函数的基础知识大全完整包括函数在高考中所有考点知识 13页

函数基础知识大全 ‎§‎1.2.1‎、函数的概念 ‎1、 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有惟一确定的数和它对应，那么就称为集合A到集合B的一个函数，记作：.‎ ‎2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.‎ ‎3.两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.‎ ‎§‎1.2.2‎、函数的表示法 ‎1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.‎ ‎1.函数的三种表示法 ‎（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.‎ ‎（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.‎ ‎（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.‎ ‎2.求函数解析式的题型有：‎ ‎（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；‎ ‎（2）已知求或已知求：换元法、配凑法；‎ ‎（3）已知函数图像，求函数解析式；‎ ‎（4）满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组法；‎ ‎（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．‎ 求函数解析式的常用方法：‎ ‎1、换元法（ 注意新元的取值范围）‎ ‎2、待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）‎ ‎3、整体代换（配凑法）‎ ‎4.赋值法：‎ ‎3.映射的定义：‎ 一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.‎ 由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集.‎ ‎4.映射的概念中象、原象的理解：(1) A中每一个元素都有象;(2)B中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象；(3)A中每一个元素的象唯一。‎ ‎1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一.‎ ‎2求函数定义域一般有三类问题：‎ ‎（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；‎ ‎（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；‎ ‎（3）已知的定义域求的定义域或已知的定义域求的定义域：‎ 掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；‎ ‎（1）分式的分母不为0；（2）偶次方根的被开方数不小于0；（3）对数函数的真数大于0；（4）指数函数、对数函数的底数大于0且不等于1；（5）零指数、负指数幂的底数不等于0.‎ ‎②① 若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b解出 ‎② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域.‎ ‎2．函数值域的求法：‎ ‎①直接法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ；‎ ‎⑥利用均值不等式 ； ⑦几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（、、等）；⑨平方法；⑩ 导数法（11）分离常数法；（12）反函数法；（13）数形结合法。‎ ‎3求函数值域的各种方法 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域 ‎①直接法：利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；‎ 反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；‎ 二次函数的定义域为R，‎ 当a>0时，值域为{}；‎ 当a<0时，值域为{}‎ ‎②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；‎ ‎③分式转化法（或改为“分离常数法”）‎ ‎④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；‎ ‎⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；‎ ‎⑥基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；‎ ‎⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域 ‎ ‎⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域 ‎⑨逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：‎ ‎⑩判别式法 ⑾.导数法：‎ ‎6．复合函数：若y=f(u),u=g(x),xÎ(a,b),uÎ(m,n),那么y=f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域。‎ ‎（2）复合函数单调性的判定：‎ ‎①首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数 ‎②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性 ‎③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性.‎ ‎4．分段函数：‎ 在函数定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫分段函数。值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。‎ ‎5.函数的奇偶性 ‎1．（1）判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：‎ ‎，‎ 讨论函数的奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称，要重视这一点；‎ ‎（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性 ‎2.奇偶函数的性质：‎ ‎（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 ‎（2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；‎ ‎（3）为偶函数 ‎（4）若奇函数在0处有定义，，则f(0)=0,因此，“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件；‎ ‎（5）设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：‎ ‎（6）定义在R上的任意函数f(x)均可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。‎ ‎（7）在定义域内的公共部分内，两个奇函数之积（商）为偶函数；两个偶函数之积（商）为偶函数；‎ 一奇一偶函数之积（商）为奇函数；两个奇（偶）函数之和、差为奇（偶）函数。‎ 即奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇 ‎（8）偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致.‎ ‎（9）f(x)既是奇函数又是偶函数的充要条件是f(x)=0.‎ ‎3.奇、偶性的推广：‎ ‎（1）函数与函数的图像关于直线（轴）对称.‎ 推广一：函数y=f(x)对于定义域内任一x都有 ,则y=f(x)的图象关于x=a对称，即y=f(a+x)为偶函数;‎ 推广二：如果函数对于一切，都有成立，那么的图像关于直线（由“和的一半确定”）对称.‎ 推广三：函数，的图像关于直线（由确定）对称.‎ 推广四：函数与函数的图像关于直线对称（由“和的一半确定”）.‎ ‎ (2) 函数与函数的图像关于直线（轴）对称.‎ 推广一：函数y=f(x)对定义域内任一x都有 ,则y=f(x)的图象关于点(a,0)成中心对称，即y=f(a+x)为奇函数。‎ 推广二：函数y=f(x)对定义域内任一x都有，则y=f(x)的图象关于点成中心对称。‎ 推广三：函数与函数的图像关于点中心对称.‎ ‎4.对于复合函数F（x）=f[g(x)]满足同奇则奇，有偶则偶。‎ ‎6．函数的单调性:‎ ‎⑴单调性的定义：‎ ‎①在区间上是增函数当时有；‎ ‎②在区间上是减函数当时有；‎ ‎⑵单调性的判定：‎ ①定义法：一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；‎ 设；作差（一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）；判断正负号。‎ ‎②导数法（见导数部分）；‎ 若在某个区间A内有导数，则在A内为增函数；在A内为减函数。‎ ‎③复合函数法；‎ 复合函数在公共定义域上的单调性：‎ ‎①若f与g的单调性相同，则为增函数；“同则增”‎ ‎②若f与g的单调性相反，则为减函数。“异则减”‎ 注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。‎ ‎④图像法 注：证明单调性主要用定义法和导数法。‎ ‎（3）性质 ‎①奇函数在其对称区间上的单调性相同；‎ ‎②偶函数在其对称区间上的单调性相反；‎ ‎③在公共定义域内：‎ 增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；‎ 增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。‎ ‎④函数在上单调递增；在上是单调递减。‎ ‎⑤复合函数在公共定义域上的单调性：‎ ‎①若f与g的单调性相同，则为增函数；‎ ‎②若f与g的单调性相反，则为减函数。‎ 注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。‎ ‎7．函数的周期性：‎ ‎(1)周期性的定义：对定义域内的任意，若有 （其中为非零常数），则称函数为周期函数，为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。‎ ‎（2）三角函数的周期：① ；② ；③；‎ ‎④ ；⑤‎ ‎(3)与周期有关的结论：‎ 或 的周期为 ‎2.性质：‎ ‎（1）.对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫 最小正周期。‎ ‎（2）并不是任何周期函数都有最小正周期，如常数函数。‎ ‎(3)若T是函数y=f(x)的周期，则nT 都是这个函数的周期 ‎(4)若则 。‎ ‎（5）若① 、② 、③、‎ ‎④ ，⑤，⑥，‎ ‎⑦，则 的周期为2T。‎ ‎（6）若T是函数y=f(x)的周期，则也是周期函数，且周期为。‎ ‎（7）若，则 的周期为。‎ ‎（8）若关于直线和直线对称，则是它的一个周期。‎ 若关于点和点对称，则是它的一个周期。‎ 若关于点和直线对称，则是它的一个周期。‎ ‎8．基本初等函数的图像与性质：‎ ‎1．指数与对数运算 ‎（1）根式的概念：‎ ‎①定义：若一个数的次方等于，则这个数称的次方根。即若，则称的次方根，‎ ‎1）当为奇数时，次方根记作；‎ ‎2）当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作。‎ ‎②性质：1）；2）当为奇数时，；‎ ‎3）当为偶数时，。‎ ‎2.幂的有关概念 ‎①规定：1）N*；2）；‎ ‎ n个 ‎3）Q，4）、N* 且。‎ ‎②性质：1）、Q）；‎ ‎2）、 Q）；‎ ‎3） Q）。‎ ‎（注）上述性质对r、R均适用。‎ 幂函数性质 ‎（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；‎ ‎（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；‎ ‎（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴 ‎（p,q互为质数）的图像 q为奇数 P为奇数 q为奇数 P偶数 q为偶数 P为奇数 ‎3.对数的概念 ‎①定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数。‎ ‎1）以10为底的对数称常用对数，记作；‎ ‎2）以无理数为底的对数称自然对数，，记作；‎ ‎②基本性质：‎ ‎1）真数N为正数（负数和零无对数）；2）；‎ ‎3）；4）对数恒等式：。‎ ‎③运算性质：如果则 ‎1）；‎ ‎2）；‎ ‎3）R）。‎ ‎④换底公式：‎ ‎1）；2）。‎ ‎2．指数函数与对数函数 ‎（1）指数函数：‎ ‎①定义：函数称指数函数，‎ ‎1）函数的定义域为R；2）函数的值域为；‎ ‎3）当时函数为减函数，当时函数为增函数。‎ ‎②函数图像：‎ ‎1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；‎ ‎2）指数函数都以轴为渐近线（当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴）；‎ ‎3）对于相同的，函数的图象关于轴对称。‎ ‎①，‎ ‎②，‎ ‎③‎ ‎①，‎ ‎②，‎ ‎③，‎ ‎③函数值的变化特征：‎ ‎（2）对数函数：‎ ‎①定义：函数称对数函数，‎ ‎1）函数的定义域为；2）函数的值域为R；‎ ‎3）当时函数为减函数，当时函数为增函数；‎ ‎4）对数函数与指数函数互为反函数。‎ ‎②函数图像：‎ ‎1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；‎ ‎2）对数函数都以轴为渐近线（当时，图象向上无限接近轴；当时，图象向下无限接近轴）；‎ ‎4）对于相同的，函数的图象关于轴对称。‎ ‎③函数值的变化特征：‎ ‎①，‎ ‎②，‎ ‎③.‎ ‎①，‎ ‎②，‎ ‎③.‎ ‎ ‎ ‎9．二次函数：‎ ‎⑴解析式：①一般式：；②顶点式：，为顶点；‎ ‎③零点式： （a≠0）.‎ ‎⑵二次函数问题解决需考虑的因素：‎ ‎①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。‎ 二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是。‎ ‎10．函数图象： ‎ ‎1．作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。 ‎ ‎2．三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；‎ ‎3．识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面．‎ ‎4．平移变换：（1）水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到；‎ ‎（2）竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下 平移个单位即可得到．‎ ‎① y=f(x)y=f(x+h); ② y=f(x) y=f(x-h);‎ ‎③y=f(x) y=f(x)+h; ④y=f(x) y=f(x)-h.‎ ‎5．对称变换：（1）函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；‎ ‎（2）函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；‎ ‎（3）函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到；‎ ‎（4）函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到．‎ ‎①y=f(x) y= -f(x); ②y=f(x) y=f(-x);‎ ‎③y=f(x) y=f(‎2a-x); ④y=f(x) y=f-1(x); ‎ ‎⑤y=f(x) y= -f(-x).‎ ‎6．翻折变换：（1）函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到；‎ ‎（2）函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到．‎ ‎ ‎ ‎7．伸缩变换：（1）函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到；‎ ‎（2）函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到．‎ ‎①y=f(x)y=f();② y=f(x)y=ωf(x).‎ 以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点．‎ 运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点．用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换．这也是个难点．‎ ‎⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法 ③导数法 ‎⑵图象变换：‎ ① 平移变换：ⅰ)，———左“+”右“－”；‎ ‎ ⅱ) ———上“+”下“－”；‎ ② 对称变换：ⅰ)；ⅱ)；‎ ⅲ) ； ⅳ)；‎ ③ 翻折变换：‎ ⅰ)———（去左翻右）y轴右不动，右向左翻（在左侧图象去掉）；‎ ⅱ)———（留上翻下）x轴上不动，下向上翻（||在下面无图象）；‎ ‎11．函数图象（曲线）对称性的证明：‎ ‎(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；‎ ‎（2）证明函数与图象的对称性，即证明图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在的图象上，反之亦然。‎ 注：①曲线C1:f(x,y)=0关于原点（0,0）的对称曲线C2方程为：f(－x,－y)=0;‎ 曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C2方程为：f(－x, y)=0; ‎ 曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C2方程为：f(x, －y)=0;‎ 曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线C2方程为：f(y, x)=0‎ ‎②f(a+x)=f(b－x) （x∈R）y=f(x)图像关于直线x=对称；‎ 特别地：f(a+x)=f(a－x) （x∈R）y=f(x)图像关于直线x=a对称.‎ ‎③的图象关于点对称.‎ 特别地：的图象关于点对称.‎ ④函数与函数的图象关于直线对称;‎ ‎ 函数与函数的图象关于直线对称。‎ ‎§‎3.1.1‎、方程的根与函数的零点 ‎1.函数零点的概念：‎ 对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．‎ ‎2.函数零点的意义：‎ 函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．‎ 即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．‎ ‎3.零点定理：若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)·f(b)<0 , 则y=f(x)在（a,b)内至少有一个零点。‎ 如果函数在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.‎ ‎4.函数零点的求法：⑴直接法（求的根）；⑵图象法；⑶二分法.‎ 求函数的零点：‎ ‎1.（代数法）求方程的实数根；‎ ‎2.（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．‎ 二次函数的零点：‎ 二次函数．‎ ‎１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．‎ ‎２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．‎ ‎３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．‎ ‎5.二分法及步骤：‎ 对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．‎ 给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：‎ ‎1．确定区间，，验证·，给定精度；‎ ‎2．求区间，的中点；‎ ‎3．计算： 若=，则就是函数的零点；‎ 若·<，则令=（此时零点）；‎ 若·<，则令=（此时零点）；‎ ‎4．判断是否达到精度；‎ 即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2~4．‎