高考试题——理数全国卷 9页

‎2009年全国卷Ⅱ理科数学试题解析 河北望都中学 汤敏军 一选择题：‎ ‎1. ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 解：原式.故选A.‎ ‎2. 设集合，则=‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 解：..故选B.‎ ‎3. 已知中，， 则 ‎ A. B. C. D. ‎ 解：已知中，，.‎ ‎ 故选D.‎ ‎4.曲线在点处的切线方程为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 解：,‎ 故切线方程为,即 故选B.‎ ‎5. 已知正四棱柱中，为中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 ‎ A. B. C. D. ‎ 解：令则,连∥ 异面直线与所成的角即 与所成的角。在中由余弦定理易得。故选C ‎6. 已知向量，则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 解：。故选C ‎7. 设，则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 解：‎ ‎ .故选A.‎ ‎8. 若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为 ‎ A． B. C. D. ‎ 解：‎ ‎，‎ 又.故选D ‎9. 已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则 ‎ A. B. C. D. ‎ 解：设抛物线的准线为直线 恒过定点P .如图过分 别作于,‎ 于, 由,则,点B为AP的中点.连结,则, 点的横坐标为, 故点的坐标为, 故选D ‎10. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 ‎ A. 6种 B. 12种 C. 30种 D. 36种 解：用间接法即可.种. 故选C ‎11. 已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为w.w.w.k.s.5.u.c.o.‎ m A． B. C. D. ‎ 解：设双曲线的右准线为,过分 别作于,于, ,由直线AB的斜率为,知直线AB的倾斜角为,‎ 由双曲线的第二定义有.‎ 又 故选A ‎12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“”的面的方位是 ‎ A. 南 B. 北 ‎ ‎ C. 西 D. 下 解：展、折问题。易判断选B 第II卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上。‎ ‎13. 的展开式中的系数为 6 。‎ 解：，只需求展开式中的含项的系数： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎14. 设等差数列的前项和为，若则 9 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解：为等差数列，‎ ‎15.设是球的半径，是的中点，过且与成45°角的平面截球的表面得到圆。若圆的面积等于，则球的表面积等于 .‎ 解：设球半径为，圆的半径为，‎ ‎ 因为。由得.故球的表面积等于.‎ ‎16. 已知为圆:的两条相互垂直的弦，垂足为,则四边形的面积的最大值为 。‎ 解：设圆心到的距离分别为,则.‎ 四边形的面积 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎17（本小题满分10分）‎ 设的内角、、的对边长分别为、、，，，求。‎ 分析：由，易想到先将代入得然后利用两角和与差的余弦公式展开得；又由，利用正弦定理进行边角互化，得，进而得.故。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当 时，由，进而得，矛盾，应舍去。‎ 也可利用若则从而舍去。不过这种方法学生不易想到。‎ 评析：本小题考生得分易，但得满分难。‎ ‎18（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，平面 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（I）证明：‎ ‎（II）设二面角为60°，求与平面所成的角的大小。‎ ‎（I）分析一：连结BE，为直三棱柱， ‎ 为的中点，。又平面，‎ ‎（射影相等的两条斜线段相等）而平面，‎ ‎（相等的斜线段的射影相等）。‎ 分析二：取的中点，证四边形为平行四边形，进而证∥，，得也可。‎ 分析三：利用空间向量的方法。具体解法略。‎ ‎（II）分析一：求与平面所成的线面角，只需求点到面的距离即可。‎ 作于，连，则，为二面角的平面角，.不妨设，则.在中，由，易得.‎ ‎ 设点到面的距离为，与平面所成的角为。利用，可求得，又可求得 ‎ 即与平面所成的角为 分析二：作出与平面所成的角再行求解。如图可证得，所以面。由分析一易知：四边形为正方形，连 ‎，并设交点为，则，为在面内的射影。。以下略。‎ 分析三：利用空间向量的方法求出面的法向量，则与平面所成的角即为与法向量的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。‎ 总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。‎ ‎19（本小题满分12分）‎ 设数列的前项和为 已知 ‎（I）设，证明数列是等比数列 ‎ ‎（II）求数列的通项公式。‎ 解：（I）由及，有 由，．．．① 　则当时，有．．．．．②‎ ‎②－①得 又，是首项，公比为２的等比数列．‎ ‎（II）由（I）可得，‎ ‎　　　数列是首项为，公差为的等比数列．‎ ‎　　　， ‎ 评析：第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找．‎ 第（II）问中由（I）易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：，主要的处理手段是两边除以．‎ 总体来说，09年高考理科数学全国I、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列（全国I还考查了利用错位相减法求前n项和的方法），一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。‎ ‎20（本小题满分12分）‎ 某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。‎ ‎（I）求从甲、乙两组各抽取的人数； ‎ ‎（II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；‎ ‎（III）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 分析：（I）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可。另外要注意此分层抽样与性别无关。‎ ‎（II）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。‎ ‎ 从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率 ‎（III）的可能取值为0，1，2，3‎ ‎，，‎ ‎，‎ 分布列及期望略。‎ 评析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易。在计算时，采用分类的方法，用直接法也可，但较繁琐，考生应增强灵活变通的能力。‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ （I）求，的值；‎ ‎ （II）上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？‎ 若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由。‎ 解:(I）设，直线，由坐标原点到的距离为 ‎ 则，解得 .又.‎ ‎（II）由(I）知椭圆的方程为.设、‎ 由题意知的斜率为一定不为0，故不妨设 ‎ 代入椭圆的方程中整理得，显然。‎ 由韦达定理有：．．．．．．．．①‎ ‎.假设存在点P，使成立，则其充要条件为：‎ 点，点P在椭圆上，即。‎ 整理得。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 又在椭圆上，即.‎ 故．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②‎ 将及①代入②解得 ‎,=,即.‎ 当;‎ 当.‎ 评析：处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够。所谓“算”，主要讲的是算理和算法。算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一个是表,一个是里,一个是现象,一个是本质。有时候算理和算法并不是截然区分的。例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点。‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 设函数有两个极值点，且 ‎（I）求的取值范围，并讨论的单调性；‎ ‎（II）证明： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解: （I）‎ ‎ 令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得 ‎⑴当时，在内为增函数；‎ ‎⑵当时，在内为减函数；‎ ‎⑶当时，在内为增函数；‎ ‎（II）由（I），‎ 设，‎ 则 ‎⑴当时，在单调递增；‎ ‎⑵当时，，在单调递减。‎ 故．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ www.ks5u.com w.w.w.k.s.5.u.c.o.m www.ks5u.com