• 69.76 KB
  • 2021-05-13 发布

高考数学考点归纳之 直线与椭圆的综合问题

  • 13页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
高考数学考点归纳之 直线与椭圆的综合问题 考点一 弦中点问题 [典例] (2018·南宁摸底联考)已知椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是 x-y+5=0,弦的中点坐标是 M(-4,1),则椭圆的离心率是( ) A.1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 5 5 [解析] 设直线 x-y+5=0 与椭圆x2 a2 +y2 b2 =1 相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,因为 AB 的中点 M(-4,1),所以 x1+x2=-8,y1+y2=2.易知直线 AB 的斜率 k=y2-y1 x2-x1 =1.由 x21 a2 +y21 b2 =1, x22 a2 +y22 b2 =1, 两式相减得,x1+x2x1-x2 a2 +y1+y2y1-y2 b2 =0,所以y1-y2 x1-x2 = - b2 a2·x1+x2 y1+y2 ,所以b2 a2 =1 4 ,于是椭圆的离心率 e=c a = 1-b2 a2 = 3 2 ,故选 C. [答案] C [解题技法] 1.用“点差法”求解弦中点问题的步骤 2.解有关弦中点问题的注意点 对于弦中点问题,常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.在用根与系数的关系时, 要注意前提条件Δ>0;在用“点差法”时,要检验直线与圆锥曲线是否相交. [题组训练] 1.已知椭圆:x2 9 +y2=1,过点 P 1 2 ,1 2 的直线与椭圆相交于 A,B 两点,且弦 AB 被点 P 平分,则直线 AB 的方程为( ) A.9x+y-5=0 B.9x-y-4=0 C.x+9y-5=0 D.x-9y+4=0 解析:选 C 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x21 9 +y21=1, x22 9 +y22=1, 两式作差得x2-x1x2+x1 9 +(y2-y1)(y2+y1)=0,因为 x2+x1=1,y2+y1=1,y2-y1 x2-x1 =kAB,代入后求得 kAB=-1 9 ,所以 弦所在的直线方程为 y-1 2 =-1 9 x-1 2 ,即 x+9y-5=0. 2.焦点为 F(0,5 2),并截直线 y=2x-1 所得弦的中点的横坐标是2 7 的椭圆的标准方程 为________________. 解析:设所求的椭圆方程为y2 a2 +x2 b2 =1(a>b>0),直线被椭圆所截弦的端点为 A(x1,y1), B(x2,y2). 由题意,可得弦 AB 的中点坐标为 x1+x2 2 ,y1+y2 2 ,且x1+x2 2 =2 7 ,y1+y2 2 =-3 7. 将 A,B 两点坐标代入椭圆方程中,得 y21 a2 +x21 b2 =1, y22 a2 +x22 b2 =1. 两式相减并化简,得a2 b2 =-y1-y2 x1-x2 ·y1+y2 x1+x2 =-2× -6 7 4 7 =3, 所以 a2=3b2,又 c2=a2-b2=50,所以 a2=75,b2=25, 故所求椭圆的标准方程为y2 75 +x2 25 =1. 答案:y2 75 +x2 25 =1 考点二 弦长问题 [典例] (2018·北京高考节选)已知椭圆 M:x2 a2 +y2 b2 =1(a>b>0)的离心率为 6 3 ,焦距为 2 2. 斜率为 k 的直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A,B. (1)求椭圆 M 的方程; (2)若 k=1,求|AB|的最大值. [解] (1)由题意得 a2=b2+c2, c a = 6 3 , 2c=2 2, 解得 a= 3,b=1. 所以椭圆 M 的方程为x2 3 +y2=1. (2)设直线 l 的方程为 y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2). 由 y=x+m, x2 3 +y2=1, 得 4x2+6mx+3m2-3=0, 所以 x1+x2=-3m 2 ,x1x2=3m2-3 4 . 所以|AB|= x2-x12+y2-y12= 2x2-x12= 2[x1+x22-4x1x2]= 12-3m2 2 . 当 m=0,即直线 l 过原点时,|AB|最大,最大值为 6. [解题技法] 弦长的求解方法 (1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解. (2)当直线的斜率存在时,设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|= 1+k2[x1+x22-4x1x2]= 1+1 k2 [y1+y22-4y1y2](k 为直线斜率). [提醒] 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略 判别式. [题组训练] 1.已知椭圆x2 2 +y2=1 与直线 y=x+m 交于 A,B 两点,且|AB|=4 2 3 ,则实数 m 的值 为 ( ) A.±1 B.±1 2 C. 2 D.± 2 解析:选 A 由 x2 2 +y2=1, y=x+m 消去 y 并整理, 得 3x2+4mx+2m2-2=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=-4m 3 ,x1x2=2m2-2 3 . 由题意,得|AB|= 2x1+x22-8x1x2=4 3 3-m2=4 2 3 , 解得 m=±1. 2.椭圆 E:x2 a2 +y2 b2 =1(a>b>0)的左焦点为 F1,右焦点为 F2,离心率 e=1 2 ,过 F1 的直 线交椭圆于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 8. (1)求椭圆 E 的方程; (2)若直线 AB 的斜率为 3,求△ABF2 的面积. 解:(1)由题意知,4a=8,所以 a=2, 又 e=1 2 ,所以c a =1 2 ,c=1, 所以 b2=22-1=3, 所以椭圆 E 的方程为x2 4 +y2 3 =1. (2)设直线 AB 的方程为 y= 3(x+1), 由 y= 3x+1, x2 4 +y2 3 =1, 得 5x2+8x=0, 解得 x1=0,x2=-8 5 , 所以 y1= 3,y2=-3 3 5 . 所以 S△ABF2=c·|y1-y2|=1×| 3+3 3 5 |=8 3 5 . 考点三 椭圆与向量的综合问题 [典例] (2019·长春质检)已知椭圆 C 的两个焦点为 F1(-1,0),F2(1,0),且经过点 E 3, 3 2 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点(点 A 位于 x 轴上方),若 AF1 ―→=2 F1B―→,求直 线 l 的斜率 k 的值. [解] (1)设椭圆 C 的方程为x2 a2 +y2 b2 =1(a>b>0), 由 2a=|EF1|+|EF2|=4, a2=b2+c2, c=1, 解得 a=2, c=1, b= 3, 所以椭圆 C 的方程为x2 4 +y2 3 =1. (2)由题意得直线 l 的方程为 y=k(x+1)(k>0), 联立 y=kx+1, x2 4 +y2 3 =1, 整理得 3 k2 +4 y2-6 ky-9=0, 则Δ=144 k2 +144>0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y1+y2= 6k 3+4k2 ,y1y2= -9k2 3+4k2 , 又 AF1 ―→=2 F1B―→,所以 y1=-2y2, 所以 y1y2=-2(y1+y2)2, 则 3+4k2=8,解得 k=± 5 2 , 又 k>0,所以 k= 5 2 . [解题技法] 解决椭圆中与向量有关问题的方法 (1)将向量条件用坐标表示,再利用函数、方程知识建立数量关系. (2)利用向量关系转化成相关的等量关系. (3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题. [题组训练] 1.已知 F1,F2 为椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b>0)的两个焦点,B 为椭圆短轴的一个端点, BF1 ―→ · BF2 ―→≥1 4F1F2 ―→2,则椭圆的离心率的取值范围为( ) A. 0,1 2 B. 0, 2 2 C. 0, 3 3 D. 1 2 ,1 解析:选 C 根据题意不妨设 B(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),因为 BF1 ―→ · BF2 ―→≥1 4F1F2 ―→2,BF1 ―→ =(-c,-b),BF2 ―→=(c,-b),|F1F2|2=4c2,所以 b2≥2c2,又因为 b2=a2-c2,所以 a2≥3c2, 所以 0<c a ≤ 3 3 . 2.已知椭圆 D:x2 a2 +y2 b2 =1(a>b>0)的右焦点为 F,A 为短轴的一个端点,且|OA|=|OF|, △AOF 的面积为 1(其中 O 为坐标原点). (1)求椭圆 D 的标准方程; (2)过椭圆 D 长轴左端点 C 作直线 l 与直线 x=a 交于点 M,直线 l 与椭圆 D 的另一交点 为 P,求 OM ―→ · OP ―→的值. 解:(1)因为|OA|=|OF|,所以 b=c, 又△AOF 的面积为 1,所以 1 2bc=1,解得 b=c= 2, 所以 a2=b2+c2=4, 所以椭圆 D 的标准方程为x2 4 +y2 2 =1. (2)由题意可知直线 MC 的斜率存在,设其方程为 y=k(x+2), 代入x2 4 +y2 2 =1,得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-4=0, 所以 P -4k2-2 2k2+1 , 4k 2k2+1 .又 M(2,4k), 所以 OM ―→ · OP ―→=(2,4k)· -4k2-2 2k2+1 , 4k 2k2+1 =4. [课时跟踪检测] A 级 1.(2019·长春二检)椭圆 4x2+9y2=144 内有一点 P(3,2),则以 P 为中点的弦所在直线的 斜率为( ) A.-2 3 B.-3 2 C.-4 9 D.-9 4 解析:选 A 设以 P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点 A(x1,y1),B(x2,y2),斜率为 k,则 4x21+9y21=144,4x22+9y22=144,两式相减得 4(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0,又 x1+x2=6,y1+y2=4,y1-y2 x1-x2 =k,代入解得 k=-2 3. 2.已知直线 y=-x+1 与椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b>0)相交于 A,B 两点,若椭圆的离心率 为 2 2 ,焦距为 2,则线段 AB 的长是( ) A.2 2 3 B.4 2 3 C. 2 D.2 解析:选 B 由条件知 c=1,e=c a = 2 2 ,所以 a= 2,b=1,椭圆方程为x2 2 +y2=1, 联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1), 4 3 ,-1 3 ,所以|AB|=4 2 3 . 3.斜率为 1 的直线 l 与椭圆x2 4 +y2=1 相交于 A,B 两点,则|AB|的最大值为( ) A.2 B.4 5 5 C.4 10 5 D.8 10 5 解析:选 C 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线 l 的方程为 y=x+t, 由 x2+4y2=4, y=x+t 消去 y,得 5x2+8tx+4(t2-1)=0, 则 x1+x2=-8 5t,x1x2=4t2-1 5 . ∴|AB|= 1+k2|x1-x2| = 1+k2· x1+x22-4x1x2 = 2· -8 5t 2-4×4t2-1 5 =4 2 5 · 5-t2, 当 t=0 时,|AB|max=4 10 5 . 4.(2019·石家庄质检)倾斜角为π 4 的直线经过椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b>0)的右焦点 F,与椭 圆交于 A,B 两点,且 AF ―→=2 FB ―→,则该椭圆的离心率为( ) A. 3 2 B. 2 3 C. 2 2 D. 3 3 解析:选 B 由题可知,直线的方程为 y=x-c,与椭圆方程联立 x2 a2 +y2 b2 =1, y=x-c, 得(b2 +a2)y2+2b2cy-b4=0,由于直线过椭圆的右焦点,故必与椭圆有交点,则Δ>0.设 A(x1,y1), B(x2,y2),则 y1+y2=-2b2c a2+b2 , y1y2= -b4 a2+b2 , 又 AF ―→=2 FB ―→,∴(c-x1,-y1)=2(x2-c,y2), ∴ -y1=2y2,可得 -y2=-2b2c a2+b2 , -2y22= -b4 a2+b2. ∴1 2 = 4c2 a2+b2 ,∴e= 2 3 ,故选 B. 5.已知点 P 是椭圆x2 16 +y2 8 =1 上的动点,F1,F2 分别是椭圆的左、右焦点,O 是坐标 原点,若 M 是∠F1PF2 的平分线上一点,且F1M ―→ · MP ―→=0,则| OM ―→ |的取值范围是( ) A.[0,3) B.(0,2 2) C.[2 2,3) D.(0,4] 解析:选 B 如图,延长 F1M 交 PF2 的延长线于点 G. ∵F1M ―→ · MP ―→=0,∴F1M ―→⊥ MP ―→ . 又 MP 为∠F1PF2 的平分线, ∴|PF1|=|PG|,且 M 为 F1G 的中点. ∵O 为 F1F2 中点,∴OM 綊 1 2F2G. ∵|F2G|=||PF2|-|PG||=||PF1|-|PF2||, ∴| OM ―→ |=1 2|2a-2|PF2||=|4-|PF2||. ∵4-2 2<|PF2|<4 或 4<|PF2|<4+2 2, ∴| OM ―→ |∈(0,2 2). 6.已知 F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点,过 F2 且垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,且|AB|=3,则椭圆 C 的标准方程为________. 解析:由题意知椭圆 C 的焦点在 x 轴上,且 c=1,可设椭圆 C 的方程为x2 a2 + y2 a2-1 =1(a >1),由|AB|=3,知点 1,3 2 在椭圆上,代入椭圆方程得 4a4-17a2+4=0,所以 a2=4 或 a2=1 4(舍去).故椭圆 C 的标准方程为x2 4 +y2 3 =1. 答案:x2 4 +y2 3 =1 7.已知焦点在 x 轴上的椭圆 C:x2 a2 +y2=1(a>0),过右焦点作垂直于 x 轴的直线交椭 圆于 A,B 两点,且|AB|=1,则该椭圆的离心率为________. 解析:因为椭圆x2 a2 +y2=1(a>0)的焦点在 x 轴上,所以 c= a2-1,又过右焦点且垂直 于 x 轴的直线为 x=c,将其代入椭圆方程中,得c2 a2 +y2=1,则 y=± 1-c2 a2 ,又|AB|=1, 所以 2 1-c2 a2 =1,得c2 a2 =3 4 ,所以该椭圆的离心率 e=c a = 3 2 . 答案: 3 2 8.已知 P(1,1)为椭圆x2 4 +y2 2 =1 内一定点,经过 P 引一条弦,使此弦被 P 点平分,则此 弦所在的直线方程为________. 解析:易知此弦所在直线的斜率存在,所以设斜率为 k, 弦的端点坐标为(x1,y1),(x2,y2), 则x21 4 +y21 2 =1 ①,x22 4 +y22 2 =1 ②, ①-②得x1+x2x1-x2 4 +y1+y2y1-y2 2 =0, ∵x1+x2=2,y1+y2=2, ∴x1-x2 2 +y1-y2=0, ∴k=y1-y2 x1-x2 =-1 2. ∴此弦所在的直线方程为 y-1=-1 2(x-1), 即 x+2y-3=0. 答案:x+2y-3=0 9.(2019·湖北武汉部分学校调研)设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C:x2 a2 +y2=1(a>1, a∈R)上,过 O 的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,F 为椭圆 C 的左焦点. (1)若△FAB 的面积的最大值为 1,求 a 的值; (2)若直线 MA,MB 的斜率乘积等于-1 3 ,求椭圆 C 的离心率. 解:(1)因为 S△FAB=1 2|OF|·|yA-yB|≤|OF|= a2-1=1,所以 a= 2. (2)由题意可设 A(x0,y0),B(-x0,-y0),M(x,y), 则x2 a2 +y2=1,x20 a2 +y20=1, kMA·kMB=y-y0 x-x0 ·y+y0 x+x0 =y2-y20 x2-x20 = 1-x2 a2 - 1-x20 a2 x2-x20 = - 1 a2x2-x20 x2-x20 =- 1 a2 =-1 3 , 所以 a2=3,所以 a= 3,所以 c= a2-b2= 2, 所以椭圆 C 的离心率 e=c a = 2 3 = 6 3 . 10.(2019·成都一诊)已知椭圆 C:x2 a2 +y2 b2 =1(a>b>0)的右焦点为 F( 3,0),长半轴与 短半轴的比值为 2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设经过点 A(1,0)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M,N.若点 B(0,1)在以线段 MN 为直径的圆上,求直线 l 的方程. 解:(1)由题可知 c= 3,a b =2,a2=b2+c2, ∴a=2,b=1. ∴椭圆 C 的方程为x2 4 +y2=1. (2)易知当直线 l 的斜率为 0 或直线 l 的斜率不存在时,不合题意. 当直线 l 的斜率存在且不为 0 时,设直线 l 的方程为 x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2). 联立 x=my+1, x2+4y2=4 消去 x,可得(4+m2)y2+2my-3=0. Δ=16m2+48>0,y1+y2= -2m 4+m2 ,y1y2= -3 4+m2. ∵点 B 在以 MN 为直径的圆上, ∴ BM ―→ · BN ―→=0. ∵ BM ―→ · BN ―→=(my1+1,y1-1)·(my2+1,y2-1)=(m2+1)y1y2+(m-1)(y1+y2)+2=0, ∴(m2+1)· -3 4+m2 +(m-1)· -2m 4+m2 +2=0, 整理,得 3m2-2m-5=0,解得 m=-1 或 m=5 3. ∴直线 l 的方程为 x+y-1=0 或 3x-5y-3=0. B 级 1.已知椭圆 C:x2 a2 +y2 b2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为1 2 ,点 A 在 椭圆 C 上,|AF1|=2,∠F1AF2=60°,过 F2 与坐标轴不垂直的直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两 点,N 为线段 PQ 的中点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 M 0,1 8 ,且 MN⊥PQ,求线段 MN 所在的直线方程. 解:(1)由 e=1 2 ,得 a=2c, 易知|AF1|=2,|AF2|=2a-2, 由余弦定理,得|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|·|AF2|cos A=|F1F2|2, 即 4+(2a-2)2-2×2×(2a-2)×1 2 =a2, 解得 a=2,则 c=1, ∴b2=a2-c2=3, ∴椭圆 C 的方程为x2 4 +y2 3 =1. (2)设直线 l 的方程为 y=k(x-1),P(x1,y1),Q(x2,y2), 联立 y=kx-1, x2 4 +y2 3 =1, 整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0, 则 x1+x2= 8k2 3+4k2 ,y1+y2=k(x1+x2)-2k= -6k 3+4k2 , ∴N 4k2 3+4k2 , -3k 3+4k2 .又 M 0,1 8 ,则 kMN= 1 8 + 3k 3+4k2 0- 4k2 3+4k2 =-24k+3+4k2 32k2 . ∵MN⊥PQ,∴kMN=-1 k ,得 k=1 2 或3 2 , 则 kMN=-2 或 kMN=-2 3 ,故直线 MN 的方程为 16x+8y-1=0 或 16x+24y-3=0. 2.(2019·唐山五校联考)在直角坐标系 xOy 中,长为 2+1 的线段的两端点 C,D 分别 在 x 轴,y 轴上滑动, CP ―→= 2 PD ―→ .记点 P 的轨迹为曲线 E. (1)求曲线 E 的方程; (2)经过点(0,1)作直线 l 与曲线 E 相交于 A,B 两点,OM ―→= OA ―→+ OB ―→,当点 M 在曲线 E 上时,求直线 l 的方程. 解:(1)设 C(m,0),D(0,n),P(x,y). 由 CP ―→= 2 PD ―→,得(x-m,y)= 2(-x,n-y), 所以 x-m=- 2x, y= 2n-y, 得 m= 2+1x, n= 2+1 2 y, 由| CD ―→ |= 2+1,得 m2+n2=( 2+1)2, 所以( 2+1)2x2+ 2+12 2 y2=( 2+1)2, 整理,得曲线 E 的方程为 x2+y2 2 =1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 OM ―→= OA ―→+ OB ―→,知点 M 的坐标为(x1+x2,y1+y2). 易知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=kx+1,代入曲线 E 的方程,得(k2+2)x2 +2kx-1=0, 则 x1+x2=- 2k k2+2 , 所以 y1+y2=k(x1+x2)+2= 4 k2+2 . 由点 M 在曲线 E 上,知(x1+x2)2+y1+y22 2 =1, 即 4k2 k2+22 + 8 k2+22 =1,解得 k2=2,即 k=± 2, 此时直线 l 的方程为 y=± 2x+1.