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  • 2021-05-13 发布

高考理热点题型三角函数与解三角形含答案解析

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三角函数与解三角形 热点一 三角函数的图象和性质 注意对基本三角函数y=sin x,y=cos x的图象与性质的理解与记忆,有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解,通常先将给出的函数转化为y=Asin(ωx+φ)的形式,然后利用整体代换的方法求解.‎ ‎【例1】已知函数f(x)=sin x-2sin2.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最小值.‎ ‎(1)解 因为f(x)=sin x+cos x-.‎ ‎=2sin-.‎ 所以f(x)的最小正周期为2π.‎ ‎(2)解 因为0≤x≤,‎ 所以≤x+≤π.‎ 当x+=π,即x=时,f(x)取得最小值.‎ 所以f(x)在区间上的最小值为f=-.‎ ‎【类题通法】求函数y=Asin(ωx+φ)+B周期与最值的模板 第一步:三角函数式的化简,一般化成y=Asin(ωx+φ)+h或y=Acos(ωx+φ)+h的形式;‎ 第二步:由T=求最小正周期;‎ 第三步:确定f(x)的单调性;‎ 第四步:确定各单调区间端点处的函数值;‎ 第五步:明确规范地表达结论.‎ ‎【对点训练】 设函数f(x)=-sin2ωx-sin ωxcos ωx(ω>0),且y=f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.‎ ‎(1)求ω的值;‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.‎ 解 (1)f(x)=-sin2ωx-sin ωxcos ωx ‎=-·-sin 2ωx ‎=cos 2ωx-sin 2ωx=-sin.‎ 因为y=f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为,故该函数的周期T=4×=π.‎ 又ω>0,所以=π,因此ω=1.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=-sin.‎ 设t=2x-,则函数f(x)可转化为y=-sin t.‎ 当π≤x≤时,≤t=2x-≤ ,‎ 如图所示,作出函数y=sin t在 上的图象,‎ 由图象可知,当t∈时,sin t∈,‎ 故-1≤-sin t≤,因此-1≤f(x)=-sin≤.‎ 故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为,-1.‎ 热点二 解三角形 高考对解三角形的考查,以正弦定理、余弦定理的综合运用为主.其命题规律可以从以下两方面看:(1)从内容上看,主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式,一般是以三角形或其他平面图形为背景,结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力;(2)从命题角度看,主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理,在知识的交汇处命题.‎ ‎【例2】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.‎ ‎(1)证明:sin Asin B=sin C;‎ ‎(2)若b2+c2-a2=bc,求tan B.‎ ‎(1)证明 在△ABC中,根据正弦定理,‎ 可设===k(k>0).‎ 则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.‎ 代入+=中,‎ 有+=,变形可得 sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).‎ 在△ABC中,由A+B+C=π,‎ 有sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,‎ 所以sin Asin B=sin C.‎ ‎(2)解 由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有 cos A==.‎ 所以sin A==.‎ 由(1)知,sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,‎ 所以sin B=cos B+sin B,‎ 故tan B==4.‎ ‎【类题通法】(1)①在等式中既有边长又有角的正余弦时,往往先联想正弦定理;②出现含有边长的平方及两边之积的等式,往往想到应用余弦定理.‎ ‎(2)正余弦定理与两角和(差)角公式的活用是求解该类问题的关键.‎ ‎【对点训练】 四边形ABCD的内角A与C互补,且AB=1,BC=3,CD=DA=2.‎ ‎(1)求角C的大小和线段BD的长度;‎ ‎(2)求四边形ABCD的面积.‎ 解 (1)设BD=x,‎ 在△ABD中,由余弦定理,得cos A=,‎ 在△BCD中,由余弦定理,得cos C=,‎ ‎∵A+C=π,∴cos A+cos C=0.‎ 联立上式,解得x=,cos C=.‎ 由于C∈(0,π).∴C=,BD=.‎ ‎(2)∵A+C=π,C=,∴sin A=sin C=.‎ 又四边形ABCD的面积SABCD=S△ABD+S△BCD ‎=AB·ADsin A+CB·CDsin C=×(1+3)=2,‎ ‎∴四边形ABCD的面积为2.‎ 热点三 三角函数与平面向量结合 三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面:(1)以三角函数式作为向量的坐标,由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式;(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形,然后利用正、余弦定理解决问题.‎ ‎【例3】已知△ABC的三内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,向量m=(cos B,cos C),n=(‎2a+c,b),且m⊥n.‎ ‎(1)求角B的大小;‎ ‎(2)若b=,求a+c的范围.‎ 解 (1)∵m=(cos B,cos C),n=(‎2a+c,b),且m⊥n,‎ ‎∴(‎2a+c)cos B+bcos C=0,‎ ‎∴cos B(2sin A+sin C)+sin Bcos C=0,‎ ‎∴2cos Bsin A+cos Bsin C+sin Bcos C=0.‎ 即2cos Bsin A=-sin(B+C)=-sin A.‎ ‎∵A∈(0,π),∴sin A≠0,∴cos B=-.‎ ‎∵0<B<π,∴B=.‎ ‎(2)由余弦定理得 b2=a2+c2-2accosπ=a2+c2+ac=(a+c)2-ac≥(a+c)2-=(a+c)2,当且仅当a=c时取等号.‎ ‎∴(a+c)2≤4,故a+c≤2.‎ 又a+c>b=,∴a+c∈(,2].即a+c的取值范围是(,2].‎ ‎【类题通法】向量是一种解决问题的工具,是一个载体,通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.‎ ‎【对点训练】 已知向量a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函数f(x)=a·b,且y=f(x)的图象过点和点.‎ ‎(1)求m,n的值;‎ ‎(2)将y=f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间.‎ 解 (1)由题意知f(x)=a·b=msin 2x+ncos 2x.‎ 因为y=f(x)的图象过点和,‎ 所以 即解得 ‎(2)由(1)知f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin.‎ 由题意知g(x)=f(x+φ)=2sin.‎ 设y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2),‎ 由题意知x+1=1,‎ 所以x0=0,‎ 即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).‎ 将其代入y=g(x)得sin=1,‎ 因为0<φ<π,所以φ=,‎ 因此g(x)=2sin=2cos 2x.‎ 由2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z得kπ-≤x≤kπ,k∈Z.‎ 所以函数y=g(x)的单调递增区间为,k∈Z.‎