北京东城区高考二模数学理科试题word版含解析 11页

北京市东城区2009-2010学年度第二学期综合练习（二）‎ 高三数学 （理科）‎ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷（选择题 共40分）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1. 已知复数，若是纯虚数，则实数等于（ B ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2.对于非零向量，，“”是“”的（ A ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3. 执行如图所示的程序框图,输出的等于（C ）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎4.右图是一个几何体的三视图, 根据图中的数据,计算该几何 ‎ 体的表面积为（ D ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎5. 已知不等式组表示的平面区域为，若直线与平面区域有公共点，则的取值范围是（ A ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.已知函数若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（ C ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点 是两曲线的一个交点，且轴，若为双曲线的一条渐近线，则的倾斜角所在的区间可能是（ D ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 已知集合，函数的定义域、值域都是，且对于任意，. 设是的任意一个排列，定义数表，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为 ( A )‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共110分）‎ ‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡相应位置的横线上．‎ ‎9. 命题“”的否定是 ． ‎ ‎10. 如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知 ‎，，圆的半径为，则圆心到的距离 为 ．‎ ‎11.已知一个样本容量为的样本数据的频率分布直方图如图所示，样本数据落在内的样本频数为 ，样本数据落在内的频率为 ．‎ ‎12. 在平面直角坐标系中，已知圆 ‎（为参数）和直线 （为参数），则直线与圆相交所得的弦长等于 ． ‎ ‎13. 在函数的一个周期内，当时有最大值，当时有最小值，若，则函数解析式= ． ‎ ‎14. 已知数列中，是其前项和，若，，，‎ 且，则_______________，_______________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎15. （本小题满分13分）‎ 在中，角，，所对的边分别为，，， ． ‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的值．‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．‎ ‎（Ⅰ）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；‎ ‎（Ⅱ）用表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量的分布列和均值．‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ ‎ 如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面，△是等边三角形，， ，是线段的中点．‎ ‎ （Ⅰ）求证：；‎ ‎ （Ⅱ）求四棱锥的体积；‎ ‎（Ⅲ）求与平面所成角的正弦值．‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 已知抛物线的焦点在轴上，抛物线上一点到准线的距离是，过点的直线与抛物线交于，两点，过，两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为．‎ ‎ （Ⅰ）求抛物线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）求的值；‎ ‎（Ⅲ）求证：是和的等比中项．‎ ‎19．（本小题满分13分）‎ ‎ 已知数列的前项和为，，，设． ‎ ‎（Ⅰ）证明数列是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）数列满足，设， 若对一切不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎20.(本小题满分14分)‎ 已知函数．‎ ‎(Ⅰ) 若函数在上为单调增函数，求的取值范围；‎ ‎(Ⅱ) 设，，且，求证：．‎ ‎（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）‎ 北京市东城区2009-2010学年度第二学期综合练习（二）‎ 高三数学参考答案 （理科）‎ 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎1．B 2．A 3．C　 4．D 5．A 　 6．C 　7．D　 8．A ‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎9．， 10． 11．， ‎ ‎12． 13． 14．，‎ 注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80分）‎ ‎15. （本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）因为，又，‎ 所以．…………………………………3分 所以 ．………………………………………7分 ‎（Ⅱ）由余弦定理，‎ 得．…………………………………………………………11分 ‎ 解得．…………………………………………………………………13分 ‎16. （本小题满分13分）‎ 解：（I）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，‎ 则．…………………………………………………5分 ‎（II）由题意所有可能的取值为：，，，.…………………………………6分 ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎．‎ 所以随机变量的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎……………………………………………………………10分 随机变量的均值为 ‎．………………………………13分 ‎17. （本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）证明：因为侧面，平面， ‎ 所以．……………………………………………………………2分 ‎ 又因为△是等边三角形，是线段的中点，‎ 所以．‎ ‎ 因为，‎ 所以平面．…………………………………………………4分 ‎ 而平面，‎ 所以．……………………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：平面，所以是四棱锥的高．‎ 由，，可得．‎ 因为△是等边三角形，‎ 可求得．‎ 所以．………………9分 ‎（Ⅲ）解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ ‎ 则，，，．‎ ‎，，．‎ 设为平面的法向量．‎ 由 即 令，可得．………………………12分 设与平面所成的角为．‎ ‎．‎ 所以与平面所成角的正弦值为． …………………………………14分 ‎18. （本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）解：由题意可设抛物线的方程为．‎ 因为点在抛物线上，所以．‎ 又点到抛物线准线的距离是，所以，可得．‎ 所以抛物线的标准方程为．………………………………………………3分 ‎（Ⅱ）解：点为抛物线的焦点，则．‎ 依题意可知直线不与轴垂直，所以设直线的方程为． ‎ 由 得．‎ 因为过焦点，所以判别式大于零．‎ 设，．‎ 则，．……………………………………………………6分 ‎．‎ 由于，所以．‎ 切线的方程为， ①‎ 切线的方程为． ②‎ 由①，②，得．…………………………………8分 则．‎ 所以．………………………10分 ‎（Ⅲ）证明：．‎ 由抛物线的定义知 ，．‎ 则 ‎．‎ 所以．‎ 即是和的等比中项．…………………………………………………13分 ‎19．（本小题满分13分）‎ 证明：（Ⅰ）由于， ①‎ ‎ 当时，． ②‎ ‎①②得 ．‎ 所以 ．…………………………………………………2分 又，‎ 所以．‎ 因为，且，‎ 所以．‎ 所以．‎ 故数列是首项为，公比为的等比数列．…………………………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，则（）．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．……………………………………………………………………9分 由，得．‎ 即．‎ 所以．‎ 所以．……………………………………11分 设，．‎ 可知在为减函数，又，‎ 则当时，有．‎ 所以．‎ 故当时，恒成立．…………………………………13分 ‎20. （本小题满分14分）‎ 解：(Ⅰ) ‎ ‎ ．………………………………………3分 ‎ 因为在上为单调增函数，‎ 所以在上恒成立．‎ 即在上恒成立．‎ 当时，由，‎ 得．‎ 设，．‎ ‎．‎ 所以当且仅当，即时，有最小值．‎ 所以．‎ 所以．‎ 所以的取值范围是．…………………………………………………………7分 ‎(Ⅱ)不妨设，则．‎ 要证，‎ 只需证，‎ 即证．‎ 只需证．……………………………………………………………11分 设．‎ 由(Ⅰ)知在上是单调增函数，又，‎ 所以．‎ 即成立．‎ 所以．………………………………………………………………14分