高考数学基础知识总结 复数 3页

高中数学：第十五章 复数 考试内容：‎ 复数的概念．‎ 复数的加法和减法．‎ 复数的乘法和除法．‎ 数系的扩充．‎ 考试要求：‎ ‎（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．‎ ‎（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．‎ ‎（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．‎ ‎§15.复数 知识要点 ‎1.复数的相关概念 ‎⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即.‎ ‎⑵复数及其相关概念：‎ ① 复数—形如a+bi的数（其中）；‎ ② 实数—当b=0时的复数a+bi，即a；‎ ③ 虚数—当时的复数a+bi；‎ ④ 纯虚数—当a=0且时的复数a+bi，即bi.‎ ⑤ 复数a+bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）‎ ⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.‎ ‎⑶两个复数相等的定义：‎ ‎.‎ ‎⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.‎ 注：①若为复数，则若，则.（×）[为复数，而不是实数]；若，则.（√）‎ ‎②若，则是的必要不充分条件.（当，‎ 时，上式成立）‎ ‎2.复数的几何意义 ‎⑴复平面内的两点间距离公式：.‎ 其中是复平面内的两点所对应的复数，间的距离.‎ 由上可得：复平面内以为圆心，为半径的圆的复数方程：.‎ ‎⑵曲线方程的复数形式：‎ ‎①为圆心，r为半径的圆的方程.‎ ‎②表示线段的垂直平分线的方程.‎ ‎③为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若，此方程表示线段）.‎ ‎④表示以为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若，此方程表示两条射线）.‎ ‎⑶绝对值不等式：‎ 设是不等于零的复数，则 ‎①.‎ 左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.‎ ‎②.‎ 左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.‎ 注：.‎ ‎3.共轭复数的性质：‎ ‎，（a+bi）‎ ‎（）‎ 注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]‎ ‎4. 复数的乘方 ‎⑴①复数的乘方：‎ ‎②对任何，及有 ‎③‎ 注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如若由就会得到的错误结论.‎ ‎②在实数集成立的.当为虚数时，，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.‎ ‎⑵常用的结论：‎ 若是1的立方虚数根，即，则 ‎5.有关复数的几个结论 ‎⑴复数是实数及纯虚数的充要条件：‎ ‎①.‎ ‎②若，是纯虚数.‎ ‎⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数.特例：零向量的方向是任意的，其模为零.‎ 注：.‎ ‎6. 复数的三角形式 ‎⑴复数的三角形式：.‎ 辐角主值：适合于0≤＜的值，记作.‎ 注：①为零时，可取内任意值.‎ ‎②辐角是多值的，都相差2的整数倍.‎ ‎③设则.‎ ‎⑵复数的代数形式与三角形式的互化：‎ ‎，，.‎ ‎⑶几类三角式的标准形式：‎ ‎7.复数集中解一元二次方程：‎ 在复数集内解关于的一元二次方程时，应注意下述问题：‎ ‎①当时，若＞0，则有二不等实数根；若=0，则有二相等实数根；若＜0，则有二相等复数根（为共轭复数）.‎ ‎②当不全为实数时，不能用方程根的情况.‎ ‎③不论为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.‎ ‎8.复数的三角形式运算：‎ 棣莫弗定理：‎