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- 2021-05-13 发布
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ziye
2012年高考试题分项解析数学(理科)
专题10 圆锥曲线(教师版)
一、选择题:
1.(2012年高考新课标全国卷理科4)设是椭圆的左、右焦点,为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为( )
2.(2012年高考新课标全国卷理科8)等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线的准线交于两点,;则的实轴长为( )
3. (2012年高考福建卷理科8)双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )
A. B. C.3 D.5
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4.(2012年高考浙江卷理科8)如图,F1,F2分别是双曲线C:(a,b>0)的左右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是
A. B.
C. D.
5.(2012年高考山东卷理科10)已知椭圆C:的离心率为,双曲线x²-y²=1的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为
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6.(2012年高考安徽卷理科9)过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若,则的面积为( )
21世纪教育网
7. (2012年高考湖南卷理科5)已知双曲线C :-=1的焦距为10 ,点P (2,1)在C 的渐近线上,则C的方程为
A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1[w~#ww.zz&st︿ep.com@]
【答案】A21世纪教育网
【解析】设双曲线C :-=1的半焦距为,则.
又C 的渐近线为,点P (2,1)在C 的渐近线上,,即.
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又,,C的方程为-=1.
【考点定位】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数形结合的思想和基本运算能力,是近年来常考题型.
8. (2012年高考四川卷理科8)已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为,则( )
A、 B、 C、 D、
9.(2012年高考全国卷理科3)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为,则该椭圆的方程为
A. B. C. D.
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10.(2012年高考全国卷理科8)已知为双曲线的左右焦点,点在上,,则
A. B. C. D.
二、填空题:
1. (2012年高考江苏卷8)在平面直角坐标系中,若双曲线的离心率为,则m的值为 .
2.(2012年高考北京卷理科12)在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60º.则△OAF的面积为 .
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3.(2012年高考辽宁卷理科15)已知P,Q为抛物线上两点,点P,Q的横坐标分别为4,2,过P、Q分别作抛物线的切线,两切线交于A,则点A的纵坐标为__________。
4.(2012年高考浙江卷理科16)定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1:y=x 2+a到直线l:y=x的距离等于C2:x 2+(y+4) 2 =2到直线l:y=x的距离,则实数a=______________.
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5. (2012年高考湖北卷理科14)如图,双曲线的两顶点为A1,A2,虚轴两端点为B1,B2,两焦点为F1,F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,切点分别为A,B,C,D.则
(Ⅰ)双曲线的离心率e=______;
(Ⅱ)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值_________.
6. (2012年高考江西卷理科13)椭圆(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.
【答案】21世纪教育网
【解析】利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知:,,
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.又已知,,成等比数列,故,即,则.故.即椭圆的离心率为.
【考点定位】本题着重考查等比中项的性质,以及椭圆的离心率等几何性质,同时考查了函数与方程,转化与化归思想.求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关的方程,然后化为有关的齐次式方程,进而转化为只含有离心率的方程,从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴,短轴长及其标准方程的求解等.
8. (2012年高考四川卷理科15)椭圆的左焦点为,直线与椭圆相交于点、,当的周长最大时,的面积是____________。
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9.(2012年高考重庆卷理科14)过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,若则= 。
三、解答题:
1. (2012年高考广东卷理科20)(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:的离心率e=,且椭圆C上的点到Q(0,2)的距离的最大值为3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)在椭圆C上,是否存在点M(m,n)使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相交于不同的两点A、B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由。
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2. (2012年高考江苏卷19) (本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆的左、右焦点分别为,.已知和都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的离心率;21世纪教育网
(2)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线
与直线平行,与交于点P.
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(i)若,求直线的斜率;
(ii)求证:是定值.
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3.(2012年高考北京卷理科19)(本小题共14分)
已知曲线.
(1)若曲线是焦点在轴上的椭圆,求的取值范围;
(2)设,曲线与轴的交点为,(点位于点的上方),直线与
曲线交于不同的两点,,直线与直线交于点,求证:,,
三点共线.
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4. (2012年高考湖北卷理科21)(本小题满分13分)
设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点,i是过点A与x轴垂直的直线,D是直线i与x轴的交点,点M在直线l上,且满足丨DM丨=m丨DA丨(m>0,且m≠1)。当点A在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线C。
(I)求曲线C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求焦点坐标;
(Ⅱ)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点,其中P在第一象限,它在y轴上的射影为点N,直线QN交曲线C于另一点H,是否存在m,使得对任意的k>0,都有PQ⊥PH?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由。
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5. (2012年高考福建卷理科19)(本小题满分13分)
如图,椭圆的左焦点为,右焦点为,离心率。过的直线交椭圆于两点,且的周长为8。
(Ⅰ)求椭圆的方程。
(Ⅱ)设动直线与椭圆有且只有一个公共点,且与直线相交于点。试探究:
在坐标平面内是否存在定点,使得以为直径的圆恒过点
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?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由。
6.(2012年高考上海卷理科21)(6+8=14分)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方向12海里处,如图.现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发小时后,失事船所在位置的横坐标为.
(1)当时,写出失事船所在位置的纵坐标.若此时两船恰好会合,求
救援船速度的大小和方向;
(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?
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7.(2012年高考上海卷理科22)(4+6+6=16分)在平面直角坐标系中,已知双曲线:.
(1)过的左顶点引的一条渐进线的平行线,求该直线与另一条渐进线及轴围成的三角形的面积;
(2)设斜率为1的直线交于、两点,若与圆相切,求证:;
(3)设椭圆:,若、分别是、上的动点,且,求证:到直线的距离是定值.
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8.(2012年高考浙江卷理科21) (本小题满分15分)如图,椭圆C:(a>b>0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ) 求ABP的面积取最大时直线l的方程.
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9.(2012年高考山东卷理科21)(本小题满分13分)
在平面直角坐标系中,是抛物线的焦点,是抛物线上
位于第一象限内的任意一点,过三点的圆的圆心为,点到抛物线的准线
的距离为.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)是否存在点,使得直线与抛物线相切于点若存在,求出点的坐标;
若不存在,说明理由;
(Ⅲ)若点的横坐标为,直线与抛物线有两个不同的交点,与
圆有两个不同的交点,求当时,的最小值.
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10.(2012年高考辽宁卷理科20) (本小题满分12分)
如图,椭圆,动圆.点分
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别为的左、右顶点,与相交于四点
(1)求直线与直线交点的轨迹方程;
(2)设动圆与相交于四点,其中,.若矩形与矩形的面积相等,证明:为定值21世纪教育网
11.(2012年高考新课标全国卷理科20)(本小题满分12分)
设抛物线的焦点为,准线为,,已知以为圆心,
为半径的圆交于两点;
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(1)若,的面积为;求的值及圆的方程;
(2)若三点在同一直线上,直线与平行,且与只有一个公共点,
求坐标原点到距离的比值.
12.(2012年高考天津卷理科19)(本小题满分14分)设椭圆的左、右顶点分别为,点P在椭圆上且异于
两点,为坐标原点.
(Ⅰ)若直线与的斜率之积为,求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若,证明:直线的斜率满足.
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13. (2012年高考江西卷理科20) (本题满分13分)
已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足.
(1) 求曲线C的方程;
(2)动点Q(x0,y0)(-2<x0<2)在曲线C上,曲线C在点Q处的切线为l向:是否存在定点P(0,t)(t<0),使得l与PA,PB都不相交,交点分别为D,E,且△QAB与△PDE的面积之比是常数?若存在,求t的值。若不存在,说明理由。
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14.(2012年高考安徽卷理科20)(本小题满分13分)
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如图,分别是椭圆
的左,右焦点,过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点,
过点作直线的垂线交直线于点;
(I)若点的坐标为;求椭圆的方程;
(II)证明:直线与椭圆只有一个交点。
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15. (2012年高考四川卷理科21) (本小题满分12分) 如图,动点到两定点、构成,且,设动点的轨迹为。
(Ⅰ)求轨迹的方程;
(Ⅱ)设直线与轴交于点,与轨迹相交于点,且,求的取值范围.
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16. (2012年高考四川卷理科22) (本小题满分14分)
已知为正实数,为自然数,抛物线与轴正半轴相交于点,设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。
(Ⅰ)用和表示;
(Ⅱ)求对所有都有成立的的最小值;
(Ⅲ)当时,比较与的大小,并说明理由.
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17. (2012年高考湖南卷理科21)(本小题满分13分)[www.z%zstep.co*~&m︿]
在直角坐标系xOy中,曲线C1的点均在C2:(x-5)2+y2=9外,且对C1上任意一点M,M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.
(Ⅰ)求曲线C1的方程;
(Ⅱ)设P(x0,y0)(y0≠±3)为圆C2外一点,过P作圆C2的两条切线,分别与曲线C1相交于点A,B和C,D.证明:当P在直线x=﹣4上运动时,四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值.
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18. (2012年高考陕西卷理科19) (本小题满分12分)
已知椭圆,椭圆以的长轴为短轴,且与有相同的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆和上,,求直线的方程.
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19.(2012年高考全国卷理科21)(本小题满分12分)(注意:在试卷上作答无效)
已知抛物线与圆 有一个公共点,且在处两曲线的切线为同一直线。
(1)求;
(2)设、是异于且与及都相切的两条直线,、的交点为,求到的距离。
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20. (2012年高考重庆卷理科20)(本小题满分12分(Ⅰ)小问5分(Ⅱ)小问7分)
如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左右焦点分别为,线段的中点分别为,且△ 是面积为4的直角三角形。
(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程;
(Ⅱ)过做直线交椭圆于P,Q两点,使,求直线的方程.
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