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  • 2021-05-13 发布

2015高考数学(理)(直线与直线的位置关系)一轮复习学案

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学案48 直线与直线的位置关系 导学目标: 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.‎ 自主梳理 ‎1.两直线的位置关系 平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况.‎ ‎(1)两直线平行 对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,‎ l1∥l2⇔________________________.‎ 对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,‎ l2:A2x+B2y+C2=0(A2B‎2C2≠0),‎ l1∥l2⇔________________________.‎ ‎(2)两直线垂直 对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,‎ l1⊥l2⇔k1·k2=____.‎ 对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,‎ l2:A2x+B2y+C2=0,‎ l1⊥l2⇔A‎1A2+B1B2=____.‎ ‎2.两条直线的交点 两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,‎ l2:A2x+B2y+C2=0,‎ 如果两直线相交,则交点的坐标一定是这两个方程组成的方程组的____;反之,如果这个方程组只有一个公共解,那么以这个解为坐标的点必是l1和l2的________,因此,l1、l2是否有交点,就看l1、l2构成的方程组是否有________.‎ ‎3.有关距离 ‎(1)两点间的距离 平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离|P1P2|=__________________________________.‎ ‎(2)点到直线的距离 平面上一点P(x0,y0)到一条直线l:Ax+By+C=0的距离d=________________________.‎ ‎(3)两平行线间的距离 已知l1、l2是平行线,求l1、l2间距离的方法:‎ ‎①求一条直线上一点到另一条直线的距离;‎ ‎②设l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,则l1与l2之间的距离d=________________.‎ 自我检测 ‎1.(2011·济宁模拟)若点P(a,3)到直线4x-3y+1=0的距离为4,且点P在不等式2x+y-3<0表示的平面区域内,则实数a的值为(  )‎ A.7 B.-‎7 ‎ C.3 D.-3‎ ‎2.若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2恒过定点(  )‎ A.(0,4) B.(0,2)‎ C.(-2,4) D.(4,-2)‎ ‎3.已知直线l1:ax+by+c=0,直线l2:mx+ny+p=0,则=-1是直线l1⊥l2的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.(2009·上海)已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的值是(  )‎ A.1或3 B.1或5‎ C.3或5 D.1或2‎ ‎5.已知2x+y+5=0,则的最小值是________.‎ 探究点一 两直线的平行与垂直 例1 已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0.求满足以下条件的a、b的值:‎ ‎(1)l1⊥l2且l1过点(-3,-1);‎ ‎ (2)l1∥l2,且原点到这两条直线的距离相等.‎ 变式迁移1 已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0,‎ ‎(1)试判断l1与l2是否平行;‎ ‎(2)l1⊥l2时,求a的值.‎ 探究点二 直线的交点坐标 例2 已知直线l1:4x+7y-4=0,l2:mx+y=0,l3:2x+3my-4=0.当m为何值时,三条直线不能构成三角形.‎ 变式迁移2 △ABC的两条高所在直线的方程分别为2x-3y+1=0和x+y=0,顶点A的坐标为(1,2),求BC边所在直线的方程.‎ 探究点三 距离问题 例3 (2011·厦门模拟)已知三条直线:l1:2x-y+a=0 (a>0);l2:-4x+2y+1=0;l3:x+y-1=0.且l1与l2的距离是.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件:‎ ‎①点P在第一象限;‎ ‎②点P到l1的距离是点P到l2的距离的;‎ ‎③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.‎ 若能,求点P的坐标;若不能,说明理由.‎ 变式迁移3 已知直线l过点P(3,1)且被两平行线l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0截得的线段长为5,求直线l的方程.‎ 转化与化归思想的应用 例 (12分)已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求:‎ ‎(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标;‎ ‎(2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m′的方程;‎ ‎(3)直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l′的方程.‎ ‎【答题模板】‎ 解 (1)设A′(x,y),再由已知 ‎∴A′.[4分]‎ ‎(2)在直线m上取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上.设对称点M′(a,b),则得M′.[6分]‎ 设直线m与直线l的交点为N,则由 得N(4,3).‎ 又∵m′经过点N(4,3),∴由两点式得直线m′的方程为9x-46y+102=0.[8分]‎ ‎(3)方法一 在l:2x-3y+1=0上任取两点,‎ 如M(1,1),N(4,3),则M,N关于点A(-1,-2)的对称点M′,N′均在直线l′上,‎ 易得M′(-3,-5),N′(-6,-7),[10分]‎ 再由两点式可得l′的方程为2x-3y-9=0.[12分]‎ 方法二 ∵l∥l′,∴设l′的方程为2x-3y+C=0 (C≠1),‎ ‎∵点A(-1,-2)到两直线l,l′的距离相等,∴由点到直线的距离公式得 =,解得C=-9,[10分]‎ ‎∴l′的方程为2x-3y-9=0.[12分]‎ 方法三 设P(x,y)为l′上任意一点,‎ 则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P′(-2-x,-4-y),[10分]‎ ‎∵点P′在直线l上,∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,‎ 即2x-3y-9=0.[12分]‎ ‎【突破思维障碍】‎ 点关于直线对称是轴对称中最基本的,要抓住两点:一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直;二是已知点与对称点为端点的线段中点在对称轴上.直线关于点的对称可转化为点关于点的对称,直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称.‎ ‎【易错点剖析】‎ ‎(1)点关于线对称,不能转化为“垂直”及“线的中点在轴上”的问题.‎ ‎(2)线关于线对称,不能转化为点关于线的对称问题;线关于点的对称,不能转化为点关于点的对称问题.‎ ‎1.在两条直线的位置关系中,讨论最多的还是平行与垂直,它们是两条直线的特殊位置关系.解题时认真画出图形,有助于快速准确地解决问题.判断两直线平行与垂直时,不要忘记考虑斜率不存在的情形,利用一般式则可避免分类讨论.‎ ‎2.运用公式d=求两平行直线间的距离时,一定要把x、y项系数化为相等的系数.‎ ‎3.对称思想是高考热点,主要分为中心对称和轴对称两种,关键要把握对称问题的本质,必要情况下可与函数的对称轴建立联系.‎ ‎(满分:75分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.直线3x+2y+4=0与2x-3y+4=0(  )‎ A.平行 B.垂直 C.重合 D.关于直线y=-x对称 ‎2.(2011·六安月考)若直线x+ay-a=0与直线ax-(‎2a-3)y-1=0互相垂直,则a的值是(  )‎ A.2 B.-3或‎1 ‎ C.2或0 D.1或0‎ ‎3.已知直线l的倾斜角为,直线l1经过点A(3,2)、B(a,-1),且l1与l垂直,直线l2:2x+by+1=0与直线l1平行,则a+b等于(  )‎ A.-4 B.-‎2 ‎ C.0 D.2‎ ‎4.P点在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离为,则P点坐标为(  )‎ A.(1,2) B.(2,1)‎ C.(1,2)或(2,-1) D.(2,1)或(-1,2)‎ ‎5.设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0,已知a、b是方程x2+x+c=0的两个实根,且0≤c≤,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是(  )‎ A., B., C., D., 二、填空题(每小题4分,共12分)‎ ‎6.(2011·重庆云阳中学高三月考)直线l1:x+my+6=0和l2:3x-3y+2=0,若l1∥l2,则m的值为______.‎ ‎7.设直线l经过点(-1,1),则当点(2,-1)与直线l的距离最大时,直线l的方程为______________.‎ ‎8.若直线m被两平行线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为2,则m的倾斜角可以是 ‎①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°‎ 其中正确答案的序号是________.‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9.(12分)(2011·福州模拟)k为何值时,直线l1:y=kx+3k-2与直线l2:x+4y-4=0的交点在第一象限.‎ ‎10.(12分)已知点P1(2,3),P2(-4,5)和A(-1,2),求过点A且与点P1,P2距离相等的直线方程.‎ ‎11.(14分)(2011·杭州调研)过点P(3,0)作一直线,使它夹在两直线l1:2x-y-2=0与l2:x+y+3=0之间的线段AB恰被点P平分,求此直线的方程.‎ 学案48 直线与直线的位置关系 自主梳理 ‎1.(1)k1=k2且b1≠b2 =≠ (2)-1 0‎ ‎2.解 交点 唯一解 3.(1) ‎(2) (3)② 自我检测 ‎1.D 2.B 3.A 4.C ‎5. 课堂活动区 例1 解题导引 运用直线的斜截式y=kx+b时,要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况.运用直线的一般式Ax+By+C=0时,要特别注意A、B为0时的情况,求解两直线平行或垂直有关的问题并与求直线方程相联系,联立方程组求解,对斜率不存在的情况,可考虑用数形结合的方法研究.‎ 解 (1)由已知可得l2的斜率必存在,且k2=1-a.‎ 若k2=0,则a=1.由l1⊥l2,l1的斜率不存在,∴b=0.‎ 又l1过(-3,-1),∴-‎3a+b+4=0,‎ ‎∴b=‎3a-4=-1,矛盾.∴此情况不存在,即k2≠0.‎ 若k2≠0,即k1=,k2=1-a.‎ 由l1⊥l2,得k1k2=(1-a)=-1.‎ 由l1过(-3,-1),得-‎3a+b+4=0,‎ 解之得a=2,b=2.‎ ‎(2)∵l2的斜率存在,l1∥l2,∴l1的斜率存在,‎ ‎∴k1=k2,即=1-a.‎ 又原点到两直线的距离相等,且l1∥l2,‎ ‎∴l1、l2在y轴上的截距互为相反数,即=b.‎ 解之得或 ‎∴a、b的值为2和-2或和2.‎ 变式迁移1 解 (1)方法一 当a=1时,‎ l1:x+2y+6=0,‎ l2:x=0,l1与l2不平行;‎ 当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1与l2不平行;‎ 当a≠1且a≠0时,两直线可化为l1:y=-x-3,‎ l2:y=x-(a+1),‎ l1∥l2⇔ 解得a=-1,‎ 综上可知,a=-1时,l1∥l2,否则l1与l2不平行.‎ 方法二 由A1B2-A2B1=0,‎ 得a(a-1)-1×2=0.‎ 由A‎1C2-A‎2C1≠0,得a(a2-1)-1×6≠0,‎ ‎∴l1∥l2⇔⇔ ‎∴a=-1,故当a=-1时,l1∥l2,否则l1与l2不平行.‎ ‎(2)方法一 当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2不垂直;‎ 当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1与l2不垂直;‎ 当a≠1且a≠0时,l1:y=-x-3,‎ l2:y=x-(a+1),‎ 由·=-1⇒a=.‎ 方法二 由A‎1A2+B1B2=0,‎ 得a+2(a-1)=0⇒a=.‎ 例2 解题导引 ①转化思想的运用 ⇐⇐‎ ⇐⇐ ‎②分类讨论思想的运用 本题依据直线的位置关系将不能构成三角形的情况分成两类,分类应注意按同一标准,不重不漏.‎ 解 当三条直线共点或至少有两条直线平行时,不能围成三角形.‎ ‎①三条直线共点时,‎ 由得 (m2≠),‎ 即l2与l3的交点为,‎ 代入l1的方程得4×+7×-4=0,‎ 解得m=,或m=2.‎ ‎②当l1∥l2时,4=‎7m,∴m=;‎ 当l1∥l3时,4×‎3m=7×2,∴m=;‎ 当l2∥l3时,‎3m2‎=2,即m=±.‎ ‎∴m取集合中的元素时,三条直线不能构成三角形.‎ 变式迁移2 解 可以判断A不在所给的两条高所在的直线上,则可设AB,AC边上的高所在直线的方程分别为2x-3y+1=0,x+y=0,‎ 则可求得AB,AC边所在直线的方程分别为 y-2=-(x-1),y-2=x-1,‎ 即3x+2y-7=0,x-y+1=0.‎ 由,得B(7,-7),‎ 由,得C(-2,-1),‎ 所以BC边所在直线的方程为2x+3y+7=0.‎ 例3 解题导引 在应用平行线间的距离公式求两条平行线间的距离时,应注意公式的适用条件,即在两条平行线的方程中x与y的系数化为分别对应相等的条件下,才能应用该公式.‎ 如本例中求两条直线2x-y+a=0与-4x+2y+1=0间的距离时,需将前一条直线化为-4x+2y-‎2a=0,或将后一条直线化为2x-y-=0后,再应用平行线间的距离公式.‎ 解 (1)∵l1:4x-2y+‎2a=0 (a>0),l2:4x-2y-1=0,‎ ‎∴两条平行线l1与l2间的距离为d=,‎ 由已知,可得=.‎ 又a>0,可解得a=3.‎ ‎(2)设点P的坐标为(x,y),‎ 由条件①,可知x>0,y>0.‎ 由条件②和③,‎ 可得,‎ 化简得,‎ 于是可得,4|x+y-1|=|4x-2y-1|,‎ 也就是4(x+y-1)=4x-2y-1,或4(x+y-1)=-4x+2y+1,‎ 解得y=,或8x+2y-5=0.‎ 当y=时,代入方程|2x-y+3|=|x+y-1|,‎ 解得x=-3<0或x=-<0,均舍去.‎ 由,‎ 化简得,或,‎ 解得或(舍去).‎ 即存在满足题设条件的点P,其坐标为.‎ 变式迁移3 解 方法一 若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=3,此时与l1,l2的交点分别是A(3,-4),B(3,-9),截得的线段长|AB|=|-4+9|=5,符合题意.‎ 当直线l的斜率存在时,则设直线l的方程为y=k(x-3)+1,分别与直线l1,l2的方程联立,‎ 由 解得A.‎ 由解得B.‎ 由两点间的距离公式,得 2+2=25,‎ 解得k=0,即所求直线方程为y=1.‎ 综上可知,直线l的方程为x=3或y=1.‎ 方法二 因为两平行线间的距离 d==,‎ 如图,直线l被两平行线截得的线段长为5,‎ 设直线l与两平行线的夹角为θ,‎ 则sin θ=,所以θ=45°.‎ 因为两平行线的斜率是-1,‎ 故所求直线的斜率不存在或为0.‎ 又因为直线l过点P(3,1),‎ 所以直线l的方程为x=3或y=1.‎ 课后练习区 ‎1.B 2.C 3.B 4.C 5.D ‎6.-1 7.3x-2y+5=0 8.①⑤‎ ‎9.解 由,得.(5分)‎ ‎∵两直线的交点在第一象限,‎ ‎∴,∴