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- 2021-05-13 发布
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高考中的二项式定理问题分类解析
二项式定理问题相对独立,高考对二项式定理的考查,以二项展开式及其通项公式内容为主,题型繁多,解法灵活且较难掌握。本文结合近年来的高考试题,将二项式定理的问题归为十类进行解法探讨,希望能对大家的学习有所帮助。
1. 确定二项式中有关元素
例1(1994年全国高考题)在展开式中,x5的系数是x6系数与x4系数的等差中项,则m=____________。
解:依题意,,∴42m2=7m+35m3,
结合得,m=1 。
2. 求二项展开式中的常数项
例2(2001年上海高考题)在展开式中,常数项为__________。
解:
令6-r-2r=0得,r=2 ,所以常数项为 。
3. 求二项展开式中条件项的系数
例3(2001年全国高考题)在的二项展开式中,x3的系数为_____________。
解:
令10-r=3得,r=7,所以x3的系数为 。
例4(1999年上海高考题)在的展开式中,含x5项的系数是_____________。
解:
令15-5r=5得,r=2,所以含x5项的系数是 。
4. 确定和(积)展开式中条件项系数
例5(1990年全国高考题)在的展开式
中,x2的系数等于_____________。
解:x2的系数等于四个展开式中含x2的系数和,即为
。
例6(1998年全国高考题)在的展开式中x10的系数为__________。
解:的展开式中x10的项为的展开式中x10 、x8
的项分别与(-1)、x2相乘而得的和。因此x10的系数为: 。
1. 求展开式各项系数和(差)
例7(1989年全国高考题)如果,那么a1+a2+…
+a7的值等于 ( )
A -2 B -1 C 1 D 2
解:令x=0,则有a0=(1-20)7=1 ;
令x=1,则有a0+a1+a2+…+a7 =(1-21)7= -1 。
∴a1+a2+…+a7= -1-1= -2 。
例8(1999年全国高考题)若,则
的值为 ( )
A 1 B -1 C 0 D 2
解:令x=1,则有a0+a1+a2+a3+a4 =
令x= -1,则有a0-a1+a2-a3+a4 = ,从而
故选(A) 。
2. 确定展开式的最大(小)项
例9(1993年上海高考题)(x-1)9按x降幂排列的展开式中,系数最大的项是 ( )
A 第4项和第5项 B 第5项
C 第5项和第6项 D 第6项
解:根据二项式系数的性质,(x-1)9的展开式中的中间两项即第5项和第6项的二项式系数相等,同时取得最大值。但考察项的系数时,第6项系数需乘以(-1)得负,而第5项的系数为正,因此只有第5项的系数最大,而第6项的系数最小,选(B)。
3. 求展开式有理数的项数
例10(1993年全国高考题)将展开所得的x的多项式中系数为有理数
的项共有 ( )
A 50项 B 17项 C 16项 D 15项
解:
由于是整数,要使系数为有理数,当且仅当均为整数,即r是6的倍数。而在0到100之间6的倍数共有17个,故选(B)。
4. 利用二项式定理解整除问题
例11(1992年“三南”高考题)除以100的余数是________________。
解:
=
∴除以100的余数是81 。
1. 利用二项式定理进行近似计算
例12(1996年全国高考题)某地现有耕地10000公顷,规划10年后粮食单产比现在增
加22℅,人均粮食占有量比现在提高10℅,如果人口年增长率为1℅,那么耕地平均每年至多减少多少公顷(精确到1公顷)?
解:设耕地平均每年至多减少x公顷,又设该地区现有人口P人,粮食单产M吨/公顷。
依题意得,
化简得
∵
∴,即耕地平均每年至多只能减少4公顷。
10.与其它数学知识交汇考查
例13(2003年上海高考题)已知数列{an}(n为正整数)是首项为a1,公比为q的等比数列。(1)求和:,;(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论,并加以证明。
解:(1)=a1-2a1q+a1q2=a1(1-q)2;
= a1-3a1q+3a1q2-a1q3=a1(1-q)3。
(2)归纳概括的结论为:若数列{an}是首项为a1,公比为q的等比数列,则,n为正整数。证明如下:
。
评述:本题是二项式定理知识与数列知识的综合应用。
例14(2003年江苏高考题)若a>0,n,设y=(x-a)n,求证:y ’=n(x-a)n;
证明:根据二项式定理可得,(x-a)n=
所以y ’=。
评述:本题是2003年江苏高考第21题的第(1)小问,它很好地体现了二项式定理与导数知识的交汇作用。