高考文科数学函数与导数题汇总 20页

‎04 函数与导数 ‎1. （天津文）19．（本小题满分14分）已知函数，其中．‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）证明：对任意的在区间内均存在零点．‎ ‎【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。‎ ‎ （Ⅰ）解：当时，‎ ‎ 所以曲线在点处的切线方程为 ‎ （Ⅱ）解：，令，解得 ‎ 因为，以下分两种情况讨论：‎ ‎ （1）若变化时，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎-‎ ‎+‎ ‎ 所以，的单调递增区间是的单调递减区间是。‎ ‎ （2）若，当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎-‎ ‎+‎ ‎ 所以，的单调递增区间是的单调递减区间是 ‎ （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当时，在内的单调递减，在内单调递增，以下分两种情况讨论：‎ ‎ （1）当时，在（0，1）内单调递减，‎ ‎ ‎ ‎ 所以对任意在区间（0，1）内均存在零点。‎ ‎ （2）当时，在内单调递减，在内单调递增，若 ‎ ‎ ‎ 所以内存在零点。‎ ‎ 若 ‎ ‎ ‎ 所以内存在零点。‎ ‎ 所以，对任意在区间（0，1）内均存在零点。‎ ‎ 综上，对任意在区间（0，1）内均存在零点。‎ ‎2. （北京文）18．（本小题共13分）‎ ‎ 已知函数.‎ ‎ （Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎ （Ⅱ）求在区间[0,1]上的最小值.‎ ‎【解析】（18）（共13分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎ 令，得．‎ ‎ 与的情况如下：‎ x ‎（）‎ ‎（‎ ‎——‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ ‎↗‎ ‎ 所以，的单调递减区间是（）；单调递增区间是 ‎ （Ⅱ）当，即时，函数在[0，1]上单调递增，‎ ‎ 所以（x）在区间[0，1]上的最小值为 ‎ 当时，‎ ‎ 由（Ⅰ）知上单调递减，在上单调递增，所以在区间[0，1]上的最小值为；‎ ‎ 当时，函数在[0，1]上单调递减，‎ ‎ 所以在区间[0，1]上的最小值为 ‎3. (全国大纲文)21．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 已知函数 ‎ （I）证明：曲线处的切线过点（2，2）；‎ ‎ （II）若处取得极小值，，求a的取值范围。‎ ‎【解析】21．解：（I） …………2分 由得曲线处的切线方程为 由此知曲线处的切线过点（2，2） …………6分 ‎ （II）由 ‎ （i）当没有极小值；‎ ‎ （ii）当得 故由题设知 当时，不等式无解。‎ 当时，解不等式 综合（i）（ii）得a的取值范围是 …………12分 ‎4. （全国新文）21．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数，曲线在点处的切线方程为．‎ ‎ （I）求a，b的值；‎ ‎ （II）证明：当x>0，且时，．‎ ‎【解析】（21）解：‎ ‎ （Ⅰ）‎ ‎ 由于直线的斜率为，且过点，故即 ‎ 解得，。‎ ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以 ‎ ‎ 考虑函数，则 所以当时，故 当时，‎ 当时，‎ 从而当 ‎5. （辽宁文）20．（本小题满分12分）‎ 设函数=x+ax2+blnx，曲线y=过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2．‎ ‎（I）求a，b的值；‎ ‎（II）证明：≤2x-2．‎ ‎【解析】20．解：（I） …………2分 由已知条件得 解得 ………………5分 ‎ （II），由（I）知 设则 而 ………………12分 ‎6. （江西文）20．（本小题满分13分）‎ ‎ 设 ‎ （1）如果处取得最小值-5，求的解析式；‎ ‎ （2）如果的单调递减区间的长度是正整数，试求m和n的值；（注；区间（a，b）的长度为b-a）‎ ‎【解析】20．（本小题满分13分）‎ 解：（1）由题得 已知处取得最小值-5‎ 所以，即 即得所要求的解析式为 ‎（2）因为的单调递减区间的长度为正整数，‎ 故一定有两个不同的根，‎ 从而，‎ 不妨设为为正整数，‎ 故时才可能有符合条件的m，n 当m=2时，只有n=3符合要求 当m=3时，只有n=5符合要求 当时，没有符合要求的n 综上所述，只有m=2，n=3或m=3，n=5满足上述要求。‎ ‎7. （山东文）21．（本小题满分12分）‎ 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为．设该容器的建造费用为千元．‎ ‎（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；‎ ‎（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的．‎ ‎【解析】21．解：（I）设容器的容积为V，‎ 由题意知 故 由于 因此 所以建造费用 因此 ‎ （II）由（I）得 由于 当 令 所以 ‎ （1）当时，‎ 所以是函数y的极小值点，也是最小值点。‎ ‎ （2）当即时，‎ 当函数单调递减，‎ 所以r=2是函数y的最小值点，‎ 综上所述，当时，建造费用最小时 当时，建造费用最小时 ‎8. （陕西文）21．（本小题满分14分）‎ 设。‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间和最小值；‎ ‎（Ⅱ）讨论与的大小关系；‎ ‎（Ⅲ）求的取值范围，使得＜对任意＞0成立。‎ ‎【解析】21．解（Ⅰ）由题设知，‎ ‎∴令0得=1，‎ 当∈（0，1）时，＜0，故（0，1）是的单调减区间。‎ 当∈（1，+∞）时，＞0，故（1，+∞）是的单调递增区间，因此，=1是的唯一值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为 ‎（II）‎ 设，则，‎ 当时，即，‎ 当时，‎ 因此，在内单调递减，‎ 当时，‎ 即 当 ‎（III）由（I）知的最小值为1，所以，‎ ‎，对任意，成立 即从而得。‎ ‎9. （上海文）21．（14分）已知函数，其中常数满足。‎ ‎（1）若，判断函数的单调性；‎ ‎（2）若，求时折取值范围。‎ ‎【解析】21．解：⑴ 当时，任意，则 ‎∵ ，，‎ ‎∴ ，函数在上是增函数。‎ 当时，同理，函数在上是减函数。‎ ‎⑵ ‎ 当时，，则；‎ 当时，，则。‎ ‎10. （四川文）22．（本小题共l4分）‎ 已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）设函数F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2，求F(x)的单调区间与极值；‎ ‎（Ⅱ）设，解关于x的方程；‎ ‎（Ⅲ）设，证明：．‎ 本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．‎ 解：（Ⅰ），‎ ‎．‎ 令，得（舍去）．‎ 当时．；当时，，‎ 故当时，为增函数；当时，为减函数．‎ 为的极大值点，且．‎ ‎（Ⅱ）方法一：原方程可化为，‎ 即为，且 ‎①当时，，则，即，‎ ‎，此时，∵，‎ 此时方程仅有一解．‎ ‎②当时，，由，得，，‎ 若，则，方程有两解；‎ 若时，则，方程有一解；‎ 若或，原方程无解．‎ 方法二：原方程可化为，‎ 即，‎ ‎①当时，原方程有一解；‎ ‎②当时，原方程有二解；‎ ‎③当时，原方程有一解；‎ ‎④当或时，原方程无解．‎ ‎（Ⅲ）由已知得，‎ ‎．‎ 设数列的前n项和为，且（）‎ 从而有，当时，．‎ 又 ‎．‎ 即对任意时，有，又因为，所以．‎ 则，故原不等式成立．‎ ‎11. （浙江文）（21）（本小题满分15分）设函数，‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）求所有实数，使对恒成立．‎ ‎ 注：为自然对数的底数．‎ ‎【解析】（21）本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力。满分15分。‎ ‎ （Ⅰ）解：因为 ‎ 所以 ‎ 由于，所以的增区间为，减区间为 ‎ （Ⅱ）证明：由题意得，‎ ‎ 由（Ⅰ）知内单调递增，‎ ‎ 要使恒成立，‎ ‎ 只要 ‎ 解得 ‎12. （重庆文）19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小题5分，（Ⅱ）小题7分）‎ 设的导数为，若函数的图像关于直线对称，且．‎ ‎ （Ⅰ）求实数的值 ‎ （Ⅱ）求函数的极值 ‎【解析】19．（本题12分）‎ 解：（I）因 从而 即关于直线对称，从而由题设条件知 又由于 ‎ （II）由（I）知 令 当上为增函数；‎ 当上为减函数；‎ 当上为增函数；‎ 从而函数处取得极大值处取得极小值 ‎13. （安徽文）（18）（本小题满分13分）‎ 设，其中为正实数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求的极值点；‎ ‎（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围.‎ ‎【解析】（18）（本小题满分13分）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.‎ ‎ 解：对求导得 ①‎ ‎ （I）当，若 ‎ 综合①,可知 ‎ ‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ 所以,是极小值点,是极大值点.‎ ‎ （II）若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合①与条件a>0，知 ‎ 在R上恒成立，因此由此并结合，知 ‎14. （福建文）22．（本小题满分14分）‎ 已知a，b为常数，且a≠0，函数f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2．71828…是自然对数的底数）。‎ ‎（I）求实数b的值；‎ ‎（II）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（III）当a=1时，是否同时存在实数m和M（m0，故 ‎ 进而上恒成立，所以 ‎ 因此的取值范围是[‎ ‎ （2）令 ‎ 若又因为，‎ ‎ 所以函数在上不是单调性一致的，因此 ‎ 现设；‎ ‎ 当时，‎ ‎ 因此，当时，‎ ‎ 故由题设得 ‎ 从而 ‎ 因此时等号成立，‎ ‎ 又当，从而当 ‎ 故当函数上单调性一致，因此的最大值为 ‎20. （江苏）17．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=cm ‎（1）某广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问应取何值？‎ ‎（2）某广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。‎ P ‎【解析】17．本小题主要考查函数的概念、导数等基础知识，考查数学建模能力、空间想象力、数学阅读能力及解决实际问题的能力。满分14分.‎ 解：设馐盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），由已知得 ‎（1）‎ 所以当时，S取得最大值.‎ ‎（2）‎ 由（舍）或x=20.‎ 当时，‎ 所以当x=20时，V取得极大值，也是最小值.‎ 此时装盒的高与底面边长的比值为 www.zxsx.com