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  • 2021-05-13 发布

2016年高考理科数学全国2卷-含答案

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2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 1-2 卷 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 24 题,共 150 分,共 4 页。考试 结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在条 形码区域内。 2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔 书写,字体工整、笔迹清楚。 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效; 在草稿纸、试题卷上答题无效。 4. 作图可先使用铅笔画出,确定后必须用墨色笔迹的签字笔描黑。 5. 保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。 第Ⅰ卷 一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. (1)已知 在复平面内对应的点在第四象限,则实数 m 的取值范 围是 (A) )1,3( (B) )3,1( (C) ),1(  (D) (2)已知集合 , ,则 (A) (B) (C) (D) (3)已知向量 ,且 ,则 m= (A)-8 (B)-6 (C)6 (D)8 (4)圆 的圆心到直线 的距离为 1,则 a= (A) 3 4 (B) 4 3 (C) 3 (D)2 (5)如图,小明从街道的 E 处出发,先到 F 处与小红会合,再一起到位于 G 处的老年 公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 (A)24 (B)18 (C)12 (D)9 (6)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为 (A)20π (B)24π (C)28π (D)32π (7)若将函数 y=2sin 2x 的图像向左平移 12  个单位长度,则平移后图象的对称轴为 (A)x= 62 k   (kZ) (B)x= 62  k (kZ) (C)x= 122 k   (kZ) (D)x= 122 k   (kZ) (8)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图,执行该程序框 图,若输入的 x=2,n=2,依次输入的 a 为 2,2,5,则输出的 s= (A)7 (B)12 (C)17 (D)34 (9)若 cos( π 4–α)= 3 5,则 sin 2α= (A) 25 7 (B) 5 1 (C) 5 1 (D) 25 7 (10)从区间 随机抽取 2n 个数 , ,…, , , ,…, ,构成 n 个数对 , ,…, ,其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个,则用随机模拟的方法 得到的圆周率 的近似值为 (A) (B) (C) (D) (11)已知 F1,F2 是双曲线 E 的左,右焦点,点 M 在 E 上,M F1 与 轴垂直, sin ,则 E 的离心率为 (A) (B) (C) (D)2 (12)已知函数 ))(( Rxxf  满足 )(2)( xfxf  ,若函数 x xy 1 与 )(xfy  图像的 交点为 )( 1,1 yx , ),( 22 yx ···,( mm yx , ),则   m i ii yx 1 )( (A)0 (B)m (C)2m (D)4m 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题 考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分。 (13)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 cos A= ,cos C= ,a=1,则 b= . (14)α、β是两个平面,m、n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果 m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β. (2)如果 m⊥α,n∥α,那么 m⊥n. (3)如果α∥β,m α,那么 m∥β. (4)如果 m∥n,α∥β,那么 m 与α所成的角和 n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 。(填写所有正确命题的编号) (15)有三张卡片,分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3。甲,乙,丙三人各取走一张卡片, 甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”,乙看了丙的卡片后说:“我与 丙的卡片上相同的数字不是 1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是 5”,则甲的卡片上的数 字是 。 (16)若直线 y=kx+b 是曲线 y=lnx+2 的切线,也是曲线 y=ln(x+1)的切线,则 b= 。 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本题满分 12 分) Sn 为等差数列 的前 n 项和,且 1a =1 , 7S =28 记 ,其中 表示不 超过 x 的最大整数,如[0.9] = 0,[lg99]=1。 (I)求 1b , 11b , 101b ; (II)求数列 的前 1 000 项和. (18)(本题满分 12 分) 某险种的基本保费为 a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人的 本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下: 上 年 度 出 险次数 0 1 2 3 4 5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下: 一 年 内 出 险次数 0 1 2 3 4 5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0. 05 (I)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率; (II)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出 60%的概率; (III)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. (19)(本小题满分 12 分) 如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,AB=5,AC=6,点 E,F 分别在 AD,CD 上, AE=CF= ,EF 交 BD 于点 H.将△DEF 沿 EF 折到△ 的位置, . (I)证明: 平面 ABCD; (II)求二面角 的正弦值. (20)(本小题满分 12 分) 已知椭圆 E: 的焦点在 轴上,A 是 E 的左顶点,斜率为 k(k>0)的直线交 E 于 A,M 两点,点 N 在 E 上,MA⊥NA. (I)当 t=4, 时,求△AMN 的面积; (II)当 时,求 k 的取值范围. (21)(本小题满分 12 分) (I)讨论函数 的单调性,并证明当 >0 时, (II)证明:当 时,函数 有最小值.设 g(x)的最小 值为 ,求函数 的值域. 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题 号 (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:集合证明选讲 如图,在正方形 ABCD,E,G 分别在边 DA,DC 上(不与端点重合),且 DE=DG,过 D 点 作 DF⊥CE,垂足为 F. (I) 证明:B,C,G,F 四点共圆; (II)若 AB=1,E 为 DA 的中点,求四边形 BCGF 的面积. (23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直线坐标系 xoy 中,圆 C 的方程为(x+6)2+y2=25. (I)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程; costx  (II)直线 l 的参数方程是 (t 为参数),l 与 C 交于 A、B 两点, sinty  ∣AB∣= 10 ,求 l 的斜率。 (24)(本小题满分 10 分),选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)= ∣x- 2 1 ∣+∣x+ 2 1 ∣,M 为不等式 f(x) <2 的解集. (I)求 M; (II)证明:当 a,b∈M 时,∣a+b∣<∣1+ab∣。 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学答案 第Ⅰ卷 一.选择题: (1)【答案】A (2)【答案】C (3)【答案】D (4)【答案】A (5)【答案】B (6)【答案】C (7)【答案】B (8)【答案】C (9)【答案】D (10)【答案】C (11)【答案】A (12)【答案】C 第Ⅱ卷 二、填空题 (13)【答案】 (14) 【答案】②③④ (15)【答案】1 和 3 (16)【答案】 三.解答题 17.(本题满分 12 分) 【答案】(Ⅰ) , , ;(Ⅱ)1893. 【解析】 试题分析:(Ⅰ)先求公差、通项 ,再根据已知条件求 ;(Ⅱ)用分段函数表 示 ,再由等差数列的前 项和公式求数列 的前 1 000 项和. 试题解析:(Ⅰ)设 的公差为 ,据已知有 ,解得 所以 的通项公式为 (Ⅱ)因为 所以数列 的前 项和为 考点:等差数列的的性质,前 项和公式,对数的运算. 【结束】 18.(本题满分 12 分) 【答案】(Ⅰ)根据互斥事件的概率公式求解;(Ⅱ)由条件概率公式求解;(Ⅲ)记续保人 本年度的保费为 ,求 的分布列为,在根据期望公式求解.. 【解析】 试题分析: 试题解析:(Ⅰ)设 表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件 发生当 且仅当一年内出险次数大于 1,故 (Ⅱ)设 表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出 ”,则事件 发生当且 仅当一年内出险次数大于 3,故 又 ,故 因此所求概率为 (Ⅲ)记续保人本年度的保费为 ,则 的分布列为 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为 考点: 条件概率,随机变量的分布列、期望. 【结束】 19.(本小题满分 12 分) 【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ) . 【解析】 试题分析:(Ⅰ)证 ,再证 ,最后证 ;(Ⅱ)用 向量法求解. 试题解析:(I)由已知得 , ,又由 得 ,故 . 因此 ,从而 .由 , 得 . 由 得 .所以 , . 于是 , , 故 . 又 ,而 , 所以 . (II)如图,以 为坐标原点, 的方向为 轴的正方向,建立空间直角坐标系 , 则 , , , , , , , . 设 是 平 面 的 法 向 量 , 则 ,即 ,所以可以取 .设 是平面 的法向量,则 ,即 ,所以可以取 .于是 , . 因 此 二 面 角 的正弦值是 . 考点:线面垂直的判定、二面角. 【结束】 20.(本小题满分 12 分) 【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) . 【解析】 试题分析:(Ⅰ)先求直线 的方程,再求点 的纵坐标,最后求 的面积;(Ⅱ) 设 ,,将直线 的方程与椭圆方程组成方程组,消去 ,用 表示 ,从而表 示 ,同理用 表示 ,再由 求 . 试题解析:(I)设 ,则由题意知 ,当 时, 的方程为 , . 由已知及椭圆的对称性知,直线 的倾斜角为 .因此直线 的方程为 . 将 代入 得 .解得 或 ,所以 . 因此 的面积 . (II)由题意 , , . 将 直 线 的 方 程 代 入 得 . 由 得 ,故 . 由题设,直线 的方程为 ,故同理可得 , 由 得 ,即 . 当 时上式不成立, 因此 . 等价于 , 即 .由此得 ,或 ,解得 . 因此 的取值范围是 . 考点:椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系. 【结束】 (21)(本小题满分 12 分) 【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ) . 【解析】 试题分析:(Ⅰ)先求定义域,用导数法求函数的单调性,当 时, 证 明结论;(Ⅱ)用导数法求函数 的最值,在构造新函数 ,又用导数法求 解. 试题解析:(Ⅰ) 的定义域为 . 且仅当 时, ,所以 在 单调递增, 因此当 时, 所以 (II) 由(I)知, 单调递增,对任意 因此,存在唯一 使得 即 , 当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增. 因此 在 处取得最小值,最小值为 于是 ,由 单调递增 所以,由 得 因为 单调递增,对任意 存在唯一的 使得 所以 的值域是 综上,当 时, 有 , 的值域是 考点: 函数的单调性、极值与最值. 【结束】 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清 题号 (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ) . 【解析】 试 题 分 析 :( Ⅰ ) 证 再 证 四 点 共 圆 ;( Ⅱ ) 证 明 四边形 的面积 是 面积 的 2 倍. 试题解析:(I)因为 ,所以 则有 所以 由此可得 由此 所以 四点共圆. (II)由 四点共圆, 知 ,连结 , 由 为 斜边 的中点,知 ,故 因此四边形 的面积 是 面积 的 2 倍,即 考点: 三角形相似、全等,四点共圆 【结束】 (23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) . 【解析】 试题分析:(I)利用 , 可得 C 的极坐标方程;(II)先将直线 的参 数方程化为普通方程,再利用弦长公式可得 的斜率. 试题解析:(I)由 可得 的极坐标方程 (II)在(I)中建立的极坐标系中,直线 的极坐标方程为 由 所对应的极径分别为 将 的极坐标方程代入 的极坐标方程得 于是 由 得 , 所以 的斜率为 或 . 考点:圆的极坐标方程与普通方程互化, 直线的参数方程,点到直线的距离公式. 【结束】 (24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)详见解析. 【解析】 试题分析:(I)先去掉绝对值,再分 , 和 三种情况解不等式,即 可得 ;(II)采用平方作差法,再进行因式分解,进而可证当 , 时, . 试题解析:(I) 当 时,由 得 解得 ; 当 时, ; 当 时,由 得 解得 . 所以 的解集 . (II)由(I)知,当 时, ,从而 , 因此 考点:绝对值不等式,不等式的证明. 【结束】