辽宁高考试题（文数解析版） 12页

‎2012年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）‎ 数学（文科）‎ 注意事项：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。‎ ‎3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。‎ ‎4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。‎ ‎（1）已知向量 = (1,—1)， = (2,).若 = 1,则 =‎ ‎(A) —1 (B) — (C) (D)1‎ ‎【命题意图】本题主要考查向量的数量积，属于容易题。‎ ‎【解析】，故选D ‎（2）已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则 =‎ ‎(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}‎ ‎【答案】B ‎【解析一】因为全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，所以，所以{7,9}。故选B ‎【解析二】 集合即为在全集U中去掉集合A和集合B中的元素，所剩的元素形成的集合，由此可快速得到答案，选B ‎【点评】本题主要考查集合的交集、补集运算，属于容易题。采用解析二能够更快地得到答案。‎ ‎（3）复数 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，故选A ‎【点评】本题主要考查复数代数形式的运算，属于容易题。复数的运算要做到细心准确。‎ ‎（4）在等差数列{}中，已知=16，则=‎ ‎(A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24‎ ‎【命题意图】本题主要考查等差数列的通项公式、同时考查运算求解能力，属于容易题。‎ ‎【解析】‎ ‎，故选B ‎（5）已知命题，则是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【命题意图】本题主要考查全称命题的否定，是容易题.‎ ‎【解析】全称命题的否定形式为将“”改为“”，后面的加以否定，即将“”改为“”，故选C.‎ ‎（6）已知，(0，π)，则=‎ ‎(A) 1 (B) (C) (D) 1‎ ‎【命题意图】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力，属于容易题。‎ ‎【解析】故选A ‎（7）将圆平分的直线是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【命题意图】本题主要考查直线和圆的方程，难度适中。‎ ‎【解析】圆心坐标为（1，2），将圆平分的直线必经过圆心，故选C ‎（8）函数的单调递减区间为 ‎（A）（1,1] （B）（0,1] （C.）[1，+∞） （D）（0，+∞）‎ ‎【命题意图】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间，属于中档题。‎ ‎【解析】故选B ‎（9）设变量满足，则的最大值为 A．20 B．‎35 ‎‎ C．45 D．55‎ ‎【命题意图】本题主要考查简单线性规划，是中档题. ‎ ‎【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由图知目标函数过点时，的最大值为55，故选D.‎ ‎（10）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是 ‎ ‎ (A) 4 (B) (C) (D) 1‎ ‎【命题意图】本题主要考查程序框图中的循环结构、以及运算求解能力，属于中档题。此类题目如果数值较少也可直接算出结果，如果数值很多需要通过计算确定出周期再根据周期确定最后的结果。此题中数值的周期为4‎ ‎【解析】根据程序框图可计算得 ‎，故选D ‎（11）在长为‎12cm的线段AB上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB的长，则该矩形面积大于‎20cm2的概率为 ‎:(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【命题意图】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算，以及分析问题的能力，属于中档题。‎ ‎【解析】设线段AC的长为cm，则线段CB的长为()cm,那么矩形的面积为cm2，‎ 由，解得。又，所以该矩形面积小于‎32cm2的概率为，故选C ‎（12）已知P,Q为抛物线上两点，点P,Q的横坐标分别为4，2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为 ‎(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 8‎ ‎【命题意图】本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题。‎ ‎【解析】因为点P，Q的横坐标分别为4，2，代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8,2.由所以过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，2，所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为联立方程组解得故点A的纵坐标为4‎ ‎【点评】曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键。‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎（13）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______________.‎ ‎【命题意图】本题主要考查几何体的三视图、柱体的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，属于容易题。‎ ‎【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1，圆柱的底面直径为2，高位1，所以该几何体的体积为 ‎【点评】本题解决的关键是根据三视图还原出几何体，确定几何体的形状，然后再根据几何体的形状计算出体积。‎ ‎（14）已知等比数列｛｝为递增数列.若＞0,且2,则数列｛｝的公比 = _____________________.‎ ‎【命题意图】本题主要考查等比数列的通项公式，转化思想和逻辑推理能力，属于中档题。‎ ‎【解析】‎ 因为数列为递增数列，且 ‎（15）已知双曲线,点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若⊥,则∣∣+∣∣的值为___________________.‎ ‎【命题意图】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力，难度适中。‎ ‎【解析】由双曲线的方程可知 ‎【点评】解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差—积—和的转化。‎ ‎（16）已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2正方形。若PA=2,则△OAB的面积为______________.‎ ‎【命题意图】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以及转化思想，该题灵活性较强，难度较大。‎ ‎【解析】点 ‎【点评】该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到条件中的垂直关系，把三棱锥转化为长方体来考虑就容易多了。‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）(本小题满分12分)‎ 在中，角A、B、C的对边分别为，，，角A，B，C成等差数列。‎ ‎ (Ⅰ)求的值；‎ ‎ (Ⅱ)边，，成等比数列，求的值。‎ ‎【命题意图】‎ 本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义，考查转化思想和运算求解能力，属于容易题。‎ ‎【解析】（1）由已知 ……6分 ‎（2）解法一：，由正弦定理得 解法二：，，由此得得 所以， ……12分 ‎【点评】第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理得到边之间的关系，再来求最后的结果。‎ ‎（18）(本小题满分12分)‎ 如图，直三棱柱，，‎ AA′=1，点分别为和的中点。‎ ‎ (Ⅰ)证明：∥平面;‎ ‎ (Ⅱ)求三棱锥的体积。‎ ‎（椎体体积公式V=Sh,其中S为地面面积，h为高）‎ ‎【命题意图】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。‎ ‎【解析】（1）（法一）连结，由已知 三棱柱为直三棱柱，‎ 所以为中点.又因为为中点 所以，又平面 ‎ 平面，因此 ……6分 ‎（法二）取的中点为P，连结MP，NP，‎ ‎∵分别为和的中点， ‎ ‎∴MP∥,NP∥,‎ ‎∴MP∥面,NP∥面, ‎ ‎∵, ∴面MPN∥面，‎ ‎∵MN面， ∴MN∥面.‎ ‎(Ⅱ)（解法一）连结BN，由题意⊥,面∩面=,‎ ‎∴⊥⊥面NBC， ∵==1, ‎ ‎ ∴.‎ ‎(解法2) ‎ ‎【点评】第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明；第二小题求体积根据条件选择合适的底面是关键，也可以采用割补发来球体积。‎ ‎（19）(本小题满分12分)‎ 电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名。下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；‎ 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性。‎ ‎ (Ⅰ)根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别 有关？‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计 ‎ (Ⅱ)将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率。‎ 附 ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎【命题意图】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、古典概型，考查分析解决问题的能力、运算求解能力，难度适中。‎ ‎【解析】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而列联表如下：‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ ‎ 女 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 将列联表中的数据代入公式计算，得 ……3分 因为，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关. ……6分 ‎ ‎(Ⅱ)由频率分布直方图知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能的结果所组成的基本事件空间为 ‎={{，}，{，}，{，}，{，}，{，},{，}，{，}，{，}，{，}，{，}}.‎ 其中表示男性，=1,2,3，表示女性，=1,2.‎ 由10个基本事件组成，而且这些基本事件出现是等可能的，‎ 用A表示“任选3人中，至少有2人是女性”这一事件，则 A={{，}，{，},{，}，{，}，{，}，{，}，{，}}，‎ 事件A由7个基本事件组成，∴.‎ ‎【点评】准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键。求概率时列举基本事件一定要做到不重不漏，此处极容易出错。‎ ‎（20）(本小题满分12分)‎ 如图，动圆,1＜＜3,‎ 与椭圆：相交于A，B，C，D四点，点分别为的左，右顶点。‎ ‎ (Ⅰ)当为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；‎ ‎ (Ⅱ)求直线与直线交点M的轨迹方程。‎ ‎【命题意图】本题主要考查直线、圆、椭圆的方程，椭圆的几何性质，轨迹方程的求法，考查函数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力，难度较大。‎ ‎【解析】(Ⅰ)设A(，)，则矩形ABCD的面积S=，‎ 由得，，‎ ‎∴==，‎ 当，时，=6，‎ ‎∴=时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为6. ……6分 ‎(Ⅱ) 设，又知，则 直线的方程为 ①‎ 直线的方程为 ②‎ 由①②得 ③‎ 由点在椭圆上，故可得，从而有，代入③得 ‎ ‎ ‎∴直线与直线交点M的轨迹方程为 ……12分 ‎（21）(本小题满分12分)‎ 设，证明：‎ ‎ (Ⅰ)当＞1时，＜；‎ ‎ (Ⅱ)当时，.‎ ‎【命题意图】本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力，难度较大。‎ ‎【解析】(Ⅰ)(法1)记=，‎ 则当＞1时，=，‎ 又∵，∴＜0，即＜； ……4分 ‎（法2）由均值不等式，当＞1时，，∴， ①‎ 令，则，，∴，即， ②‎ 由①②得，当＞1时，＜. ……4分 ‎(Ⅱ)（法1）记，由(Ⅰ)得，‎ ‎==＜=，‎ 令=，则当时，=‎ ‎∴在（1,3）内单调递减，又，∴＜0，‎ ‎∴当1＜＜3时，. ……12分 ‎（证法2）记=，则当当1＜＜3时，‎ ‎=＜‎ ‎=＜‎ ‎=＜0. ……10分 ‎∴在（1,3）内单调递减，又，∴＜0，‎ ‎∴当1＜＜3时，. ……12分 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。‎ ‎(22)(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲 ‎ 如图，⊙O和⊙相交于两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E。证明 ‎ (Ⅰ)；‎ ‎ (Ⅱ) 。‎ ‎【命题意图】本题主要考查圆的切线的性质、三角形相似的判断与性质，考查推理论证能力和数形结合思想，重在考查对平面几何基础知识、基本方法的掌握，难度较小。‎ 证明：（1）由与相切于，得，同理，‎ 所以。从而，即 ……4分 ‎（2）由与相切于，得，又，得 从而，即，综合（1）的结论， ……10分 ‎ (23)(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标中，圆，圆。‎ ‎ (Ⅰ)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆的极坐标方程，并求出圆的交点坐标(用极坐标表示)；‎ ‎ (Ⅱ)求圆的公共弦的参数方程。‎ ‎【命题意图】本题主要考查点的极坐标表示、圆的极坐标方程、参数方程的表示及参数方程与一般方程的转换、解方程组的知识，难度较小。‎ ‎【解析】圆的极坐标方程为，圆的极坐标方程为，‎ 解得，故圆与圆交点的坐标为 ……5分 注：极坐标系下点的表示不唯一 ‎（2）（解法一）由，得圆与圆交点的直角坐标为 故圆与圆的公共弦的参数方程为 ‎（或参数方程写成） … 10分 ‎（解法二）‎ 将代入，得，从而 于是圆与圆的公共弦的参数方程为 ‎【点评】本题要注意圆的圆心为半径为，圆的圆心为半径为，从而写出它们的极坐标方程；对于两圆的公共弦，可以先求出其代数形式，然后化成参数形式，也可以直接根据直线的参数形式写出。‎ ‎ (24)(本小题满分10分)选修45：不等式选讲 已知，不等式的解集为 ‎(Ⅰ)求的值 ‎ (Ⅱ)若恒成立，求k的取值范围。‎ ‎【命题意图】本题主要考查分段函数、不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用，考查分类讨论思想在解题中的灵活运用.‎ ‎【解析】(Ⅰ)由得，又的解集为，所以 当时，不合题意 当时，，得 …5分 ‎(Ⅱ)记，则，‎ 所以，因此 ……10分 ‎【点评】，第(Ⅰ)问，要真对的取值情况进行讨论，第(Ⅱ)问要真对的正负进行讨论从而用分段函数表示，进而求出k的取值范围。本题属于中档题，难度适中．平时复习中，要切实注意绝对值不等式的性质与其灵活运用。‎