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  • 2021-05-13 发布

2010江苏高考数学试卷含附加题清晰版

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‎2010年江苏高考数学试题 一、 填空题 1、 设集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数a=______▲________‎ 2、 设复数z满足z(2-3i)=6+4i(其中i为虚数单位),则z的模为______▲________‎ 3、 盒子中有大小相同的3只小球,1只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同的概率是_▲__‎ 4、 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标),所得数据都在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所示,则其抽样的100根中,有_▲___根在棉花纤维的长度小于‎20mm。‎ 5、 设函数f(x)=x(ex+ae-x),x∈R,是偶函数,则实数a=_______▲_________‎ 6、 在平面直角坐标系xOy中,双曲线上一点M,点M的横坐标是3,则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______‎ 7、 右图是一个算法的流程图,则输出S的值是______▲_______‎ 开始 S←1‎ n←1‎ S←S+2n S≥33‎ n←n+1‎ 否 输出S 结束 是 8、 函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数,a1=16,则a1+a3+a5=____▲_____‎ 9、 在平面直角坐标系xOy中,已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是______▲_____‎ 10、 定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P,过点P作PP1⊥x轴于点P1,直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____‎ 11、 已知函数,则满足不等式的x的范围是____▲____‎ 12、 设实数x,y满足3≤≤8,4≤≤9,则的最大值是_____▲____‎ 1、 在锐角三角形ABC,A、B、C的对边分别为a、b、c,,则__▲‎ 2、 将边长为1的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S=,则S的最小值是_______▲_______‎ 二、 解答题 15、 ‎(14分)在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)‎ (1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长 (2) 设实数t满足()·=0,求t的值 16、 ‎(14分)如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=900‎ (1) 求证:PC⊥BC (2) 求点A到平面PBC的距离 17、 ‎(14分)某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m),如示意图,垂直放置的标杆BC高度h=‎4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β (1) 该小组已经测得一组α、β的值,tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值 (2) 该小组分析若干测得的数据后,发现适当调整标杆到电视塔的距离d(单位m),使α与β之差较大,可以提高测量精确度,若电视塔实际高度为‎125m,问d为多少时,α-β最大 A B O F ‎18.(16分)在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆的左右顶点为A,B,右顶点为F,设过点T()的直线TA,TB与椭圆分别交于点M,,其中m>0,‎ ‎①设动点P满足,求点P的轨迹 ‎②设,求点T的坐标 ‎③设,求证:直线MN必过x轴上的一定点 ‎(其坐标与m无关)‎ ‎19.(16分)设各项均为正数的数列的前n项和为,已知,数列是公差为 的等差数列.‎ ‎①求数列的通项公式(用表示)‎ ‎②设为实数,对满足的任意正整数,不等式都成立。求证:的最大值为 ‎20.(16分)设使定义在区间上的函数,其导函数为.如果存在实数和函数,其中对任意的都有>0,使得,则称函数具有性质.‎ ‎(1)设函数,其中为实数 ‎①求证:函数具有性质 ‎②求函数的单调区间 ‎(2)已知函数具有性质,给定,,且,若||<||,求的取值范围 ‎ 【理科附加题】‎ ‎21(从以下四个题中任选两个作答,每题10分)‎ (1) 几何证明选讲 AB是⊙O的直径,D为⊙O上一点,过点D作⊙O的切线交AB延长线于C,若DA=DC,求证AB=2BC (2) 矩阵与变换 在平面直角坐标系xOy中,A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k≠0,k∈R,M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A1,B1,C1,△A1B‎1C1的面积是△ABC面积的2倍,求实数k的值 (3) 参数方程与极坐标 在极坐标系中,圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切,求实数a的值 (4) 不等式证明选讲 已知实数a,b≥0,求证:‎ 22、 某厂生产甲、乙两种产品,生产甲产品一等品80%,二等品20%;生产乙产品,一等品90%,二等品10%。生产一件甲产品,如果是一等品可获利4万元,若是二等品则要亏损1万元;生产一件乙产品,如果是一等品可获利6万元,若是二等品则要亏损2万元。设生产各种产品相互独立 (1) 记x(单位:万元)为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润,求x的分布列 (2) 求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率 23、 ‎(10分)已知△ABC的三边长为有理数 (1) 求证cosA是有理数 (2) 对任意正整数n,求证cosnA也是有理数 ‎2010年江苏高考数学试题及参考答案 一、 填空题 1、 设集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数a=______▲________‎ ‎ 答案:1;‎ 2、 设复数z满足z(2-3i)=6+4i(其中i为虚数单位),则z的模为______▲________‎ ‎ 答案:‎ 3、 盒子中有大小相同的3只小球,1只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同的概率是_▲__‎ ‎ 答案:‎ 4、 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标),所得数据都在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所示,则其抽样的100根中,有_▲___根在棉花纤维的长度小于‎20mm。‎ ‎ 答案:30‎ 5、 设函数f(x)=x(ex+ae-x),x∈R,是偶函数,则实数a=_______▲_________‎ ‎ 答案:-1‎ 6、 在平面直角坐标系xOy中,双曲线上一点M,点M的横坐标是3,则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______ w ww.ks5 u.c om ‎ 答案:4‎ 7、 右图是一个算法的流程图,则输出S的值是______▲_______‎ 开始 S←1‎ n←1‎ S←S+2n S≥33‎ n←n+1‎ 否 输出S 结束 是 答案:63;‎ 8、 函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数,a1=16,则a1+a3+a5=____▲_____‎ 答案:21;‎ 1、 在平面直角坐标系xOy中,已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是______▲_____ w ww.ks5 u.c om ‎ 答案:(-39,+39)‎ 2、 定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P,过点P作PP1⊥x轴于点P1,直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____‎ 答案:‎ 3、 已知函数,则满足不等式的x的范围是____▲____‎ ‎ 答案:‎ 4、 设实数x,y满足3≤≤8,4≤≤9,则的最大值是_____▲____‎ ‎ 答案:27‎ 5、 在锐角三角形ABC,A、B、C的对边分别为a、b、c,,则__▲‎ ‎ 答案:4‎ 6、 将边长为1的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S=,则S的最小值是_______▲_______‎ ‎ 答案:‎ 二、解答题 15、 ‎(14分)在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)‎ (1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长 (2) 设实数t满足()·=0,求t的值 解:(1)‎ 求两条对角线长即为求与,‎ 由,得,‎ 由,得。‎ ‎(2),‎ ‎∵()·,‎ 易求,,‎ 所以由()·=0得。‎ 16、 ‎(14分)如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=900‎ (1) 求证:PC⊥BC (2) 求点A到平面PBC的距离[来源:高考资源网]‎ 解:(1)∵PD⊥平面ABCD,∴,又,∴面,∴。‎ ‎(2)设点A到平面PBC的距离为,‎ ‎∵,∴‎ 容易求出 17、 ‎(14分)某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m),如示意图,垂直放置的标杆BC高度h=‎4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β (1) 该小组已经测得一组α、β的值,tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值 (2) 该小组分析若干测得的数据后,发现适当调整标杆到电视塔的距离d(单位m),使α与β之差较大,可以提高测量精确度,若电视塔实际高度为‎125m,问d为多少时,α-β最大 ‎ 现在上传的图片版与WORD试卷都有错误,该题似乎缺少长度的条件,暂无法解答 ‎(1)∵,,∴‎ ‎(2)‎ A B O F ‎18.(16分)在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆的左右顶点为A,B,右顶点为F,设过点T()的直线TA,TB与椭圆分别交于点M,,其中m>0,‎ ‎①设动点P满足,求点P的轨迹 ‎②设,求点T的坐标 ‎③设,求证:直线MN必过x轴上的一定点 ‎(其坐标与m无关)‎ w ww.ks5 u.c om 解:(1)由题意知,,设,则 ‎ ‎ ‎ 化简整理得 ‎ (2)把,代人椭圆方程分别求出,‎ ‎ 直线 ①‎ ‎ 直线 ②‎ ‎ ①、②联立得 ‎ (3),‎ 直线,与椭圆联立得 直线,与椭圆联立得 直线,‎ 化简得 令,解得,即直线过轴上定点。‎ ‎19.(16分)设各项均为正数的数列的前n项和为,已知,数列 是公差为的等差数列.‎ ‎①求数列的通项公式(用表示)‎ ‎②设为实数,对满足的任意正整数,不等式都成立。求证:的最大值为 解:(1)是等差数列,,‎ ‎ 又,,平方得 ‎ ,即,,‎ ‎ ,即,‎ ‎ ,‎ ‎ 时,‎ ‎ 且对成立,‎ ‎(2)由>得>即<‎ ‎ ,<‎ ‎ >‎ ‎ ,的最大值为。‎ ‎20.(16分)设使定义在区间上的函数,其导函数为.如果存在实数和函数,其中对任意的都有>0,使得,则称函数具有性质.‎ ‎(1)设函数,其中为实数 ‎①求证:函数具有性质 求函数的单调区间 ‎(2)已知函数具有性质,给定,,且,若||<||,求的取值范围 ‎(1)估计该问题目有错,似乎为,则有如下解答:‎ ‎①‎ ‎∵时,恒成立,‎ ‎∴函数具有性质;‎ ‎②设,则同号,‎ ‎ 当时,>0恒成立,在上单调递增;‎ 当时,>0恒成立,在上单调递增;‎ 当 ‎(2)‎ ‎ ‎ ‎【理科附加题】‎ ‎21(从以下四个题中任选两个作答,每题10分)‎ (1) 几何证明选讲 AB是⊙O的直径,D为⊙O上一点,过点D作⊙O的切线交AB延长线于C,若DA=DC,求证AB=2BC ‎[来源:Ks5u.com]‎ ‎(证明略)‎ (1) 矩阵与变换 在平面直角坐标系xOy中,A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k≠0,k∈R,M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A1,B1,C1,△A1B‎1C1的面积是△ABC面积的2倍,求实数k的值 ‎(B点坐标不清,略)‎ (2) 参数方程与极坐标 在极坐标系中,圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切,求实数a的值 ‎(过程略)‎ (3) 不等式证明选讲 已知实数a,b≥0,求证:‎ ‎(略)‎ 22、 ‎(10分)某厂生产甲、乙两种产品,生产甲产品一等品80%,二等品20%;生产乙产品,一等品90%,二等品10%。生产一件甲产品,如果是一等品可获利4万元,若是二等品则要亏损1万元;生产一件乙产品,如果是一等品可获利6万元,若是二等品则要亏损2万元。设生产各种产品相互独立 (1) 记x(单位:万元)为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润,求x的分布列 (2) 求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率 解:(1)‎ X ‎10‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎-3‎ P ‎0.72‎ ‎0.18‎ ‎0.08‎ ‎0.02‎ ‎(2)依题意,至少需要生产3件一等品 答:…………‎ 23、 ‎(10分)已知△ABC的三边长为有理数 (1) 求证cosA是有理数 (2) 对任意正整数n,求证cosnA也是有理数 ‎(1)设三边长分别为,,∵是有理数,均可表示为(‎ 为互质的整数)形式∴必能表示为(为互质的整数)形式,∴cosA是有理数 ‎(2)∵,∴也是有理数,‎ 当时,∵‎ ‎∴,‎ ‎∵cosA,是有理数,∴是有理数,∴是有理数,……,依次类推,当为有理数时,必为有理数。‎