高考数学复习好题精选函数的奇偶性 4页

函数的奇偶性 题组一 函数的奇偶性的判定 ‎1.已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是 (　　)‎ ‎①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.‎ A.①③ B.②③‎ C.①④ D.②④‎ 解析：由奇函数的定义验证可知②④正确，选D.‎ 答案：D ‎2.(2010·长郡模拟)已知二次函数f(x)＝x2－ax＋4，若f(x＋1)是偶函数，则实数a的值为(　　)‎ A.－1 B‎.1 ‎‎ C.－2 D.2‎ 解析：∵f(x)＝x2－ax＋4，‎ ‎∴f(x＋1)＝(x＋1)2－a(x＋1)＋4‎ ‎＝x2＋2x＋1－ax－a＋4‎ ‎＝x2＋(2－a)x＋5－a，‎ f(1－x)＝(1－x)2－a(1－x)＋4‎ ‎＝x2－2x＋1－a＋ax＋4‎ ‎＝x2＋(a－2)x＋5－a.‎ ‎∵f(x＋1)是偶函数，‎ ‎∴f(x＋1)＝f(－x＋1)，‎ ‎∴a－2＝2－a，即a＝2.‎ 答案：D ‎3.(2009·浙江高考)若函数f(x)＝x2＋(a∈R)，则下列结论正确的是 (　　)‎ A.∀a∈R，f(x) 在(0，＋∞)上是增函数 B.∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数 C.∃a∈R，f(x)是偶函数 D.∃a∈R，f(x)是奇函数 解析：当a＝16时，f(x)＝x2＋，f′(x)＝2x－，‎ 令f′(x)＞0得x＞2.‎ ‎∴f(x)在(2，＋∞)上是增函数，故A、B错.‎ 当a＝0时，f(x)＝x2是偶函数，故C正确.‎ D显然错误，故选C.‎ 答案：C 题组二 函数奇偶性的应用 ‎4.已知函数f (x)＝ax4＋bcosx－x，且f (－3)＝7，则f (3)的值为 (　　)‎ A.1 B.－‎7 ‎‎ ‎‎ C.4 D.－10‎ 解析：设g(x)＝ax4＋bcosx，则g(x)＝g(－x).由f (－3)＝g(－3)＋3，得g(－3)＝f(－3)－3＝4，所以g(3)＝g(－3)＝4，所以f (3)＝g(3)－3＝4－3＝1.‎ 答案：A ‎5.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝(　　)‎ A.－2 B‎.2 C.－98 D.98‎ 解析：由f(x＋4)＝f(x)，得f(7)＝f(3)＝f(－1)，‎ 又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，‎ f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝－2.故选A.‎ 答案：A ‎6.设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝ (　　)‎ A.0 B‎.1 ‎‎ C. D.5‎ 解析：由f(1)＝，‎ 对f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，‎ 令x＝－1，‎ 得f(1)＝f(－1)＋f(2).‎ 又∵f(x) 为奇函数，∴f(－1)＝－f(1).‎ 于是f(2)＝‎2f(1)＝1；‎ 令x＝1，得f(3)＝f(1)＋f(2)＝，‎ 于是f(5)＝f(3)＋f(2)＝.‎ 答案：C ‎7.已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f()＞0＞f(－)，则方程f(x)＝0的根的个数为 (　　)‎ A.0 B‎.1 ‎‎ C.2 D.3‎ 解析：‎ 由于函数是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，因此在(－∞，0)上单调递增，又因为f()＞0＞f(－)＝f()，所以函数f(x)在(，)上与x轴有一个交点，必在(－，－)上也有一个交点，故方程f(x)＝0的根的个数为2.‎ 答案：C ‎8.(2010·滨州模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足：当x＞0时，f(x)＝2008x＋log2008x，则方程f(x)＝0的实根的个数为　　　　.‎ 解析：当x＞0时，f(x)＝0即2008x＝－log2008x，在同一坐标系下分别画出函数f1(x)＝2008x，f2(x)＝－log2008x的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f(x)＝0只有一个实根，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x＜0时，方程f(x)＝0也有一个实根，又因为f(0)＝0，所以方程f(x)＝0的实根的个数为3.‎ 答案：3‎ 题组三 函数的奇偶性与单调性的综合问题 ‎9.定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈ 上是增函数.若方程f(x)＝m(m＞0)在区间上有四个不同的根x1，x2，x3，x4， 则x1＋x2＋x3＋x4＝　　　　.‎ ‎ 解析：由f(x－4)＝－f(x)⇒f(4－x)＝f(x)，‎ ‎ 故函数图象关于直线x＝2对称，‎ ‎ 又函数f(x)在上是增函数，且为奇函数，‎ ‎ 故f(0)＝0，故函数f(x)在(0,2]上大于0，‎ ‎ 根据对称性知函数f(x)在上单调递增，求实数a的取值范围.‎ 解：(1)设x<0，则－x>0，‎ 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.‎ 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，‎ 于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，‎ 所以m＝2.‎ ‎(2)要使f(x)在上单调递增，‎ 结合f(x)的图象知 所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3].‎ ‎(理)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数.‎ ‎(1)求a、b的值；‎ ‎(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围.‎ 解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，‎ 即＝0，解得b＝1，从而有f(x)＝.‎ 又由f(1)＝－f(－1)，知＝－，解得a＝2.‎ 故a＝2，b＝1.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝＝－＋.‎ 由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数.‎ 又因f(x)是奇函数，‎ 从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0‎ 等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k).‎ 因f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k，‎ 即对一切t∈R有3t2－2t－k>0.‎ 从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－.‎