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- 2021-05-13 发布
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专题能力训练2 不等式、线性规划
一、能力突破训练
1.已知实数x,y满足axln(y2+1)
C.sin x>sin y D.x3>y3
2.已知函数f(x)=(x-2)(ax+b)为偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递增,则f(2-x)>0的解集为( )
A.{x|x>2或x<-2} B.{x|-24} D.{x|00的解集是(-1,3),则不等式f(-2x)<0的解集是( )
A.
B.
8
C.
D.
6.已知实数x,y满足的取值范围是( )
A. B.[3,11]
C. D.[1,11]
7.已知变量x,y满足约束条件若z=2x-y的最大值为2,则实数m等于( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
8.已知变量x,y满足约束条件若x+2y≥-5恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,-1] B.[-1,+∞)
C.[-1,1] D.[-1,1)
9.(2018全国Ⅱ,理14)若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为 .
10.(2018浙江,12)若x,y满足约束条件则z=x+3y的最小值是 ,最大值是 .
11.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.
12.设不等式组表示的平面区域为D,若指数函数y=ax的图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是 .
二、思维提升训练
8
13.已知x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( )
A.或-1 B.或2 C.1或2 D.-1或2
14.设对任意实数x>0,y>0,若不等式x+≤a(x+2y)恒成立,则实数a的最小值为( )
A. B. C. D.
15.设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为8,则ab的最大值为 .
16.已知x,y∈(0,+∞),2x-3=,则的最小值为 .
17.若函数f(x)=·lg x的值域为(0,+∞),则实数a的最小值为 .
18.已知存在实数x,y满足约束条件则R的最小值是 .
8
专题能力训练2 不等式、线性规划
一、能力突破训练
1.D 解析 由axy,故x3>y3,选D.
2.C 解析 ∵f(x)=ax2+(b-2a)x-2b为偶函数,
∴b-2a=0,即b=2a,∴f(x)=ax2-4a.∴f'(x)=2ax.又f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,∴a>0.
由f(2-x)>0,得a(x-2)2-4a>0,
∵a>0,∴|x-2|>2,解得x>4或x<0.
3.C 解析 由|x-2|<2,得02,得x>或x<-,取交集得0,得ax2+(ab-1)x-b>0.
∵其解集是(-1,3),∴a<0,且解得a=-1或a=(舍去),∴a=-1,b=-3.
∴f(x)=-x2+2x+3,∴f(-2x)=-4x2-4x+3,
由-4x2-4x+3<0,得4x2+4x-3>0,解得x>或x<-,故选A.
6.C 解析 =1+其中表示两点(x,y)与(-1,-1)所确定直线的斜率,由图知,kmin=kPB=,kmax=kPA==5,所以的取值范围是的取值范围是故选C.
8
7.C 解析 画出约束条件的可行域,
如图,作直线2x-y=2,与直线x-2y+2=0交于可行域内一点A(2,2),
由题知直线mx-y=0必过点A(2,2),即2m-2=0,得m=1.故选C.
8.C 解析
设z=x+2y,要使x+2y≥-5恒成立,即z≥-5.作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示,要使不等式组成立,则a≤1,由z=x+2y,得y=-x+,
平移直线y=-x+,由图象可知当直线经过点A时,直线y=-x+的截距最小,此时z最小,即x+2y=-5,由解得即A(-1,-2),此时a=-1,所以要使x+2y≥-5恒成立,则-1≤a≤1,故选C.
9.9 解析 由题意,作出可行域如图.要使z=x+y取得最大值,当且仅当过点(5,4)时,zmax=9.
8
10.-2 8 解析 由约束条件画出可行域,如图所示的阴影部分.
由z=x+3y,
可知y=-x+
由题意可知,当目标函数的图象经过点B时,z取得最大值,当目标函数的图象经过点C时,z取得最小值.
由
此时z最大=2+3×2=8,
由
此时z最小=4+3×(-2)=-2.
11.216 000 解析 设生产产品A x件,生产产品B y件,
由题意得
即
8
目标函数z=2 100x+900y,画出约束条件对应的可行域(如图阴影部分中的整数点所示),
作直线y=-x,当直线过5x+3y=600与10x+3y=900的交点时,z取最大值,
由解得
所以zmax=2 100×60+900×100=216 000.
12.10,Δ=1-4(a-1)·2a≤0,解得a,amin=,故选A.
15.2 解析
画出可行域如图阴影部分所示,目标函数变形为y=-x+,由已知,得-<0,且纵截距最大时,z取到最大值,故当直线l过点B(2,4)时,目标函数取到最大值,即2a+4b=8,因为a>0,b>0,由基本不等式,得2a+4b=8≥4,即ab≤2(当且仅当2a=4b=4,即a=2,b=1时取“=”),故ab的最大值为2.
16.3 解析 由2x-3=,得x+y=3,故(x+y)(5+4)=3,当且仅当(x,y∈(0,+∞))时等号成立.
17.-2 解析 函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞),由>0及函数f(x)的值域为(0,+∞)知x2+ax+1>0对∀x∈{x|x>0,且x≠1}恒成立,即a>-x-在定义域内恒成立,而-x-<-2(当x≠1时等号不成立),因此a≥-2.
18.2 解析 根据前三个约束条件作出可行域如图中阴影部分所示.由存在实数x,y满足四个约束条件,得图中阴影部分与以(0,1)为圆心、半径为R的圆有公共部分,因此当圆与图中阴影部分相切时,R最小.由图可知R的最小值为2.
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