高考试题——数学文全国卷I 8页

‎2004年高考试题全国卷1 ‎ 文科数学（必修+选修I）‎ ‎(河南、河北、山东、山西等地区)‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.‎ 第I卷（选择题 共60分）‎ 球的表面积公式 S=4‎ 其中R表示球的半径，‎ 球的体积公式 V=，‎ 其中R表示球的半径 参考公式：‎ ‎ 如果事件A、B互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B）‎ ‎ 如果事件A、B相互独立，那么 P（A·B）=P（A）·P（B）‎ ‎ 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 Pn(k)=CPk(1－P)n－k ‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 . ‎ ‎1．设集合，，，则 （ ）‎ ‎ A．{2} B．{2，3} C．{3} D． {1，3}‎ ‎2．已知函数 （ ）‎ ‎ A． B．－ C．2 D．－2‎ ‎3．已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么||= （ ）‎ ‎ A． B． C． D．4‎ ‎4．函数的反函数是 （ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎5．的展开式中常数项是 （ ）‎ ‎ A．14 B．－‎14 ‎C．42 D．－42‎ ‎6．设若则= （ ）‎ ‎ A． B． C． D．4‎ ‎7．椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于轴的直线与椭圆相交，一个交点 ‎ 为P，则= （ ）‎ ‎ A． B． C． D．4‎ ‎8．设抛物线的准线与轴交于点Q，若过点Q的直线与抛物线有公共点，则直线 ‎ 的斜率的取值范围是 （ ）‎ ‎ A． B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4]‎ ‎9．为了得到函数的图象，可以将函数的图象 （ ）‎ ‎ A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 ‎ C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 ‎10．已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面体EFGH ‎ 的表面积为T，则等于 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是 ‎ （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知的最小值为 （ ）‎ ‎ A．－ B．－ C．－－ D．+‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.‎ ‎13．不等式x+x3≥0的解集是 .‎ ‎14．已知等比数列{则该数列的通项= .‎ ‎15．由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为 .‎ ‎16．已知a、b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a、b在上的射影有可能是 .‎ ‎①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ‎③同一条直线 ④一条直线及其外一点 在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 等差数列{}的前n项和记为.已知 ‎（Ⅰ）求通项；‎ ‎（Ⅱ）若，求n.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 求函数的最小正周期、最大值和最小值.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知在R上是减函数，求的取值范围.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为，每位男同学能通过测验的概率均为.试求：‎ ‎（I）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；‎ ‎（II）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 如图，已知四棱锥 P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.‎ ‎（I）求点P到平面ABCD的距离；‎ ‎（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.‎ ‎（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：‎ ‎（II）设直线l与y轴的交点为P，且求a的值.‎ ‎2004年高考试题全国卷1 ‎ 文科数学（必修+选修I）‎ ‎(河南、河北、山东、山西)‎ 参考答案 一、选择题 ‎ DBCBABCCBACB 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.‎ ‎13．{x|x≥0} 14．3·2n－3 15． 16．①②④‎ 三、解答题 ‎17．本小题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，考查运算能力.满分12分.‎ 解：（Ⅰ）由得方程组 ‎ ……4分 解得 所以 ……7分 ‎（Ⅱ）由得方程 ‎ ……10分 解得或（舍去）……12分 ‎18．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函数的有关性质.满分12分.‎ 解： ‎ ‎………………6分 ‎ ‎ ‎ 所以函数的最小正周期是，最大值是最小值是…………12分 ‎19．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力.满分12分.‎ 解：函数f(x)的导数：………………3分 ‎（Ⅰ）当（）时，是减函数.‎ ‎ ‎ 所以，当时，由知是减函数；………………9分 ‎（II）当时，=‎ 由函数在R上的单调性，可知 当时，）是减函数；‎ ‎（Ⅲ）当时，在R上存在一个区间，其上有 所以，当时，函数不是减函数.‎ 综上，所求的取值范围是（………………12分 ‎20．本小题主要考查组合，概率等基本概念，独立事件和互斥事件的概率以及运用概率知识 ‎ 解决实际问题的能力，满分12分.‎ ‎ 解：（Ⅰ）随机选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率为 ‎ 1－；………………6分 ‎（Ⅱ）甲、乙被选中且能通过测验的概率为 ‎ ；………………12分 ‎21．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.‎ ‎ （I）解：如图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O.连结OB、OA、OD、OB与AD交于点E，连结PE.‎ ‎ ∵AD⊥PB，∴AD⊥OB，‎ ‎∵PA=PD，∴OA=OD，‎ 于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD.‎ 由此知∠PEB为面PAD与面ABCD 所成二面角的平面角，………………4分 ‎∴∠PEB=120°，∠PEO=60°‎ 由已知可求得PE=‎ ‎∴PO=PE·sin60°=，‎ 即点P到平面ABCD的距离为.………………6分 ‎（II）解法一：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.‎ ‎，中点的坐标为.连结AG.‎ 又知由此得到：‎ 于是有 所以.的夹角为，‎ 等于所求二面角的平面角，…………10分 于是 所以所求二面角的大小为.…………12分 解法二：如图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，则AG⊥PB，FG//BC，‎ FG=BC.‎ ‎∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB，‎ ‎∴∠AGF是所求二面角的平面角.……9分 ‎∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.‎ 又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°.‎ 在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°=.‎ 在Rt△PEG中，EG=AD=1. 于是tan∠GAE==，‎ 又∠AGF=π－∠GAE. 所以所求二面角的大小为π－arctan.…………12分 ‎22．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分14分.‎ 解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组 有两个不同的实数解.消去y并整理得 （1－a2）x2+‎2a2x－‎2a2=0. ① ……2分 所以解得且 双曲线的离心率 且 ‎，‎ 即离心率的取值范围为……6分 ‎（II）设 由此得……8分 由于x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0，‎ 所以消去，得 由，所以……14分