重庆市届高考数学调研综合复习试题目集文含解析新人民教育出版 15页

重庆市2013年高考调研综合复习数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题本大题共19个小题，每小题5分，共50分 ‎1．（5分）（2013•广元一模）若集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x＞1}，则A∩B为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎{x|0＜x＜2}‎ B．‎ ‎{x|1＜x＜2}‎ C．‎ ‎{x|x＞2}‎ D．‎ ‎{x|x＞1}‎ 考点：‎ 一元二次不等式的解法；交集及其运算．.‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 把集合A中的不等式左边分解因式，根据两数相乘积为负两因式异号转化为两个不等式组，求出不等式组的解集得到原不等式的解集，进而确定出集合A，然后找出集合A和集合B解集中的公共部分，即可得到两集合的交集．‎ 解答：‎ 解：由集合A中的不等式x2﹣2x＜0，‎ 因式分解得：x（x﹣2）＜0，‎ 可化为或，‎ 解得：0＜x＜2，‎ ‎∴集合A={x|0＜x＜2}，又B={x|x＞1}，‎ 则A∩B={x|1＜x＜2}．‎ 故选B 点评：‎ 此题考查了一元二次不等式的解法，利用了转化的思想，是高考中常考的基本题型．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）若实数x，y满足不等式组则x+y的最小值是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎6‎ B．‎ ‎4‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ 考点：‎ 简单线性规划．.‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最小值．‎ 解答：‎ 解：画出可行域，表示的区域如图，要求x+y的最小值，就是x+y在直线x+2y﹣4=0与直线x﹣y=0的交点N（，）处，‎ 目标函数x+y的最小值是．‎ 故选．‎ 点评：‎ 本题考查线性规划问题，近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ y=﹣lnx．‎ B．‎ y=x2‎ C．‎ y=2﹣|x|‎ D．‎ y=cosx．‎ 考点：‎ 奇偶性与单调性的综合．.‎ 专题：‎ 探究型；函数的性质及应用．‎ 分析：‎ 对于A，函数的定义域为（0，+∞），故y=lnx非奇非偶；‎ 对于B，是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递增；‎ 对于C，是偶函数，在区间（0，+∞）上，函数为y=2﹣x在区间（0，+∞）上单调递减；‎ 对于D，是偶函数，在区间（0，+∞）上，不是单调函数．‎ 解答：‎ 解：对于A，函数的定义域为（0，+∞），故y=lnx非奇非偶，即A不正确；‎ 对于B，是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递增，即B不正确；‎ 对于C，是偶函数，在区间（0，+∞）上，函数为y=2﹣x在区间（0，+∞）上单调递减，故C正确；‎ 对于D，是偶函数，在区间（0，+∞）上，不是单调函数，即D不正确 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查函数单调性与奇偶性的综合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2010•湖北）已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，，‎2a2成等差数列，则=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1+‎ B．‎ ‎1﹣‎ C．‎ ‎3+2‎ D．‎ ‎3﹣2‎ 考点：‎ 等差数列的性质；等比数列的性质．.‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 先根据等差中项的性质可知得2×（）=a1+‎2a2，进而利用通项公式表示出q2=1+2q，求得q，代入中即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：依题意可得2×（）=a1+‎2a2，‎ 即，a3=a1+‎2a2，整理得q2=1+2q，‎ 求得q=1±，‎ ‎∵各项都是正数 ‎∴q＞0，q=1+‎ ‎∴==3+2‎ 故选C 点评：‎ 本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了学生综合分析的能力和对基础知识的理解．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2012•安徽模拟）右表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中t的值为（　　）‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.5‎ t ‎4‎ ‎4.5‎ ‎　‎ A．‎ ‎3‎ B．‎ ‎3.15‎ C．‎ ‎3.5‎ D．‎ ‎4.5‎ 考点：‎ 回归分析的初步应用．.‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 先求出这组数据的样本中心点，样本中心点是用含有t的代数式表示的，把样本中心点代入变形的线性回归方程，得到关于t的一次方程，解方程，得到结果．‎ 解答：‎ 解：∵‎ 由回归方程知=，‎ 解得t=3，‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查回归分析的初步应用，考查样本中心点的性质，考查方程思想的应用，是一个基础题，解题时注意数字计算不要出错．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2011•烟台一模）设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎﹣2‎ 考点：‎ 导数的几何意义．.‎ 分析：‎ ‎（1）求出已知函数y在点（3，2）处的斜率；（2）利用两条直线互相垂直，斜率之间的关系k1•k2=﹣1，求出未知数a．‎ 解答：‎ 解：∵y=∴y′=﹣‎ ‎∵x=3∴y′=﹣即切线斜率为﹣‎ ‎∵切线与直线ax+y+1=0垂直 ‎∴直线ax+y+1=0的斜率为2．‎ ‎∴﹣a=2即a=﹣2‎ 故选D．‎ 点评：‎ 函数y=f（x）在x=x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率，过点P的切线方程为：y﹣y0=f′（x0）（x﹣x0）‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2012•赣州模拟）将函数y=f（x）cosx的图象向左移个单位后，再作关于x轴的对称变换得到的函数y=2cos2x﹣1的图象，则f（x）可以是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣2cosx B．‎ ‎2cosx C．‎ ‎﹣2sinx D．‎ ‎2sinx 考点：‎ 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；二倍角的余弦．.‎ 专题：‎ 常规题型．‎ 分析：‎ 化简函数y=2cos2x﹣1，图象逆向平移到函数y=f（x）cosx的图象，求出函数f（x）的表达式即可．‎ 解答：‎ 解：y=2cos2x﹣1=cos2x，其关于x轴的对称的函数为 y=﹣cos2x，将其向右平移个单位后 得到：y=﹣cos2（x﹣）=﹣sin2x=﹣2sinxcosx；所以f（x）=﹣2sinx．‎ 故选C 点评：‎ 本题是基础题，考查三角函数图象的平移，注意平移是顺序的逆运用的方向，以及自变量的系数，是容易出错的地方．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2013•内江二模）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ ‎4‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 由三视图求面积、体积．.‎ 专题：‎ 计算题；图表型．‎ 分析：‎ 由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其高已知，底面是长度为1的正方形，故先求出底面积，再由体积公式求解其体积即可．‎ 解答：‎ 解：由题设条件，此几何几何体为一个四棱锥，其高已知为2，底面是长度为1的正方形，‎ 底面积是1×1=1‎ 其体积是=‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出地结果是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣3‎ B．‎ ‎﹣2‎ C．‎ ‎2‎ D．‎ ‎3‎ 考点：‎ 程序框图．.‎ 专题：‎ 图表型．‎ 分析：‎ 根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，从而到结论．‎ 解答：‎ 解：第1次循环，S=﹣1，i=2，‎ 第2次循环，S=1，i=3，‎ 第3次循环，S=﹣2，i=4，‎ 第4次循环，S=2，i=5，‎ 不满足i≤4，退出循环，输出的结果为2，‎ 故选C．‎ 点评：‎ 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2009•浙江）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为﹣1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C．若=，则双曲线的离心率是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质．.‎ 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 分别表示出直线l和两个渐进线的交点，进而表示出和，进而根据=求得a和b的关系，进而根据c2﹣a2=b2，求得a和c的关系，则离心率可得．‎ 解答：‎ 解：直线l：y=﹣x+a与渐近线l1：bx﹣ay=0交于B（，），‎ l与渐近线l2：bx+ay=0交于C（，），A（a，0），‎ ‎∴=（﹣，），=（，﹣），∵=，‎ ‎∴=，b=‎2a，‎ ‎∴c2﹣a2=‎4a2，‎ ‎∴e2==5，∴e=，‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．‎ ‎　‎ 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）‎ ‎11．（5分）（2012•包头三模）若z1=a+3i，z2=3+4i，且为纯虚数，则实数a=　﹣4　．‎ 考点：‎ 复数代数形式的乘除运算．.‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 先将化成代数形式，令其实部为0，虚部不为0，解出a的值即可．‎ 解答：‎ 解：==，∴解得a=﹣4‎ 故答案为：﹣4‎ 点评：‎ 本题考查复数的运算，复数的分类，是基础题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知向量与向量的夹角为120°，若向量=+，且，则的值为　　．‎ 考点：‎ 平面向量数量积的运算；向量的模．.‎ 专题：‎ 平面向量及应用．‎ 分析：‎ 由题意可知可得==0，即可解得=．‎ 解答：‎ 解：由题意可知，∵，∴==0‎ 即cos120°=0，故，‎ 故=．‎ 故答案为：‎ 点评：‎ 本题考查向量的模长的比值，把向量的垂直问题转化为数量积为0是解决问题的关键，属中档题．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）已知各顶点都在同一球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是　16π　．‎ 考点：‎ 球内接多面体；球的体积和表面积．.‎ 分析：‎ 画出图形，正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积；正四棱锥P﹣ABCD的五个顶点在同一球面上，若该正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为 ，进而可得答案．‎ 解答：‎ 解：正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，‎ 记为O，PO=AO=R，PO1=3，OO1=3﹣R，‎ 在Rt△AO1O中，R2=3+（3﹣R）2得R=2，‎ ‎∴球的表面积S=16π 故答案为：16π 点评：‎ 本题考查球的表面积，球的内接体问题，解答关键是利用直角三角形列方程式求解球的半径，是基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2010•揭阳二模）有下列各式：，，，…‎ 则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：　（n∈N*）　．‎ 考点：‎ 归纳推理．.‎ 专题：‎ 规律型．‎ 分析：‎ 观察各式左边为的和的形式，项数分别为：3，7，15，故可猜想第n个式子中应有2n+1﹣1项，‎ 不等式右侧分别写成，，故猜想第n个式子中应为，由此可写出一般的式子．‎ 解答：‎ 解：观察各式左边为的和的形式，项数分别为：3，7，15，故可猜想第n个式子中应有2n+1﹣1项，‎ 不等式右侧分别写成，，故猜想第n个式子中应为，‎ 按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：‎ 故答案为：‎ 点评：‎ 本题考查归纳推理、考查观察、分析、解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知a是f（x）=2x﹣logx的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）的值与0的大小关系是　f（x0）＜0　．‎ 考点：‎ 函数的零点；不等关系与不等式．.‎ 专题：‎ 函数的性质及应用．‎ 分析：‎ 由题意得，函数的零点就是方程的根，也即是函数图象与x轴交点的横坐标．又知函数的单调性，即可求出 f（x0）的正负．‎ 解答：‎ 由于a是函数f（x）=2x﹣logx的零点，则f（a）=0，‎ 又因为函数f（x）=2x ﹣logx=2x +log2x在（0，+∞）上是增函数，‎ 所以当0＜x0＜a时，f（x0）＜f（a），即f（x0）＜0．‎ 故答案为 f（x0）＜0．‎ 点评：‎ 本题主要考查函数的零点及函数的单调性，函数的零点的研究就可转化为相应方程根的问题，函数与方程的思想得到了很好的体现，属于基础题．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分75分）‎ ‎16．（13分）（2012•浙江）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n2+n，n∈N*，数列{bn}满足an=4log2bn+3，n∈N*．‎ ‎（1）求an，bn；‎ ‎（2）求数列{an•bn}的前n项和Tn．‎ 考点：‎ 数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定．.‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（I）由Sn=2n2+n可得，当n=1时，可求a1=，当n≥2时，由an=sn﹣sn﹣1可求通项，进而可求bn ‎（II）由（I）知，，利用错位相减可求数列的和 解答：‎ 解（I）由Sn=2n2+n可得，当n=1时，a1=s1=3‎ 当n≥2时，an=sn﹣sn﹣1=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1‎ 而n=1，a1=4﹣1=3适合上式，‎ 故an=4n﹣1，‎ 又∵足an=4log2bn+3=4n﹣1‎ ‎∴‎ ‎（II）由（I）知，‎ ‎2Tn=3×2+7×22+…+（4n﹣5）•2n﹣1+（4n﹣1）•2n ‎∴‎ ‎=（4n﹣1）•2n ‎=（4n﹣1）•2n﹣[3+4（2n﹣2）]=（4n﹣5）•2n+5‎ 点评：‎ 本题主要考查了数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用，数列求和的错位相减求和方法的应用．‎ ‎　‎ ‎17．（13分）（2012•包头三模）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数ξ依次为1，2，…，8，其中ξ≥5为标准A，ξ≥3为标准B，产品的等级系数越大表明产品的质量越好．已知某厂执行标准B生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准．从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：‎ ‎3 5 3 3 8 5 5 6 3 4‎ ‎6 3 4 7 5 3 4 8 5 3‎ ‎8 3 4 3 4 4 7 5 6 7‎ 该行业规定产品的等级系数ξ≥7的为一等品，等级系数5≤ξ＜7的为二等品，等级系数3≤ξ＜5的为三等品．‎ ‎（1）试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；‎ ‎（2）从样本的一等品中随机抽取2件，求所抽得2件产品等级系数都是8的概率．‎ 考点：‎ 等可能事件的概率．.‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据题意，由样本数据可得30件产品中一等品、二等品、三等品的数目，计算可得三个等级各自的其频率，由频率的意义可得答案；‎ ‎（2）根据题意，由样本数据知样本中一等品有6件，其中等级系数为7和等级系数为8的各有3件，记等级系数为7的3件产品分别为C1、C2、C3，等级系数为8的3件产品分别为P1、P2、P3，列举从样本的一等品中随机抽取2件的全部情况，可得所抽得2件产品等级系数都是8的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．‎ 解答：‎ 解：（1）根据题意，由样本数据知，30件产品中，一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件．‎ ‎∴样本中一等品的频率为，故估计该厂生产的产品的一等品率为0.2，‎ 二等品的频率为，故估计该厂产品的二等品率为0.3，‎ 三等品的频率为，故估计该厂产品的三等品率为0.5．‎ ‎（2）根据题意，由样本数据知，样本中一等品有6件，其中等级系数为7的有3件，等级系数为8的也有3件，‎ 记等级系数为7的3件产品分别为C1、C2、C3，等级系数为8的3件产品分别为P1、P2、P3，‎ 则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为：（C1，C2），（C1，C3），（C1，P1），（C1，P2），（C1，P3），（C2，C3），（C2，P1），（C2，P2），（C2，P3），（C3，P1），（C3，‎ P2），（C3，P3），（P1，P2），（P1，P3）（P2，P3），共15种，‎ 记从“一等品中随机抽取2件，2件等级系数都是‎8”‎为事件A，‎ 则A包含的基本事件有 （P1，P2），（P1，P3），（P2，P3）共3种，‎ 故所求的概率．‎ 点评：‎ 本题考查等可能事件的概率的计算，关键要正确列举事件的全部情况，做到不重不漏．‎ ‎　‎ ‎18．（13分）已知向量=（cos，﹣1），=（sin，cos2），设函数f（x）=•+．‎ ‎（1）若x∈[0，]，f（x）=，求cosx的值；‎ ‎（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2bcosA=‎2c﹣a，求f（B）的值．‎ 考点：‎ 平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；正弦定理．.‎ 专题：‎ 计算题；三角函数的图像与性质．‎ 分析：‎ ‎（1）利用向量数量积运算，结合二倍角公式，化简函数，利用cosx=cos[（x﹣）+]，即可求cosx的值；‎ ‎（2）利用正弦定理，可得cosB=，从而可求f（B）的值．‎ 解答：‎ 解：（1）由题意，f（x）=cossin﹣+=sin（x﹣）‎ ‎∵x∈[0，]，∴x﹣∈[﹣，]，‎ ‎∵f（x）=，∴sin（x﹣）=，∴cos（x﹣）=‎ ‎∴cosx=cos[（x﹣）+]=cos（x﹣）cos﹣sin（x﹣）sin=‎ ‎（2）∵2bcosA=‎2c﹣a，∴利用正弦定理，可得2sinBcosA=2sinC﹣sinA=2sin（A+B）﹣sinA，‎ ‎∴cosB=‎ ‎∵B∈（0，π）‎ ‎∴B=‎ ‎∴f（B）=sin（﹣）=0‎ 点评：‎ 本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查正弦定理的运用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知函数f（x）=‎ ‎（1）确定f（x）的单调区间；‎ ‎（2）如果当x≥1时，不等式f（x）≥恒成立，求实数k的取值范围．‎ 考点：‎ 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．.‎ 专题：‎ 综合题；导数的综合应用．‎ 分析：‎ ‎（1）求导函数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间；‎ ‎（2）分离参数，确定函数的最值，即可求实数k的取值范围．‎ 解答：‎ 解：（1）∵f（x）=，∴（x＞0）‎ 令f′（x）＞0，可得0＜x＜1；令f′（x）＜0，可得x＞1‎ ‎∴函数的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；‎ ‎（2）当x≥1时，不等式f（x）≥恒成立，等价于≥k2﹣k 设g（x）=，则g′（x）=‎ 令h（x）=x﹣lnx，则h′（x）=1﹣‎ ‎∵x≥1，∴h′（x）≥0‎ ‎∴h（x）在[1，+∞）上单调递增 ‎∴h（x）的最小值为h（1）=1＞0，∴g′（x）＞0‎ ‎∴g（x）在[1，+∞）上单调递增 ‎∴g（x）的最小值为g（1）=2‎ ‎∴k2﹣k≤2‎ ‎∴﹣1≤k≤2．‎ 点评：‎ 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2012•包头三模）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为AB的中点，现将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCDE，F为线段A′D的中点 ‎（I）求证：EF∥平面A′BC；‎ ‎（II）求三棱锥A′﹣BCE的体积．‎ 考点：‎ 直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．.‎ 专题：‎ 计算题；空间位置关系与距离．‎ 分析：‎ ‎（I）取A′C的中点M，连接MF，MB，利用题设条件推导出四边形EBMF为平行四边形，从而得到EF∥MB，由此能够证明EF∥平面A′BC．‎ ‎（II）过A′作A′S⊥DE，S为垂直足，由题设条件推导出A′S⊥平面BCDE，再由AB=4，AD=2，得到，由此能求出三棱锥A′﹣BCE的体积．‎ 解答：‎ 解：（I）取A′C的中点M，连接MF，MB，‎ ‎∵在矩形ABCD中E为AB的中点，F为线段A′D的中点，‎ ‎∴EB，FM，‎ ‎∴FMEB，∴四边形EBMF为平行四边形，‎ ‎∴EF∥MB，‎ ‎∵EF⊄平面A′BC，MB⊂平面A′BC，‎ ‎∴EF∥平面A′BC．‎ ‎（II）过A′作A′S⊥DE，S为垂直足，‎ ‎∵平面A′DE⊥平面BCDE，且平面A′DE∩平面BCDE=DE，‎ ‎∴A′S⊥平面BCDE，‎ ‎∵矩形ABCD中，AB=4，AD=2，∴，‎ ‎∴===．‎ 点评：‎ 本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的经过焦点且垂直于长轴的弦长为3，离心率为 ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）设直线l：y=kx+m（|k|≤）与椭圆C相交于点A、B两点，且=，其中P在椭圆C上，O为坐标原点，求|OP|的取值范围．‎ 考点：‎ 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．.‎ 专题：‎ 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）先由已知椭圆的经过焦点且垂直于长轴的弦长为3，离心率为，求得a，b，从而写出椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）先对k 分类讨论：当k=0时，P（0，‎2m）在椭圆C上，解得m=±，所以|OP|=；当k≠0时，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得|OP|的取值范围，从而解决问题．‎ 解答：‎ 解：（I）∵椭圆的经过焦点且垂直于长轴的弦长为3，离心率为 ‎∴，=‎ ‎∴a2=4，b2=3‎ ‎∴椭圆C的方程为；‎ ‎（Ⅱ）当k=0时，P（0，‎2m）在椭圆C上，解得m=±，‎ 所以|OP|=‎ 当k≠0时，则由，消y化简整理得：（3+4k2）x2+8kmx+‎4m2‎﹣12=0，‎ ‎△=64k‎2m2‎﹣4（3+4k2）（‎4m2‎﹣12）=48（3+4k2﹣m2）＞0③‎ 设A，B，P点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x0，y0），‎ 则x0=x1+x2=﹣，y0=y1+y2=k（x1+x2）+‎2m=．‎ 由于点P在椭圆C上，所以．‎ 从而+=1，化简得‎4m2‎=3+4k2，经检验满足③式．‎ 又|OP|===‎ 因为0＜|k|≤，得3＜4k2+3≤4，有≤＜1，‎ 故＜|OP|≤．‎ 综上，所求|OP|的取值范围是[，]．‎ 点评：‎ 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题、椭圆的标准方程问题．当研究椭圆和直线的关系的问题时，常可利用联立方程，进而利用韦达定理来解决．‎