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- 2021-05-13 发布
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2016年高考数学文试题分类汇编
立体几何大题
1、【2016年北京高考】如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,
(I)求证:;
(II)求证:;
(III)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得平面?说明理由.
解:(I)因为平面,
所以.
又因为,
所以平面.
(II)因为,,
所以.
因为平面,
所以.
所以平面.
所以平面平面.
(III)棱上存在点,使得平面.证明如下:
取中点,连结,,.
又因为为的中点,
所以.
又因为平面,
所以平面.
2、【2016年江苏省高考】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且 ,.
求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱中,
因为平面,所以
又因为
所以平面
因为平面,所以
又因为
所以
因为直线,所以
3、【2016年山东高考】在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EF∥DB.
(I)已知AB=BC,AE=EC.求证:AC⊥FB;
(II)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH∥平面ABC.
解析:(Ⅰ))证明:因,所以与确定一个平面,连接,因为为的中点,所以;同理可得,又因为,所以平面,因为平面,。
(Ⅱ)设的中点为,连,在中,是的中点,所以,又,所以;在中,是的中点,所以,又,所以平面平面,因为平面,所以平面。
4、【2016年上海高考】将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1
旋转一周形成圆柱,如图, 长为 ,长为,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.
(1)求圆柱的体积与侧面积;
(2)求异面直线O1B1与OC所成的角的大小.
【解析】(1)由题意可知,圆柱的高,底面半径.计算体积与侧面积即得.
(2)由得或其补角为与所成的角,计算即得.
试题解析:(1)由题意可知,圆柱的母线长,底面半径.
圆柱的体积,
圆柱的侧面积.
(2)设过点的母线与下底面交于点,则,
所以或其补角为与所成的角.
由长为,可知,
由长为,可知,,
所以异面直线与所成的角的大小为.
5、【2016年四川高考】如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD。
(I)在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由;
(II)证明:平面PAB⊥平面PBD。
【解析】
(I)取棱AD的中点M(M∈平面PAD),点M即为所求的一个点.理由如下:
因为AD‖BC,BC=AD,所以BC‖AM, 且BC=AM.
所以四边形AMCB是平行四边形,从而CM‖AB.
又AB 平面PAB,CM 平面PAB,
所以CM∥平面PAB.
(说明:取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)
(II)由已知,PA⊥AB, PA ⊥ CD,
因为AD∥BC,BC=AD,所以直线AB与CD相交,
所以PA ⊥平面ABCD.
从而PA ⊥ BD.
因为AD∥BC,BC=AD,
所以BC∥MD,且BC=MD.
所以四边形BCDM是平行四边形.
所以BM=CD=AD,所以BD⊥AB.
又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.
又BD 平面PBD,
所以平面PAB⊥平面PBD.
6、【2016年天津高考】如图,四边形ABCD是平行四边形,平面AED⊥平面ABCD,EF||AB,AB=2,BC=EF=1,AE=,DE=3,∠BAD=60º,G为BC的中点.
(Ⅰ)求证:FG||平面BED;
(Ⅱ)求证:平面BED⊥平面AED;
(Ⅲ)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.
解析:(Ⅰ)证明:取的中点为,连接,在中,因为是的中点,所以且,又因为,所以且
,即四边形是平行四边形,所以,又平面,平面,所以平面.
(Ⅱ)证明:在中,,由余弦定理可,进而可得,即,又因为平面平面平面;平面平面,所以平面.又因为平面,所以平面平面.
(Ⅲ)解:因为,所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角.过点作于点,连接,又因为平面平面,由(Ⅱ)知平面,所以直线与平面所成角即为.在中,,由余弦定理可得,所以,因此,在中,,所以直线与平面所成角的正弦值为
7、【2016年全国I卷高考】如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连结PE并延长交AB于点G.
(I)证明:G是AB的中点;
(II)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.
(II)在平面内,过点作的平行线交于点,即为在平面内的正投影.
理由如下:由已知可得,,又,所以,因此平面,即点为在平面内的正投影.
连结,因为在平面内的正投影为,所以是正三角形的中心.
由(I)知,是的中点,所以在上,故
由题设可得平面,平面,所以,因此
由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且,可得
在等腰直角三角形中,可得
所以四面体的体积
8、【2016年全国II卷高考】 如图,菱形的对角线与交于点,点、分别在,上,,
交于点,将沿折到的位置.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)若,求五棱锥体积.
试题解析:(I)由已知得,
又由得,故
由此得,所以.
(II)由得
由得
所以
于是故
由(I)知,又,
所以平面于是
又由,所以,平面
又由得
五边形的面积
所以五棱锥体积
9、【2016年全国III卷高考】如图,四棱锥中,平面,,,,为线段上一点,,为的中点.
(I)证明平面;
(II)求四面体的体积.
(Ⅱ)因为平面,为的中点,
所以到平面的距离为. ....9分
取的中点,连结.由得,.
由得到的距离为,故.
所以四面体的体积. .....12分
10、【2016年浙江高考】如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(I)求证:BF⊥平面ACFD;
(II)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.
解析:(1)延长相交于一点,如图所示,
因为平面平面,且,所以
平面,因此,
又因为,,,所以
为等边三角形,且为的中点,则,
所以平面.
(2)因为平面,所以是直线与平面所成的角,
在中,,得,
所以直线与平面所成的角的余弦值为.
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