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- 2021-05-13 发布
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典型例题一
例1 若,证明( 且).
分析1 用作差法来证明.需分为和两种情况,去掉绝对值符号,然后比较法证明.
解法1 (1)当时,
因为 ,
所以
.
(2)当时,
因为
所以
.
综合(1)(2)知.
分析2 直接作差,然后用对数的性质来去绝对值符号.
解法2 作差比较法.
因为
,
所以.
说明:解法一用分类相当于增设了已知条件,便于在变形中脱去绝对值符号;解法二用对数性质(换底公式)也能达到同样的目的,且不必分而治之,其解法自然简捷、明快.
典型例题二
例2 设,求证:
分析:发现作差后变形、判断符号较为困难.考虑到两边都是正数,可以作商,判断比值与1的大小关系,从而证明不等式.
证明:
∵,∴
∴. ∴
又∵,
∴.
说明:本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步骤是:判断符号、作商、变形、判断与1的大小.
典型例题三
例3 对于任意实数、,求证(当且仅当时取等号)
分析 这个题若使用比较法来证明,将会很麻烦,因为,所要证明的不等式中有,展开后很复杂。若使用综合法,从重要不等式:出发,再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。
证明:∵ (当且仅当时取等号)
两边同加,
即: (1)
又:∵ (当且仅当时取等号)
两边同加
∴
∴ (2)
由(1)和(2)可得(当且仅当时取等号).
说明:此题参考用综合法证明不等式.综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明,要注意均值不等式的变形应用,一般式子中出现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来解.
典型例题四
例4 已知、、,,求证
分析 显然这个题用比较法是不易证出的。若把通分,则会把不等式变得较复杂而不易得到证明.由于右边是一个常数,故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的形式,比如,再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径,这也常称为“凑倒数”的技巧.
证明:∵
∴
∵,同理:,。
∴
说明:此题考查了变形应用综合法证明不等式.题目中用到了“凑倒数”,这种技巧在很多不等式证明中都可应用,但有时要首先对代数式进行适当变形,以期达到可以“凑倒数”的目的.
典型例题五
例5 已知,求证:>0.
分析:此题直接入手不容易,考虑用分析法来证明,由于分析法的过程可以用综合法来书写,所以此题用两种方法来书写证明过程.
证明一:(分析法书写过程)
为了证明>0
只需要证明>
∵
∴
∴>0
∴>成立
∴>0成立
证明二:(综合法书写过程)
∵ ∴
∴> >0
∴>成立
∴>0成立
说明:学会分析法入手,综合法书写证明过程,但有时这两种方法经常混在一起应用,混合应用时,应用语言叙述清楚.
典型例题六
例6 若,且,求证:
[来源:学科网]
分析 这个不等式从形式上不易看出其规律性,与我们掌握的定理和重要的结论也没有什么直接的联系,所以可以采用分析的方法来寻找证明途径.但用“分析”法证不等式,要有严格的格式,即每一步推出的都是上一步的充分条件,直到推出的条件是明显成立的(已知条件或某些定理等).
证明:为要证
只需证,
即证,
也就是,
即证,
即证,
∵,
∴,故即有,
又 由可得成立,
∴ 所求不等式成立.
说明:此题考查了用分析法证明不等式.在题目中分析法和综合法是综合运用的,要注意在书写时,分析法的书写过程应该是:“欲证……需证……”,综合法的书写过程是:“因为(∵)……所以(∴)……”,即使在一个题目中是边分析边说明也应该注意不要弄混.
典型例题七
例7 若,求证.
分析:本题结论的反面比原结论更具体、更简、宜用反证法.
证法一:假设,则,
而,故.
∴.从而,
∴.[来源:Zxxk.Com]
∴.
∴.
这与假设矛盾,故.
证法二:假设,则,
故,即,即,
这不可能.从而.
证法三:假设,则.
由,得,故.
又,
∴.
∴,即.
这不可能,故.
说明:本题三种方法均采用反证法,有的推至与已知矛盾,有的推至与已知事实矛盾.
一般说来,结论中出现“至少”“至多”“唯一”等字句,或结论以否定语句出现,或结论肯定“过头”时,都可以考虑用反证法.
典型例题八
例8 设、为正数,求证.
分析:用综合法证明比较困难,可试用分析法.
证明:要证,只需证,
即证,
化简得,.
∵,
∴.
∴.
∴原不等式成立.
说明:1.本题证明易出现以下错误证法:,,然后分(1);(2);(3)且;(4)且来讨论,结果无效.
2.用分析法证明数学问题,要求相邻两步的关系是,前一步是后一步的必要条件,后一步是前一步的充分条件,当然相互为充要条件也可以.
典型例题九
例9 已知,求证.
分析:联想三角函数知识,进行三角换元,然后利用三角函数的值域进行证明.
证明:从条件看,可用三角代换,但需要引入半径参数.
∵,
∴可设,,其中.
∴.
由,故.
而,,故.
说明:1.三角代换是最常见的变量代换,当条件为或或时,均可用三角代换.2.用换元法一定要注意新元的范围,否则所证不等式的变量和取值的变化会影响其结果的正确性.
典型例题十
例10 设是正整数,求证.
分析:要求一个项分式的范围,它的和又求不出来,可以采用“化整为零”的方法,观察每一项的范围,再求整体的范围.
证明:由,得.
当时,;
当时,
……
当时,.
∴.
说明:1、用放缩法证明不等式,放缩要适应,否则会走入困境.例如证明.由,如果从第3项开始放缩,正好可证明;如果从第2项放缩,可得小于2.当放缩方式不同,结果也在变化.
2、放缩法一般包括:用缩小分母,扩大分子,分式值增大;缩小分子,扩大分母,分式值缩小;全量不少于部分;每一次缩小其和变小,但需大于所求,第一次扩大其和变大,但需小于所求,即不能放缩不够或放缩过头,同时放缩后便于求和.
典型例题十一
例11 已知,求证:.
分析:欲证不等式看起来较为“复杂”,宜将它化为较“简单”的形式,因而用分析法证明较好.
证明:欲证,
只须证.
即要证,
即要证.
即要证,
即要证.
即要证,即.
即要证 (*)
∵,∴(*)显然成立,
故
说明:分析法证明不等式,实质上是寻求结论成立的一个充分条件.分析法通常采用“欲证——只要证——即证——已知”的格式.
典型例题十二
例12 如果,,,求证:.
分析:注意到不等式左边各字母在项中的分布处于分离状态,而右边却结合在一起,因而要寻求一个熟知的不等式具有这种转换功能(保持两边项数相同),由,易得,此式的外形特征符合要求,因此,我们用如下的结合法证明.
证明:∵
.
∴.
说明:分析时也可以认为是连续应用基本不等式而得到的.左右两边都是三项,实质上是公式的连续使用.
如果原题限定,,,则不等式可作如下变形:进一步可得到:.
显然其证明过程仍然可套用原题的思路,但比原题要难,因为发现思路还要有一个转化的过程.
典型例题十三
例13 已知,,,求证:在三数中,不可能都大于.
分析:此命题的形式为否定式,宜采用反证法证明.假设命题不成立,则三数都大于,从这个结论出发,进一步去导出矛盾.
证明:假设三数都大于,
即,,.
又∵,,,
∴,,.
∴ ①
又∵,,.
以上三式相加,即得:
②
显然①与②相矛盾,假设不成立,故命题获证.
说明:一般情况下,如果命题中有“至多”、“至少”、“都”等字样,通常情况下要用反证法,反证法的关键在于“归谬”,同时,在反证法的证明过程中,也贯穿了分析法和综合法的解题思想.
典型例题十四
例14 已知、、都是正数,求证:.
分析:用分析法去找一找证题的突破口.要证原不等式,只需证,即只需证.把变为,问题就解决了.或有分析法的途径,也很容易用综合法的形式写出证明过程.
证法一:要证,
只需证,
即,移项,得.
由、、为正数,得.
∴原不等式成立.
证法二:∵、、为正数,
.
即,故.
,
.
说明:题中给出的,,,,只因为、、都是正数,形式同算术平均数与几何平均数定理一样,不加分析就用算术平均数与几何平均数定理来求证,问题就不好解决了.
原不等式中是用“不大于”连结,应该知道取等号的条件,本题当且仅当时取“=”号.证明不等式不论采用何种方法,仅仅是一个手段或形式问题,我们必须掌握证题的关键.本题的关键是证明.[来源:学#科#网]
典型例题十五
例15 已知,,且.求证:.
分析:记,欲证,联想到正、余弦函数的值域,本题采用三角换元,借助三角函数的变换手段将很方便,由条件,可换元,围绕公式来进行.
证明:令,,且,
则
∵,∴,即成立.
说明:换元的思想随处可见,这里用的是三角代换法,这种代换如能将其几何意义挖掘出来,对代换实质的认识将会深刻得多,常用的换元法有:(1)若,可设;(2)若,可设,,;(3)若,可设,,且.
典型例题十六
例16 已知是不等于1的正数,是正整数,求证.
分析:从求证的不等式看,左边是两项式的积,且各项均为正,右边有2的因子,因此可考虑使用均值不等式.
证明:∵是不等于1的正数,
∴,
∴. ①
又. ②
将式①,②两边分别相乘得
,
∴.
说明:本题看起来很复杂,但根据题中特点,选择综合法求证非常顺利.由特点选方法是解题的关键,这里因为,所以等号不成立,又因为①,②两个不等式两边均为正,所以可利用不等式的同向乘性证得结果.这也是今后解题中要注意的问题.
典型例题十七
例17 已知,,,,且,求证.
分析:从本题结构和特点看,使用比较法和综合法都难以奏效.为找出使不等式成立的充分条件不妨先用分析法一试,待思路清晰后,再决定证题方法.[来源:Z+xx+k.Com]
证明:要证,
只需证,
只需证.
∵,,,
∴,,,
∴,
∴成立.
∴.
说明:此题若一味地用分析法去做,难以得到结果.在题中得到只需证后,思路已较清晰,这时改用综合法,是一种好的做法.通过此例可以看出,用分析法寻求不等式的证明途径时,有时还要与比较法、综合法等结合运用,决不可把某种方法看成是孤立的.
典型例题十八
例18 求证.
分析:此题的难度在于,所求证不等式的左端有多项和且难以合并,右边只有一项.注意到这是一个严格不等式,为了左边的合并需要考查左边的式子是否有规律,这只需从下手考查即可.
证明:∵,
∴.
说明:此题证明过程并不复杂,但思路难寻.本题所采用的方法也是解不等式时常用的一种方法,即放缩法.这类题目灵活多样,需要巧妙变形,问题才能化隐为显,这里变形的这一步极为关键.
典型例题十九
例19 在中,角、、的对边分别为,,,若,求证.
分析:因为涉及到三角形的边角关系,故可用正弦定理或余弦定理进行边角的转化.
证明:∵,∴.[来源:学,科,网]
由余弦定理得
∴,
∴
=
说明:三角形中最常使用的两个定理就是正弦和余弦定理,另外还有面积公式.本题应用知识较为丰富,变形较多.这种综合、变形能力需要读者在平时解题时体会和总结,证明不等式的能力和直觉需要长期培养.