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- 2021-05-13 发布
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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(大纲全国卷)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2013大纲全国,理1)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为( ).
A.3 B.4 C.5 D.6
2.(2013大纲全国,理2)=( ).
A.-8 B.8 C.-8i D.8i
3.(2013大纲全国,理3)已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ=( ).
A.-4 B.-3 C.-2 D.-1
4.(2013大纲全国,理4)已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为( ).
A.(-1,1) B. C.(-1,0) D.
5.(2013大纲全国,理5)函数f(x)=(x>0)的反函数f-1(x)=( ).
A.(x>0) B.(x≠0) C.2x-1(x∈R) D.2x-1(x>0)
6.(2013大纲全国,理6)已知数列{an}满足3an+1+an=0,a2=,则{an}的前10项和等于( ).
A.-6(1-3-10) B.(1-310) C.3(1-3-10) D.3(1+3-10)
7.(2013大纲全国,理7)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是( ).
A.56 B.84 C.112 D.168
8.(2013大纲全国,理8)椭圆C:的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1斜率的取值范围是( ).
A. B. C. D.
9.(2013大纲全国,理9)若函数f(x)=x2+ax+在是增函数,则a的取值范围是( ).
A.[-1,0] B.[-1,+∞) C.[0,3] D.[3,+∞)
10.(2013大纲全国,理10)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( ).
A. B. C. D.
11.(2013大纲全国,理11)已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若,则k=( ).
A. B. C. D.2
12.(2013大纲全国,理12)已知函数f(x)=cos xsin 2x,下列结论中错误的是( ).
A.y=f(x)的图像关于点(π,0)中心对称 B.y=f(x)的图像关于直线对称
C.f(x)的最大值为 D.f(x)既是奇函数,又是周期函数
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.(2013大纲全国,理13)已知α是第三象限角,sin α=,则cot α=__________.
14.(2013大纲全国,理14)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种.(用数字作答)
15.(2013大纲全国,理15)记不等式组所表示的平面区域为D.若直线y=a(x+1)与D有公共点,则a的取值范围是__________.
16.(2013大纲全国,理16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半径,OK=,且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°,则球O的表面积等于__________.
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(2013大纲全国,理17)(本小题满分10分)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=,且S1,S2,S4成等比数列,求{an}的通项公式.
18.(2013大纲全国,理18)(本小题满分12分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a+b+c)(a-b+c)=ac.
(1)求B;
(2)若sin Asin C=,求C.
19.(2013大纲全国,理19)(本小题满分12分)
如图,四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB和△PAD都是等边三角形.
(1)证明:PB⊥CD;
(2)求二面角A-PD-C的大小.
20.(2013大纲全国,理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为,各局比赛的结果相互独立,第1局甲当裁判.
(1)求第4局甲当裁判的概率;
(2)X表示前4局中乙当裁判的次数,求X的数学期望.
21.(2013大纲全国,理21)(本小题满分12分)已知双曲线C:(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y=2与C的两个交点间的距离为.
(1)求a,b;
(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.
22.(2013大纲全国,理22)(本小题满分12分)已知函数f(x)=.
(1)若x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值;
(2)设数列{an}的通项,证明:a2n-an+>ln 2.
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(大纲全国卷)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.
答案:B
解析:由题意知x=a+b,a∈A,b∈B,则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M共有4个元素.故选B.
2.
答案:A
解析:.故选A.
3.
答案:B
解析:由(m+n)⊥(m-n)⇒|m|2-|n|2=0⇒(λ+1)2+1-[(λ+2)2+4]=0⇒λ=-3.故选B.
4.
答案:B
解析:由题意知-1<2x+1<0,则-1<x<.故选B.
5.
答案:A
解析:由题意知=2y⇒x=(y>0),
因此f-1(x)=(x>0).故选A.
6.
答案:C
解析:∵3an+1+an=0,∴an+1=.∴数列{an}是以为公比的等比数列.∵a2=,∴a1=4.
∴S10==3(1-3-10).故选C.
7.
答案:D
解析:因为(1+x)8的展开式中x2的系数为,(1+y)4的展开式中y2的系数为,所以x2y2的系数为.故选D.
8.
答案:B
解析:设P点坐标为(x0,y0),则,
,,于是.
故.
∵∈[-2,-1],
∴.故选B.
9.
答案:D
解析:由条件知f′(x)=2x+a-≥0在上恒成立,即在上恒成立.∵函数在上为减函数,∴.∴a≥3.故选D.
10.
答案:A
解析:如下图,连结AC交BD于点O,连结C1O,过C作CH⊥C1O于点H.
∵
CH⊥平面C1BD,
∴∠HDC为CD与平面BDC1所成的角.
设AA1=2AB=2,则,.
由等面积法,得C1O·CH=OC·CC1,即,
∴.
∴sin∠HDC=.故选A.
11.
答案:D
解析:由题意知抛物线C的焦点坐标为(2,0),则直线AB的方程为y=k(x-2),将其代入y2=8x,得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=4.①
由
∵,
∴(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=0.
∴(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=0,
即x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4=0.④
由①②③④解得k=2.故选D.
12.
答案:C
解析:由题意知f(x)=2cos2x·sin x=2(1-sin2x)sin x.
令t=sin x,t∈[-1,1],
则g(t)=2(1-t2)t=2t-2t3.
令g′(t)=2-6t2=0,得.
当t=±1时,函数值为0;
当时,函数值为;
当时,函数值为.
∴g(t)max=,
即f(x)的最大值为.故选C.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.答案:
解析:由题意知cos α=.
故cot α=.
14.答案:480
解析:先排除甲、乙外的4人,方法有种,再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中,有种排法,因此甲、乙不相邻的不同排法有(种).
15.答案:
解析:作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.
∵直线y=a(x+1)过定点C(-1,0),由图并结合题意可知,kAC=4,
∴要使直线y=a(x+1)与平面区域D有公共点,
则≤a≤4.
16.答案:16π
解析:如下图,设MN为两圆的公共弦,E为MN的中点,
则OE⊥MN,KE⊥MN,结合题意可知∠OEK=60°.
又MN=R,∴△OMN为正三角形.∴OE=.
又OK⊥EK,∴=OE·sin 60°=.
∴R=2.
∴S=4πR2=16π.
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.解:设{an}的公差为d.
由S3=得3a2=,故a2=0或a2=3.
由S1,S2,S4成等比数列得=S1S4.
又S1=a2-d,S2=2a2-d,S4=4a2+2d,
故(2a2-d)2=(a2-d)(4a2+2d).
若a2=0,则d2=-2d2,所以d=0,此时Sn=0,不合题意;
若a2=3,则(6-d)2=(3-d)(12+2d),解得d=0或d=2.
因此{an}的通项公式为an=3或an=2n-1.
18.
解:(1)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac,所以a2+c2-b2=-ac.
由余弦定理得cos B=,
因此B=120°.
(2)由(1)知A+C=60°,
所以cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C=cos Acos C-sin Asin C+2sin Asin C=cos(A+C)+2sin Asin C=,
故A-C=30°或A-C=-30°,
因此C=15°或C=45°.
19.
(1)证明:取BC的中点E,连结DE,则ABED为正方形.
过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O.
连结OA,OB,OD,OE.
由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA=PB=PD,
所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点,
故OE⊥BD,从而PB⊥OE.
因为O是BD的中点,E是BC的中点,
所以OE∥CD.因此PB⊥CD.
(2)解法一:由(1)知CD⊥PB,CD⊥PO,PB∩PO=P,
故CD⊥平面PBD.
又PD平面PBD,所以CD⊥PD.
取PD的中点F,PC的中点G,连结FG,
则FG∥CD,FG⊥PD.
连结AF,由△APD为等边三角形可得AF⊥PD.
所以∠AFG为二面角A-PD-C的平面角.
连结AG,EG,则EG∥PB.
又PB⊥AE,所以EG⊥AE.
设AB=2,则AE=,EG==1,
故AG==3.
在△AFG中,FG=,,AG=3,
所以cos∠AFG=.
因此二面角A-PD-C的大小为.
解法二:由(1)知,OE,OB,OP两两垂直.
以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.
设||=2,则A(,0,0),D(0,,0),C(,,0),P(0,0,).
=(,,),=(0,,).
=(,0,),=(,,0).
设平面PCD的法向量为n1=(x,y,z),则n1·=(x,y,z)·(,,)=0,
n1·=(x,y,z)·(0,,)=0,
可得2x-y-z=0,y+z=0.
取y=-1,得x=0,z=1,故n1=(0,-1,1).
设平面PAD的法向量为n2=(m,p,q),则n2·=(m,p,q)·(,0,)=0,n2·=(m,p,q)·(,,0)=0,可得m+q=0,m-p=0.
取m=1,得p=1,q=-1,故n2=(1,1,-1).
于是cos〈n1,n2〉=.
由于〈n1,n2〉等于二面角A-PD-C的平面角,所以二面角A-PD-C的大小为.
20.
解:(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”,
A2表示事件“第3局甲参加比赛时,结果为甲负”,A表示事件“第4局甲当裁判”.
则A=A1·A2.
P(A)=P(A1·A2)=P(A1)P(A2)=.
(2)X的可能取值为0,1,2.
记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时,结果为乙胜丙”,B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”,B2表示事件“第2局乙和甲比赛时,结果为乙胜甲”,B3表示事件“第3局乙参加比赛时,结果为乙负”.
则P(X=0)=P(B1·B2·A3)=P(B1)P(B2)·P(A3)=,P(X=2)=P(·B3)=P()P(B3)=,P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=,EX=0·P(X=0)+1·P(X=1)+2·P(X=2)=.
21.
(1)解:由题设知=3,即=9,故b2=8a2.
所以C的方程为8x2-y2=8a2.
将y=2代入上式,求得.
由题设知,,解得a2=1.
所以a=1,b=.
(2)证明:由(1)知,F1(-3,0),F2(3,0),C的方程为8x2-y2=8.①
由题意可设l的方程为y=k(x-3),,代入①并化简得(k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≤-1,x2≥1,x1+x2=,x1·x2=.
于是|AF1|=
==-(3x1+1),
|BF1|=
==3x2+1.
由|AF1|=|BF1|得-(3x1+1)=3x2+1,即x1+x2=.
故,解得k2=,从而x1·x2=.
由于|AF2|=
==1-3x1,
|BF2|=
==3x2-1,
故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4,|AF2|·|BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16.
因而|AF2|·|BF2|=|AB|2,所以|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.
22.
(1)解:由已知f(0)=0,f′(x)=,f′(0)=0.
若,则当0<x<2(1-2λ)时,f′(x)>0,所以f(x)>0.
若,则当x>0时,f′(x)<0,所以当x>0时,f(x)<0.
综上,λ的最小值是.
(2)证明:令.由(1)知,当x>0时,f(x)<0,
即.
取,则.
于是
=
=ln 2n-ln n=ln 2.
所以.