高考数学数列大题专题训练 8页

高考数学数列大题专题训练 命题：郭治击 审题：钟世美 ‎ 参考答案 ‎1.解：（Ⅰ）设构成等比数列，其中，则 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎①×②并利用，得 ‎（Ⅱ）由题意和（Ⅰ）中计算结果，知 另一方面，利用 得 所以 ‎2.解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。‎ ‎（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）‎ ‎（Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列，‎ 所以.‎ 所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.‎ 所以a2000=12+（2000—1）×1=2011.‎ 充分性，由于a2000—a1000≤1，‎ a2000—a1000≤1‎ ‎……‎ a2—a1≤1‎ 所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999. 又因为a1=12，a2000=2011,‎ ‎ 所以a2000=a1+1999.‎ 是递增数列.‎ 综上，结论得证。‎ ‎（Ⅲ）令 因为 ‎ ……‎ 所以 因为 所以为偶数,‎ 所以要使为偶数,‎ 即4整除.‎ 当时，有 当的项满足，‎ 当不能被4整除，此时不存在E数列An，‎ 使得 ‎3. ‎ ‎4.解（１）法一：，得，‎ 设，则，‎ ‎（ⅰ）当时，是以为首项，为公差的等差数列，‎ 即，∴‎ ‎（ⅱ）当时，设，则，‎ 令，得，，‎ 知是等比数列，，又，‎ ‎，．‎ 法二：（ⅰ）当时，是以为首项，为公差的等差数列，‎ 即，∴‎ ‎（ⅱ）当时，，，，‎ 猜想，下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，猜想显然成立；‎ ‎②假设当时，，则 ‎，‎ 所以当时，猜想成立，‎ 由①②知，，．‎ ‎（２）（ⅰ）当时， ，故时，命题成立；‎ ‎（ⅱ）当时，，‎ ‎，‎ ‎，以上n个式子相加得 ‎，‎ ‎．故当时，命题成立；‎ 综上（ⅰ）（ⅱ）知命题成立．‎ ‎5.解：（I）由已知可得，两式相减可得 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 又所以r=0时，‎ ‎ 数列为：a，0，…，0，…；‎ ‎ 当时，由已知（），‎ ‎ 于是由可得，‎ ‎ 成等比数列，‎ ‎ ，‎ ‎ 综上，数列的通项公式为 ‎ （II）对于任意的，且成等差数列，证明如下：‎ ‎ 当r=0时，由（I）知，‎ ‎ 对于任意的，且成等差数列，‎ ‎ 当，时，‎ ‎ ‎ ‎ 若存在，使得成等差数列，‎ ‎ 则，‎ ‎ ‎ ‎ 由（I）知，的公比，于是 ‎ 对于任意的，且 ‎ 成等差数列，‎ 综上，对于任意的，且成等差数列。‎ ‎6.解析：（I）由知，，而，且，则为的一个零点，且在内有零点，因此至少有两个零点 解法1：，记，则。‎ 当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。又因为，则在内有零点，所以在内有且只有一个零点。记此零点为，则当时，；当时，；‎ 所以，‎ 当时，单调递减，而，则在内无零点；‎ 当时，单调递增，则在内至多只有一个零点；‎ 从而在内至多只有一个零点。综上所述，有且只有两个零点。‎ 解法2：，记，则。‎ 当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。因此在内也至多只有一个零点，‎ 综上所述，有且只有两个零点。‎ ‎（II）记的正零点为，即。‎ ‎（1）当时，由，即.而，因此，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，显然成立；‎ ‎②假设当时，有成立，则当时，由 知，，因此，当时，成立。‎ 故对任意的，成立。‎ ‎（2）当时，由（1）知，在上单调递增。则，即。从而，即，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，显然成立；‎ ‎②假设当时，有成立，则当时，由 知，，因此，当时，成立。‎ 故对任意的，成立。‎ 综上所述，存在常数，使得对于任意的，都有.‎ ‎7.（1）设的公比为q，则 由成等比数列得 即 所以的通项公式为 ‎ （2）设的公比为q，则由 得 由，故方程（*）有两个不同的实根 由唯一，知方程（*）必有一根为0，代入（*）得 ‎8.解：（I）设等差数列的公差为d，由已知条件可得 解得，故数列的通项公式为 ‎ ‎ （II）设数列，即，‎ 所以，当时，‎ ‎ =‎ 所以 综上，数列 ‎9.解：（I）由题设 即是公差为1的等差数列。‎ ‎ 又所以 ‎ （II）由（I）得 ‎ ， ‎ ‎10.解：（I）当时，不合题意；‎ 当时，当且仅当时，符合题意；‎ 当时，不合题意。‎ 因此所以公式q=3，故 ‎ （II）因为 ‎ 所以当n为偶数时，‎ 当n为奇数时，‎ 综上所述，‎