高考数学小题综合训练 9页

‎2019-2020年高考数学小题综合训练3 ‎ ‎1．已知U＝{y|y＝log2x，x>1}，P＝，则∁UP等于(　　)‎ A. B. C．(0，＋∞) D．(－∞，0)∪ 答案　A 解析　由集合U中的函数y＝log2x，x>1，解得y>0，‎ 所以全集U＝(0，＋∞)，‎ 同样P＝，得到∁UP＝.‎ ‎2．“a>0”是“函数f(x)＝x3＋ax在区间(0，＋∞)上是增函数”的(　　)‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　当a>0时，f′(x)＝3x2＋a>0在区间(0，＋∞)上恒成立，‎ 即f(x)在(0，＋∞)上是增函数，充分性成立；‎ 当f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数时，f′(x)＝3x2＋a≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a≥0，必要性不成立，‎ 故“a>0”是“函数f(x)＝x3＋ax在区间(0，＋∞)上是增函数”的充分不必要条件．‎ ‎3．已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是(　　)‎ A．(1,2 010) B．(1,2 011)‎ C．(2,2 011) D．[2,2 011]‎ 答案　C 解析　因为a，b，c互不相等，不妨设an，执行循环体，a＝4，s＝16，k＝2；‎ 不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝52，k＝3；‎ 不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝160，k＝4；‎ 不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝484，k＝5.‎ 由题意，此时应该满足条件k>n，退出循环，输出s的值为484，‎ 可得5>n≥4，所以输入n的值为4.‎ ‎8．(2x＋1)6的展开式中的常数项是(　　)‎ A．－5 B．7 C．－11 D．13‎ 答案　C 解析　∵6的展开式的通项公式是Ck，其中含的项是C1，常数项为C0＝1，故(2x＋1)6的展开式中的常数项是 ‎2x×＋1×1＝－12＋1＝－11.‎ ‎9．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成角的大小为(　　)‎ A．90° B．60°‎ C．45° D．30°‎ 答案　C 解析　如图，当DO⊥平面ABC时，三棱锥D－ABC的体积最大．‎ ‎∴∠DBO为直线BD和平面ABC所成的角，‎ ‎∵在Rt△DOB中，OD＝OB，‎ ‎∴直线BD和平面ABC所成角的大小为45°.‎ ‎10．在区间[－1,1]上任取两数s和t，则关于x的方程x2＋2sx＋t＝0的两根都是正数的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意可得，其区域是边长为2的正方形，面积为4，‎ 由二次方程x2＋2sx＋t＝0有两正根，可得 即其区域如图阴影部分所示，‎ 面积S＝ʃs2ds＝＝，‎ 所求概率P＝＝.‎ ‎11．椭圆x2＋＝1(0b2，‎ 即c2>a2－c2,2c2>a2,2e2>1，‎ 由0－1.‎ ‎15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos B＝，b＝4，sin A＝2sin C，则△ABC的面积为________．‎ 答案　 解析　根据余弦定理的推论 cos B＝，可得 ＝，‎ 化简得2a2＋2c2－32＝ac.(*)‎ 又由正弦定理＝，‎ 可得＝＝，‎ 即a＝2c，代入(*)式得 ‎2·(2c)2＋2c2－32＝2c·c，‎ 化简得c2＝4，所以c＝2，‎ 则a＝4，‎ 又B∈(0，π)，‎ 则sin B＝＝，‎ S△ABC＝acsin B＝×4×2×＝，‎ 即△ABC的面积为.‎ ‎16．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A，B两点，记直线AC，BC的斜率分别为k1，k2，当＋ln|k1|＋ln|k2|最小时，双曲线的离心率为________．‎ 答案　 解析　设A(x1，y1)，C(x2，y2)，‎ 由题意知，点A，B为过原点的直线与双曲线－＝1的交点，‎ ‎∴由双曲线的对称性，得A，B关于原点对称，‎ ‎∴B(－x1，－y1)，‎ ‎∴k1k2＝·＝，‎ ‎∵点A，C都在双曲线上，‎ ‎∴－＝1，－＝1，‎ 两式相减，可得k1k2＝>0，‎ 对于＋ln|k1|＋ln|k2|＝＋ln|k1k2|，‎ 设函数y＝＋ln x，x>0，‎ 由y′＝－＋＝0，得x＝2，‎ 当x>2时，y′>0，当00取得最小值，‎ ‎∴当＋ln(k1k2)最小时，k1k2＝＝2，‎ ‎∴e＝ ＝.‎