高考数学人教A版理科一轮复习教学案函数2．4一次函数二次函数 5页

‎2.4　一次函数、二次函数 ‎1．理解并掌握一次函数、二次函数的定义、图象及性质．‎ ‎2．会求二次函数在闭区间上的最值．‎ ‎3．能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决有关问题．‎ ‎1．一次函数、二次函数的定义及性质 函数名称 一次函数 二次函数 解析式 y＝kx＋b(k≠0)‎ y＝ax2＋bx＋c(a≠0)‎ 图象[来源:学.科.网]‎ k＞0[来源:1]‎ k＜0[来源:Z#xx#k.Com]‎ a＞0‎ a＜0[来源:1ZXXK][来源:1]‎ 定义域 ‎__________‎ ‎__________‎ 值域 ‎__________‎ ‎__________‎ ‎__________‎ 单调性 在(－∞，＋∞)上是______‎ 在(－∞，＋∞)上是______‎ 在________上是减函数；‎ 在________上是增函数 在________上是增函数；‎ 在________上是减函数 奇偶性 当b≠0时，__________；‎ 当b＝0时，__________‎ 当b≠0时，__________；‎ 当b＝0时，______‎ 周期性 非周期函数 非周期函数 顶点 ‎____________‎ 对称性 过原点时，关于____对称 k＝0时，关于____对称 图象关于直线________成轴对称图形 ‎ ‎2．二次函数的解析式 ‎(1)一般式：f(x)＝______________；‎ ‎(2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h，k)，则其解析式为：f(x)＝______________；‎ ‎(3)两根式：若相应一元二次方程的两根为x1，x2，则其解析式为f(x)＝______________.‎ ‎1．在同一坐标系内，函数y＝xa(a＜0)和y＝ax＋的图象可能是如图中的(　　)．‎ ‎2．“a＜‎0”‎是“方程ax2＋1＝0有一个负数根”的(　　)．‎ A．必要不充分条件 B．充分必要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是_____．‎ ‎4．已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b＝__________.‎ ‎5．如果函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的图象关于直线x＝1对称，则函数f(x)的最小值为__________．‎ 一、一次函数的概念与性质的应用 ‎【例1－1】已知f(x)是一次函数，且满足‎3f(x＋1)－‎2f(x－1)＝2x＋17，则函数f(x)＝__________.‎ ‎【例1－2】已知函数y＝(‎2m－1)x＋1－‎3m，m为何值时，‎ ‎(1)这个函数为正比例函数；‎ ‎(2)这个函数为一次函数；‎ ‎(3)函数值y随x的增大而减小．‎ 方法提炼 一次函数y＝kx＋b中斜率k与截距b的认识：一次函数y＝kx＋b中的k满足k≠0这一条件，当k＝0时，函数y＝b，它不再是一次函数，通常称为常数函数，它的图象是一条与x轴平行或重合的直线．‎ 请做演练巩固提升3‎ 二、求二次函数的解析式 ‎【例2】已知二次函数f(x)同时满足条件：‎ ‎(1)f(1＋x)＝f(1－x)；‎ ‎(2)f(x)的最大值为15；‎ ‎(3)f(x)＝0的两根立方和等于17.‎ 求f(x)的解析式．‎ 方法提炼 在求二次函数解析式时，要灵活地选择二次函数解析式的表达形式：‎ ‎(1)已知三个点的坐标，应选择一般形式；‎ ‎(2)已知顶点坐标或对称轴或最值，应选择顶点式；‎ ‎(3)已知函数图象与x轴的交点坐标，应选择两根式．‎ 提醒：求二次函数的解析式时，如果选用的形式不当，引入的系数过多，会加大运算量，易出错．‎ 请做演练巩固提升2‎ 三、二次函数的综合应用 ‎【例3－1】 设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出下列四个命题：‎ ‎①c＝0时，f(x)是奇函数；‎ ‎②b＝0，c＞0时，方程f(x)＝0只有一个实根；‎ ‎③f(x)的图象关于(0，c)对称；‎ ‎④方程f(x)＝0至多有两个实根．‎ 其中正确的命题是(　　)．‎ A．①④ B．①③ C．①②③ D．②④‎ ‎【例3－2】 (2019北京高考)已知f(x)＝m(x－‎2m)·(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0，则m的取值范围是__________．‎ 方法提炼 ‎1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与各系数间的关系：‎ ‎(1)a与抛物线的开口方向有关；‎ ‎(2)c与抛物线在y轴上的截距有关；‎ ‎(3)－与抛物线的对称轴有关；‎ ‎(4)b2－‎4ac与抛物线与x轴交点的个数有关．‎ ‎2．关于不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)在R上的恒成立问题：‎ 解集为R或 请做演练巩固提升5‎ 分类讨论思想在二次函数中的应用 ‎【典例】(12分)设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|.‎ ‎(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；‎ ‎(2)求f(x)的最小值；‎ ‎(3)设函数h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集．‎ 分析：(1)求a的取值范围，是寻求关于a的不等式，解不等式即可．(2)求f(x)的最小值，由于f(x)可化为分段函数，分段函数的最值分段求，然后综合在一起．(3)对a讨论时，要找到恰当的分类标准．‎ 规范解答：(1)因为f(0)＝－a|－a|≥1，所以－a＞0，‎ 即a＜0，由a2≥1知a≤－1，‎ 因此，a的取值范围为(－∞，－1]．(3分)‎ ‎(2)记f(x)的最小值为g(a)，则有 f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|‎ ‎＝ 当a≥0时，f(－a)＝－‎2a2，‎ 由①②知f(x)≥－‎2a2，此时g(a)＝－‎2a2.‎ 当a＜0时，f＝a2，若x＞a，‎ 则由①知f(x)≥a2.‎ 若x≤a，由②知f(x)≥‎2a2＞a2.‎ 此时g(a)＝a2，‎ 综上，得g(a)＝.(9分)‎ ‎(3)①当a∈∪时，解集为(a，＋∞)；‎ ‎②当a∈时，解集为；‎ ‎③当a∈时，解集为 ∪.(12分)‎ 答题指导：‎ ‎1．分类讨论的思想是高考重点考查的数学思想方法之一，本题充分体现了分类讨论的思想方法．‎ ‎2．在解答本题时有两点容易造成失分：‎ 一是求实数a的值时，讨论的过程中没注意a自身的取值范围，易出错；二是求函数最值时，分类讨论的结果不能写在一起，不能得出最后的结论．‎ ‎3．解决函数问题时，以下几点容易造成失分：‎ ‎(1)含绝对值问题，去绝对值符号，易出现计算错误；‎ ‎(2)分段函数求最值时要分段求，最后写在一起时，没有比较大小或不会比较出大小关系；‎ ‎(3)解一元二次不等式时，不能与二次函数、一元二次方程联系在一起，思路受阻．‎ ‎4．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)给定了定义域为一个区间[k1，k2]时，利用配方法求函数的最值是极其危险的，一般要讨论函数图象的对称轴在区间外、内的情况，有时要讨论下列四种情况：‎ ‎①－＜k1；②k1≤－＜；③≤－＜k2；④－≥k2.对于这种情况，也可以利用导数法求函数在闭区间的最值方法求最值．‎ ‎1．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是(　　)．‎ ‎2．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，f(0)＝1，则f(x)＝(　　)．‎ A．x2＋x B．x2－x＋1‎ C．x2＋x－1 D．x2－x－1‎ ‎3．已知一次函数f(x)满足f[f(x)]＝3x＋2，则f(x)＝__________.‎ ‎4．(2019重庆高考)若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝__________.‎ ‎5．函数f(x)＝ax2＋ax－1，若f(x)＜0在R上恒成立，则a的取值范围是__________．‎ 参考答案 基础梳理自测 知识梳理 ‎1．R　R　R　　　增函数　减函数　　　　　非奇非偶函数　奇函数　非奇非偶函数　偶函数　　原点　y轴　x＝－ ‎2．(1)ax2＋bx＋c(a≠0)　(2)a(x－h)2＋k(a≠0)　(3)a(x－x1)(x－x2)(a≠0)‎ 基础自测 ‎1．B　2.B ‎3．[25，＋∞)　解析：由题意知≤－2，‎ ‎∴m≤－16，∴f(1)＝9－m≥25.‎ ‎4．2　解析：∵f(x)＝(x－1)2＋1，‎ ‎∴f(x)在[1，b]上是增函数，‎ f(x)max＝f(b)，‎ ‎∴f(b)＝b，即b2－2b＋2＝b.‎ ‎∴b2－3b＋2＝0.∴b＝2或b＝1(舍)．‎ ‎5．5　解析：由题意知－＝1，‎ 解得a＝－4，∴b＝6.‎ 则f(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5，‎ 当x∈[－4,6]时，f(x)min＝5.‎ 考点探究突破 ‎【例1－1】 　2x＋7　解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则 ‎3f‎(x＋1)－‎2f(x－1)‎ ‎＝3[k(x＋1)＋b]－2[k(x－1)＋b]‎ ‎＝3k(x＋1)＋3b－2k(x－1)－2b ‎＝kx＋5k＋b，‎ 由题意得，kx＋5k＋b＝2x＋17，‎ ‎∴解得 ‎∴f(x)＝2x＋7.‎ ‎【例1－2】 　解：(1)当 即m＝时，函数为正比例函数．‎ ‎(2)当‎2m－1≠0，即m≠时，函数为一次函数．‎ ‎(3)当‎2m－1＜0，即m＜时，函数为减函数，y随x的增大而减小．‎ ‎【例2】 　解：依条件，设 f(x)＝a(x－1)2＋15(a＜0)，‎ 即f(x)＝ax2－2ax＋a＋15.‎ 令f(x)＝0，即ax2－2ax＋a＋15＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝2，x1x2＝1＋.‎ 而x31＋x32＝(x1＋x2)3－3x1x2(x1＋x2)‎ ‎＝23－3×2×＝2－，‎ ‎∴2－＝17，则a＝－6.‎ ‎∴f(x)＝－6x2＋12x＋9.‎ ‎【例3－1】 　C　解析：c＝0时，f(－x)＝－x|－x|＋b(－x)＝－x|x|－bx＝－f(x)，故f(x)是奇函数，排除D；‎ b＝0，c＞0时，f(x)＝x|x|＋c＝0，‎ ‎∴x≥0时，x2＋c＝0无解，x＜0时，f(x)＝－x2＋c＝0，∴x＝－，只有一个实数根，排除A，B，故选C.‎ ‎【例3－2】 　(－4,0)　解析：由题意可知，m≥0时不能保证对x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0成立．‎ ‎(1)当m＝－1时，f(x)＝－(x＋2)2，g(x)＝2x－2，画出图象①，显然满足条件；‎ ‎(2)当－1＜m＜0时，‎2m＞－(m＋3)，要使其满足条件，则需解得－1＜m＜0，如图②；‎ ‎(3)当m＜－1时，－(m＋3)＞‎2m，要使其满足条件，则需解得－4＜m＜－1，如图②.‎ 综上可知，m的取值范围为(－4,0)．‎ 演练巩固提升 ‎1．C ‎2．B　解析：令f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，‎ ‎∵f(x＋1)－f(x)＝2x，‎ ‎∴2ax＋(a＋b)＝2x.‎ ‎∴得 ‎∴f(x)＝x2－x＋1，故选B.‎ ‎3.x＋－1或－x－－1‎ 解析：令f(x)＝ax＋b，‎ 则f[f(x)]＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝3x＋2.‎ ‎∴∴或 ‎∴f(x)＝x＋－1或f(x)＝－x－－1.‎ ‎4．4　解析：f(x)＝x2＋(a－4)x－‎4a.因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝x2＋(4－a)x－‎4a＝x2＋(a－4)x－‎4a，a－4＝4－a，a＝4.‎ ‎5．－4＜a≤0　解析：当a＝0时，f(x)＝－1＜0，‎ 当a≠0时，若f(x)＜0在R上恒成立，‎ 则有即－4＜a＜0.‎ 综上得－4＜a≤0.‎