2016年高考理科数学全国2卷-含答案 16页

2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 1-2 卷 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 24 题，共 150 分，共 4 页。考试 结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条 形码区域内。 2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔 书写，字体工整、笔迹清楚。 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。 4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用墨色笔迹的签字笔描黑。 5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. （1）已知 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范 围是 （A） )1,3( （B） )3,1( （C） ),1(  （D） （2）已知集合 ， ，则 （A） （B） （C） （D） （3）已知向量 ，且 ，则 m= （A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8 （4）圆 的圆心到直线 的距离为 1，则 a= （A） 3 4 （B） 4 3 （C） 3 （D）2 （5）如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年 公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 （A）24 （B）18 （C）12 （D）9 （6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A）20π （B）24π （C）28π （D）32π （7）若将函数 y=2sin 2x 的图像向左平移 12  个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A）x= 62 k   (kZ) （B）x= 62  k (kZ) （C）x= 122 k   (kZ) （D）x= 122 k   (kZ) （8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图,执行该程序框 图，若输入的 x=2，n=2，依次输入的 a 为 2，2，5，则输出的 s= （A）7 （B）12 （C）17 （D）34 （9）若 cos( π 4–α)= 3 5，则 sin 2α= （A） 25 7 （B） 5 1 （C） 5 1 （D） 25 7 （10）从区间 随机抽取 2n 个数 , ，…， ， ， ，…， ，构成 n 个数对 ， ，…， ，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法 得到的圆周率 的近似值为 （A） （B） （C） （D） （11）已知 F1，F2 是双曲线 E 的左，右焦点，点 M 在 E 上，M F1 与 轴垂直， sin ,则 E 的离心率为 （A） （B） （C） （D）2 （12）已知函数 ))(( Rxxf  满足 )(2)( xfxf  ,若函数 x xy 1 与 )(xfy  图像的 交点为 )( 1,1 yx , ),( 22 yx ···，（ mm yx , ），则   m i ii yx 1 )( （A）0 （B）m （C）2m （D）4m 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题 考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分。 （13）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 cos A= ，cos C= ，a=1，则 b= . （14）α、β是两个平面，m、n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果 m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β. （2）如果 m⊥α，n∥α，那么 m⊥n. （3）如果α∥β，m α，那么 m∥β. （4）如果 m∥n，α∥β，那么 m 与α所成的角和 n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 。(填写所有正确命题的编号） （15）有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片， 甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与 丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数 字是 。 （16）若直线 y=kx+b 是曲线 y=lnx+2 的切线，也是曲线 y=ln（x+1）的切线，则 b= 。 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本题满分 12 分） Sn 为等差数列 的前 n 项和，且 1a =1 ， 7S =28 记 ，其中 表示不 超过 x 的最大整数，如[0.9] = 0，[lg99]=1。 （I）求 1b ， 11b ， 101b ； （II）求数列 的前 1 000 项和. （18）（本题满分 12 分） 某险种的基本保费为 a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的 本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下： 上 年 度 出 险次数 0 1 2 3 4 5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一 年 内 出 险次数 0 1 2 3 4 5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0. 05 （I）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； （II）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60%的概率； （III）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. （19）（本小题满分 12 分） 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB=5，AC=6，点 E,F 分别在 AD,CD 上， AE=CF= ，EF 交 BD 于点 H.将△DEF 沿 EF 折到△ 的位置， . （I）证明： 平面 ABCD； （II）求二面角 的正弦值. （20）（本小题满分 12 分） 已知椭圆 E: 的焦点在 轴上，A 是 E 的左顶点，斜率为 k(k>0)的直线交 E 于 A,M 两点，点 N 在 E 上，MA⊥NA. （I）当 t=4， 时，求△AMN 的面积； （II）当 时，求 k 的取值范围. （21）（本小题满分 12 分） (I)讨论函数 的单调性，并证明当 >0 时， (II)证明：当 时，函数 有最小值.设 g（x）的最小 值为 ，求函数 的值域. 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题 号 （22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：集合证明选讲 如图，在正方形 ABCD，E,G 分别在边 DA,DC 上（不与端点重合），且 DE=DG，过 D 点 作 DF⊥CE，垂足为 F. (I) 证明：B,C,G,F 四点共圆； (II)若 AB=1，E 为 DA 的中点，求四边形 BCGF 的面积. （23）（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系 xoy 中，圆 C 的方程为（x+6）2+y2=25. （I）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； costx  （II）直线 l 的参数方程是 （t 为参数）,l 与 C 交于 A、B 两点， sinty  ∣AB∣= 10 ，求 l 的斜率。 （24）（本小题满分 10 分），选修 4—5：不等式选讲 已知函数 f(x)= ∣x- 2 1 ∣+∣x+ 2 1 ∣，M 为不等式 f(x) ＜2 的解集. （I）求 M； （II）证明：当 a,b∈M 时，∣a+b∣＜∣1+ab∣。 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学答案 第Ⅰ卷 一.选择题： （1）【答案】A （2）【答案】C （3）【答案】D （4）【答案】A （5）【答案】B （6）【答案】C （7）【答案】B （8）【答案】C （9）【答案】D （10）【答案】C （11）【答案】A （12）【答案】C 第Ⅱ卷 二、填空题 (13)【答案】 (14) 【答案】②③④ （15）【答案】1 和 3 （16）【答案】 三.解答题 17.（本题满分 12 分） 【答案】（Ⅰ） ， ， ；（Ⅱ）1893. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先求公差、通项 ，再根据已知条件求 ；（Ⅱ）用分段函数表 示 ，再由等差数列的前 项和公式求数列 的前 1 000 项和． 试题解析：（Ⅰ）设 的公差为 ，据已知有 ，解得 所以 的通项公式为 （Ⅱ）因为 所以数列 的前 项和为 考点：等差数列的的性质，前 项和公式，对数的运算. 【结束】 18.（本题满分 12 分） 【答案】（Ⅰ）根据互斥事件的概率公式求解；（Ⅱ）由条件概率公式求解；（Ⅲ）记续保人 本年度的保费为 ，求 的分布列为，在根据期望公式求解.. 【解析】 试题分析： 试题解析：（Ⅰ）设 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件 发生当 且仅当一年内出险次数大于 1，故 （Ⅱ）设 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出 ”，则事件 发生当且 仅当一年内出险次数大于 3，故 又 ，故 因此所求概率为 （Ⅲ）记续保人本年度的保费为 ，则 的分布列为 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为 考点： 条件概率，随机变量的分布列、期望. 【结束】 19.（本小题满分 12 分） 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） . 【解析】 试题分析：（Ⅰ）证 ，再证 ，最后证 ；（Ⅱ）用 向量法求解. 试题解析：（I）由已知得 ， ，又由 得 ，故 . 因此 ，从而 .由 , 得 . 由 得 .所以 ， . 于是 ， ， 故 . 又 ，而 ， 所以 . （II）如图，以 为坐标原点， 的方向为 轴的正方向，建立空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， ， ， ， ， . 设 是 平 面 的 法 向 量 ， 则 ，即 ，所以可以取 .设 是平面 的法向量，则 ，即 ，所以可以取 .于是 ， . 因 此 二 面 角 的正弦值是 . 考点：线面垂直的判定、二面角. 【结束】 20.（本小题满分 12 分） 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） . 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先求直线 的方程，再求点 的纵坐标，最后求 的面积；（Ⅱ） 设 ，，将直线 的方程与椭圆方程组成方程组，消去 ，用 表示 ，从而表 示 ，同理用 表示 ，再由 求 . 试题解析：（I）设 ，则由题意知 ，当 时， 的方程为 ， . 由已知及椭圆的对称性知，直线 的倾斜角为 .因此直线 的方程为 . 将 代入 得 .解得 或 ，所以 . 因此 的面积 . （II）由题意 ， ， . 将 直 线 的 方 程 代 入 得 . 由 得 ，故 . 由题设，直线 的方程为 ，故同理可得 ， 由 得 ，即 . 当 时上式不成立， 因此 . 等价于 ， 即 .由此得 ，或 ，解得 . 因此 的取值范围是 . 考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 【结束】 （21）（本小题满分 12 分） 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） . 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当 时， 证 明结论；（Ⅱ）用导数法求函数 的最值，在构造新函数 ，又用导数法求 解. 试题解析：（Ⅰ） 的定义域为 . 且仅当 时， ，所以 在 单调递增， 因此当 时， 所以 （II） 由（I）知， 单调递增，对任意 因此，存在唯一 使得 即 ， 当 时， 单调递减； 当 时， 单调递增. 因此 在 处取得最小值，最小值为 于是 ，由 单调递增 所以，由 得 因为 单调递增，对任意 存在唯一的 使得 所以 的值域是 综上，当 时， 有 ， 的值域是 考点： 函数的单调性、极值与最值. 【结束】 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清 题号 （22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） . 【解析】 试 题 分 析 ：（ Ⅰ ） 证 再 证 四 点 共 圆 ；（ Ⅱ ） 证 明 四边形 的面积 是 面积 的 2 倍. 试题解析：（I）因为 ,所以 则有 所以 由此可得 由此 所以 四点共圆. （II）由 四点共圆， 知 ，连结 ， 由 为 斜边 的中点，知 ,故 因此四边形 的面积 是 面积 的 2 倍，即 考点： 三角形相似、全等，四点共圆 【结束】 （23）（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） . 【解析】 试题分析：（I）利用 ， 可得 C 的极坐标方程；（II）先将直线 的参 数方程化为普通方程，再利用弦长公式可得 的斜率． 试题解析：（I）由 可得 的极坐标方程 （II）在（I）中建立的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 由 所对应的极径分别为 将 的极坐标方程代入 的极坐标方程得 于是 由 得 ， 所以 的斜率为 或 . 考点：圆的极坐标方程与普通方程互化， 直线的参数方程，点到直线的距离公式. 【结束】 （24）（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）详见解析. 【解析】 试题分析：（I）先去掉绝对值，再分 ， 和 三种情况解不等式，即 可得 ；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当 ， 时， ． 试题解析：（I） 当 时，由 得 解得 ； 当 时， ； 当 时，由 得 解得 . 所以 的解集 . （II）由（I）知，当 时， ，从而 ， 因此 考点：绝对值不等式，不等式的证明. 【结束】