高考数学一轮复习圆锥曲线 13页

学科：数学 教学内容：圆锥曲线 ‎【考点梳理】‎ 一、考试内容 ‎1．曲线和方程。由已知条件列出曲线的方程。充要条件。曲线的交点。‎ ‎2．椭圆及其标准方程。焦点、焦距。椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率、准线。椭圆的画法。‎ ‎3．双曲线及其标准方程。焦点、焦距。双曲线的几何性质：范围、对称性、实轴、虚轴、渐近线、离心率、准线。双曲线的画法。等边双曲线。‎ ‎4．抛物线及其标准方程。焦点、准线。抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率。抛物线的画法。‎ ‎5．坐标轴的平移。利用坐标轴的平移化简圆锥曲线方程。‎ 二、考试要求 ‎1．掌握直角坐标系中的曲线方程的关系和轨迹的概念。能够根据所给条件，选择适当的直角坐标系求曲线的方程，并画出方程所表示的曲线。‎ 理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，能够初步判断给定的两个命题的充要关系。‎ ‎2．掌握圆锥曲线的标准方程及其几何性质。会根据所给的条件画圆锥曲线。了解圆锥曲线的一些实际应用。‎ 对于圆锥曲线的内容，不要求解有关两个二次曲线的交点坐标的问题（两圆的交点除外）。‎ ‎3．理解坐标变换的意义，掌握利用坐标轴平移化简圆锥曲线方程的方法。‎ ‎4．了解用坐标研究几何问题的思想，初步掌握利用方程研究曲线性质的方法。‎ 三、考点简析 ‎1．“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念 在直角坐标系中，如果某曲线C（看作满足某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系：‎ ‎（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；‎ ‎（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。‎ 那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。‎ ‎2．充要条件 ‎（1）对于已知条件A和条件B，若A成立则B成立，即AB，这时称条件A是B成立的充分条件。‎ ‎（2）对于已知条件A和条件B，若B成立则A成立，即BA，这时称条件A是B成立的必要条件。‎ ‎（3）若既有AB，又有BA，那么A既是B成立的充分条件，又是B成立的必要条件，这时称A是B成立的充要条件。‎ ‎3．圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质（各选其中一种为例，其余同理研究）如下表：‎ 椭圆 双曲线 抛物线 定义1‎ 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定值2a(2a>|F1F2|的点的轨迹 平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定值2a(0<2a<|F1‎ F2|，的点的轨迹 平面内到定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹 定义2‎ 平面内到定点F与到定直线l的距离之比是常数e(01)的点的轨迹。‎ 平面内到定点F与到定直线l的距离之比是常数e(e=1)的点的轨迹。‎ 标准方程 ‎+=1(a>b>0)‎ ‎-=1(a>b>0)‎ y2=2px(p>0)‎ 图形 顶点坐标 ‎(±a,0)(0, ±b)‎ ‎(±a,0)‎ ‎(0,0)‎ 对称轴 x轴，长轴长为2a y轴，短轴长为2b x轴，实轴长为2a y轴，虚轴长为2b x轴 焦点坐标 ‎(±c,0)‎ c=‎ ‎(±c,0)‎ c=‎ ‎(，0)‎ 焦距 ‎2c ‎2c ‎，‎ 离心率 ‎(e=)‎ ‎01‎ e=1‎ 准线 x=±‎ x=±‎ x= -‎ 渐近线 ‎，‎ y=±x ‎，‎ 点M(x0,y0)‎ 的焦半径公式 ‎|MF右|=a-ex0‎ ‎|MF左|=a+ex0‎ x0+‎ ‎4．直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点。‎ 直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究。因为方程组解的个数与交点的个数是一样的。‎ ‎5．直线与圆锥曲线相交的弦长公式 设直线l:y=kx+n，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2)，且由 ‎ 消去y→ax2+bx+c=0 （a≠0） Δ=b2- 4ac。则弦长公式为 d====‎ ‎6．坐标轴的平移及移轴公式 坐标轴的方向和长度单位都不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫坐标轴的平移，简称移轴。‎ 移轴公式或，这里(x,y)，(x′,y′)，(h,k)分别为原坐标系中的坐标，新坐标系中的坐标，新原点在原坐标系中的坐标。‎ 四、思想方法 ‎1．求轨迹方程的基本方法有两大类，即直接法和间接法。其中直接法包括：直译法，定义法，待定系数法，公式法等。间接法包括：转移法，参数法(k参数、t参数，θ参数及多个参数)等。‎ ‎2．本节解题时用到的主要数学思想方法有：‎ ‎（1）函数方程思想。求平面曲线的轨迹方程，其解决问题的最终落脚点就是将几何条件(性质)表示为动点坐标x、y的方程或函数关系（参数法）。‎ ‎（2）数形结合思想。解题时重视方程的几何意义和图形的辅助作用是非常必要的。即将对几何图形的研究，转化为对代数式的研究，同时又要理解代数问题的几何意义。‎ ‎（3）等价转化思想。在解决问题的过程中往往需要将一个问题等价转化为另一个较为简单的问题去求解。‎ ‎3．避免繁复运算的基本方法可以概括为：回避，选择，寻求。所谓回避，就是根据题设的几何特征，灵活运用曲线的有关定义、性质等，从而避免化简方程、求交点、解方程等繁复的运算。所谓选择，就是选择合适的公式，合适的参变量，合适的坐标系等，一般以直接性和间接性为基本原则。因为对普通方程运算复杂的问题，用参数方程可能会简单；在某一直角坐标系下运算复杂的问题，通过移轴可能会简单；在直角坐标系下运算复杂的问题，在极坐标系下可能会简单“所谓寻求”。‎ ‎【例题解析】‎ 例1 设直线l：x=，定点A(,0)，动点P到直线l的距离为d，且=。求动点P的轨迹C的方程。‎ 解 设动点P(x,y)。由题意得=，‎ 由两边平方得，x2-2x+3+y2=(x2-x+)，‎ 即x2 - x+y2=。‎ 经配方得(x-)2+y2=，即(x-)2+=1。‎ 例2 已知抛物线C的对称轴与y轴平行，顶点到原点的距离为5。若将抛物线C向上平移3个单位，则在x轴上截得的线段长为原抛物线C在x轴上截得的线段长的一半；若将抛物线C向左平移1个单位，则所得抛物线过原点，求抛物线C的方程。‎ 解 设所求抛物线方程为(x-h)2=a(y-k)(a∈R,a≠0) ①‎ 由①的顶点到原点的距离为5，得=5 ②‎ 在①中，令y=0，得x2-2hx+h2+ak=0。设方程的二根为x1,x2，则 ‎|x1-x2|=2。‎ 将抛物线①向上平移3个单位，得抛物线的方程为 ‎(x-h)2=a(y-k-3)‎ 令y=0，得x2-2hx+h2+ak+3a=0。设方程的二根为x3,x4，则 ‎|x3-x4|=2。‎ 依题意得2=·2，‎ 即 4(ak+3a)=ak ③‎ 将抛物线①向左平移1个单位，得(x-h+1)2=a(y-k),‎ 由抛物线过原点，得(1-h)2=-ak ④‎ 由②③④得a=1，h=3,k=-4或a=4，h=-3,k=-4。‎ ‎∴所求抛物线方程为(x-3)2=y+4，或(x+3)2=4(y+4)。‎ 例3 设椭圆+=1的两焦点为F1、F2，长轴两端点为A1、A2。‎ ‎（1）P是椭圆上一点，且∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积；‎ ‎（2）若椭圆上存在一点Q，使∠A1QA2=120°，求椭圆离心率e的取值范围。‎ 解 （1）设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则r1+r2=2a。‎ 在△F1PF2中，|F1F2|=2c, ∠F1PF2=60°,‎ 由余弦定理，得4c2=r12+r22 –2r1r2cos60°=(r1+r2)2 –3r1r2,‎ 将r1+r2=2a代入，得r1r2=(a2-c2)= b2‎ ‎∴S△FPF=r1r2sin60°‎ ‎=·b2·=b2。‎ ‎（2）设点Q的坐标为(x0,y0)，则b2x02+a2y02=a2b2。‎ ‎∵∠A1QA2=120°,又不妨设A1(a,0),A2(-a,0)，‎ ‎∴tan（π-∠A1QA2）===‎ 将x02=a2 -y02代入得= 解得,y0=‎ ‎∵-b≤y0≤b ∴b2+2ab -a2≤0‎ 即()2+2()-≤0，解得≤，e2=1-≥，且e2<1。∴≤e<1。‎ 例4 设双曲线-=1的焦点分别为F1、F2，离心率为2。‎ ‎（1）求此双曲线的渐近线L1、L2的方程；‎ ‎（2）若A、B分别为L1、L2上的动点，且2|AB|=5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程并说明轨迹是什么曲线。‎ 解 （1）由已知得已知双曲线的离心率为=2，解得a2=1，所以已知双曲线方程为y2-=1，它的渐近线L1、L2的方程为x-y=0和x+y=0。‎ ‎（2）因为|F1F2|=4，2|AB|=5|F1F2|，所以|AB|=10。‎ 设A在L1上，B在L2上，则可以设A(y1,y1)、B(-y2、y2)，‎ ‎∴=10 ①‎ 设AB的中点M(x,y)，则x=,y=。‎ ‎∴y1-y2=,y1+y2=2y，‎ 代入①得12y2+=100，即中点M的轨迹方程为+=1，是椭圆。‎ 例5 已知椭圆的一个顶点为A(0,-1)，焦点在x轴上，其右焦点到直线x-y+2=0的距离为3，‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）椭圆与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点M、N，当|AM|=|AN|时，求m的取值范围。‎ 解 （1）设已知椭圆方程为+=1(a>b>0)‎ 其中b=1。又设右焦点为(c,0)，则 ‎=3，解得c=,∴a=。‎ ‎∴椭圆方程为+y2=1。‎ ‎（2）设P为MN的中点，‎ 解方程组得 ‎(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0‎ Δ= -12m2+36k2+12>0，得m2<3k2+1 ①‎ 又xM+xN=,xP=‎ yP=kxP+m=∴kAP=‎ 又由MN⊥AP得 = -。‎ 变形后，得2m=3k2+1 ②‎ 把②代入①，得2m>m2,解得00，解得m>。‎ ‎∴0 (1)‎ 又PQ的中点M(xM,yM)在L上，‎ 且 ‎∴将xM、yM代入L的方程得 ‎=-1，即b=,‎ 代入（1）式解得：k∈(-∞,-1)∪（-，0）∪(0, )∪(1,+∞)。‎ ‎∴k∈（-∞，-1）∪（-，0）∪(0, )∪(1,+∞)时，C与C′有不在L上的公共点。‎ 由于①与②中，k的解集的并集为实数集R，∴不论实数k为何值，C与C′恒有公共点。‎ 例7 已知椭圆C的方程为x2+=1，点P(a,b)的坐标满足a2+≤1。过点P的直线l与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求：‎ ‎（1）点Q的轨迹方程；‎ ‎（2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数。‎ 解 （1）设点A、B的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)，点Q的坐标为（x,y）。当x1≠x2时，设直线l的斜率为k，则l的方程为y=k(x-a)+b。‎ 又已知x12+=1,x22+=1 ①‎ y1=k(x1-a)+b,y2=k(x2-a)+b ②‎ ‎∴由①得 ‎(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0 ③‎ 由②得 y1+ y2=k(x1+x2)-2ak+2b ④‎ ‎∴由③、④及x=，y=,k=‎ 得点Q的坐标满足方程 ‎2x2+y2-2ax-by=0 ⑤‎ 当x1=x2时，k不存在，此时l平行于y轴，因此AB的中点Q一定落在x轴上，即Q的坐标为(a,0)。显然点Q的坐标满足方程⑤。‎ 综上所述，点Q的坐标满足方程 ‎2x2+y2-2ax-by=0‎ 设方程⑤所表示的曲线为L，‎ 则由 得(2a2+b2)x2-4ax+2-b2=0‎ 因为Δ=8b2(a2+-1),又已知a2+≤1,‎ 所以当a2+=1时，△=0，曲线L与椭圆C有且只有一个交点P(a,b)。‎ 当a2+<1时，△<0，曲线L与椭圆没有交点。‎ 因为(0,0)在椭圆C内，又在曲线L上，所以曲线L在椭圆内。‎ 故点Q的轨迹方程为2x2+y2-2ax-by=0（-1≤x≤1）。‎ ‎（2）由解得曲线L与y轴交于点(0,0),(0,b)。‎ 由解得曲线L与x轴交于点(0,0),(a,0)。‎ 当a=0，b=0，即点P(a,b)为原点时，(a,0)、（0,b）与(0,0)重合，曲线L与坐标轴只有一个交点(0,0)。‎ 当a=0，且0<|b|≤1，即点P(a,b)不在椭圆C外且在除去原点的y轴上时，曲线L与坐标轴有两个交点(0，b)与(0,0)。‎ 同理，当b=0且0<|a|≤1时，曲线成坐标轴有两个交点（a,0）,（0,0）。当0<|a|≤1，0<|b|≤1，即点P(a,b)不在椭圆C外且不在坐标轴上时，曲线L与坐标有三个交点(a,0)、(0,b)与(0,0)。‎ 例8 在直角坐标系中，△ABC的两个顶点C、A的坐标分别为(0,0)、(2，0)，三个内角A、B、C满足2sinB=(sinA+sinC)。‎ ‎（1）求顶点B的轨迹方程；‎ ‎（2）过顶点C作倾斜角为θ的直线与顶点B的轨迹交于P、Q两点，当θ∈(0, )时，求△APQ面积S(θ)的最大值。‎ 解 （1）设△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c。‎ 由正弦定理===2R。‎ ‎∵2sinB=(sinA+sinC)‎ ‎∴2b=(a+c)‎ ‎∵b=2‎ ‎∴a+c=4‎ 即|BC|+|BA|=4.‎ 由椭圆定义知，B点轨迹是以C、A为焦点，长轴长为4，中心在（，0）的椭圆。‎ ‎∴B点轨迹方程为 ‎+y2=1(y≠0)‎ ‎（2）设直线PQ的方程为y=x·tanθ，θ∈（0，），‎ 由 得(1+4tan2θ)x2 -2x-1=0。‎ 设方程两根为x1、x2,‎ 则x1+x2=, x1·x2=‎ ‎∴|PQ|=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎∵点A到直线PQ的距离d==，‎ ‎(∵θ∈(0, ), ∴tanθ>0)‎ ‎∴S(θ)= |PQ|·d ‎=··‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=≤2‎ 当且仅当sinθ=时，‎ 即sinθ=,θ=arcsin时，等号成立。‎ ‎∴s(θ)的最大值为2。‎ 例9 设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴。证明直线AC经过原点O（2001年全国高考数学试题）‎ 证明一 如图10-4，因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F（，0），‎ 所以经过点F的直线AB的方程可设为x=my+;‎ 代入抛物线方程得y2-2pmy-p2=0。‎ 若记A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1,y2是该方程的两个根，所以y1y2= -p2。因为BC∥x 轴，且点C在准线x= -上，所以点C的坐标为(-,y2)，‎ 故直线CO的斜率为k===。‎ 即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O 。‎ 证明二 如图10-5，记x轴与抛物线准线l的交点为E，过A作AD⊥l，D是垂足，则AD∥FE∥BC。连结AC，与EF相交于点N，则==，=，根据抛物线的几何性质，|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，∴|EN|===|NF|，即点N是EF的中点，与抛物线顶点O重合，所以直线AC经过原点O。‎ 例10如图10-6，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E分有向线所成的比例为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点。当≤λ≤时，求双曲线离心率e的取值范围（2000年全国高考数学试题）。‎ ‎ ‎ 解 如图10-7，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy,则CD⊥y轴。因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称。依题意，记A(-c,0),C(,h),E(x0,y0)，其中c=|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高。‎ 由定比分点坐标公式得 x0==,y0=‎ 设双曲线的方程为-=1，则离心率e=。‎ 由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e=代入双曲线方程得-=1 ①‎ ‎()2-()2=1 ②‎ 由①式得 =-1 ③‎ 将③式代入②式，整理得 (4-4λ)=1+2λ，故λ=1-。由题设≤λ≤得，≤1-≤，解得≤e≤。所以双曲线的离心率的取值范围为[，]。‎