2010江苏高考数学试卷含附加题清晰版 12页

‎2010年江苏高考数学试题 一、 填空题 1、 设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=______▲________‎ 2、 设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______▲________‎ 3、 盒子中有大小相同的3只小球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_▲__‎ 4、 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于‎20mm。‎ 5、 设函数f(x)=x(ex+ae-x),x∈R，是偶函数，则实数a=_______▲_________‎ 6、 在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______‎ 7、 右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______‎ 开始 S←1‎ n←1‎ S←S+2n S≥33‎ n←n+1‎ 否 输出S 结束 是 8、 函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=____▲_____‎ 9、 在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____‎ 10、 定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1,直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____‎ 11、 已知函数,则满足不等式的x的范围是____▲____‎ 12、 设实数x,y满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是_____▲____‎ 1、 在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则__▲‎ 2、 将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=,则S的最小值是_______▲_______‎ 二、 解答题 15、 ‎（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)‎ (1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长 (2) 设实数t满足()·=0，求t的值 16、 ‎（14分）如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC，∠BCD=900‎ (1) 求证：PC⊥BC (2) 求点A到平面PBC的距离 17、 ‎（14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=‎4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β (1) 该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值 (2) 该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为‎125m，问d为多少时，α-β最大 A B O F ‎18.（16分）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左右顶点为A,B，右顶点为F，设过点T（）的直线TA,TB与椭圆分别交于点M，，其中m>0,‎ ‎①设动点P满足,求点P的轨迹 ‎②设，求点T的坐标 ‎③设,求证：直线MN必过x轴上的一定点 ‎（其坐标与m无关）‎ ‎19．（16分）设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为 的等差数列.‎ ‎①求数列的通项公式（用表示）‎ ‎②设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为 ‎20.（16分）设使定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质.‎ ‎(1)设函数，其中为实数 ‎①求证：函数具有性质 ‎②求函数的单调区间 ‎(2)已知函数具有性质，给定，，且，若||<||,求的取值范围 ‎ 【理科附加题】‎ ‎21（从以下四个题中任选两个作答，每题10分）‎ (1) 几何证明选讲 AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交AB延长线于C，若DA=DC，求证AB=2BC (2) 矩阵与变换 在平面直角坐标系xOy中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k≠0，k∈R，M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A1,B1,C1,△A1B‎1C1的面积是△ABC面积的2倍，求实数k的值 (3) 参数方程与极坐标 在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值 (4) 不等式证明选讲 已知实数a,b≥0，求证：‎ 22、 某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品90%，二等品10%。生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元。设生产各种产品相互独立 （1） 记x（单位：万元）为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求x的分布列 （2） 求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率 23、 ‎（10分）已知△ABC的三边长为有理数 （1） 求证cosA是有理数 （2） 对任意正整数n，求证cosnA也是有理数 ‎2010年江苏高考数学试题及参考答案 一、 填空题 1、 设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=______▲________‎ ‎ 答案：1；‎ 2、 设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______▲________‎ ‎ 答案：‎ 3、 盒子中有大小相同的3只小球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_▲__‎ ‎ 答案：‎ 4、 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于‎20mm。‎ ‎ 答案：30‎ 5、 设函数f(x)=x(ex+ae-x),x∈R，是偶函数，则实数a=_______▲_________‎ ‎ 答案：-1‎ 6、 在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______ w ww.ks5 u.c om ‎ 答案：4‎ 7、 右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______‎ 开始 S←1‎ n←1‎ S←S+2n S≥33‎ n←n+1‎ 否 输出S 结束 是 答案：63；‎ 8、 函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=____▲_____‎ 答案：21；‎ 1、 在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____ w ww.ks5 u.c om ‎ 答案：（-39，+39）‎ 2、 定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1,直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____‎ 答案：‎ 3、 已知函数,则满足不等式的x的范围是____▲____‎ ‎ 答案：‎ 4、 设实数x,y满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是_____▲____‎ ‎ 答案：27‎ 5、 在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则__▲‎ ‎ 答案：4‎ 6、 将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=,则S的最小值是_______▲_______‎ ‎ 答案：‎ 二、解答题 15、 ‎（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)‎ (1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长 (2) 设实数t满足()·=0，求t的值 解：（1）‎ 求两条对角线长即为求与，‎ 由，得，‎ 由，得。‎ ‎（2），‎ ‎∵()·，‎ 易求，，‎ 所以由()·=0得。‎ 16、 ‎（14分）如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC，∠BCD=900‎ (1) 求证：PC⊥BC (2) 求点A到平面PBC的距离[来源:高考资源网]‎ 解：（1）∵PD⊥平面ABCD，∴，又，∴面，∴。‎ ‎（2）设点A到平面PBC的距离为，‎ ‎∵,∴‎ 容易求出 17、 ‎（14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=‎4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β (1) 该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值 (2) 该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为‎125m，问d为多少时，α-β最大 ‎ 现在上传的图片版与WORD试卷都有错误，该题似乎缺少长度的条件，暂无法解答 ‎（1）∵，，∴‎ ‎（2）‎ A B O F ‎18.（16分）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左右顶点为A,B，右顶点为F，设过点T（）的直线TA,TB与椭圆分别交于点M，，其中m>0,‎ ‎①设动点P满足,求点P的轨迹 ‎②设，求点T的坐标 ‎③设,求证：直线MN必过x轴上的一定点 ‎（其坐标与m无关）‎ w ww.ks5 u.c om 解：（1）由题意知，，设，则 ‎ ‎ ‎ 化简整理得 ‎ （2）把，代人椭圆方程分别求出，‎ ‎ 直线 ①‎ ‎ 直线 ②‎ ‎ ①、②联立得 ‎ （3），‎ 直线，与椭圆联立得 直线，与椭圆联立得 直线,‎ 化简得 令，解得，即直线过轴上定点。‎ ‎19．（16分）设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列 是公差为的等差数列.‎ ‎①求数列的通项公式（用表示）‎ ‎②设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为 解：（1）是等差数列，，‎ ‎ 又，，平方得 ‎ ，即，，‎ ‎ ，即，‎ ‎ ，‎ ‎ 时，‎ ‎ 且对成立，‎ ‎（2）由>得>即<‎ ‎ ，<‎ ‎ >‎ ‎ ，的最大值为。‎ ‎20.（16分）设使定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质.‎ ‎(1)设函数，其中为实数 ‎①求证：函数具有性质 求函数的单调区间 ‎(2)已知函数具有性质，给定，，且，若||<||,求的取值范围 ‎（1）估计该问题目有错，似乎为，则有如下解答：‎ ‎①‎ ‎∵时，恒成立，‎ ‎∴函数具有性质；‎ ‎②设，则同号，‎ ‎ 当时，>0恒成立，在上单调递增；‎ 当时，>0恒成立，在上单调递增；‎ 当 ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎【理科附加题】‎ ‎21（从以下四个题中任选两个作答，每题10分）‎ (1) 几何证明选讲 AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交AB延长线于C，若DA=DC，求证AB=2BC ‎[来源:Ks5u.com]‎ ‎（证明略）‎ (1) 矩阵与变换 在平面直角坐标系xOy中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k≠0，k∈R，M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A1,B1,C1,△A1B‎1C1的面积是△ABC面积的2倍，求实数k的值 ‎（B点坐标不清，略）‎ (2) 参数方程与极坐标 在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值 ‎（过程略）‎ (3) 不等式证明选讲 已知实数a,b≥0，求证：‎ ‎（略）‎ 22、 ‎（10分）某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品90%，二等品10%。生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元。设生产各种产品相互独立 （1） 记x（单位：万元）为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求x的分布列 （2） 求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率 解：（1）‎ X ‎10‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎-3‎ P ‎0.72‎ ‎0.18‎ ‎0.08‎ ‎0.02‎ ‎（2）依题意，至少需要生产3件一等品 答：…………‎ 23、 ‎（10分）已知△ABC的三边长为有理数 （1） 求证cosA是有理数 （2） 对任意正整数n，求证cosnA也是有理数 ‎（1）设三边长分别为，，∵是有理数，均可表示为（‎ 为互质的整数）形式∴必能表示为（为互质的整数）形式，∴cosA是有理数 ‎（2）∵，∴也是有理数，‎ 当时，∵‎ ‎∴，‎ ‎∵cosA，是有理数，∴是有理数，∴是有理数，……，依次类推，当为有理数时，必为有理数。‎