- 120.50 KB
- 2021-05-13 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
阶段检测卷(一)
一、填空题(每小题5分,共70分)
1.集合M={x|>0},集合N={y|y=},则M∩N等于________.
解析 M=(-∞,0)∪(1,+∞),N=[0,+∞),
所以M∩N=(1,+∞).
答案 (1+∞)
2.已知函数f(x)=则f[f(-1)]等于________.
解析 ∵f(-1)=-(-1)3=1,
∴f[f(-1)]=f(1)=2.
答案 2
3.(2012·山东卷改编)函数f(x)=+的定义域为________.
解析 根据使函数有意义的条件求解.
由得-1<x≤2,且x≠0.
答案 (-1,0)∪(0,2]
4.若0m>n,
即r=ac>0,故r>m>n.
答案 r>m>n
5.已知定义在R上的函数f(x)的图象关于原点对称,其最小正周期为4,且x∈(0,2)时,f(x)=log2(1+3x),则f(2 015)=______.
解析 由函数f(x)的最小正周期为4,所以f(2 015)=f(503×4+3)=f(3)=f(-1),又函数f(x)的图象关于原点对称,知f(-x)=-f(x),故f(2 015)=f(-1)=-f(1)=-log24=-2.
答案 -2
6.若函数f(x)=ln x-ax2-2x(a≠0)存在单调递减区间,则实数a的取值范围是______.
解析 对函数f(x)求导,得f′(x)=-(x>0).依题意,得f′(x)<0在(0,+∞)上有解,即ax2+2x-1>0在(0,+∞)上有解,∴Δ=4+4a>0且方程ax2+2x-1=0至少有一个正根,∴a>-1,又∵a≠0,
∴-10.
答案 (-1,0)∪(0,+∞)
7.设f(x)=x3+log2,则不等式f(m)+f(m2-2)≥0(m∈R)成立的充要条件是________.(注:填写m的取值范围)
解析 判断函数是奇函数,且在R上是递增函数,∴f(m)+f(m2-2)≥0即为f(m2-2)≥-f(m)=f(-m),∴m2-2≥-m,解得m≥1或m≤-2.
答案 m≥1或m≤-2
8.(2013·盐城模拟)若y=f(x)是定义在R上周期为2的周期函数,且f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,则函数g(x)=f(x)-log3|x|的零点个数为________.
解析 利用数形结合的方法求解,在同一坐标系中作出函数y=f(x),y=log3|x|的图象如图,由图象可知原函数有4个零点.
答案 4
9.已知函数f(x)=x3+ax2-bx(a,b∈R),若y=f(x)在区间[-1,2]上是单调减函数,则a+b的最小值为______.
解析 由题意可知f′(x)=x2+2ax-b≤0在区间[-1,2]上恒成立,∴1-2a-b≤0且4+4a-b≤0,作出可行域如图,当直线经过两直线的交点
时,取得最小值.
答案
10.(2012·南通密卷)函数f(x)的定义域为D,若满足①f(x)在D内是单调函数,②存在[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为[-b,-a],那么y=f(x)叫做对称函数,现有f(x)=-k是对称函数,那么k的取值范围是________.
解析 由于f(x)=-k在(-∞,2]上是减函数,所以⇒关于x的方程-k=-x在(-∞,2]上有两个不同实根,通过换元结合图象可得k∈.
答案
11.利民工厂某产品的年产量在100吨至300吨之间,年生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为y=-30x+4 000,则每吨的成本最低时的年产量为________.
解析 由于每吨的成本与产量之间的函数关系式为g(x)==+-30(100≤x≤300),由基本不等式得g(x)=+-30≥2-30=10,当且仅当=时取得等号,此时x=200.
答案 200
12.已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表,f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图,下列关于函数f(x)的四个命题:
x
-1
0
4
5
f(x)
1
2
2
1
①函数y=f(x)是周期函数;
②函数f(x)在[0,2]上是减函数;
③如果当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;
④当11,设函数f(x)=ax+x-4的零点为m,函数g(x)=logax+x-4的零点为n,则+的最小值为________.
解析 函数f(x)=ax+x-4的零点是函数y=ax与函数y=4-x图象交点A的横坐标,函数g(x)=loga x+x-4的零点是函数y=loga x与函数y=4-x图象交点B的横坐标.由于指数函数与对数函数互为反函数,其图象关于直线y=x对称,且直线y=4-x与直线y=x垂直,故直线y=4-x与直线y=x的交点(2,2)即是线段AB的中点,所以m+n=4,且m>0,n>0.所以+=(m+n)=≥1,当且仅当m=n时等号成立.
答案 1
14.对函数f(x)=xsin x,现有下列命题:①函数f(x)是偶函数;②函数f(x)的最小正周期是2π;③点(π,0)是函数f(x)的图象的一个对称中心;④函数f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.其中是真命题的是________.(写出所有真命题的序号)
解析 ∵定义域关于原点对称,且f(-x)=f(x),∴函数f(x)是偶函数,①正确;∵f(x+2π)≠f(x),∴2π不是函数f(x)的周期,②错误;
∵f≠-f,∴点(π,0)不是函数f(x)的图象的一个对称中心,③错误;
∵f′(x)=sin x+xcos x≥0在区间上恒成立,∴函数f(x)在区间上单调递增,又∵函数f(x)是偶函数,∴在区间上单调递减,④正确,所以真命题的序号是①④.
答案 ①④
二、解答题(共90分)
15.(本小题满分14分)(2013·阳光启学大联考)已知函数f(x)=.
(1)确定y=f(x)在(0,+∞)上的单调性;
(2)若a>0,函数h(x)=xf(x)-x-ax2在(0,2)上有极值,求实数a的取值范围.
解 (1)对已知函数f(x)求导得,
f′(x)=.
由1-ln x=0,得x=e.
∴当x∈(0,e)时,f′(x)>0;当x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,
∴函数f(x)在(0,e]上单调递增,
在[e,+∞)上单调递减.
(2)由h(x)=xf(x)-x-ax2,
可得h(x)=ln x-x-ax2,
则h′(x)=-1-2ax=.
h(x)=xf(x)-x-ax2在(0,2)上有极值的充要条件是φ(x)=-2ax2-x+1在(0,2)上有零点,
∴φ(0)·φ(2)<0,解得a>-.
综上所述,a的取值范围是(0,+∞).
16.(本小题满分14分)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x).当年产量不足80千件时,C(x)=x2+10x(万元);当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+-1 450(万元),每件商品售价为0.05万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
解 (1)由题意可得L(x)=
即L(x)=
(2)当0950.
综上所述,当x=100时,L(x)取得最大值1 000,
即年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.
17.(本小题满分14分)已知函数f(x)=aln(2x+1)+bx+1.
(1)若函数y=f(x)在x=1处取得极值,且曲线y=f(x)在点(0,f
(0))处的切线与直线2x+y-3=0平行,求a的值;
(2)若b=,试讨论函数y=f(x)的单调性.
解 (1)函数f(x)的定义域为,f′(x)=+b=,
由题意可得解得所以a=-.
(2)若b=,则f(x)=aln(2x+1)+x+1,
所以f′(x)=,
1° 令f′(x)=>0,由函数定义域可知,4x+2>0,所以2x+4a+1>0,
①当a≥0时,x∈,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
②当a<0时,x∈,f′(x)>0,函数f(x)单调递增.
2° 令f′(x)=<0,即2x+4a+1<0,
①当a≥0时,不等式f′(x)<0无解;
②当a<0时,x∈,f′(x)<0,函数f′(x)单调递减.
综上,当a≥0时,函数f(x)在区间为增函数;当a<0时,函数f(x)在区间为增函数;在区间为减函数.
18.(本小题满分16分)(2013·扬州中学质检)已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>2x的解集为(-1,3).
(1)若函数g(x)=xf(x)在区间内单调递减,求a的取值范围;
(2)当a=-1时,证明方程f(x)=2x3-1仅有一个实数根;
(3)当x∈[0,1]时,试讨论|f(x)+(2a-1)x+3a+1|≤3成立的充要条件.
解 (1)∵f(x)-2x>0的解集为(-1,3),
∴可设f(x)-2x=a(x+1)(x-3),且a<0,
因而f(x)=a(x+1)(x-3)+2x=ax2+2(1-a)x-3a ①
g(x)=xf(x)=ax3+2(1-a)x2-3ax,
∵g(x)在区间内单调递减,
∴g′(x)=3ax2+4(1-a)x-3a在上的函数值非正,
由于a<0,对称轴x=>0,故只需g′=+a(1-a)-3a≤0,注意到a<0,∴a2+4(1-a)-9≥0,得a≤-1或a≥5(舍去).
故所求a的取值范围是(-∞,-1].
(2)a=-1时,方程f(x)=2x3-1仅有一个实数根,即证方程2x3+x2-4x-4=0仅有一个实数根.令h(x)=2x3+x2-4x-4,由h′(x)=6x2+2x-4=0,得x1=-1,x2=,易知h(x)在(-∞,-1),上递增,在上递减,h(x)的极大值h(-1)=-1<0,故函数h(x)的图象与x轴仅有一个交点,∴a=-1时,方程f(x)=2x3-1仅有一个实数根,得证.
(3)设r(x)=f(x)+(2a-1)x+3a+1=ax2+x+1,r(0)=1,对称轴为x=-,
由题意,得或
解出-5≤a<0,
故使|f(x)+(2a-1)x+3a+1|≤3成立的充要条件是-5≤a<0.
19.(本小题满分16分)已知函数f(x)=ln ax-(a≠0).
(1)求函数f(x)的单调区间及最值;
(2)求证:对于任意正整数n,均有1+++…+≥ln(e为自然对数的底数);
(3)当a=1时,是否存在过点(1,-1)的直线与函数y=f(x)的图象相切?若存在,有多少条?若不存在,请说明理由.
(1)解 由题意得f′(x)=.
当a>0时,函数f(x)的定义域为(0,+∞),此时函数在(0,a
)上是减函数,在(a,+∞)上是增函数,f(x)min=f(a)=ln a2,无最大值.
当a<0时,函数f(x)的定义域为(-∞,0),此时函数在(-∞,a)上是减函数,在(a,0)上是增函数,f(x)min=f(a)=ln a2,无最大值.
(2)证明 取a=1,由(1)知f(x)=ln x-≥f(1)=0,故≥1-ln x=ln,
取x=1,2,3,…,n,则1+++…+≥ln.
(3)假设存在这样的切线,设其中一个切点为
T,∴切线方程为y+1=(x-1),将点T坐标代入得ln x0-+1=,即ln x0+--1=0,①
设g(x)=ln x+--1,则g′(x)=.
∵x>0,∴g(x)在区间(0,1),(2,+∞)上是增函数,在区间(1,2)上是减函数,
故g(x)极大值=g(1)=1>0,g(x)极小值=g(2)=ln 2+>0.
又g=ln +12-16-1=-ln 4-5<0.
注意到g(x)在其定义域上的单调性,知g(x)=0仅在内有且仅有一根,方程①有且仅有一解,故符合条件的切线仅有一条.
20.(本小题满分16分)已知函数f(x)=ax+x2,g(x)=xln a,a>1.
(1)求证:函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上单调递增;
(2)若函数y=-3有四个零点,求b的取值范围;
(3)若对于任意的x1,x2∈[-1,1]时,都有|F(x2)-F(x1)|≤e2-2恒成立,求a的取值范围.
(1)证明 ∵F(x)=f(x)-g(x)=ax+x2-xln a,
∴F′(x)=ax·ln a+2x-ln a=(ax-1)ln a+2x.
∵a>1,x>0,∴ax-1>0,ln a>0,2x>0,
∴当x∈(0,+∞)时,F′(x)>0,即函数F(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
(2)解 由(1)知当x∈(-∞,0)时,F′(x)<0,
∴F(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
∴F(x)的最小值为F(0)=1.由-3=0,
得F(x)=b-+3或F(x)=b--3,
∴要使函数y=-3有四个零点,只需
即b->4,即>0,
解得b>2+或2-0),
则H′(x)=1+-==>0,
∴H(x)在(0,+∞)上单调递增.
∵a>1,∴H(a)>H(1)=0.∴F(1)>F(-1).
∴|F(x2)-F(x1)|的最大值为|F(1)-F(0)|=a-ln a,
∴要使|F(x2)-F(x1)|≤e2-2恒成立,只需a-ln a≤e2-2即可.令h(a)=a-ln a(a>1),h′(a)=1->0,∴h(a)在(1,+∞)上单调递增.∵h(e2)=e2-2,∴只需h(a)≤h(e2),即1