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- 2021-05-13 发布
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学案48 直线与直线的位置关系
导学目标: 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.
自主梳理
1.两直线的位置关系
平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况.
(1)两直线平行
对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,
l1∥l2⇔________________________.
对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,
l2:A2x+B2y+C2=0(A2B2C2≠0),
l1∥l2⇔________________________.
(2)两直线垂直
对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,
l1⊥l2⇔k1·k2=____.
对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,
l2:A2x+B2y+C2=0,
l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=____.
2.两条直线的交点
两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,
l2:A2x+B2y+C2=0,
如果两直线相交,则交点的坐标一定是这两个方程组成的方程组的____;反之,如果这个方程组只有一个公共解,那么以这个解为坐标的点必是l1和l2的________,因此,l1、l2是否有交点,就看l1、l2构成的方程组是否有________.
3.有关距离
(1)两点间的距离
平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离|P1P2|=__________________________________.
(2)点到直线的距离
平面上一点P(x0,y0)到一条直线l:Ax+By+C=0的距离d=________________________.
(3)两平行线间的距离
已知l1、l2是平行线,求l1、l2间距离的方法:
①求一条直线上一点到另一条直线的距离;
②设l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,则l1与l2之间的距离d=________________.
自我检测
1.(2011·济宁模拟)若点P(a,3)到直线4x-3y+1=0的距离为4,且点P在不等式2x+y-3<0表示的平面区域内,则实数a的值为( )
A.7 B.-7 C.3 D.-3
2.若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2恒过定点( )
A.(0,4) B.(0,2)
C.(-2,4) D.(4,-2)
3.已知直线l1:ax+by+c=0,直线l2:mx+ny+p=0,则=-1是直线l1⊥l2的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.(2009·上海)已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的值是( )
A.1或3 B.1或5
C.3或5 D.1或2
5.已知2x+y+5=0,则的最小值是________.
探究点一 两直线的平行与垂直
例1 已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0.求满足以下条件的a、b的值:
(1)l1⊥l2且l1过点(-3,-1);
(2)l1∥l2,且原点到这两条直线的距离相等.
变式迁移1 已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0,
(1)试判断l1与l2是否平行;
(2)l1⊥l2时,求a的值.
探究点二 直线的交点坐标
例2 已知直线l1:4x+7y-4=0,l2:mx+y=0,l3:2x+3my-4=0.当m为何值时,三条直线不能构成三角形.
变式迁移2 △ABC的两条高所在直线的方程分别为2x-3y+1=0和x+y=0,顶点A的坐标为(1,2),求BC边所在直线的方程.
探究点三 距离问题
例3 (2011·厦门模拟)已知三条直线:l1:2x-y+a=0 (a>0);l2:-4x+2y+1=0;l3:x+y-1=0.且l1与l2的距离是.
(1)求a的值;
(2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件:
①点P在第一象限;
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的;
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.
若能,求点P的坐标;若不能,说明理由.
变式迁移3 已知直线l过点P(3,1)且被两平行线l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0截得的线段长为5,求直线l的方程.
转化与化归思想的应用
例 (12分)已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求:
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标;
(2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m′的方程;
(3)直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l′的方程.
【答题模板】
解 (1)设A′(x,y),再由已知
∴A′.[4分]
(2)在直线m上取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上.设对称点M′(a,b),则得M′.[6分]
设直线m与直线l的交点为N,则由
得N(4,3).
又∵m′经过点N(4,3),∴由两点式得直线m′的方程为9x-46y+102=0.[8分]
(3)方法一 在l:2x-3y+1=0上任取两点,
如M(1,1),N(4,3),则M,N关于点A(-1,-2)的对称点M′,N′均在直线l′上,
易得M′(-3,-5),N′(-6,-7),[10分]
再由两点式可得l′的方程为2x-3y-9=0.[12分]
方法二 ∵l∥l′,∴设l′的方程为2x-3y+C=0 (C≠1),
∵点A(-1,-2)到两直线l,l′的距离相等,∴由点到直线的距离公式得
=,解得C=-9,[10分]
∴l′的方程为2x-3y-9=0.[12分]
方法三 设P(x,y)为l′上任意一点,
则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P′(-2-x,-4-y),[10分]
∵点P′在直线l上,∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,
即2x-3y-9=0.[12分]
【突破思维障碍】
点关于直线对称是轴对称中最基本的,要抓住两点:一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直;二是已知点与对称点为端点的线段中点在对称轴上.直线关于点的对称可转化为点关于点的对称,直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称.
【易错点剖析】
(1)点关于线对称,不能转化为“垂直”及“线的中点在轴上”的问题.
(2)线关于线对称,不能转化为点关于线的对称问题;线关于点的对称,不能转化为点关于点的对称问题.
1.在两条直线的位置关系中,讨论最多的还是平行与垂直,它们是两条直线的特殊位置关系.解题时认真画出图形,有助于快速准确地解决问题.判断两直线平行与垂直时,不要忘记考虑斜率不存在的情形,利用一般式则可避免分类讨论.
2.运用公式d=求两平行直线间的距离时,一定要把x、y项系数化为相等的系数.
3.对称思想是高考热点,主要分为中心对称和轴对称两种,关键要把握对称问题的本质,必要情况下可与函数的对称轴建立联系.
(满分:75分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.直线3x+2y+4=0与2x-3y+4=0( )
A.平行 B.垂直
C.重合 D.关于直线y=-x对称
2.(2011·六安月考)若直线x+ay-a=0与直线ax-(2a-3)y-1=0互相垂直,则a的值是( )
A.2 B.-3或1 C.2或0 D.1或0
3.已知直线l的倾斜角为,直线l1经过点A(3,2)、B(a,-1),且l1与l垂直,直线l2:2x+by+1=0与直线l1平行,则a+b等于( )
A.-4 B.-2 C.0 D.2
4.P点在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离为,则P点坐标为( )
A.(1,2) B.(2,1)
C.(1,2)或(2,-1) D.(2,1)或(-1,2)
5.设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0,已知a、b是方程x2+x+c=0的两个实根,且0≤c≤,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )
A., B.,
C., D.,
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.(2011·重庆云阳中学高三月考)直线l1:x+my+6=0和l2:3x-3y+2=0,若l1∥l2,则m的值为______.
7.设直线l经过点(-1,1),则当点(2,-1)与直线l的距离最大时,直线l的方程为______________.
8.若直线m被两平行线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为2,则m的倾斜角可以是
①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°
其中正确答案的序号是________.
三、解答题(共38分)
9.(12分)(2011·福州模拟)k为何值时,直线l1:y=kx+3k-2与直线l2:x+4y-4=0的交点在第一象限.
10.(12分)已知点P1(2,3),P2(-4,5)和A(-1,2),求过点A且与点P1,P2距离相等的直线方程.
11.(14分)(2011·杭州调研)过点P(3,0)作一直线,使它夹在两直线l1:2x-y-2=0与l2:x+y+3=0之间的线段AB恰被点P平分,求此直线的方程.
学案48 直线与直线的位置关系
自主梳理
1.(1)k1=k2且b1≠b2 =≠ (2)-1 0
2.解 交点 唯一解 3.(1)
(2) (3)②
自我检测
1.D 2.B 3.A 4.C
5.
课堂活动区
例1 解题导引 运用直线的斜截式y=kx+b时,要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况.运用直线的一般式Ax+By+C=0时,要特别注意A、B为0时的情况,求解两直线平行或垂直有关的问题并与求直线方程相联系,联立方程组求解,对斜率不存在的情况,可考虑用数形结合的方法研究.
解 (1)由已知可得l2的斜率必存在,且k2=1-a.
若k2=0,则a=1.由l1⊥l2,l1的斜率不存在,∴b=0.
又l1过(-3,-1),∴-3a+b+4=0,
∴b=3a-4=-1,矛盾.∴此情况不存在,即k2≠0.
若k2≠0,即k1=,k2=1-a.
由l1⊥l2,得k1k2=(1-a)=-1.
由l1过(-3,-1),得-3a+b+4=0,
解之得a=2,b=2.
(2)∵l2的斜率存在,l1∥l2,∴l1的斜率存在,
∴k1=k2,即=1-a.
又原点到两直线的距离相等,且l1∥l2,
∴l1、l2在y轴上的截距互为相反数,即=b.
解之得或
∴a、b的值为2和-2或和2.
变式迁移1 解 (1)方法一 当a=1时,
l1:x+2y+6=0,
l2:x=0,l1与l2不平行;
当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1与l2不平行;
当a≠1且a≠0时,两直线可化为l1:y=-x-3,
l2:y=x-(a+1),
l1∥l2⇔ 解得a=-1,
综上可知,a=-1时,l1∥l2,否则l1与l2不平行.
方法二 由A1B2-A2B1=0,
得a(a-1)-1×2=0.
由A1C2-A2C1≠0,得a(a2-1)-1×6≠0,
∴l1∥l2⇔⇔
∴a=-1,故当a=-1时,l1∥l2,否则l1与l2不平行.
(2)方法一 当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2不垂直;
当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1与l2不垂直;
当a≠1且a≠0时,l1:y=-x-3,
l2:y=x-(a+1),
由·=-1⇒a=.
方法二 由A1A2+B1B2=0,
得a+2(a-1)=0⇒a=.
例2 解题导引 ①转化思想的运用
⇐⇐
⇐⇐
②分类讨论思想的运用
本题依据直线的位置关系将不能构成三角形的情况分成两类,分类应注意按同一标准,不重不漏.
解 当三条直线共点或至少有两条直线平行时,不能围成三角形.
①三条直线共点时,
由得 (m2≠),
即l2与l3的交点为,
代入l1的方程得4×+7×-4=0,
解得m=,或m=2.
②当l1∥l2时,4=7m,∴m=;
当l1∥l3时,4×3m=7×2,∴m=;
当l2∥l3时,3m2=2,即m=±.
∴m取集合中的元素时,三条直线不能构成三角形.
变式迁移2 解 可以判断A不在所给的两条高所在的直线上,则可设AB,AC边上的高所在直线的方程分别为2x-3y+1=0,x+y=0,
则可求得AB,AC边所在直线的方程分别为
y-2=-(x-1),y-2=x-1,
即3x+2y-7=0,x-y+1=0.
由,得B(7,-7),
由,得C(-2,-1),
所以BC边所在直线的方程为2x+3y+7=0.
例3 解题导引 在应用平行线间的距离公式求两条平行线间的距离时,应注意公式的适用条件,即在两条平行线的方程中x与y的系数化为分别对应相等的条件下,才能应用该公式.
如本例中求两条直线2x-y+a=0与-4x+2y+1=0间的距离时,需将前一条直线化为-4x+2y-2a=0,或将后一条直线化为2x-y-=0后,再应用平行线间的距离公式.
解 (1)∵l1:4x-2y+2a=0 (a>0),l2:4x-2y-1=0,
∴两条平行线l1与l2间的距离为d=,
由已知,可得=.
又a>0,可解得a=3.
(2)设点P的坐标为(x,y),
由条件①,可知x>0,y>0.
由条件②和③,
可得,
化简得,
于是可得,4|x+y-1|=|4x-2y-1|,
也就是4(x+y-1)=4x-2y-1,或4(x+y-1)=-4x+2y+1,
解得y=,或8x+2y-5=0.
当y=时,代入方程|2x-y+3|=|x+y-1|,
解得x=-3<0或x=-<0,均舍去.
由,
化简得,或,
解得或(舍去).
即存在满足题设条件的点P,其坐标为.
变式迁移3 解 方法一 若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=3,此时与l1,l2的交点分别是A(3,-4),B(3,-9),截得的线段长|AB|=|-4+9|=5,符合题意.
当直线l的斜率存在时,则设直线l的方程为y=k(x-3)+1,分别与直线l1,l2的方程联立,
由 解得A.
由解得B.
由两点间的距离公式,得
2+2=25,
解得k=0,即所求直线方程为y=1.
综上可知,直线l的方程为x=3或y=1.
方法二 因为两平行线间的距离
d==,
如图,直线l被两平行线截得的线段长为5,
设直线l与两平行线的夹角为θ,
则sin θ=,所以θ=45°.
因为两平行线的斜率是-1,
故所求直线的斜率不存在或为0.
又因为直线l过点P(3,1),
所以直线l的方程为x=3或y=1.
课后练习区
1.B 2.C 3.B 4.C 5.D
6.-1 7.3x-2y+5=0 8.①⑤
9.解 由,得.(5分)
∵两直线的交点在第一象限,
∴,∴