60 人.
（3）将 300 人组到一起，即得到一个样本.
点评 分层抽样在日常生活中应用广泛，其抽取样本的步骤尤为重要，应牢记按照相应的比例
去抽取.
【反馈演练】
1. 一个总体中共有 200 个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为 20 的样本，则某
一特定个体被抽到的可能性是 0.1 .
2．为了了解参加运动会的 2000 名运动员的年龄情况，从中抽取 100 名运动员；就这个问题，
下列说法中正确的有 2 个.
①2000 名运动员是总体；②每个运动员是个体；③所抽取的 100 名运动员是一个样本；
④样本容量为 100；⑤这个抽样方法可采用按年龄进行分层抽样；⑥每个运动员被抽到的概率相
等.
3．对于简单随机抽样，下列说法中正确的命题为 ①②③④ .
①它要求被抽取样本的总体的个数有限，以便对其中各个个体被抽取的概率进行分析；②它是
从总体中逐个地进行抽取，以便在抽取实践中进行操作；③它是一种不放回抽样；④它是一种
等概率抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的概率相等，而且在整个抽
样过程中，各个个体被抽取的概率也相等，从而保证了这种方法抽样的公平性.
4．某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、150 个销售点．公司为了
调查销售的情况，需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本，记这项调查为①；在丙
地区中有 20 个特大型销售点，要从中抽取 7 个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为
②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是 分层抽样法，简单随机抽样法 .
5.下列抽样中不是系统抽样的是 ③ .
①.从标有 1～15 号的 15 个球中，任选三个作样本，按从小号到大号排序，随机选起点 0i ，以
后 0 5i ， 0 10i （超过 15 则从 1 再数起）号入样；
②.工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件
产品进行检验；
③.搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到调查到事先规定的人数
为止；
④.电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相同）座位号为 14 的观众留下座谈．
6．为了解初一学生的身体发育情况，打算在初一年级 10 个班的某两个班按男女生比例抽取样
本，正确的
抽样方法是 ③ .
①随机抽样 ②分层抽样 ③先用抽签法，再用分层抽样 ④先用分层抽样，再用随机数表
法
7．写出下列各题的抽样过程
(1)请从拥有 500 个分数的总体中用简单随机抽样方法抽取一个容量
为 30 的样本.
(2)某车间有 189 名职工，现在要按 1：21 的比例选派质量检查员，采
用系统抽样的方式进行.
(3)一个电视台在因特网上就观众对某一节目喜爱的程度进行调查，参
加调查的总人数为 12000 人，其中持各种态度的人数如下：
很喜爱 喜爱 一般 不喜爱
2435 4567 3926 1072
打算从中抽取 60 人进行详细调查，如何抽取？
解：(1)①将总体的 500 个分数从 001 开始编号，一直到 500 号；
②从随机数表第 1 页第 0 行第 2 至第 4 列的 758 号开始使用该表；
③抄录入样号码如下：335、044、386、446、027、420、045、094、382、5215、342、148、407、
349、322、027、002、323、141、052、177、001、456、491、261、036、240、115、143、402
④按以上编号从总体至将相应的分数提取出来组成样本，抽样完毕
(2)采取系统抽样 189÷21＝9，所以将 189 人分成 9 组，每组 21 人，在每一组中随机抽取 1
人，这 9 人组成样本
(3)采取分层抽样 总人数为 12000 人，12000÷60＝200，
人余＝，余＝人，＝人， 725200
107212619200
392616722200
456714511200
2345
所以从很喜爱的人中剔除 145 人，再抽取 11 人；从喜爱的人中剔除 167 人，再抽取 22 人；从
一般喜爱
的人中剔除 126 人，再抽取 19 人；从不喜爱的人中剔除 72 人，再抽取 5 人
第 2 课 总体分布的估计
【考点导读】
1．掌握频率分布直方图、折线图表与茎叶图的做法，体会它们各自的特点.
2．会用频率分布直方图、折线图表与茎叶图对总体分布规律进行估计.
【基础练习】
1．一个容量为 n 的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为 60，0.25，则 n 的值是
240
2．用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，下列说法正确的是 ③
①总体容量越大，估计越精确 ②总体容量越小，估计越精确
③样本容量越大，估计越精确 ④样本容量越小，估计越精确
3． 已知某工厂工人加工的零件个数的茎叶图如右图所示
（以零件个数的前两位为茎，后一位为叶），那么工人生产
零件的平均个数及生产的零件个数超过 130 的比例分别是
120.5 与 10％ .
4．容量为 100 的样本数据，按从小到大的顺序分为 8 组，如下表：
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
频数 10 13 x 14 15 13 12 9
第三组的频数和频率分别是 14 和 0.14 .
5． 200 辆汽车通过某一段公路时的时速频率
分布直方图如图所示，则时速在 50,60 的汽
车大约有 60 辆.
【范例解析】
例 1．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出 60 名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频
率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：
10
11
12
13
78
02223666778
0012234466788
0234
频率
0.4
0.2
0.1
0
40 50 60 70 80 时速
频率
组距
0.05
0.075
0.1
0.2
（1） 5.89~5.79 这一组的频数、频率分别是多少？
（2）估计这次环保知识竞赛的及格率（ 60 分及以上为及格）.
解：（1）频率为： 0.025 10 0.25 ，频数： 60 0.25 15
（2） 0.015 10 0.025 10 0.03 10 0.005 10 0.75 .
例 2．在参加世界杯足球赛的 32 支球队中，随机抽取 20 名队员，调查其年龄为 25，21，23，
25，27，29，25，28，30，29，26，24，25，27，26，22，24，25，26，28.填写下面的频率分
布表，据此估计全体队员在哪个年龄段的人数最多？占总数的百分之几？并画出频率分布直方
图．
解： (1)
(2)
（3）估计全体队员在 24.5～26.5 处人数最多，占总数的百分之四十.
【反馈演练】
1．对于样本频率直方图与总体密度曲线的关系，下列说法正确的是 ④
①频率分布直方图与总体密度曲线无关 ②频率分布直方图就是总
体密度曲线
③样本容量很大的频率分布直方图就是总体密度曲线
④如果样本容量无限增大,分组的组距无限的减小,那么频率分布直方图就会无限接近于总体密
度曲线
2．在某餐厅内抽取 100 人,其中有 30 人在 15 岁以下,35 人在 16 至 25 岁,25 人在 26 至 45 岁,10
人在 46 岁
以上,则数 0．35 是 16 到 25 岁人员占总体分布的 ②
① 概率 ②频率 ③ 累计频率 ④ 频数
3．10 名工人某天生产同一零件，生产的件数是 15 ,17 , 14 , 10 ,
15 , 17 ,17 , 16, 14 , 12．
设其平均数为 a,中位数为 b,众数为 c，则 a, b, c 的大小关系为
abc
4.已知样本：10,8,6,10,13,8,10,12,11,7,8,9,11,9,12,9,10,11,12,12 则频
率为 0.3 的范围是 ( 2 )
1 5.5,7.5 2 7.5,9.5
3 9.5,11.5 4 11.5,13.5
5.已知 10 个数据如下：63，65，67，69，66，64，66, 64, 65，68.
根据这些数据制作频率直方图，其
中[64.5, 66.5)这组所对应矩形的高为 0.2
6．某中学高一年级有 400 人，高二年级有 320 人，高三有 280 人，以每人被抽取的频率为
0.2，向该
中学抽取一个样本容量为 n 的样本，则 n= 200
7. 一个容量为 20 的样本数据,分组后,组距与频数如下: 10,20 ,2; 20,30 , 3 ; 30,40 ,
4 ; 40,50 , 5 ; 50,60 , 4 ; 60,70 , 2 .则样本在区间 ,50 上的频率为__ 0.7
分组 频数 频率
［20.5,22.5) 2 0.1
［22.5,24.5) 3 0.15
［24.5,26.5) 8 0.4
［26.5,28.5) 4 0.2
［28.5,30.5］ 3 0.15
合计 20 1
分组 频数 频率
［20.5,22.5)
［22.5,24.5
［24.5,26.5)
［26.5,28.5)
［28.5,30.5］
合计
(第 8 题)
2400 2700 3000 3300 3600 3900 体重0
0 001
频率/组距
0.5
人数(人)
时间(小时)
20
10
5
0 1.0 1.5 2.0
15
(第 9 题)
___
8．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在 (2700,3000] 的频率
为 0.3
9．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了 50 名学生，得到他们在某一天各自课外阅
读所用时间的数据，结果用右上面的条形图表示． 根据条形图可得这 50 名学生这一天平均每
人的课外阅读时间为 0.9 小时
10.从甲、乙两台机器生产的零件中随机抽取 15 个进行检验，相关指标的检验结果为：
甲：534，517，528，522，513，516，527，526，520，508，533，524，518，522，512；
乙：512，520，523，516，530，510，518，521，528，532，507，516，524，526，514.
(1).画出上述数据茎叶图；
(2).试比较分析甲、乙两台机器生产零件的情况.
解（1）用指标的两位数作茎，然后作茎叶图：
（2）从图中可以看出，甲机器生产零件的指标
分布大致对称，指标平均在 520 左右，中位数
和众数均为 522；乙机器生产零件的指标分布为
大致对称，指标平均在 520 左右，中位数和众数
分别为 520 和 516，总的来看，甲机器生产的零
件的指标略大些..
点评 注意作茎叶图时，茎可以放两位数.
第 3 课 总体特征数的估计
【考点导读】
理解样本数据的方差、标准差的意义并且会计算数据的方差、标准差，使学生掌握通过合理抽
样对总体稳定性作出科学的估计的思想.
【基础练习】
1．已知数据 1 2 nx x x， ， ， 的平均数为 5x ，则数据 13 7x ， 23 7x ，…， 3 7nx 的平均数为
22 .
2．若 M 个数的平均数是 X, N 个数的平均数是 Y,则这 M+N 个数的平均数是 MX NY
M N
3．数据 a1，a2，a3，…，an 的方差为σ2，则数据 2a1，2a2，2a3，…，2an 的方差为 4σ2 .
4．已知同一总体的两个样本，甲的样本方差为 1
2 1
，乙的样本方差为 3 2 ，则
下列说法正确的是 ④ .
①甲的样本容量小 ②乙的样本容量小 ③甲的波动较小 ④乙的波动较
小
【范例解析】
例 1.下面是一个班在一次测验时的成绩，分别计算男生和女生的成绩平均值、中位数以及众数.
试分析一下该班级学习情况.
男生：55，55，61，65，68，68，71，72，73，74，75，78，80，81，82，87，94；
女生：53，66，70，71，73，73，75，80，80，82，82，83，84，85，87，88，90，93，94，
97.
解：17 名男生成绩的平均值是 72.9 分，中位数是 73 分，众数为 55 和 68.
20 名女生成绩的平均值是 80.3 分，中位数是 82 分，众数为 73，80 和 82.
从上述情况来看，这个班女生成绩明显好于男生成绩.
例 2.为了比较甲，乙两位射击运动员的成绩，在相同的条件下对他们进行了 10 次测验，测得他
们的环数如下：
环数 10 9 8 7 6 5
甲（次） 3 2 1 2 0 2
乙（次） 2 2 2 2 2 0
试根据以上数据，判断他们谁更优秀.
解： 甲x =8, 乙x =8, 2
甲S =3.4, 2
乙S =2, 所以乙更优秀
例 3．某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔 30 分钟抽取一包产品，
称其重量，分别记录抽查数据如下：
甲：102，101，99，98，103，98，99；
乙：110，115，90，85，75，115，110．
（1）这种抽样方法是哪一种方法？
（2）计算甲、乙两个车间产品的平均数与方差，并说明哪个车间产品较稳定？
解：（1）采用的方法是：系统抽样；
（2） 1 102 101 99 98 103 98 99 1007x 甲 （ ） ；
8
87632
8764220
43
50
51
52
53
7
024668
013468
02
1 110 115 90 85 75 115 110 1007x 乙 （ ） ；
2 1 4 1 1 4 9 4 1 3.428577S 甲 （ ） ；
2 1 100 225 100 225 625 225 100 228.577S 乙 （ ）
∴ 2 2S S 乙甲 故甲车间产品比较稳定．
点评 以样本估计总体，在生产生活经常用到，发现问题，解决问题，从而更好地指导实践.
【反馈演练】
1. 下列说法中，正确的是 ④ .
① 频率分布直方图中各小长方形的面积不等于相应各组的频率
②一组数据的标准差是这组数据的方差的平方
③数据 2，3，4，5 的方差是数据 4，6，8，10 的方差的一半
④一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大
2．从甲、乙两班分别任意抽出 10 名学生进行英语口语测验，其测验成绩的方差分别为 S1
2= 13.2，
S2
2=26．26，则 ① .
①甲班 10 名学生的成绩比乙班 10 名学生的成绩整齐
②乙班 10 名学生的成绩比甲班 10 名学生的成绩整齐
③甲、乙两班 10 名学生的成绩一样整齐
④不能比较甲、乙两班 10 名学生成绩的整齐程度
3 ．已知样本为 101 ,98, 102, 100, 99，则样本标准差为 2
4 .某班 45 人，一次数学考试，班级均分 72 分.已知不及格人数为 5 人，他们的平均成绩是 52 分，
则及格学生的平均分为 74 .5 分 .
5．高三年级 1000 名学生进行数学其中测试.高三年级组随机调阅了 100 名学生的试卷（满分为
150 分），成绩记录如下：
成绩
（分） 3 4 5 6 7 8 9 10
人数 6 8 10 15 15 35 8 3
求样本平均数和样本方差．
解： 6 3 8 4 10 5 15 6 15 7 35 8 8 9 3 10
100x =6.77
2 2 2 2 21 [6 (3 ) 8 (4 ) 10 (5 ) 15 (6 )60s x x x x
2 2 2 215 (7 ) 35 (8 ) 8 (9 ) 3 (10 ) ]x x x x =3.1171
6．两台机床同时生产直径为 10 的零件，为了检验产品质量，质量质检员从两台机床的产品中
各抽取 4 件进行测量，结果如下：
机床甲 10 9.8 10 10.2
机床乙 10.1 10 9.9 10
如果你是质量检测员，在收集到上述数据后，你将通过怎样的运算来判断哪台机床生产的零件
质量更符合要求.
解：先考虑各自的平均数：设机床甲的平均数、方差分别为 2
1 1x s、 ；机床乙的平均数、方差分
别为 2
2 2x s、 .
1
10 9.8 10 10.2 104x ， 2
10.1 10 9.9 10 104x
∴两者平均数相同，再考虑各自的方差：
2 2 2 2 2
1
1[(10 10) (9.8 10) (10 10) (10.2 10) ] 0.024s
2 2 2 2 2
2
1[(10 10) (10.1 10) (10 10) (9.9 10) ] 0.0054s
∵ 2 2
1 2s s ，∴机床乙的零件质量更符合要求.
第 4 课 案例分析
【考点导读】
1.会作两个有关联变量数据的散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系.
2.知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.
3.了解独立性检验的基本思想、方法及其初步应用，了解回归与分析的基本思想、方法及其初
步应用.
【基础练习】
1．根据下表中的数据：可求出与的线性回归方程是 ˆ 0.7 0.1y x
2．线性回归方程 ˆy bx a 表示的直线必经过的一个定点是 ( , y)x
3．设有一个直线回归方程为 2 1.5y x ,则变量 x 增加一个单位时 ③ .
x -1 0 1 2
y -1 0 1 1
① y 平均增加 1.5 个单位 ② y 平均增加 2 个单位
③ y 平均减少 1.5 个单位 ④ y 平均减少 2 个单位
4．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是 ③ .
①都可以分析出两个变量的关系 ②都可以用一条直线近似地表示两者的关系
③都可以作出散点图 ④都可以用确定的表达式表示两者的关系
5．对于两个变量之间的相关系数，下列说法中正确的是 ③ .
①|r|越大，相关程度越大
②|r| 0, ，|r|越大，相关程度越小，|r|越小，相关程度越大
③|r| 1 且|r|越接近于 1，相关程度越大；|r|越接近于 0，相关程度越小
【范例解析】
例 1．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了 124 人，其中女性 70 人，男性 54 人．女性
中有 43 人主要的休闲方式是看电视，另外 27 人主要的休闲方式是运动；男性中有 21 人主要的
休闲方式是看电视，另外 33 人主要的休闲方式是运动．
（1）根据以上数据建立一个 2×2 的列联表；（2）判断性别与休闲方式是否有关系．
解：（1）2×2 的列联表
性别 休闲方式 看电视 运动 总计
女 43 27 70
男 21 33 54
总计 64 60 124
（2）假设“休闲方式与性别无关”
计算
2
2 124 (43 33 27 21) 6.20170 54 64 60
因为 2 5.024 ，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，
即有 97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”.
点评 对两个变量相关性的研究，可先计算 2 的值，并根据临界表进行估计与判断.
例 3. 一个车间为了为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 10 次实
验，测得如下数据：
零件数 x (个) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
加工时间 y(分) 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122
(1) y 与 x 是否具有线性相关关系？
(2) 如果 y 与 x 具有线性相关关系，求回归直线方程；
(3) 据此估计加工 200 个零件所用时间为多少？
解：（1） 0.998.r 查表可得 0.05 和 n-2 相关系数临界 0.05 0.632r ，
由 0.05r r 知 y 与 x 具有线性相关关系.
（2）回归直线方程为 0.668 54.96y x
（3）估计加工 200 个零件所用时间 189 分.
【反馈演练】
1．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是 ④ .
①角度与它的余弦值 ②正方形的边长与面积
③正 n 边形的边数和顶点角度之和 ④人的年龄与身高
2．为了考察两个变量 x 和 y 之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立的做 10 次和 15 次试
验，并且
利用线性回归方法，求得回归直线分布为 1l 和 2l ，已知在两人的试验中发现对变量 x 的观察数据
的平均值
恰好相等都为 s，对变量 y 的观察数据的平均值恰好相等都为 t,那么下列说法正确的是 ① .
①直线 1l 和 2l 有交点（s,t） ②直线 1l 和 2l 相交，但是交点未必是（s,t）
③ 直线 1l 和 2l 平行 ④ 直线 1l 和 2l 必定重合
3．下列两个变量之间的关系是相关关系的是 ④ .
①正方体的棱长和体积 ②单位圆中角的度数和所对弧长
③单产为常数时，土地面积和总产量 ④日照时间与水稻的亩产量
4．对于回归方程 y=4.75x+257,当 x=28 时,y 的估计值为 390 .
5．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：
性别 专业
非统计专业 统计专业
男 13 10
女 7 20
为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据
表中的数据，得到
2
2 50 (13 20 10 7) 4.84423 27 20 30
，因为 2 3.841 ，所以判定主修统计专业与
性别有关系，那么这种判断出错的可能性为 5% .
6.为了研究失重情况下男女飞行员晕飞船的情况，抽取了 89 名被试者，他们的晕船情况汇总如
下表，根据独立性假设检验的方法， 不能 认为在失重情况下男性比女性更容易晕
船（填能或不能）
晕机 不晕机 合计
男性 23 32 55
女性 9 25 34
合计 32 57 89
7.打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关，下表是一次调查所得的数据，试问：每
一晚都打鼾与患心脏病有关吗？
患心脏病 未患心脏病 合计
每一晚都打鼾 30 224 254
不打鼾 24 1355 1379
合计 54 1579 1633
解：提出假设 H0：打鼾与患心脏病无关，根据数据得
2
2 1633 (30 1355 24 224) 68.03.54 1579 254 1379
当 H0 成立时， 2 6.635 的概率为 1%，而这
时
2 68.03 6.635, 所以我们有 99%的把握认为打鼾与患心脏病有关.
第 5 课 古典概型
【考点导读】
1.在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及
概率与频率的区别.
2.正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基
本事件出现的可能性相等.
【基础练习】
1. 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数 n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数 m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的频率
n
m
（1）填写表中击中靶心的频率；
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？
分析：事件 A 出现的频数 nA 与试验次数 n 的比值即为事件 A 的频率，当事件 A 发生的频率 fn
（A）稳定在某个常数上时，这个常数即为事件 A 的概率.
解：（1）表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.
（2）由于频率稳定在常数 0.89，所以这个射手击一次，击中靶心的概率约是 0.89.
点评 概率实际上是频率的科学抽象，求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之.
2．将一枚硬币向上抛掷 10 次，其中正面向上恰有 5 次是 随机 事件 （必然、随机、不可能）
3．下列说法正确的是 ③ .
①任一事件的概率总在（0.1）内 ②不可能事件的概率不一定为 0
③必然事件的概率一定为 1 ④以上均不对
4.一枚硬币连掷 3 次，只有一次出现正面的概率是
8
3
5. 从分别写有 A、B、C、D、E 的 5 张卡片中，任取 2 张，这 2 张卡片上的字母恰好是按字母顺
序相邻的概率为
5
2
【范例解析】
例 1. 连续掷 3 枚硬币，观察落地后这 3 枚硬币出现正面还是反面.
（1）写出这个试验的基本事件；
（2）求这个试验的基本事件的总数；
（3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件?
解：（1）这个试验的基本事件Ω={（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，
反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}；
（2）基本事件的总数是 8.
（3）“恰有两枚正面向上”包含以下 3 个基本事件：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，
正）.
点评 一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这类随机事件称为基本事件.
例 2. 抛掷两颗骰子，求：
（1）点数之和出现 7 点的概率；
（2）出现两个 4 点的概率.
解：作图，从下图中容易看出基本事件空间与点集 S={（x，y）|x∈N，y∈N，1≤x≤6，1≤y
≤6}中的元
素一一对应.因为 S 中点的总数是 6×6=36（个），所以基本事件总数 n=36.
O x
y
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
（1）记“点数之和出现 7 点”的事件为 A，从图中可看到事件 A 包含的基本事件数共 6 个：（6，
1），（5，2），（4，3），（3，4），（2，5），（1，6），所以 P（A）=
6
1
36
6 .
（2）记“出现两个 4 点”的事件为 B，则从图中可看到事件 B 包含的基本事件数只有 1 个：（4，
4）.所以 P（B）=
36
1 .
点 评 在 古 典 概 型 下 求 P （ A ）， 关 键 要 找 出 A 所 包 含 的 基 本 事 件 个 数 然 后 套 用 公 式
( ) A mP A n
事件 包含基本事件的个数
基本事件的总数
变题 .在一次口试中，考生要从 5 道题中随机抽取 3 道进行回答，答对其中 2 道题为优秀，答
对其中 1 道题为及格，某考生能答对 5 道题中的 2 道题，试求：
（1）他获得优秀的概率为多少；
（2）他获得及格及及格以上的概率为多少；
点拨：这是一道古典概率问题，须用枚举法列出基本事件数.
解：设这 5 道题的题号分别为 1,2，3，4，5，则从这 5 道题中任取 3 道回答，有（1，2，3），（1，
2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4）,（2，3，5），
（2，4，5），（3，4，5）共 10 个基本事件．
（1）记“获得优秀”为事件 A，则随机事件 A 中包含的基本事件个数为 3，故 3( ) 10P A ．
（2）记“获得及格及及格以上”为事件 B，则随机事件 B 中包含的基本事件个数为 9，故
9( ) 10P B ．
点评：使用枚举法要注意排列的方法，做到不漏不重.
例 3. 从含有两件正品 a1，a2 和一件次品 b1 的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，
连续取两
次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.
解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有 6 个，即
（a1，a2），（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）.其中小括号内左边的字母表示第
1 次取出的产品，
右边的字母表示第 2 次取出的产用 A 表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则
A=[（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）] 事件 A 由 4 个基本事件组成，因而，P（A）=
6
4 =
3
2
【反馈演练】
1.某人进行打靶练习，共射击 10 次，其中有 2 次中 10 环，有 3 次环中 9 环，有 4 次中 8 环，有
1 次未中靶，试计算此人中靶的概率，假设此人射击 1 次，试问中靶的概率约为 0.9 中
10 环的概率约为 0.2 .
分析：中靶的频数为 9，试验次数为 10，所以中靶的频率为
10
9 =0.9，所以中靶的概率约为 0.9．
解：此人中靶的概率约为 0.9；此人射击 1 次，中靶的概率为 0.9；中 10 环的概率约为 0.2．
2.一栋楼房有 4 个单元，甲乙两人被分配住进该楼，则他们同住一单元的概率是 0.25 .
3. 在第 1,3,6,8,16 路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站只能停靠一辆汽车），有一位乘
客等候第 6
路或第 16 路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需
乘的汽车的
概率等于
5
2
4.把三枚硬币一起抛出，出现 2 枚正面向上，一枚反面向上的概率是
8
3
5.有 5 根细木棒，长度分别为 1,3 ,5 ,7 ,9，从中任取三根，能搭成三角形的概率是
10
3
6. 从 1，2，3，…，9 这 9 个数字中任取 2 个数字，
（1）2 个数字都是奇数的概率为
18
5
（2）2 个数字之和为偶数的概率为
9
4
7. 某小组共有 10 名学生，其中女生 3 名，现选举 2 名代表，至少有 1 名女生当选的概率为
15
8
8. A、B、C、D、E 排成一排，A 在 B 的右边（A、B 可以不相邻）的概率是
2
1
9．在大小相同的 5 个球中，2 个是红球，3 个是白球，若从中任取 2 个，则所取的 2 个球中至
少有一个红球的概率是
10
7
10. 用红、黄、蓝三种不同颜色给下图中 3 个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：
（1）3 个矩形颜色都相同的概率；（2）3 个矩形颜色都不同的概率.
解：所有可能的基本事件共有 27 个，如图所示.
红 红 红
红 红 红
红 红 红
红 红 红
红 黄 蓝黄 黄 黄
黄 黄 黄
黄 黄 黄
黄 黄 黄蓝 蓝 蓝
蓝 蓝 蓝
蓝 蓝 蓝
蓝 蓝 蓝
（1）记“3 个矩形都涂同一颜色”为事件 A，由图知，事件 A 的基本事件有 1×3=3 个，故 P（A）
=
9
1
27
3 .
（2）记“3 个矩形颜色都不同”为事件 B，由图可知，事件 B 的基本事件有 2×3=6 个，故 P（B）
=
9
2
27
6 .
11. 甲、乙两个均匀的正方体玩具，各个面上分别刻有 1，2，3，4，5，6 六个数字，将这两个
玩具同时
掷一次.
（1）若甲上的数字为十位数，乙上的数字为个位数，问可以组成多少个不同的数，其中个位数
字与十位数字均相同的数字的概率是多少?
（2）两个玩具的数字之和共有多少种不同结果?其中数字之和为 12 的有多少种情况?数字之和
为 6 的共有多少种情况?分别计算这两种情况的概率.
解：（1）甲有 6 种不同的结果，乙也有 6 种不同的结果，故基本事件总数为 6×6=36 个.其中十
位数字共有 6 种不同的结果，若十位数字与个位数字相同，十位数字确定后，个位数字也即确
定.故共有 6×1=6 种不同的结果，即概率为
6
1
36
6 .
（2）两个玩具的数字之和共有 2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12 共 11 种不同结果.从中
可以看出，出现 12 的只有一种情况，概率为
36
1 .出现数字之和为 6 的共有（1，5），（2，4），（3，
3），（4，2），（5，1）五种情况，所以其概率为
36
5 .
12.现有一批产品共有 10 件，其中 8 件为正品，2 件为次品：
（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续 3 次取出的都是正品的概率；
（2）如果从中一次取 3 件，求 3 件都是正品的概率．
解：（1）有放回地抽取 3 次，按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则 x,y,z 都有 10 种可能，所以
试验结果有
10×10×10=103 种；设事件 A 为“连续 3 次都取正品”，则包含的基本事件共有 8×8×8=83 种，
因此，P(A)= 3
3
10
8 =0.512．
（2）可以看作不放回抽样 3 次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z），则 x 有
10 种可能，y 有 9 种可能，z 有 8 种可能，所以试验的所有结果为 10×9×8=720 种．设事件 B
为“3 件都是正品”，则事件 B 包含的基本事件总数为 8×7×6=336, 所以 P(B)= 336 7
720 15
．
第 6 课几何概型
【考点导读】
1．了解几何概型的基本特点.
2．会进行简单的几何概率的计算.
【基础练习】
1．在 500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出 2ml 水样放到显微镜下观察，则发现草履
虫的概率是
0.004
2. 取一根长度为 3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于 1 m 的概率
是
3
1
3. 在 1 万 km2 的海域中有 40 km2 的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层
面的概率
是
250
1
4. 如下图，在一个边长为 3 cm 的正方形内部画一个边长为 2 cm 的正方形，向大正方形内随机
投点，则所投的点落入小正方形内的概率是
9
4 .
3cm
2cm
5. 如下图，在直角坐标系内，射线 OT 落在 60°的终边上，任作一条射线 OA，则射线落在∠xOT
内的概率是
6
1 .
【范例解析】
例 1. 在等腰 Rt△ABC 中， (1)在斜边 AB 上任取一点 M，求 AM 的长小于 AC 的长的概率.
（2）过直角顶点 C 在 ACB 内作一条射线 CM，与线段 AB 交于点 M，求 AM0)在 x = 1 处取得极值 c 3 ，其中 , ,a b c 为常数。
（1）试确定 ,a b 的值；（2）讨论函数 f(x)的单调区间。
解：（I）由题意知 (1) 3f c ，因此 3b c c ，从而 3b ．
又对 ( )f x 求导得 343 41ln4' bxxaxxaxxf 3 (4 ln 4 )x a x a b ．
由题意 (1) 0f ，因此 4 0a b ，解得 12a ．
（II）由（I）知 3( ) 48 lnf x x x （ 0x ），令 ( ) 0f x ，解得 1x ．
当 0 1x 时， ( ) 0f x ，此时 ( )f x 为减函数；当 1x 时， ( ) 0f x ，此时 ( )f x 为增函数．
因此 ( )f x 的单调递减区间为 (01)， ，而 ( )f x 的单调递增区间为 (1 )，∞ ．
第 3 课 导数的应用 B
【考点导读】
1． 深化导数在函数、不等式、解析几何等问题中的综合应用，加强导数的应用意识。
2． 利用导数解决实际生活中的一些问题，进一步加深对导数本质的理解，逐步提高分析问题、
探索问题以及解决实际应用问题等各种综合能力。
【基础练习】
1．若 )(xf 是在 ll, 内的可导的偶函数，且 )(xf 不恒为零，则关于 )(xf 下列说法正确的是
（4） 。
（1）必定是 ll, 内的偶函数 （2）必定是 ll, 内的奇函数
（3）必定是 ll, 内的非奇非偶函数 （4）可能是奇函数，也可能是偶函数
2． ( )f x 是 ( )f x 的导函数， ( )f x 的图象如右图所示，则 ( )f x 的图象只可能是（4） 。
（1） （2） （3） （4）
3．若t R ，曲线 3y x 与直线 3y x t 在 [0,1]x 上的不同交点的个数有 至多 1 个 。
4．把长为 60cm 的铁丝围成矩形，要使矩形的面积最大，则长为 15cm ，宽为 15cm 。
【范例导析】
例 1．函数 cbxaxxxf 23)( ，过曲线 )(xfy 上的点 ))1(,1( fP 的切线方程为 13 xy
（1）若 )(xfy 在 2x 时有极值，求 f (x)的表达式；
（2）在（1）的条件下，求 )(xfy 在 ]1,3[ 上最大值；
（3）若函数 )(xfy 在区间 ]1,2[ 上单调递增，求 b 的取值范围
解：（1）
13:))1(,1()(
)1)(23()1()1)(1()1(
:))1(,1()(
23)(:)( 223
xyfPxfy
xbacbayxffy
fPxfy
baxxxfcbxaxxxf
的切线方程为上而过
即
的切线方程为上点过
求导数得由
)2(3
)1(02
12
323
cba
ba
cba
ba 即故
542)(
5,4,2)3)(2)(1(
)3(124
0)2(,2)(
23
xxxxf
cba
ba
fxxfy
相联立解得由
故时有极值在
（2） )2)(23(44323)( 22 xxxxbaxxxf
x )2,3[ －2 )3
2,2(
3
2 ]1,3
2(
)(xf + 0 － 0 +
)(xf 极大 极小
135)2(4)2(2)2()2()( 23 fxf 极大
4514121)1( 3 f ]1,3[)( 在xf 上最大值为 13
（3） ]1,2[)( 在区间xfy 上单调递增
又 02)1(,23)( 2 babaxxxf 知由 bbxxxf 23)(
依题意 ]1,2[03,0)(]1,2[)( 2 在即上恒有在 bbxxxfxf 上恒成立.
①在 603)1()(,16
bbbfxfbx 小时
②在 0212)2()(,26
bbfxfbx 小时 b
③在 .60012
12)(,162
2
bbbxfb 则时 小
综合上述讨论可知，所求参数 b 取值范围是：b≥0。
点评：本题把导数的几何意义与单调性、极值和最值结合起来，属于函数的综合应用题。
例 2．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m 的正
六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 1O 的距离为多少时，帐篷的体积最大？
分析：本题应该先建立模型，再求体积的最大值。选择适当的变量很关键，设 1OO 的长度会比
较简便。
解 ： 设 1 ( )OO x m , 则 由 题 设 可 得 正 六 棱 锥 底 面 边 长 为
2 2 23 ( 1) 8 2x x x （单位：m）。
于是底面正六边形的面积为（单位：m2）：
2 2 2 2 23 3 33 ( 1) 6 ( 8 2 ) (8 2 )4 2x x x x x 。
帐篷的体积为（单位：m3）：
2 33 3 1 3( ) (8 2 ) ( 1) 1 (16 12 )2 3 2V x x x x x x
求导数，得 23( ) (12 3 )2V x x ；
令 ( ) 0V x 解得 x=-2(不合题意，舍去),x=2。
当 1
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