上海市高考数学试卷文科 17页

‎2016年上海市高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、填空题（本大题共14题，每小题4分，共56分）.‎ ‎1．（4分）（2016•上海）设x∈R，则不等式|x﹣3|＜1的解集为　　　　　　．‎ ‎2．（4分）（2016•上海）设z=，其中i为虚数单位，则z的虚部等于　　　　　　．‎ ‎3．（4分）（2016•上海）已知平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2的距离　　　　　　．‎ ‎4．（4分）（2016•上海）某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76．则这组数据的中位数是　　　　　　（米）．‎ ‎5．（4分）（2016•上海）若函数f（x）=4sinx+acosx的最大值为5，则常数a=　　　　　　．‎ ‎6．（4分）（2016•上海）已知点（3，9）在函数f（x）=1+ax的图象上，则f（x）的反函数f﹣1（x）=　　　　　　．‎ ‎7．（4分）（2016•上海）若x，y满足，则x﹣2y的最大值为　　　　　　．‎ ‎8．（4分）（2016•上海）方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为　　　　　　．‎ ‎9．（4分）（2016•上海）在（﹣）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于　　　　　　．‎ ‎10．（4分）（2016•上海）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于　　　　　　．‎ ‎11．（4分）（2016•上海）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为　　　　　　．‎ ‎12．（4分）（2016•上海）如图，已知点O（0，0），A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，则•的取值范围是　　　　　　．‎ ‎13．（4分）（2016•上海）设a＞0，b＞0．若关于x，y的方程组无解，则a+b的取值范围是　　　　　　．‎ ‎14．（4分）（2016•上海）无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和，若对任意n∈N*，Sn∈{2，3}，则k的最大值为　　　　　　．‎ ‎　‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一脸得零分）.‎ ‎15．（5分）（2016•上海）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 ‎16．（5分）（2016•上海）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（　　）‎ A．直线AA1 B．直线A1B1 C．直线A1D1 D．直线B1C1‎ ‎17．（5分）（2016•上海）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎18．（5分）（2016•上海）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是增函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（　　）‎ A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 ‎　‎ 三、简答题：本大题共5题，满分74分 ‎19．（12分）（2016•上海）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．‎ ‎（1）求圆柱的体积与侧面积；‎ ‎（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小．‎ ‎20．（14分）（2016•上海）有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图 ‎（1）求菜地内的分界线C的方程；‎ ‎（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的经验值为．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”．‎ ‎21．（14分）（2016•上海）双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点．‎ ‎（1）若l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；‎ ‎（2）设b=，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率．‎ ‎22．（16分）（2016•上海）对于无穷数列{an}与{bn}，记A={x|x=an，n∈N*}，B={x|x=bn，n∈N*}，若同时满足条件：①{an}，{bn}均单调递增；②A∩B=∅且A∪B=N*，则称{an}与{bn}是无穷互补数列．‎ ‎（1）若an=2n﹣1，bn=4n﹣2，判断{an}与{bn}是否为无穷互补数列，并说明理由；‎ ‎（2）若an=2n且{an}与{bn}是无穷互补数列，求数量{bn}的前16项的和；‎ ‎（3）若{an}与{bn}是无穷互补数列，{an}为等差数列且a16=36，求{an}与{bn}的通项公式．‎ ‎23．（18分）（2016•上海）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．‎ ‎（1）当a=1时，解不等式f（x）＞1；‎ ‎（2）若关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素，求a的值；‎ ‎（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016年上海市高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（本大题共14题，每小题4分，共56分）.‎ ‎1．（4分）（2016•上海）设x∈R，则不等式|x﹣3|＜1的解集为　（2，4）　．‎ ‎【分析】由含绝对值的性质得﹣1＜x﹣3＜1，由此能求出不等式|x﹣3|＜1的解集．‎ ‎【解答】解：∵x∈R，不等式|x﹣3|＜1，‎ ‎∴﹣1＜x﹣3＜1，‎ 解得2＜x＜4．‎ ‎∴不等式|x﹣3|＜1的解集为（2，4）．‎ 故答案为：（2，4）．‎ ‎【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）（2016•上海）设z=，其中i为虚数单位，则z的虚部等于　﹣3　．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则即可得出．‎ ‎【解答】解：z===﹣3i+2，则z的虚部为﹣3．‎ 故答案为：﹣3．‎ ‎【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）（2016•上海）已知平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2的距离　　．‎ ‎【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．‎ ‎【解答】解：平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2的距离：=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）（2016•上海）某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76．则这组数据的中位数是　1.76　（米）．‎ ‎【分析】将数据从小到大进行重新排列，根据中位数的定义进行求解即可．‎ ‎【解答】解：将5位同学的身高按照从小到大进行排列为1.69，1.72，1.76，1.78，1.80．‎ 则位于中间的数为1.76，即中位数为1.76，‎ 故答案为：1.76‎ ‎【点评】本题主要考查中位数的求解，根据中位数的定义，将数据从小到大进行排列是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）（2016•上海）若函数f（x）=4sinx+acosx的最大值为5，则常数a=　±3　．‎ ‎【分析】利用辅助角公式化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的最大值为5，求得a的值．‎ ‎【解答】解：由于函数f（x）=4sinx+acosx=sin（x+θ），其中，cosθ=，sinθ=，‎ 故f（x）的最大值为=5，∴a=±3，‎ 故答案为：±3．‎ ‎【点评】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的值域，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）（2016•上海）已知点（3，9）在函数f（x）=1+ax的图象上，则f（x）的反函数f﹣1（x）=　log2（x﹣1）（x＞1）　．‎ ‎【分析】由于点（3，9）在函数f（x）=1+ax的图象上，可得9=1+a3，解得a=2．可得f（x）=1+2x，由1+2x=y，解得x=log2（y﹣1），（y＞1）．把x与y互换即可得出f（x）的反函数f﹣1（x）．‎ ‎【解答】解：∵点（3，9）在函数f（x）=1+ax的图象上，∴9=1+a3，解得a=2．‎ ‎∴f（x）=1+2x，由1+2x=y，解得x=log2（y﹣1），（y＞1）．‎ 把x与y互换可得：f（x）的反函数f﹣1（x）=log2（x﹣1）．‎ 故答案为：log2（x﹣1），（x＞1）．‎ ‎【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎7．（4分）（2016•上海）若x，y满足，则x﹣2y的最大值为　﹣2　．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．‎ ‎【解答】解：画出可行域（如图），设z=x﹣2y⇒y=x﹣z，‎ 由图可知，‎ 当直线l经过点A（0，1）时，z最大，且最大值为zmax=0﹣2×1=﹣2．‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）（2016•上海）方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为　或　．‎ ‎【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可．‎ ‎【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，可得3sinx=2﹣2sin2x，‎ 即2sin2x+3sinx﹣2=0．可得sinx=﹣2，（舍去）sinx=，x∈[0，2π]‎ 解得x=或．‎ 故答案为：或．‎ ‎【点评】本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎9．（4分）（2016•上海）在（﹣）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于　112　．‎ ‎【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于2n=256，求得 n=8．在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．‎ ‎【解答】解：∵在（﹣）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，‎ ‎∴2n=256，解得n=8，‎ ‎∴（﹣）8中，Tr+1==，‎ ‎∴当=0，即r=2时，常数项为T3=（﹣2）2=112．‎ 故答案为：112．‎ ‎【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）（2016•上海）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于　　．‎ ‎【分析】可设△ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，运用余弦定理可得cosC，由同角的平方关系可得sinC，再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为，代入计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：可设△ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，‎ 由余弦定理可得，cosC===﹣，‎ 可得sinC===，‎ 可得该三角形的外接圆半径为==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求法，注意运用正弦定理和余弦定理，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（4分）（2016•上海）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为　　．‎ ‎【分析】利用分步乘法求出两同学总的选法种数，再求出选法相同的选法种数，利用古典概型概率计算公式得答案．‎ ‎【解答】解：甲同学从四种水果中选两种，选法种数为，乙同学的选法种数为，‎ 则两同学的选法种数为种．‎ 两同学相同的选法种数为．‎ 由古典概型概率计算公式可得：甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查古典概型概率计算公式的应用，考查了组合及组合数公式，是基础题．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2016•上海）如图，已知点O（0，0），A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，则•的取值范围是　[﹣1，]　．‎ ‎【分析】设出=（x，y），得到•=x+，令x=cosθ，根据三角函数的性质得到•=sinθ+cosθ=sin（θ+），从而求出•的范围即可．‎ ‎【解答】解：设=（x，y），则=（x，），‎ 由A（1，0），B（0，﹣1），得：=（1，1），‎ ‎∴•=x+，‎ 令x=cosθ，θ∈[0，π]，‎ 则•=sinθ+cosθ=sin（θ+），θ∈[0，π]，‎ 故•的范围是[﹣，1，]，‎ 故答案为：[﹣1，]．‎ ‎【点评】本题考查了向量的运算性质，考查三角函数问题，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2016•上海）设a＞0，b＞0．若关于x，y的方程组无解，则a+b的取值范围是　（2，+∞）　．‎ ‎【分析】根据方程组无解可知两直线平行，利用斜率得出a，b的关系，再使用基本不等式得出答案．‎ ‎【解答】解：∵关于x，y的方程组无解，‎ ‎∴直线ax+y﹣1=0与直线x+by﹣1=0平行，‎ ‎∴﹣a=﹣，且．‎ 即a=且b≠1．‎ ‎∵a＞0，b＞0．∴a+b=b+＞2．‎ 故答案为：（2，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查了直线平行与斜率的关系，基本不等式的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2016•上海）无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和，若对任意n∈N*，Sn∈{2，3}，则k的最大值为　4　．‎ ‎【分析】对任意n∈N*，Sn∈{2，3}，列举出n=1，2，3，4的情况，归纳可得n＞4后都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4．‎ ‎【解答】解：对任意n∈N*，Sn∈{2，3}，可得 当n=1时，a1=S1=2或3；‎ 若n=2，由S2∈{2，3}，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，﹣1；‎ 若n=3，由S3∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1；‎ 或2，1，0；或2，1，﹣1；或3，0，0；或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1，﹣1；‎ 若n=4，由S3∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1；‎ 或2，0，1，0；或2，0，1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0，﹣1；‎ 或2，1，﹣1，0；或2，1，﹣1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1；‎ 或3，0，﹣1，0；或3，0，﹣1，1；或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0，1；‎ 或3，﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1；‎ ‎…‎ 即有n＞4后一项都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4，‎ 不同的四个数均为2，0，1，﹣1，或3，0，1，﹣1．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题考查数列与集合的关系，考查分类讨论思想方法，注意运用归纳思想，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一脸得零分）.‎ ‎15．（5分）（2016•上海）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 ‎【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：由a2＞1得a＞1或a＜﹣1，‎ 即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2016•上海）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（　　）‎ A．直线AA1 B．直线A1B1 C．直线A1D1 D．直线B1C1‎ ‎【分析】根据异面直线的定义便可判断选项A，B，C的直线都和直线EF异面，而由图形即可看出直线B1C1和直线相交，从而便可得出正确选项．‎ ‎【解答】解：根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线；‎ B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行；‎ ‎∴直线B1C1和直线EF相交，即选项D正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】考查异面直线的概念及判断，平行直线和相交直线的概念及判断，并熟悉正方体的图形形状．‎ ‎　‎ ‎17．（5分）（2016•上海）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同．‎ ‎【解答】解：∵对于任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），‎ 则函数的周期相同，若a=3，‎ 此时sin（3x﹣）=sin（3x+b），‎ 此时b=﹣+2π=，‎ 若a=﹣3，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（﹣3x+b）=﹣sin（3x﹣b）=sin（3x﹣b+π），‎ 则﹣=﹣b+π，则b=，‎ 综上满足条件的有序实数组（a，b）为（3，），（﹣3，），‎ 共有2组，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（5分）（2016•上海）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是增函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（　　）‎ A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 ‎【分析】①举反例说明命题不成立；‎ ‎②根据定义得f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），‎ 由此得出：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），f（x）=f（x+T），即可判断出真假．‎ ‎【解答】解：对于①，举反例说明：f（x）=2x，g（x）=﹣x，h（x）=3x；‎ f（x）+g（x）=x，f（x）+h（x）=5x，g（x）+h（x）=2x都是定义域R上的增函数，但g（x）=﹣x不是增函数，所以①是假命题；‎ 对于②，∵f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），‎ 前两式作差可得：g（x）﹣h（x）=g（x+T）﹣h（x+T），结合第三式可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），‎ 同理可得：f（x）=f（x+T），所以②是真命题．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题目．‎ ‎　‎ 三、简答题：本大题共5题，满分74分 ‎19．（12分）（2016•上海）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．‎ ‎（1）求圆柱的体积与侧面积；‎ ‎（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小．‎ ‎【分析】（1）直接利用圆柱的体积公式，侧面积公式求解即可．‎ ‎（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，即可求解所求角的大小．‎ ‎【解答】解：（1）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，圆柱的体积为：π•12•1=π．‎ 侧面积为：2π•1=2π．‎ ‎（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，OB，则OB∥O1B，‎ ‎∴∠AOB=，异面直线O1B1与OC所成的角的大小就是∠COB，‎ 大小为：﹣=．‎ ‎【点评】本题考查几何体的体积侧面积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎20．（14分）（2016•上海）有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图 ‎（1）求菜地内的分界线C的方程；‎ ‎（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的经验值为．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”．‎ ‎【分析】（1）设分界线上任意一点为（x，y），根据条件建立方程关系进行求解即可．‎ ‎（2）设M（x0，y0），则y0=1，分别求出对应矩形面积，五边形FOMGH的面积，进行比较即可．‎ ‎【解答】解：（1）设分界线上任意一点为（x，y），由题意得|x+1|=，得y=2，（0≤x≤1），‎ ‎（2）设M（x0，y0），则y0=1，‎ ‎∴x0==，‎ ‎∴设所表述的矩形面积为S3，则S3=2×（+1）=2×=，‎ 设五边形EMOGH的面积为S4，则S4=S3﹣S△OMP+S△MGN=﹣××1+=，‎ S1﹣S3==，S4﹣S1=﹣=＜，‎ ‎∴五边形EMOGH的面积更接近S1的面积．‎ ‎【点评】本题主要考查圆锥曲线的轨迹问题，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）（2016•上海）双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点．‎ ‎（1）若l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；‎ ‎（2）设b=，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率．‎ ‎【分析】（1）由题意求出A点纵坐标，由△F1AB是等边三角形，可得tan∠AF1F2=tan=，从而求得b值，则双曲线的渐近线方程可求；‎ ‎（2）写出直线l的方程y﹣0=k（x﹣2），即y=kx﹣2k，与双曲线方程联立，利用弦长公式列式求得k值．‎ ‎【解答】解：（1）若l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，‎ 把x=c=代入双曲线的方程可得点A的纵坐标为b2，‎ 由tan∠AF1F2=tan==，求得b2=2，b=，‎ 故双曲线的渐近线方程为y=±bx=±x，‎ 即双曲线的渐近线方程为y=±x．‎ ‎（2）设b=，则双曲线为 x2﹣=1，F2（2，0），‎ 若l的斜率存在，设l的斜率为k，则l的方程为y﹣0=k（x﹣2），即y=kx﹣2k，‎ 联立，可得（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3=0，‎ 由直线与双曲线有两个交点，则3﹣k2≠0，即k．‎ ‎△=36（1+k2）＞0．‎ x1+x2=，x1•x2=．‎ ‎∵|AB|=•|x1﹣x2|=•‎ ‎=•=4，‎ 化简可得，5k4+42k2﹣27=0，解得k2=，‎ 求得k=．‎ ‎∴l的斜率为．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查了双曲线的简单性质，考查弦长公式的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（16分）（2016•上海）对于无穷数列{an}与{bn}，记A={x|x=an，n∈N*}，B={x|x=bn，n∈N*}，若同时满足条件：①{an}，{bn}均单调递增；②A∩B=∅且A∪B=N*，则称{an}与{bn}是无穷互补数列．‎ ‎（1）若an=2n﹣1，bn=4n﹣2，判断{an}与{bn}是否为无穷互补数列，并说明理由；‎ ‎（2）若an=2n且{an}与{bn}是无穷互补数列，求数量{bn}的前16项的和；‎ ‎（3）若{an}与{bn}是无穷互补数列，{an}为等差数列且a16=36，求{an}与{bn}的通项公式．‎ ‎【分析】（1）{an}与{bn}不是无穷互补数列．由4∉A，4∉B，4∉A∪B=N*，即可判断；‎ ‎（2）由an=2n，可得a4=16，a5=32，再由新定义可得b16=16+4=20，运用等差数列的求和公式，计算即可得到所求和；‎ ‎（3）运用等差数列的通项公式，结合首项大于等于1，可得d=1或2，讨论d=1，2求得通项公式，结合新定义，即可得到所求数列的通项公式．‎ ‎【解答】解：（1）{an}与{bn}不是无穷互补数列．‎ 理由：由an=2n﹣1，bn=4n﹣2，可得4∉A，4∉B，‎ 即有4∉A∪B=N*，即有{an}与{bn}不是无穷互补数列；‎ ‎（2）由an=2n，可得a4=16，a5=32，‎ 由{an}与{bn}是无穷互补数列，可得b16=16+4=20，‎ 即有数列{bn}的前16项的和为 ‎（1+2+3+…+20）﹣（2+4+8+16）=×20﹣30=180；‎ ‎（3）设{an}为公差为d（d为正整数）的等差数列且a16=36，则a1+15d=36，‎ 由a1=36﹣15d≥1，可得d=1或2，‎ 若d=1，则a1=21，an=n+20，bn=n（1≤n≤20），‎ 与{an}与{bn}是无穷互补数列矛盾，舍去；‎ 若d=2，则a1=6，an=2n+4，bn=．‎ 综上可得，an=2n+4，bn=．‎ ‎【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算和推理能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎23．（18分）（2016•上海）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．‎ ‎（1）当a=1时，解不等式f（x）＞1；‎ ‎（2）若关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素，求a的值；‎ ‎（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）当a=1时，不等式f（x）＞1化为：＞1，因此2，解出并且验证即可得出．‎ ‎（2）方程f（x）+log2（x2）=0即log2（+a）+log2（x2）=0，（+a）x2=1，化为：ax2+x﹣1=0，对a分类讨论解出即可得出．‎ ‎（3）a＞0，对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意可得﹣≤1，因此≤2，化为：a≥=g（t），t∈[，1]，利用导数研究函数的单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）当a=1时，不等式f（x）＞1化为：＞1，‎ ‎∴2，化为：，解得0＜x＜1，‎ 经过验证满足条件，因此不等式的解集为：（0，1）．‎ ‎（2）方程f（x）+log2（x2）=0即log2（+a）+log2（x2）=0，∴（+a）x2=1，化为：ax2+x﹣1=0，‎ 若a=0，化为x﹣1=0，解得x=1，经过验证满足：关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素1．‎ 若a≠0，令△=1+4a=0，解得a=，解得x=2．经过验证满足：关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素1．‎ 综上可得：a=0或﹣．‎ ‎（3）a＞0，对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，‎ ‎∴﹣≤1，‎ ‎∴≤2，‎ 化为：a≥=g（t），t∈[，1]，‎ g′（t）===≤＜0，‎ ‎∴g（t）在t∈[，1]上单调递减，∴t=时，g（t）取得最大值，=．‎ ‎∴．‎ ‎∴a的取值范围是．‎ ‎【点评】本题考查了对数函数的运算法则单调性、不等式的解法、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：zlzhan；沂蒙松；qiss；maths；caoqz；w3239003；双曲线；sxs123；1619495736；zhczcb；wkl197822；742048（排名不分先后）‎ 菁优网 ‎2016年8月16日