高考试题全国卷 6页

2004 年高考试题全国卷 2 理科数学（必修＋选修Ⅱ） (四川、吉林、黑龙江、云南等地区) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． （1）已知集合 M＝{x|x2＜4}，N＝{x|x2－2x－3＜0}，则集合 M∩N＝ （A）{x|x＜－2} （B）{x|x＞3} （C）{x|－1＜x＜2} （D）{x|2＜x＜3} （2） 54 2lim 2 2 1    xx xx n ＝ （A） 2 1 （B）1 （C） 5 2 （D） 4 1 （3）设复数ω＝－ 2 1 ＋ 2 3 i，则 1＋ω＝ （A）–ω （B）ω2 （C）  1 （D） 2 1  （4）已知圆 C 与圆(x－1)2＋y2＝1 关于直线 y＝－x 对称，则圆 C 的方程为 （A）(x＋1)2＋y2＝1 （B）x2＋y2＝1 （C）x2＋(y＋1)2＝1 （D）x2＋(y－1)2＝1 （5）已知函数 y＝tan(2x＋φ)的图象过点( 12  ,0)，则φ可以是 （A）－ 6  （B） 6  （C）－ 12  （D） 12  （6）函数 y＝－ex 的图象 （A）与 y＝ex 的图象关于 y 轴对称 （B）与 y＝ex 的图象关于坐标原点对称 （C）与 y＝e－x 的图象关于 y 轴对称 （D）与 y＝e－x 的图象关于坐标原点对称 （7）已知球 O 的半径为 1，A、B、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为 2  ，则球心 O 到平面 ABC 的距离为 （A） 3 1 （B） 3 3 （C） 3 2 （D） 3 6 （8）在坐标平面内，与点 A(1，2)距离为 1，且与点 B(3，1)距离为 2 的直线共有 （A）1 条 （B）2 条 （C）3 条 （D）4 条 （9）已知平面上直线l 的方向向量 )5 3,5 4(e ，点 O(0,0)和 A(1,-2)在l 上的射影分别是 O1 和 A1，则 11 AO ＝  e ，其中  ＝ （A） 5 11 （B）－ 5 11 （C）2 （D）－2 （10）函数 y＝xcosx－sinx 在下面哪个区间内是增函数 （A）( 2  ， 2 3 ) （B）( ，2 ) （C）( 2 3 ， 2 5 ) （D）(2 ，3 ) （11）函数 y＝sin4x＋cos2x 的最小正周期为 （A） 4  （B） 2  （C） （D）2 （12）在由数字 1，2，3，4，5 组成的所有没有重复数字的 5 位数中，大于 23145 且小于 43521 的数共有 （A）56 个 （B）57 个 （C）58 个 （D）60 个 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把答案填在题中横线上． （13）从装有 3 个红球，2 个白球的袋中随机取出 2 个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为 ξ 0 1 2 P （14）设 x，y 满足约束条件       ，yx y，x ，x 12 0 则 z＝3x＋2y 的最大值是 ． （15）设中心在原点的椭圆与双曲线 2x2－2y2＝1 有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程 是 ． （16）下面是关于四棱柱的四个命题： ①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱 ④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 其中，真命题的编号是 (写出所有真命题的编号)． 解答题：本大题共 6 个小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17） (本小题满分 12 分) 已知锐角三角形 ABC 中，sin(A＋B)＝ 5 3 ，sin(A－B)＝ 5 1 ． (Ⅰ)求证：tanA＝2tanB； (Ⅱ)设 AB＝3，求 AB 边上的高． （18）(本小题满分 12 分) 已知 8 个球队中有 3 个弱队，以抽签方式将这 8 个球队分为 A、B 两组，每组 4 个．求 (Ⅰ)A、B 两组中有一组恰有两个弱队的概率； (Ⅱ)A 组中至少有两个弱队的概率． （19）(本小题满分 12 分) 数列{an}的前 n 项和记为 Sn，已知 a1＝1，an＋1＝ n n 2 Sn（n＝1，2，3，…）．证明： (Ⅰ)数列{ n S n }是等比数列； (Ⅱ)Sn＋1＝4an． （20）(本小题满分 12 分) ． 如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠ACB＝90o，AC＝1，CB＝ 2 ，侧棱 AA1＝1，侧面 AA1B1B 的两条对角线交点为 D， B1C1 的中点为 M． (Ⅰ)求证：CD⊥平面 BDM； (Ⅱ)求面 B1BD 与面 CBD 所成二面角的大小． （21）(本小题满分 12 分) 给定抛物线 C：y2＝4x，F 是 C 的焦点，过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点． (Ⅰ)设 l 的斜率为 1，求OA 与OB 夹角的大小； (Ⅱ)设 FB ＝ AF ，若  ∈[4，9]，求 l 在 y 轴上截距的变化范围． (22)(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)＝ln(1＋x)－x，g(x)＝xlnx． (1)求函数 f(x)的最大值； (2)设 0＜a＜b，证明：0＜g(a)＋g(b)－2g( 2 ba  )＜(b－a)ln2． 2004 年高考试题全国卷 2 理科数学（必修＋选修Ⅱ） (四川、吉林、黑龙江、云南等地区) 答案： 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． （1）C （2）A （3）C （4）C （5）A （6）D （7）B （8）B （9）D （10）B （11）B （12）C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分． （13）0.1，0.6，0.3 （14）5 （15） 2 1 x2＋y2＝1 （16）②④ 17．(I)证明：∵sin(A+B)= 5 3 ,sin(A-B)= 5 1 ∴         5 1sincoscossin 5 3sincoscossin BABA BABA          5 1sincos 5 2cossin BA BA  2tan tan  B A ，∴ BA tan2tan  . (II)解：∵ 2  = .41 413 ||||    OBOA OBOA A B C A' B' C' D M A' C B A C' B' M D A B C A' B' C' D MF G 所以 OA 与 OB 夹角的大小为 -arccos 41 413 . 解：(II)由题设知 AFFB  得：(x2-1,y2)=λ(1-x1,-y1)，即      )2( )1()1(1 12 12   yy xx   由 (2)得 y22=λ2y12, ∵y12=4x1,y22=4x2,∴x2=λ2x1 ……………………………………(3) 联立(1)(3)解得 x2=λ.依题意有λ>0. ∴B(λ,2  )或 B(λ,-2  )，又 F(1,0), 得直线 l 的方程为(λ-1)y=2  (x-1)或(λ-1)y=-2  (x-1) 当λ∈[4,9]时，l 在 y 轴上的截距为 1 2   或- 1 2   由 1 2   = 1 2 1 2    ，可知 1 2   在[4，9]上是递减的， ∴  4 3 1 2   3 4 ，-  3 4 - 1 2   4 3 直线 l 在 y 轴上截距的变化范围是 ]3 4,4 3[]4 3,3 4[  22．(I)解：函数 f(x)的定义域是(-1,∞), 'f (x)= 11 1  x .令 'f (x)=0，解得 x=0，当-10,当 x>0 时, 'f (x)<0，又 f(0)=0， 故当且仅当 x=0 时，f(x)取得最大值，最大值是 0 (II)证法一：g(a)+g(b)-2g( 2 ba  )=alna+blnb-(a+b)ln 2 ba  =a ba bbba a  2ln2ln . 由 (I) 的 结 论 知 ln(1+x)-x<0(x>-1, 且 x ≠ 0) ， 由 题 设 0- 022  baab . 又 ,2 2 b ba ba a  a ba bbba a  2ln2ln a 时 ,0)(' xF 因此 F(x)在(a,+∞) 上为增函数 从而，当 x=a 时，F(x)有极小值 F(a) 因为 F(a)=0,b>a,所以 F(b)>0,即 00 时, 0)(' xG ,因此 G(x)在(0,+∞)上为减函数 ，因为 G(a)=0,b>a,所以 G(b)<0.即 g(a)+g(b)-2g( 2 ba  )<(b-a)ln2.