高考数学第四章平面向量与复数第3课时平面向量的数量积及平面向量更多资料关注微博高中学习资料库 11页

‎《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第四章　平面向量与复数第3课时　平面向量的数量积及平面向量 页)‎ 考情分析 考点新知 ‎① 理解平面向量数量积的含义及其物理意义.‎ ‎②掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；能利用数量积表示两个向量夹角的余弦，会用数量积判断两个非零向量是否垂直．‎ ① 平面向量的数量积及其几何意义，数量积的性质及运算律，数量积的坐标表示.‎ ‎②了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题.‎ ‎1. (必修4P77练习第2(1)题改编)已知向量a和向量b的夹角为135°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a和向量b的数量积a·b＝________．‎ 答案：－3 解析：a·b＝|a|·|b|cos135°＝2×3×＝－3.‎ ‎2. (必修4P80练习第3题改编)已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为________．‎ 答案： 解析：∵ cos〈a，b〉＝＝，∴〈a，b〉＝.‎ ‎3. (必修4P81习题2.4第2题改编)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________．‎ 答案： 解析：|a－b|＝＝＝＝.‎ ‎4. (必修4P81习题2.4第3(1)题改编)已知两个单位向量e1、e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________．‎ 答案：－6‎ 解析：b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e.因为e1，e2为单位向量，〈e1，e2〉＝，所以b1·b2＝3－2×－8＝3－1－8＝－6.‎ ‎5. (必修4P84习题4改编)若平面四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是________．‎ 答案：菱形 解析：四边形ABCD满足＋＝0知其为平行四边形，(－)·＝0即·＝0知该平行四边形的对角线互相垂直，从而该四边形一定是菱形．‎ ‎1. 向量数量积的定义 ‎(1) 向量a与b的夹角 ‎(2) 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，并规定零向量与任一向量的数量积为0.‎ ‎2. 向量数量积的性质 设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ是a与b的夹角，则 ‎(1) e·a＝a·e.‎ ‎(2) a⊥ba·b＝0．‎ ‎(3) 当a与b同向时，a·b＝|a||b|；‎ 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；‎ 特殊的，a·a＝|a|2或|a|＝.‎ ‎(4) cosθ＝.‎ ‎(5) |a·b|≤|a|·|b|.‎ ‎3. 向量数量积的运算律 ‎(1) 交换律：a·b＝b·a.‎ ‎(2) 分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.‎ ‎(3) 数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．‎ ‎4. 平面向量数量积的坐标表示 ‎(1) 若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.故a⊥bx1x2＋y1y2＝0.‎ ‎(2) 设a＝(x，y)，则|a|＝．‎ ‎(3) 若向量a＝(x1，y1)与向量b＝(x2，y2)的夹角为θ，则有cosθ＝＝.‎ ‎[备课札记]‎ 题型1　向量平行与垂直的充分条件 例1　已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.‎ ‎(1) 若a⊥b，求x的值；‎ ‎(2) 若a∥b，求|a－b|的值．‎ 解：(1) 若a⊥b，‎ 则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，‎ 整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.‎ ‎(2) 若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，‎ 即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.‎ 当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(3，0)，a－b＝(－2，0)，‎ ‎∴|a－b|＝＝2；‎ 当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，a－b＝(2，－4)，‎ ‎∴|a－b|＝＝2.‎ 综上，可知|a－b|＝2或2.‎ 已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，x＝a＋(t2＋1)b，y＝－ka＋b，m∈R，k、t为正实数．‎ ‎(1) 若a∥b，求m的值；‎ ‎(2) 若a⊥b，求m的值；‎ ‎(3) 当m＝1时，若x⊥y，求k的最小值．‎ 解：(1) 因为a∥b，所以1·m－2·(－2)＝0，解得m＝－4.‎ ‎(2) 因为a⊥b，所以a·b＝0，‎ 所以1·(－2)＋‎2m＝0，解得m＝1.‎ ‎(3) 当m＝1时，a·b＝0.‎ 因为x⊥y，所以x·y＝0.‎ 则x·y＝－ka2＋a·b＋(t＋)b2＝0.‎ 因为t＞0，所以k＝t＋≥2，当t＝1时取等号，‎ 即k的最小值为2.‎ 题型2　向量的夹角与向量的模 例2　已知|a|＝4，|b|＝3，(‎2a－3b)·(‎2a＋b)＝61.‎ ‎(1)求a与b的夹角θ；‎ ‎(2) 求|a＋b|；‎ ‎(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．‎ 解：(1) ∵ (‎2a－3b)·(‎2a＋b)＝61，‎ ‎∴ 4|a|2－‎4a·b－3|b|2＝61.‎ 又|a|＝4，|b|＝3，∴ 64－‎4a·b－27＝61，‎ ‎∴a·b＝－6.‎ ‎∴ cosθ＝＝＝－.‎ 又0≤θ≤π，∴θ＝.‎ ‎(2) 可先平方转化为向量的数量积．‎ ‎|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋‎2a·b＋|b|2‎ ‎＝42＋2×(－6)＋32＝13，‎ ‎∴ |a＋b|＝.‎ ‎(3) ∵ 与的夹角θ＝，‎ ‎∴∠ABC＝π－＝.‎ 又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，‎ ‎∴ S△ABC＝||||sin∠ABC＝×4×3×＝3.‎ 已知非零向量a、b、c满足a＋b＋c＝0 ，向量a、b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．‎ 答案：90°‎ 解析：由题意，得c＝－a－b，a·c＝－a2－a·b＝－|a|2－|a||b|cos120°＝－|a|2＋|a||b|＝－|a|2＋|a|·2|a|＝－|a|2＋|a|2＝0，所以a⊥c，即a与c的夹角为90°.‎ 题型3　平面向量与三角函数的交汇 例3　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(‎2a＋c)··＋c·＝0.‎ ‎(1) 求角B的大小；‎ ‎(2) 若b＝2，试求·的最小值．‎ 解：(1) 因为(‎2a＋c)·＋c·＝0，‎ 所以(‎2a＋c)accosB＋abccosC＝0，‎ 即(‎2a＋c)cosB＋bcosC＝0，‎ 所以(2sinA＋sinC)cosB＋sinBcosC＝0，‎ 即2sinAcosB＋sin(B＋C)＝0.‎ 因为sin(B＋C)＝sinA≠0，‎ 所以cosB＝－，所以B＝.‎ ‎(2) 因为b2＝a2＋c2－2accos，所以12＝a2＋c2＋ac≥‎3ac，即ac≤4，‎ 所以·＝accos＝－ac≥－2，当且仅当a＝c＝2时等号成立，‎ 所以·的最小值为－2.‎ ‎(2013·山东卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝.‎ ‎(1) 求a，c的值；‎ ‎(2) 求sin(A－B)的值．‎ 解：(1) 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－‎2ac(1＋cosB)，又a＋c＝6，b＝2，cosB＝，所以ac＝9，解得a＝3，c＝3.‎ ‎(2) 在△ABC中，sinB＝＝，由正弦定理得sinA＝＝，因为a＝c，所以A为锐角，所以cosA＝＝，因此sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝. ‎ 例4　(2013·泰州市期末)已知向量a＝(cosλθ，cos(10－λ)θ)，b＝(sin(10－λ)θ，sinλθ)，λ、θ∈R.‎ ‎(1) 求|a|2＋|b|2的值；‎ ‎(2)若a⊥b，求θ；‎ ‎(3) 若θ＝，求证：a∥b.‎ ‎(1) 解：∵ |a|＝，‎ ‎|b|＝，‎ ‎∴ |a|2＋|b|2＝2.‎ ‎(2) 解：∵ a⊥b，‎ ‎∴ cosλθ·sin(10－λ)θ＋cos(10－λ)θ·sinλθ＝0，‎ ‎∴ sin[(10－λ)θ＋λθ]＝0，∴ sin10θ＝0，‎ ‎∴ 10θ＝kπ，k∈Z，∴θ＝，k∈Z.‎ ‎(3) 证明：∵ θ＝，‎ cosλθ·sinλθ－cos(10－λ)θ·sin[(10－λ)θ]‎ ‎＝cos·sin－cos·sin ‎＝cos·sin－sin·cos＝0，∴a∥b.‎ ‎(2013·陕西卷)已知向量a＝，b＝(sinx，cos2x)，x∈R, 设函数f(x)＝a·b. ‎ ‎(1) 求f (x)的最小正周期. ‎ ‎(2) 求f (x) 在上的最大值和最小值．‎ 解：(1) f(x)＝a·b＝cosx·sinx－cos2x＝sin2x－cos2x＝sin.最小正周期T＝＝π. ‎ 所以f(x)＝sin，最小正周期为π. ‎ ‎(2) 当x∈时，∈，由标准函数y＝sinx在上的图象知，‎ f(x)＝sin∈＝. ‎ 所以，f (x) 在上的最大值和最小值分别为1，－.‎ 探讨两个向量的夹角为钝角或锐角时，首先要理解和把握其充要条件．‎ ‎【示例】　(本题模拟高考评分标准，满分14分)‎ 设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．‎ 学生错解： ‎ 解： ∵ e1·e2＝|e1|·|e2|·cos60°＝2×1×＝1，‎ ‎∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)‎ ‎＝2te＋7te＋(2t2＋7)e1·e2‎ ‎＝8t＋7t＋2t2＋7＝2t2＋15t＋7.‎ 因为向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，所以(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，‎ 即2t2＋15t＋7<0，解得－7