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  • 2021-05-13 发布

高考数学文试题立体几何

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‎2016年高考数学文试题分类汇编 立体几何大题 ‎1、【2016年北京高考】如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,‎ ‎(I)求证:;‎ ‎(II)求证:;‎ ‎(III)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得平面?说明理由.‎ 解:(I)因为平面,‎ 所以.‎ 又因为,‎ 所以平面.‎ ‎(II)因为,,‎ 所以.‎ 因为平面,‎ 所以.‎ 所以平面.‎ 所以平面平面.‎ ‎(III)棱上存在点,使得平面.证明如下:‎ 取中点,连结,,.‎ 又因为为的中点,‎ 所以.‎ 又因为平面,‎ 所以平面.‎ ‎ ‎ ‎2、【2016年江苏省高考】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且 ,.‎ 求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;‎ ‎ (2)平面B1DE⊥平面A1C1F. ‎ ‎(2)在直三棱柱中,‎ 因为平面,所以 又因为 所以平面 因为平面,所以 又因为 所以 因为直线,所以 ‎3、【2016年山东高考】在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EF∥DB.‎ ‎(I)已知AB=BC,AE=EC.求证:AC⊥FB;‎ ‎(II)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH∥平面ABC.‎ 解析:(Ⅰ))证明:因,所以与确定一个平面,连接,因为为的中点,所以;同理可得,又因为,所以平面,因为平面,。‎ ‎(Ⅱ)设的中点为,连,在中,是的中点,所以,又,所以;在中,是的中点,所以,又,所以平面平面,因为平面,所以平面。‎ ‎4、【2016年上海高考】将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1‎ 旋转一周形成圆柱,如图, 长为 ,长为,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.‎ ‎(1)求圆柱的体积与侧面积;‎ ‎(2)求异面直线O1B1与OC所成的角的大小. ‎ ‎【解析】(1)由题意可知,圆柱的高,底面半径.计算体积与侧面积即得.‎ ‎(2)由得或其补角为与所成的角,计算即得.‎ 试题解析:(1)由题意可知,圆柱的母线长,底面半径.‎ 圆柱的体积,‎ 圆柱的侧面积.‎ ‎(2)设过点的母线与下底面交于点,则,‎ 所以或其补角为与所成的角.‎ 由长为,可知,‎ 由长为,可知,,‎ 所以异面直线与所成的角的大小为.‎ ‎5、【2016年四川高考】如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD。‎ ‎(I)在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由;‎ ‎(II)证明:平面PAB⊥平面PBD。‎ ‎【解析】‎ ‎(I)取棱AD的中点M(M∈平面PAD),点M即为所求的一个点.理由如下:‎ 因为AD‖BC,BC=AD,所以BC‖AM, 且BC=AM.‎ 所以四边形AMCB是平行四边形,从而CM‖AB.‎ 又AB 平面PAB,CM 平面PAB,‎ 所以CM∥平面PAB.‎ ‎(说明:取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)‎ ‎(II)由已知,PA⊥AB, PA ⊥ CD,‎ ‎ 因为AD∥BC,BC=AD,所以直线AB与CD相交,‎ 所以PA ⊥平面ABCD.‎ 从而PA ⊥ BD.‎ 因为AD∥BC,BC=AD,‎ 所以BC∥MD,且BC=MD.‎ 所以四边形BCDM是平行四边形.‎ 所以BM=CD=AD,所以BD⊥AB.‎ 又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.‎ 又BD 平面PBD,‎ 所以平面PAB⊥平面PBD.‎ ‎6、【2016年天津高考】如图,四边形ABCD是平行四边形,平面AED⊥平面ABCD,EF||AB,AB=2,BC=EF=1,AE=,DE=3,∠BAD=60º,G为BC的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:FG||平面BED;‎ ‎(Ⅱ)求证:平面BED⊥平面AED;‎ ‎(Ⅲ)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.‎ 解析:(Ⅰ)证明:取的中点为,连接,在中,因为是的中点,所以且,又因为,所以且 ‎,即四边形是平行四边形,所以,又平面,平面,所以平面.‎ ‎(Ⅱ)证明:在中,,由余弦定理可,进而可得,即,又因为平面平面平面;平面平面,所以平面.又因为平面,所以平面平面.‎ ‎(Ⅲ)解:因为,所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角.过点作于点,连接,又因为平面平面,由(Ⅱ)知平面,所以直线与平面所成角即为.在中,,由余弦定理可得,所以,因此,在中,,所以直线与平面所成角的正弦值为 ‎7、【2016年全国I卷高考】如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连结PE并延长交AB于点G.‎ ‎(I)证明:G是AB的中点;‎ ‎(II)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.‎ ‎(II)在平面内,过点作的平行线交于点,即为在平面内的正投影.‎ 理由如下:由已知可得,,又,所以,因此平面,即点为在平面内的正投影.‎ 连结,因为在平面内的正投影为,所以是正三角形的中心.‎ 由(I)知,是的中点,所以在上,故 由题设可得平面,平面,所以,因此 由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且,可得 ‎ 在等腰直角三角形中,可得 所以四面体的体积 ‎8、【2016年全国II卷高考】 如图,菱形的对角线与交于点,点、分别在,上,,‎ 交于点,将沿折到的位置.‎ ‎(Ⅰ)证明:;‎ ‎(Ⅱ)若,求五棱锥体积.‎ 试题解析:(I)由已知得,‎ 又由得,故 由此得,所以.‎ ‎(II)由得 由得 所以 ‎ 于是故 由(I)知,又,‎ 所以平面于是 又由,所以,平面 又由得 五边形的面积 所以五棱锥体积 ‎9、【2016年全国III卷高考】如图,四棱锥中,平面,,,,为线段上一点,,为的中点.‎ ‎(I)证明平面;‎ ‎(II)求四面体的体积.‎ ‎(Ⅱ)因为平面,为的中点,‎ 所以到平面的距离为. ....9分 取的中点,连结.由得,.‎ 由得到的距离为,故.‎ 所以四面体的体积. .....12分 ‎10、【2016年浙江高考】如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.‎ ‎(I)求证:BF⊥平面ACFD;‎ ‎(II)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.‎ 解析:(1)延长相交于一点,如图所示,‎ 因为平面平面,且,所以 平面,因此,‎ 又因为,,,所以 为等边三角形,且为的中点,则,‎ 所以平面.‎ ‎(2)因为平面,所以是直线与平面所成的角,‎ 在中,,得,‎ 所以直线与平面所成的角的余弦值为.‎