高考全国二卷理科数学试卷 8页

‎2018 年普通高等学校招生全国统一考试（ II 卷）‎ 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．‎ ‎1 2i ‎1 2i A ．‎ ‎4 3‎ ‎5 5‎ i B．‎ ‎4 3‎ ‎5 5‎ i C．‎ ‎3 4‎ ‎5 5‎ i D．‎ ‎3 4‎ ‎5 5‎ i ‎2．已知集合 ‎2 2 3‎ A x，y x y ≤ ，x Z ，y Z ，则 A 中元素的个数为 A ．9 B．8 C． 5 D．4‎ x x e e ‎3．函数 2‎ f x ‎ x 的图像大致为 A B C D ‎4．已知向量 a 、 b 满足| a | 1， a b 1 ，则 a (2a b)‎ A ．4 B．3 C． 2 D．0‎ ‎2 2‎ x y ‎5．双曲线2 2 1( a 0,b 0)‎ ‎ a b 的离心率为 3 ，则其渐近线方程为 A ． y 2x B． y 3x C．‎ ‎2‎ y x D．‎ ‎2‎ ‎3‎ y x ‎2‎ ‎6．在 △ABC 中，‎ cos C ‎5‎ ‎2 5‎ ‎， BC 1 ， AC 5 ，则 AB 开始 N 0,T 0‎ A ． 4 2 B． 30 C． 29 D． 2 5‎ i 1‎ ‎1 1 1 1 1‎ ‎7．为计算S 1 ⋯ ，设计了右侧的程序框图，则在 ‎ 2 3 4 99 100‎ 是 否 i 100‎ 空白框中应填入 A ． i i 1‎ N N ‎1‎ i S N T B． i i 2‎ C． i i 3‎ T T ‎1‎ i 1‎ 输出 S 结束 D． i i 4‎ ‎8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2 的偶数可以 表示为两个素数的和”，如30 7 23 ．在不超过30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30 的概率是 A ．‎ ‎1‎ ‎12‎ B．‎ ‎1‎ ‎14‎ C．‎ ‎1‎ ‎15‎ D．‎ ‎1‎ ‎18‎ ‎9．在长方体ABCD A1 B1C1D1 中， AB BC 1 ，‎ AA ，则异面直线AD1 与 ‎1 3‎ DB 所成角的余弦值为 ‎1‎ 理科数学 1‎ A ．‎ ‎1‎ ‎5‎ B． 5‎ ‎6‎ C． 5‎ ‎5‎ D． 2‎ ‎2‎ ‎10．若 f (x) cos x sin x 在 [ a, a] 是减函数，则 a 的最大值是 A ．‎ π ‎4‎ B．‎ π ‎2‎ C．‎ ‎3π ‎4‎ D． π ‎11．已知 f (x) 是定义域为 ( , ) 的奇函数， 满足 f (1 x) f (1 x) ．若 f 1() 2 ，则 f 1() (2f ) (3) f (5⋯0) f A ． 50 B．0 C． 2 D．50‎ ‎12．已知 F1 ，‎ F 是椭圆 ‎2‎ ‎2 2‎ x y C 2 2 1(a b 0)‎ ‎： 的左，右焦点， A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 3‎ a b ‎6‎ 的直线 上， △PF1 F2 为等腰三角形，‎ F1F2 P 120 ，则 C 的离心率为 A ．‎ ‎2‎ ‎3‎ B．‎ ‎1‎ ‎2‎ C．‎ ‎1‎ ‎3‎ D．‎ ‎1‎ ‎4‎ 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。‎ ‎13．曲线 y 2ln( x 1) 在点 (0, 0) 处的切线方程为 __________．‎ x 2 y 5 0‎ ‎，‎ ‎14．若 x, y 满足约束条件 x 2y 3 0‎ x 5 0‎ ‎，‎ ‎，‎ 则 z x y 的最大值为 __________．‎ ‎15．已知 sin α cos β 1， cosα sin β 0 ，则 sin(α β) __________．‎ ‎16． 已知圆锥的顶点为 S ，母线 SA，SB所成角的余弦值为 ‎7‎ ‎8‎ ‎，SA与圆锥底面所成角为 45°，若 △SAB 的面积为 5 15 ，‎ 则该圆锥的侧面积为 __________．‎ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须 作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共 60 分。‎ ‎17．（ 12 分）‎ 记Sn 为等差数列{ an } 的前 n 项和，已知 a1 7 ， S3 15 ．‎ ‎（1）求 { a } 的通项公式；‎ n ‎（2）求 Sn ，并求 Sn 的最小值．‎ ‎18．（ 12 分）‎ 下图是某地区2000 年至 2016 年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．‎ 为了预测该地区2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据 2000 年至 ‎2016 年的数据（时间变量t 的值依次为 1，2 ，⋯ ，17 ）建立模型①： y? 30.4 13.5t ；根据 2010 年至 2016 年的 数据（时间变量t 的值依次为 1，2，⋯ ，7 ）建立模型②： y? 99 17.5t ．‎ 理科数学 2‎ ‎（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；‎ ‎（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．‎ ‎19．（12 分）‎ 设抛物线 ‎2‎ C：y x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k(k 0) 的直线 l 与 C 交于 A ， B 两点， | AB | 8 ．‎ ‎4‎ ‎（1）求 l 的方程；‎ ‎（2）求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程．‎ ‎20．（12 分）‎ 如图，在三棱锥 P ABC 中， AB BC 2 2 ， PA PB PC AC 4 ，O 为 AC 的中点．‎ P ‎（1）证明： PO 平面 ABC ；‎ ‎（2）若点 M 在棱 BC 上，且二面角 M PA C 为 30 ，‎ 求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值．‎ O A C ‎ M B 理科数学 3‎ ‎21．（12 分）‎ 已知函数 x 2‎ f (x) e ax ．‎ ‎（1）若 a 1，证明：当 x 0 时， f (x) 1 ；‎ ‎（2）若 f (x) 在 (0, ) 只有一个零点，求 a．‎ ‎（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修 4－4：坐标系与参数方程 ]（10 分）‎ 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x 2cosθ，‎ ‎（ θ为参数），直线 l 的参数方程为 y 4sin θ x 1 t cosα （ t 为参数）． y 2 t sin α ‎，‎ ‎（1）求 C 和l 的直角坐标方程；‎ ‎（2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 (1, 2) ，求 l 的斜率．‎ ‎23．[选修 4－5：不等式选讲 ]（10 分）‎ 设函数 f ( x) 5 | x a | | x 2| ．‎ ‎（1）当 a 1时，求不等式 f ( x) 0的解集；‎ ‎（2）若 f (x) 1 ，求 a 的取值范围．‎ 理科数学 4‎