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- 2021-05-13 发布
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8.4 直线、平面平行的判定与性质
一、选择题
1.若直线m⊂平面α,则条件甲:“直线l∥α”是条件乙:“l∥m”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 D
2.若直线a∥直线b,且a∥平面α,则b与α的位置关系是( )
A.一定平行 B.不平行
C.平行或相交 D.平行或在平面内
解析 直线在平面内的情况不能遗漏,所以正确选项为D.
答案 D
3.设m、n表示不同直线,α、β表示不同平面,则下列结论中正确的是( ).
A.若m∥α,m∥n,则n∥α
B.若m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥β
C.若α∥β,m∥α,m∥n,则n∥β
D.若α∥β,m∥α,n∥m,n⊄β,则n∥β
解析 A选项不正确,n还有可能在平面α内,B选项不正确,平面α还有可能与平面β相交,C选项不正确,n也有可能在平面β内,选项D正确.
答案 D
4.下列命题正确的是( )
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
答案 C
5. a、b、c为三条不重合的直线,α、β、γ为三个不重合的平面,现给出四个命题
①⇒α∥β ②⇒α∥β
③⇒a∥α ④⇒α∥a
其中正确的命题是( )
A.①②③ B.①④
C.② D.①③④
解析 ②正确.①错在α与β可能相交.③④错在a可能在α内.
答案 C
6.设m,n是平面α内的两条不同直线;l1,l2是平面β内的两条相交直线,则α∥β的一个充分而不必要条件是( ).
A.m∥β且l1∥α B.m∥l1且n∥l2
C.m∥β且n∥β D.m∥β且n∥l2
解析 对于选项A,不合题意;对于选项B,由于l1与l2是相交直线,而且由l1∥m可得l1∥α,同理可得l2∥α故可得α∥β,充分性成立,而由α∥β不一定能得到l1∥m,它们也可以异面,故必要性不成立,故选B;对于选项C,由于m,n不一定相交,故是必要非充分条件;对于选项D,由n∥l2可转化为n∥β,同选项C,故不符合题意,综上选B.
答案 B
7.下面四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形是( ).
A.①② B.①④ C.②③ D.③④
解析 由线面平行的判定定理知图①②可得出AB∥平面MNP.
答案 A
二、填空题
8.给出下列命题:
①一条直线平行于一个平面,这条直线就与这个平面内的任何直线不相交;
②过平面外一点有且只有一条直线与这个平面平行;
③过直线外一点有且只有一个平面与这条直线平行;
④平行于同一条直线的一条直线和一个平面平行;
⑤a和b是异面直线,则经过b存在唯一的平面与a平行.
则其中正确命题的序号为________.
解析 ①显然正确,如果直线与平面内的一条直线相交,则直线与平面相交,与直线与平面平行矛盾;②不正确,过平面外一点有一个平面与平面平行,而在这个平面内有无数条直线与平面平行;③不正确,过直线外一点有一条直线与已知直线平行,而过直线外一点与直线平行的平面却有无数个;④不正确,这条直线可能在该平面内;⑤正确,过b上一点作一直线与a平行,此时该直线与b相交可确定一平面,且与a平行,且唯一.
答案 ①⑤
9.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条.
解析 过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,记AC,BC,A1C1,B1C1的中点分别为E,F,E1,F1,则直线EF,E1F1,EE1,FF1,E1F,EF1均与平面ABB1A1平行,故符合题意的直线共6条.
答案 6
10.已知a、b、c为三条不重合的直线,α、β、γ为三个不重合的平面,直线均不在平面内,给出六个命题:
①⇒a∥b;②⇒a∥b;③⇒α∥β;
④⇒a∥α;⑤⇒α∥β;⑥⇒a∥α.
其中正确的命题是________(将正确命题的序号都填上).
解析 ②中a、b的位置可能相交、平行、异面;③中α、β的位置可能相交.
答案 ①④⑤⑥
11.若m、n为两条不重合的直线,α、β为两个不重合的平面,则下列命题中真命题的序号是________.
①若m、n都平行于平面α,则m、n一定不是相交直线;
②若m、n都垂直于平面α,则m、n一定是平行直线;
③已知α、β互相平行,m、n互相平行,若m∥α,则n∥β;
④若m、n在平面α内的射影互相平行,则m、n互相平行.
解析 ①为假命题,②为真命题,在③中,n可以平行于β,也可以在β内,故是假命题,在④中,m、n也可能异面,故为假命题.
答案 ②
12.如图所示,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足条件________时,有MN∥平面B1BDD1.
解析 由平面HNF∥平面B1BDD1知当M点满足在线段FH上有MN∥面B1BDD1.
答案 M∈线段FH
三、解答题
13.如图所示,两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,M∈AC,N∈FB且AM=FN,求证:MN∥平面BCE.
证明 过M作MG∥BC,交AB于点G,如图所示,连接NG.
∵MG∥BC,BC⊂平面BCE,
MG⊄平面BCE,
∴MG∥平面BCE.
又==,
∴GN∥AF∥BE,
同样可证明GN∥平面BCE.
又MG∩NG=G,
∴平面MNG∥平面BCE.
又MN⊂平面MNG,∴MN∥平面BCE.
14.如图,在七面体ABCDMN中,四边形ABCD是边长为2的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD=2,NB=1,MB与ND交于P点,点Q在AB上,且BQ=.
(1)求证:QP∥平面AMD;
(2)求七面体ABCDMN的体积.
解析 (1)证明:∵MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,
∴MD∥NB.
∴==.又==,∴=.
∴在△MAB中,QP∥AM.
又QP⊄平面AMD,AM⊂平面AMD,
∴QP∥平面AMD.
(2)连接BD,AC并交于点O,则AC⊥BD,
又MD⊥平面ABCD,
∴MD⊥AC,又BD∩MD=D.
∴AC⊥平面MNBD.
∴AO为四棱锥A-MNBD的高.
又S四边形MNBD=×(1+2)×2=3,
∴VA-MNBD=×3×=2.
又VC-MNBD=VA-MNBD=2,
∴V七面体ABCDMN=2VA-MNBD=4.
15.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线l是平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线.
求证:l∥平面A1BD.
证明 ∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD,且平面A1B1C1D1∩平面AB1D1=B1D1,平面ABCD∩平面AB1D1=l,∴l∥B1D1.又B1D1∥BD,
∴l∥BD.又l⊄平面A1BD,BD⊂平面A1BD,
∴l∥平面A1BD.
16.如图,三棱柱ABC-A1B1C1,底面为正三角形,侧棱A1A⊥底面ABC,点E、F分别是棱CC1、BB1上的点,点M是线段AC上的动点,EC=2FB.
当点M在何位置时,BM∥平面AEF?
解析 法一 如图,取AE的中点O,连接OF,过点O作OM⊥AC于点M.
∵侧棱A1A⊥底面ABC,
∴侧面A1ACC1⊥底面ABC,
∴OM⊥底面ABC.
又∵EC=2FB,∴OM∥FB綉EC,
∴四边形OMBF为矩形,
∴BM∥OF,
又∵OF⊂面AEF,BM⊄面AEF.
故BM∥平面AEF,此时点M为AC的中点.
法二 如图,取EC的中点P,AC的中点Q,连接PQ、PB、BQ,
∴PQ∥AE.∵EC=2FB,
∴PE綉BF,PB∥EF,
∴PQ∥平面AEF,PB∥平面AEF.
又PQ∩PB=P,
∴平面PBQ∥平面AEF,
又∵BQ⊂面PQB,∴BQ∥平面AEF.
故点Q即为所求的点M,此时点M为AC的中点.