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- 2021-05-13 发布
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第三章三角函数、解三角形
第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式
角α的弧度数公式
|α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
①1°＝ rad；②1 rad＝°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
y叫做α的正弦，记作sin α
x叫做α的余弦，记作cos α
叫做α的正切，记作tan α
各象限符号
Ⅰ
＋
＋
＋
Ⅱ
＋
－
－
Ⅲ
－
－
＋
Ⅳ
－
＋
－
三角函
数线
有向线段MP为正弦线
有向线段OM为余弦线
有向线段AT为正切线
[小题体验]
1．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案：C
2．(教材习题改编)3 900°是第________象限角，－1 000°是第________象限角．
答案：四 一
3．(教材习题改编)已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为________．
答案：1.2
1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．
2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．
4．三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin α＝，cos α ＝，tan α＝.
[小题纠偏]
1．下列说法正确的是( )
A．三角形的内角必是第一、二象限角
B．第一象限角必是锐角
C．不相等的角终边一定不相同
D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则α和β终边相同
答案：D
2．若角α终边上有一点P(x,5)，且cos α＝(x≠0)，则sin α＝________.
答案：
[题组练透]
1．给出下列四个命题：
①－是第二象限角；②是第三角限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C －是第三象限角，故①错误；＝π＋，从而是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而③正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确．
2．(易错题)若角α是第二象限角，则是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
解析：选C ∵α是第二象限角，
∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，
∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.
当k为偶数时，是第一象限角；
当k为奇数时，是第三象限角．
3．设集合M＝，N＝，那么( )
A．M＝N B．M⊆N
C．N⊆M D．M∩N＝∅
解析：选B 法一：由于M＝＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，
N＝＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M⊆N.
法二：由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)，2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N.
4．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．
解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：
β＝45°＋k×360°(k∈Z)，
则令－720°≤45°＋k×360°<0°，
得－765°≤k×360°<－45°，解得－≤k<－，
从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.
答案：－675°或－315°
[谨记通法]
1．终边在某直线上角的求法4步骤
(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；
(2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；
(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；
(4)求并集化简集合．
2．确定kα，(k∈N*)的终边位置3步骤
(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围；
(2)再写出kα或的范围；
(3)然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置，如“题组练透”第2题易错．
[题组练透]
1．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A．1 B．4
C．1或4 D．2或4
解析：选C 设此扇形的半径为r，弧长为l，
则解得或
从而α＝＝＝4或α＝＝＝1.
2．(易错题)若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l＝________cm.
解析：设扇形的半径为r cm，如图．
由sin 60°＝，
得r＝4 cm，
∴l＝|α|·r＝×4＝π cm.
答案：π
3．已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？
解：设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.
又S＝θr2＝r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100.
当且仅当r＝10时，Smax＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2.
所以当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．
[谨记通法]
弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略
(1)明确弧度制下弧长公式l＝αr，扇形的面积公式是S＝lr＝αr2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．
(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量，如“题组练透”第2题．
[命题分析]
任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中多以选择题、填空题的形式出现．
常见的命题角度有：
(1)三角函数值的符号判定；
(2)由角的终边上一点的P的坐标求三角函数值；
(3)由角的终边所在的直线方程求三角函数值．
[题点全练]
角度一： 三角函数值的符号判定
1．若sin αtan α＜0，且＜0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选C 由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，
则α为第二或第三象限角．
由＜0可知cos α，tan α异号，
则α为第三或第四象限角．
综上可知，α为第三象限角．
角度二：由角的终边上一点P的坐标求三角函数值
2．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos α＝________.
解析：因为A点纵坐标yA＝，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－，由三角函数的定义可得cos α＝－.
答案：－
3．已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，
则m＝________.
解析：由题设知x＝－，y＝m，
∴r2＝|OP|2＝(－)2＋m2(O为原点)，r＝.
∴sin α＝＝＝，
∴r＝＝2，
即3＋m2＝8，解得m＝±.
答案：±
角度三：由角的终边所在的直线方程求三角函数值
4．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
解：设α终边上任一点为P(－4a,3a)，
当a＞0时，r＝5a，sin α＝，cos α＝－，tan α＝－；
当a＜0时，r＝－5a，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
[方法归纳]
应用三角函数定义的3种求法
(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．
(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为( )
A．40π cm2 B．80π cm2
C．40 cm2 D．80 cm2
解析：选B ∵72°＝，∴S扇形＝αr2＝××202＝80π(cm2)．
2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B 因为点P在第三象限，所以所以角α的终边在第二象限．
3．如图，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是( )
A．(cos θ，sin θ)
B．(－cos θ，sin θ)
C．(sin θ，cos θ)
D．(－sin θ，cos θ)
解析：选A 由三角函数定义知，点P的横坐标x＝cos θ，纵坐标y＝sin θ.
4．(2019·江西六校联考)点A(sin 2 015°，cos 2 015°)位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C 因为sin 2 015°＝sin(11×180°＋35°)
＝－sin 35°＜0，cos 2 015°＝cos(11×180°＋35°)
＝－cos 35°＜0，
所以点A(sin 2 015°，cos 2 015°)位于第三象限．
5．(2019·福州一模)设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D 因为α是第二象限角，所以cos α＝x＜0，
即x＜0.又cos α＝x＝.
解得x＝－3，所以tan α＝＝－.
二保高考，全练题型做到高考达标
1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．
故A，B不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的.
即为－×2π＝－.
2．(2019·南昌二中模拟)已知角α终边上一点P的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( )
A．sin 2 B．－sin 2
C．cos 2 D．－cos 2
解析：选D 因为r＝＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝＝－cos 2.
3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为( )
A. B.
C. D．2
解析：选C 设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以r＝αr，
∴α＝.
4．(2019·潍坊二模)集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
解析：选C 当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样．
5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选B 取终边上一点(a,2a)(a≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±，故 cos 2θ＝2cos2θ－1＝－.
6．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．
解析：由α是第二象限的角可得90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，则180°－(180°＋k·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k·360°)，即－k·360°＜180°－α＜90°－k·360°(k∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．
答案：一
7．在直角坐标系中，O是原点，A(，1)，将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为__________．
解析：依题意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，
设点B坐标为(x，y)，所以x＝2cos 120°＝－1，y＝2sin 120°＝，即B(－1，
eq
(3))．
答案：(－1，)
8．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________.
解析：因为sin θ＝＝－，
所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8.
答案：－8
9．在(0,2π)内，使sin x>cos x成立的x的取值范围为____________________．
解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x＝cos x的x值，sin＝cos＝，sin＝cos＝－.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x∈.
答案：
10．已知扇形AOB的周长为8.
(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
(1)由题意可得
解得或
∴α＝＝或α＝＝6.
(2)法一：∵2r＋l＝8，
∴S扇＝lr＝l·2r
≤2＝×2＝4，
当且仅当2r＝l，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4.
∴圆心角α＝2，弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1.
法二：∵2r＋l＝8，
∴S扇＝lr＝r(8－2r)＝r(4－r)
＝－(r－2)2＋4≤4，
当且仅当r＝2，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4.
∴弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( )
A．sin α＋cos α＜0 B．tan α－sin α＜0
C．cos α－tan α＜0 D．tan αsin α＜0
解析：选B ∵α是第三象限角，∴sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除
A，C，D.
2．已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
解析：选B 由α＝2kπ－(k∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.
所以y＝－1＋1－1＝－1.
3．已知sin α＜0，tan α＞0.
(1)求α角的集合；
(2)求终边所在的象限；
(3)试判断 tansin cos的符号．
解：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上；
由tan α＞0, 知α在第一、三象限，故α角在第三象限，
其集合为.
(2)由2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，
故终边在第二、四象限．
(3)当在第二象限时，tan ＜0，
sin ＞0, cos ＜0，
所以tan sin cos取正号；
当在第四象限时， tan＜0，
sin＜0, cos＞0，
所以 tansincos也取正号．
因此，tansin cos 取正号．
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式_
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系
sin2α＋cos2α＝1；
(2)商数关系
tan α＝.
2．诱导公式
组序
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋
α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cos α
cos_α
余弦
cos α
－cos α
cos α
－cos_α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan_α
口诀
函数名不变
符号看象限
函数名改变
符号看象限
记忆
规律
奇变偶不变，符号看象限
[小题体验]
1．已知sin＝，那么cos α＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选C ∵sin＝sin＝cos α，
∴cos α＝.
2．若sin θcos θ＝，则tan θ＋的值是( )
A．－2 B．2
C．±2 D.
解析：选B tan θ＋＝＋＝＝2.
3．(教材习题改编)(1)sin＝________，
(2)tan＝________.
答案：(1) (2)
1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．
特别注意函数名称和符号的确定．
2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
[小题纠偏]
1．(2019·福建高考)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D 因为α为第四象限的角，
故cos α＝＝ ＝，
所以tan α＝＝＝－.
2．若sin(3π＋θ)＝，则sin θ＝________.
答案：－
[题组练透]
1．sin 210°cos 120°的值为( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选A sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)＝×＝.
2．已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是( )
A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1}
C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}
解析：选C 当k为偶数时，A＝＋＝2；
k为奇数时，A＝－＝－2.
3．已知tan＝，则tan＝________.
解析：tan＝tan
＝tan
＝－tan＝－.
答案：－
4．(易错题)设f(α)＝，则f＝________.
解析：∵f(α)＝
＝＝
＝，
∴f＝＝＝＝.
答案：
[谨记通法]
1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”
2．利用诱导公式化简三角函数的要求
(1)化简过程是恒等变形；
(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值，如“题组练透”第4题．
[典型母题]
已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝.求tan α的值．
[解] 法一： 联立方程
由①得cos α＝－sin α，
将其代入②，整理得
25sin2α－5sin α－12＝0.
∵α是三角形的内角，
∴
∴tan α＝－.
法二：∵sin α＋cos α＝，
∴(sin α＋cos α)2＝2，
即1＋2sin αcos α＝，
∴2sin αcos α＝－，
∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝.
∵sin αcos α＝－＜0且0＜α＜π，
∴sin α＞0，cos α＜0，
∴sin α－cos α＞0.
∴sin α－cos α＝.
由得
∴tan α＝－.
[类题通法]
同角三角函数基本关系式的应用技巧
技巧
解读
适合题型
切弦
互化
主要利用公式tan θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan θ化成正切
表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ
“1”的
变换
1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝(sin θ±cos θ)2∓2sin θcos θ
表达式中需要利用“1”转化
和积
转换
利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化
表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ
[越变越明]
[变式一] 保持母题条件不变，
求：(1)；
(2)sin2α＋2sin αcos α的值．
解：由母题可知：
tan α＝－.
(1)＝
＝＝.
(2)sin2α＋2sin αcos α＝
＝＝＝－.
[变式二] 若母题条件变为“＝5”， 求tan α的值．
解：法一：由＝5, 得＝5，即tan α＝2.
法二：由＝5，得sin α＋3cos α＝15cos α－5sin α，∴6sin α＝12cos α，即tan α＝2.
[变式三] 若母题中的条件和结论互换：已知α是三角形的内角，且tan α＝－， 求 sin α＋cos α的值．
解：由tan α＝－，得sin α＝ －cos α，
将其代入 sin2α＋cos2α＝1，
得cos2α＝1，∴cos2α＝，易知cos α＜0，
∴cos α＝－， sin α＝，
故 sin α＋cos α＝－.
[破译玄机]
1．三角形中求值问题，首先明确角的范围，才能求出角的值或三角函数值．
2．三角形中常用的角的变形有：A＋B＝π－C,2A＋2B＝2π－2C，＋＋＝等，于是可得sin(A＋B)＝sin C，cos＝sin等．
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．若α∈，sin α＝－，则cos(－α)＝( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选B 因为α∈，sin α＝－，所以cos α＝，即cos(－α)＝.
2．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，则θ等于( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，
∴－sin θ＝－cos θ，∴tan θ＝.∵|θ|＜，∴θ＝.
3．已知sin＝，则cos＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D ∵cos＝sin
＝sin＝－sin＝－.
4．已知α∈，sin α＝，则tan α＝________.
解析：∵α∈，∴cos α＝－＝－，
∴tan α＝＝－.
答案：－
5．如果sin(π＋A)＝，那么cos的值是________．
解析：∵sin(π＋A)＝，∴－sin A＝.
∴cos＝－sin A＝.
答案：
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( )
A．sin θ<0，cos θ>0 B．sin θ>0，cos θ<0
C．sin θ>0，cos θ>0 D．sin θ<0，cos θ<0
解析：选B ∵sin(θ＋π)<0，∴－sin θ<0，sin θ>0.
∵cos(θ－π)>0，∴－cos θ>0，cos θ<0.
2．若sin(π－α)＝－2sin，则sin α·cos α的值等于( )
A．－ B．－
C.或－ D.
解析：选A 由sin(π－α)＝－2sin，可得sin α＝－2cos α，则tan α＝－2，sin α·cos α＝＝－.
3．(2019·江西五校联考)＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选D 原式＝＝
＝
＝.
4．已知f(α)＝，则f的值为( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选C ∵f(α)＝＝－cos α，
∴f＝－cos＝－cos
＝－cos＝－.
5．已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选B ∵<α<，
∴cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|，
∴cos α－sin α>0.
又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，
∴cos α－sin α＝.
6．化简：＋
＝________.
解析：原式＝＋
＝－sin α＋sin α＝0.
答案：0
7．sin·cos·tan的值是________．
解析：原式＝sin·cos·tan
＝··
＝××(－)＝－.
答案：－
8．已知cos＝a(|a|≤1)，则cos＋sin的值是________．
解析：由题意知，cos＝cos
＝－cos＝－a.
sin＝sin＝cos＝a，
∴cos＋sin＝0.
答案：0
9．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan
945°.
解：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945°
＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225°
＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°
＝×＋×＋1＝2.
10．已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α＋sin 2α.
解：由已知得sin α＝2cos α.
(1)原式＝＝－.
(2)原式＝
＝＝.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝________.
解析：sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝sin21°＋sin22°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos21°＋sin290°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋sin245°＋sin290°＝44＋＋1＝.
答案：
2．已知f(x)＝(n∈Z)．
(1)化简f(x)的表达式；
(2)求f ＋f 的值．
解：(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，
f(x)＝
＝
＝
＝sin2x；
当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，
f(x)＝
＝
＝
＝
＝sin2x，
综上得f(x)＝sin2x.
(2)由(1)得f＋f
＝sin2＋sin2
＝sin2＋sin2
＝sin2＋cos2＝1.
第三节 三角函数的图象与性质
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z).
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
xx∈R，且x
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
为增；
为减
[2kπ，2kπ＋π]为减；[2kπ－π，2kπ]为增
为增
对称
中心
(kπ，0)
对称轴
x＝kπ＋
x＝kπ
[小题体验]
1．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )
A．y＝cos 2x B．y＝sin 2x
C．y＝tan 2x D．y＝sin
答案：B
2．(教材习题改编)函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性是( )
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在上是增函数，在和上都是减函数
C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D．在和上是增函数，在上是减函数
答案：B
3．(教材习题改编)函数y＝－tan＋2的定义域为________________．
答案：
1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．
2．要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时的情况．
3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．
[小题纠偏]
1．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为( )
A．－1 B．－
C. D．0
解析：选B 由已知x∈，
得2x－∈，
所以sin∈，
故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.
2．函数y＝cos的单调减区间为____________．
解析：由y＝cos＝cos得
2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数的单调减区间为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
[题组练透]
1．函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )
A．2－ B．0
C．－1 D．－1－
解析：选A ∵0≤x≤9，∴－≤x－≤，
∴sin∈.
∴y∈[－，2]，∴ymax＋ymin＝2－.
2．(易错题)函数y＝的定义域为__________________．
解析：要使函数有意义，必须有
即
故函数的定义域为.
答案：
3．函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为______________．
解析：由得
∴－3≤x<－或00)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
解析：∵f(x)＝sin ωx(ω>0)过原点，
∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sin ωx是增函数；
当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sin ωx是减函数．
由f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，
在上单调递减知，＝，∴ω＝.
答案：
[命题分析]
正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一．
常见的命题角度有：
(1)三角函数的周期；
(2)求三角函数的对称轴或对称中心；
(3)三角函数对称性的应用．
[题点全练]
角度一：三角函数的周期
1．函数y＝1－2sin2是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
解析：选A y＝1－2sin2＝cos 2＝－sin 2x，所以f(x
)是最小正周期为π的奇函数．
2．(2019·长沙一模)若函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足1＜T＜2，则自然数k的值为________．
解析：由题意知，1＜＜2，即k＜π＜2k.又k∈N，所以k＝2或k＝3.
答案：2或3
角度二：求三角函数的对称轴或对称中心
3．(2019·太原模拟)已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图象( )
A．关于直线x＝对称 B．关于直线x＝对称
C．关于点对称 D．关于点对称
解析：选B ∵f(x)＝sin的最小正周期为π，
∴＝π，ω＝2，
∴f(x)＝sin.当x＝时，2x＋＝，
∴A，C错误；当x＝时，2x＋＝，
∴B正确，D错误．
角度三：三角函数对称性的应用
4．(2019·西安八校联考)若函数y＝cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选B ＋＝kπ＋(k∈Z)⇒ω＝6k＋2(k∈Z)⇒ωmin＝2.
5.设偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则f 的值为( )
A．－ B．－
C．－ D.
解析：选D 由题意知，点M到x轴的距离是，根据题意可设f(x)＝cos ωx，又由题图知·＝1，所以ω＝π，所以f(x)＝cos πx，故f＝cos＝.
[方法归纳]
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、周期性和对称性
(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.
(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．函数y＝ 的定义域为( )
A.
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D．R
解析：选C ∵cos x－≥0，得cos x≥，∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
2．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则f ＝( )
A．1 B.
C．－1 D．－
解析：选A 由题设知＝π，所以ω＝2，f(x)＝sin，所以f ＝sin＝sin ＝1.
3．(2019·石家庄一模)函数f(x)＝tan的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选B 由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)得，－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan的单调递增区间为(k∈Z)．
4．函数f(x)＝sin(－2x)的单调增区间是____________．
解析：由f(x)＝sin(－2x)＝－sin 2x，
2kπ＋≤2x≤2kπ＋得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
5．函数y＝3－2cos的最大值为______，此时x＝______.
解析：函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ，即x＝＋2kπ(k∈Z)．
答案：5 ＋2kπ(k∈Z)
二保高考，全练题型做到高考达标
1．若函数f(x)＝－cos 2x，则f(x)的一个递增区间为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由f(x)＝－cos 2x知递增区间为，k∈Z，故只有B项满足．
2．(2019·河北五校联考)下列函数最小正周期为π且图象关于直线x＝对称的函数是( )
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
解析：选B 由函数的最小正周期为π，可排除C.由函数图象关于直线x＝对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于A，因为sin＝sin π＝0，所以选项A不正确．对于D，sin＝sin＝，所以选项D不正确．对于B，sin＝sin ＝1，所以选项B正确．
3．已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π), 若f＝－2，则f(x)的一个单调递增区间可以是( )
A. B.
C. D.
解析：选D ∵f ＝－2，
∴－2sin＝－2，sin＝1.
又∵|φ|<π，∴φ＝，
∴f(x)＝－2sin，
由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
当k＝0时，得≤x≤.
4．若函数f(x)＝sin(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点(x0,0)成中心对称，x0∈，则x0＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意得＝，T＝π，ω＝2.又2x0＋＝kπ(k∈Z)，x0＝－(k∈Z)，而x0∈，所以x0＝.
5．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f ＝( )
A. B.
C. D．1
解析：选C 由题意得函数f(x)的周期T＝2＝π，所以ω＝2，此时f(x)＝sin(2x＋φ)，将点代入上式得sin＝1，所以φ＝，所以f(x)＝sin，于是f ＝sin＝cos＝.
6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，对于任意x都有f
＝f ，则f 的值为________．
解析：∵f ＝f ，
∴x＝是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一条对称轴．
∴f ＝±2.
答案：2或－2
7．函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是________________．
解析：由2x＋＝kπ(k∈Z)得，
x＝－(k∈Z)．
∴函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是，k∈Z.
答案：，k∈Z
8．已知x∈(0，π]，关于x的方程2 sin＝a有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为________．
解析：令y1＝2sin，x∈(0，π]，y2＝a，作出y1
的图象如图所示．若2sin＝a在(0，π]上有两个不同的实数解，则y1与y2应有两个不同的交点，所以0时，∴a＝3－3，b＝5.
②当a<0时，∴a＝3－3，b＝8.
综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.
第四节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)
(A>0，ω>0)，
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x
－
－＋
－
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法
[小题体验]
1．若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图，则ω＝( )
A．5 B．4
C．3 D．2
答案：B
2．(教材习题改编)函数y＝sin的振幅为________，周期为________，初相为________．
答案： 4π －
3．用五点法作函数y＝sin在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是______、______、______、______、______.
答案：
1．函数图象变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
3．由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|.
[小题纠偏]
1．把y＝sin x的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到y＝sin ωx的图象，则ω的值为( )
A．1 B．4
C. D．2
答案：C
2．要得到函数y＝sin 2x的图象，只需把函数y＝sin的图象向右平移______个单位长度．
答案：
[题组练透]
1．(2019·洛阳调研)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝sin
B．f(x)＝sin
C．f(x)＝sin
D．f(x)＝sin
解析：选D 由图象可知＝－，∴T＝π，∴ω＝＝2，故排除A，C，把x＝代入检验知，选项D符合题意．
2．(易错题)(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析：选D 由图象知，周期T＝2＝2，
∴＝2，∴ω＝π.
由π×＋φ＝＋2kπ，得φ＝＋2kπ，k∈Z，
不妨取φ＝，∴f(x)＝cos.
由2kπ＜πx＋＜2kπ＋π，
得2k－＜x＜2k＋，k∈Z，
∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z，故选D.
3．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )
A．y＝4sin B．y＝2sin＋2
C．y＝2sin＋2 D．y＝2sin＋2
解析：选D 由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的最大值为4，最小值为0，可知b＝2，A＝2.由函数的最小正周期为，可知＝，得ω＝4.由直线x＝是其图象的一条对称轴，可知4×＋φ＝kπ＋，k∈Z，从而φ＝kπ－，k∈Z，故满足题意的是y＝2sin＋2.
[谨记通法]
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；
(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝；
(3)求φ：常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx＋φ
＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝；“第五点”时ωx＋φ＝2π.如“题组练透”第2题．
[典型母题]
(2019·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y＝g(x)的图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心．
[解] (1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数解析式为f(x)＝5sin.
(2)由(1)知f(x)＝5sin，
因此g(x)＝5sin＝5sin.
因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，
令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z，
即y＝g(x)图象的对称中心为，k∈Z，
其中离原点O最近的对称中心为.
[类题通法]
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种作法
(1)五点法：设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．
(2)图象变换法：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
[提醒] 平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
[越变越明]
[变式1] 在母题条件下，试作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象．
解：由母题数据作出的图象如图所示：
[变式2] 在母题条件下，若将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值．
解：因为f(x)＝5sin，
则g(x)＝5sin.
因为函数y＝sin x图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，
令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋－θ，k∈Z.
由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，
所以令＋－θ＝，k∈Z，解得θ＝－，k∈Z.
由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.
[变式3] 在母题条件下，说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的．
解：把y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到y＝sin
的图象，再把y＝sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象，最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)，即可得到y＝5sin的图象．
[破译玄机]
由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．要注意两者不同，后者可利用ωx＋φ＝ω来确定平移的单位长度．
[典例引领]
(2019·湖北高考)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)．
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？
解：(1)因为f(t)＝10－2＝10－2sin，
又0≤t＜24，
所以≤t＋<，－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
(2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sin，
故有10－2sin>11，
即sin<－.
又0≤t<24，因此0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是( )
A．－ B.
C．1 D.
解析：选D 由题意可知该函数的周期为，
∴＝，ω＝2，f(x)＝tan 2x.
∴f ＝tan ＝.
4．(2019·山东高考)要得到函数y＝sin 的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
解析：选B 由y＝sin＝sin 4得，只需将y＝sin 4x的图象向右平移个单位即可，故选B.
5．(2019·邢台一模)先把函数f(x)＝sin的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再把新得到的图象向右平移个单位，得到y＝g(x)的图象．当x∈时，函数g(x)的值域为( )
A. B.
C. D．[－1,0)
解析：选A 依题意得g(x)＝sin
＝sin，
当x∈时，2x－∈，
sin∈，
此时g(x)的值域是.
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2019·济南模拟)将函数y＝cos 2x＋1的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的解析式为( )
A．y＝sin 2x B．y＝sin 2x＋2
C．y＝cos 2x D．y＝cos
解析：选A 将函数y＝cos 2x＋1的图象向右平移个单位得到y＝cos 2＋1＝sin 2x＋1，再向下平移1个单位得到y＝sin 2x.
2．已知f(x)＝sin 2x＋cos 2x，在直角坐标系下利用“五点法”作f(x)在区间上的图象，应描出的关键点的横坐标依次是( )
A．0，，π，，2π
B．－，0，，，π
C．－，－，，，，
D．－，0，，π，，
解析：选C 由题意知f(x)＝2sin，当x∈时，2x＋∈，当2x＋＝－，0，，π，，时，x的值分别为－，－，，，，.
3．(2019·浙江瑞安四校联考)已知函数f(x)＝cos(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cos ωx的图象，只要将y＝f(x)的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：选B ∵T＝＝π，∴ω＝2.即f(x)＝cos＝cos 2，因为g(x
)＝cos 2x，所以为了得到g(x)＝cos 2x的图象只需将f(x)＝cos＝cos 2的图象向右平移个单位长度．
4．(2019·贵阳监测)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R)的部分图象如图所示，如果x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝( )
A. B.
C. D．1
解析：选B 由图可知，＝－＝，
则T＝π，ω＝2，
又∵＝，∴f(x)的图象过点，
即sin＝1，得φ＝，
∴f(x)＝sin.
而x1＋x2＝－＋＝，
∴f(x1＋x2)＝f＝sin＝sin ＝.
5．(2019·太原模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期是π，若将f(x)的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f(x)的图象( )
A．关于直线x＝对称 B．关于直线x＝对称
C．关于点对称 D．关于点对称
解析：选B ∵f(x)的最小正周期为π，∴＝π，ω＝2，
∴f(x)的图象向右平移个单位后得到g(x)＝sin＝sin
的图象，
又g(x)的图象关于原点对称，
∴－＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝＋kπ，k∈Z，
又|φ|<，∴φ＝－，
∴f(x)＝sin.
当x＝时，2x－＝－，∴A，C错误；
当x＝时，2x－＝，∴B正确，D错误．
6．若函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为，则f ＝________.
解析：由f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为，得ω＝4.所以f ＝sin＝0.
答案：0
7．已知函数f(x)＝3sin(ω＞0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象完全相同，若x∈，则f(x)的值域是________．
解析：f(x)＝3sin＝3cos＝3cos，易知ω＝2，则f(x)＝3sin，
∵x∈，∴－≤2x－≤，
∴－≤f(x)≤3.
答案：
8．函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么ω＝________.
解析：因为f(x)＝2sin ωx(ω>0)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是
eq
(3)，所以2sin ω＝，且0<ω<，因此ω＝.
答案：
9．已知函数f(x)＝sin＋1.
(1)求它的振幅、最小正周期、初相；
(2)画出函数y＝f(x)在上的图象．
解：(1)振幅为，最小正周期T＝π，初相为－.
(2)图象如图所示．
10．(2019·天津十二区联考)函数f(x)＝cos(πx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求φ及图中x0的值；
(2)设g(x)＝f(x)＋f ，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)由题图得f(0)＝，所以cos φ＝，
因为0<φ<，故φ＝.
由于f(x)的最小正周期等于2，
所以由题图可知10，ω>0，0<|φ|<π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；
由②可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故该函数的振幅为200；
由③可知，f(x)在[2,8]上单调递增，且f(2)＝100，
所以f(8)＝500.
根据上述分析可得，＝12，故ω＝，
且解得
根据分析可知，当x＝2时f(x)最小，
当x＝8时f(x)最大，
故sin＝－1，且sin＝1.
又因为0<|φ|<π，故φ＝－.
所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为
f(x)＝200sin＋300.
(2)由条件可知，200sin＋300≥400，
化简得sin≥，
即2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z.
因为x∈N*，且1≤x≤12，故x＝6,7,8,9,10.
即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物．
命题点一 同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式
命题指数：☆☆☆ 难度：中、低 题型：选择题、填空题
1．(2019·浙江高考)已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选C 两边平方，再同时除以cos2α，得3tan2α－8tan α－3＝0，tan α＝3或tan α＝－，代入tan 2α＝，得到tan 2α＝－.
2．(2019·全国卷Ⅰ)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]的图象大致为( )
解析：选B 由题意知，f(x)＝|cos x|·sin x，
当x∈时，f(x)＝cos x·sin x＝sin 2x；
当x∈时，f(x)＝－cos x·sin x＝－sin 2x，故选B.
3．(2019·四川高考)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________．
解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.
所以2sin αcos α－cos2α＝
＝＝＝－1.
答案：－1
命题点二 三角函数的图象与性质命题指数：☆☆☆☆☆
难度：中题型：选择题、填空题、解答题
1．(2019·四川高考)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )
A．y＝cos B．y＝sin
C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cos x
解析：选A y＝cos＝－sin 2x，最小正周期T＝＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A正确；
y＝sin＝cos 2x，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于y轴对称，故B不正确；C、D均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C、D不正确．
2．(2019·陕西高考)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
解析：选C 根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.
3．(2019·福建高考)将函数y＝sin x 的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x) 的图象，则下列说法正确的是 ( )
A．y＝f(x)是奇函数
B．y＝f(x)的周期为π
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
D．y＝f(x)的图象关于点对称
解析：选D 函数y＝sin x的图象向左平移个单位后，得到函数f(x)＝sin＝cos x的图象，f(x)＝cos x为偶函数，A错；f(x)＝cos x的周期为2π，B错；因为f＝cos＝0，所以f(x)＝cos x不关于直线x＝对称，C错；函数f(x)的对称中心是点k∈Z，D对．
4．(2019·全国卷Ⅰ)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos2x＋，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为( )
A．①②③ B．①③④
C．②④ D．①③
解析：选A ①y＝cos|2x|，最小正周期为π；②y＝|cos x|，最小正周期为π；③y＝cos，最小正周期为π；④y＝tan，最小正周期为，所以最小正周期为π的所有函数为①②③，故选A.
5．(2019·天津高考)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为( )
A. B.
C．π D．2π
解析：选C 由题意得函数f(x)＝2sin(ω＞0)，又曲线y＝f(x)与直线y＝1相邻交点距离的最小值是，由正弦函数的图象知，ωx＋＝和ωx＋＝对应的x的值相差，即＝，解得ω＝2，所以f(x)的最小正周期是T＝＝π.
6．(2019·安徽高考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是( )
A．f(2)＜f(－2)＜f(0) B．f(0)＜f(2)＜f(－2)
C．f(－2)＜f(0)＜f(2) D．f(2)＜f(0)＜f(－2)
解析：选A 由题意，得T＝＝π，∴ω＝2，
∴f(x)＝Asin(2x＋φ)，
而当x＝时，2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝2kπ＋(k∈Z)，
又φ>0，∴可取f(x)＝Asin.
当2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，
即x＝＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值．
下面只需判断2，－2,0与最近的最大值处的对称轴距离大小，距离越大，函数值越小，
当k＝0时，x＝，≈0.52，≈1.48，
当k＝－1时，x＝－，≈0.6，
∴f(2)＜f(－2)＜f(0)．
7．(2019·浙江高考)函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是________，最小值是________．
解析：f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1
＝＋sin 2x＋1＝＋sin.
故最小正周期T＝＝π.当sin＝－1时，f(x)取得最小值为－＝.
答案：π
8．(2019·天津高考)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．
解析：f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin，
因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，
所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.
又ω－(－ω)≤，即ω2≤，所以ω2＝，
所以ω＝.
答案：
9．(2019·北京高考)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．
解析：∵f(x)在区间上具有单调性，且f＝f，∴x＝和x＝均不是f(x)的极值点，其极值应该在x＝＝处取得，∵f＝－f，∴x＝也不是函数f(x)的极值点，又f(x)在区间上具有单调性，∴x＝－＝为f(x)的另一个相邻的极值点，故函数f(x)的最小正周期T＝2×＝π.
答案：π
10．(2019·北京高考)函数f(x)＝3sin 的部分图象如图所示．
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；
(2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值．
解：(1)f(x)的最小正周期为＝＝π，x0＝，y0＝3.
(2)因为x∈，所以2x＋∈.
于是，当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.
11．(2019·重庆高考)已知函数f(x)＝sin 2x－cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最小值；
(2)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象．当x∈时，求g(x)的值域．
解：(1)f(x)＝sin 2x－cos2x
＝sin 2x－(1＋cos 2x)
＝sin 2x－cos 2x－
＝sin－，
因此f(x)的最小正周期为π，最小值为－.
(2)由条件可知g(x)＝sin－.
当x∈时，有x－∈，
从而y＝sin的值域为，
那么g(x)＝sin－的值域为.
故g(x)在区间上的值域是.
12．(2019·福建高考)已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－.
(1)若0＜α＜，且sin α＝，求f(α)的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
解：法一：(1)因为0＜α＜，sin α＝，所以cos α＝.
所以f(α)＝－＝.
(2)因为f(x)＝sin xcos x＋cos2x－
＝sin 2x＋－
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin，
所以T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
法二：f(x)＝sin xcos x＋cos2x－
＝sin 2x＋－
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin.
(1)因为0＜α＜，sin α＝，所以α＝，
从而f(α)＝sin＝sin＝.
(2)T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；
cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β；
tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin_αcos_α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝.
3．公式的常用变形
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；
(2)cos2α＝，sin2α＝；
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝sin.
4．角的变换技巧
2α＝(α＋β)＋(α－β)；
α＝(α＋β)－β；β＝－；
＝－.
[小题体验]
1．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( )
A．－ B.
C. D．1
答案：B
2．(教材习题改编)已知sin α＝－，α是第四象限角，则cos＝________.
答案：
3．(教材习题改编)已知sin(α－π)＝，则cos 2α＝________.
答案：
1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．
2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝所对应的角α＋β不是唯一的．
3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．
[小题纠偏]
1．已知cos α＝－，α∈，则sin的值是________．
答案：
2．若锐角α，β满足tan α＋tan β＝－tan αtan β，则α＋β＝________.
解析：由已知可得＝，即tan(α＋β)＝.
又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
答案：
[题组练透]
1．已知cos θ＝－，θ∈，则sin的值为________．
解析：由cos θ＝－，θ∈得sin θ＝－＝－，故sin＝sin θcos－cos θsin＝－×－×＝.
答案：
2．(2019·江西新余三校联考)已知cos＝－，则sin的值为( )
A. B.
C．± D．±
解析：选C 因为cos＝cos＝，所以有sin2＝＝
eq f(1,16)，从而求得sin的值为±，故选C.
3．(易错题)设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．
解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－，
又α∈，∴sin α＝，tan α＝－，
∴tan 2α＝＝＝.
答案：
4．(2019·江苏高考)已知α∈，sin α＝.
(1)求sin的值；
(2)求cos的值．
解：(1)因为α∈，sin α＝，
所以cos α＝－＝－.
故sin＝sin cos α＋cos sin α
＝×＋×
＝－.
(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，
cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝，
所以cos＝coscos 2α＋sinsin 2α
＝×＋×
＝－.
[谨记通法]
三角函数公式的应用策略
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．如“题组练透”第3题易忽视α范围．
[典例引领]
1．(2019·贵阳监测)已知sin＋sin α＝，则sin的值是( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选D ∵sin＋sin α＝，
∴sincos α＋cos sin α＋sin α＝，
∴sin α＋cos α＝，
即sin α＋cos α＝，
故sin＝sin αcos＋cos αsin
＝－＝－.
2．计算的值为( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选B ＝
＝＝＝.
[由题悟法]
三角函数公式活用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．
[即时应用]
1．(2019·贵阳监测)已知sin＝，则cos的值是( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D ∵sin＝，∴cos＝
cos＝1－2sin2＝，
∴cos＝cos＝cos＝－cos＝－.
2．在△ABC中，若tan Atan B＝ tan A＋tan B＋1, 则cos C的值为( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选B 由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，
所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.
[典型母题]
已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.
(1)求sin(α－β)的值；
(2)求cos β的值．
[解] (1)∵α，β∈，从而－<α－β<.
又∵tan(α－β)＝－<0，∴－<α－β<0.
∴sin(α－β)＝－.
(2)由(1)可得，cos(α－β)＝.
∵α为锐角，且sin α＝，∴cos α＝.
∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×
＝.
[类题通法]
利用角的变换求三角函数值的策略
(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
[越变越明]
[变式1] 在母题条件下，求sin(α－2β)的值．
解：∵sin(α－β)＝－，cos(α－β)＝，
cos β＝，sin β＝.
∴sin(α－2β)＝sin[(α－β)－β]＝sin(α－β)cos β－
cos(α－β)sin β＝－.
[变式2] 若母题中“sin α＝”变为“tan α＝，”其他条件不变，求tan(2α－β)的值．
解：∵tan α＝，tan(α－β)＝－，
∴tan(2α－β)＝tan＝ ＝＝.
[变式3] 将母题变为：已知0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，求cos 的值．
解：∵0<β<<α<π，
∴<α－<π，－<－β<，
∴sin＝ ＝，
cos＝ ＝，
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.
[破译玄机]
解答本题利用了＝－，其关键是把“所求角”变成“已知角”．
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2019·全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故选D.
2．(2019·南宁二模)已知sin 2α＝，则cos2＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D 依题意得cos2＝(cos α＋sin α)2＝(1＋sin 2α)＝.
3．已知sin＝，－＜α＜0，则cos的值是( )
A. B.
C．－ D．1
解析：选C 由已知得cos α＝，sin α＝－，
∴cos＝cos α＋sin α＝－.
4．(2019·邢台摸底)已知tan(3π－α)＝－，tan(β－α)＝－，则tan β＝________.
解析：依题意得tan α＝，tan β＝tan[(β－α)＋α]＝＝.
答案：
5．(2019·贵阳摸底)设sin α＝2cos α，则tan 2α的值为________．
解析：由题可知，tan α＝＝2，∴tan 2α＝＝－.
答案：－
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2019·唐山一模)已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝( )
A．－ B.
C．－或0 D.或0
解析：选D ∵
∴或∴tan 2α＝0或tan 2α＝.
2．已知cos＝－，则cos x＋cos＝( )
A．－ B．±
C．－1 D．±1
解析：选C ∵cos＝－，
∴cos x＋cos＝cos x＋cos xcos＋sin xsin＝cos x＋sin x＝
＝cos＝×＝－1.
3．(2019·东北三省三校联考)已知sin α＋cos α＝，则sin2＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由sin α＋cos α＝两边平方得1＋sin 2α＝，解得sin 2α＝－，所以sin2＝＝＝＝.
4．已知sin＝，cos 2α＝，则sin α＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选C 由sin＝得sin α－cos α＝， ①
由cos 2α＝得cos2α－sin2α＝，
所以(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)＝， ②
由①②可得cos α＋sin α＝－， ③
由①③可得sin α＝.
5．(2019·江西九校联考)已知锐角α，β满足sin α－cos α＝，tan α＋tan β＋tan αtan β＝，则α，β的大小关系是( )
A．α<＜β B．β<<α
C.<α<β D.<β<α
解析：选B ∵α为锐角，sin α－cos α＝>0，∴α>.
又tan α＋tan β＋tan αtan β＝，
∴tan(α＋β)＝＝，
∴α＋β＝，又α>，∴β<<α.
6．(2019·河南统考)已知tan α，tan β是lg(6x2－5x＋2)＝0的两个实根，则tan(α＋β)＝________.
解析：由lg(6x2－5x＋2)＝0，得6x2－5x＋1＝0，
∴由题意知tan α＋tan β＝，tan α·tan β＝，
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
答案：1
7．计算＝________.
解析：＝＝
＝＝.
答案：
8．设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．
解析：因为α为锐角，cos＝，
所以sin＝，sin 2＝，
cos 2＝，
所以sin＝sin
＝×－×＝.
答案：
9．已知α∈，tan α＝，求tan 2α和sin的值．
解：∵tan α＝，∴tan 2α＝＝＝，
且＝，即cos α＝2sin α，
又sin2α＋cos2α＝1，∴5sin2α＝1，而α∈，
∴sin α＝，cos α＝.
∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，
cos 2α＝cos2α－sin2α＝－＝，
∴sin＝sin 2αcos＋cos 2αsin＝×＋×＝.
10．已知α∈，且sin＋cos＝.
(1)求cos α的值；
(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．
解：(1)因为sin＋cos＝，
两边同时平方，得sin α＝.
又<α<π，所以cos α＝－＝－.
(2)因为<α<π，<β<π，
所以－<α－β<.
又由sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝.
所以cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝－×＋×＝－.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．化简sin2＋sin2－sin2α的结果是________．
解析：法一：原式＝＋－sin2α
＝1－－sin2α＝1－cos 2α·cos －sin2α＝1－
－＝.
法二：令α＝0，则原式＝＋＝.
答案：
2．(2019·合肥质检)已知coscos＝－，α∈.
(1)求sin 2α的值；
(2)求tan α－的值．
解：(1)cos·cos＝cos·sin＝sin＝－，
即sin＝－.
∵α∈，∴2α＋∈，
∴cos＝－，
∴ sin 2α＝sin
＝sincos－cossin＝.
(2)∵α∈，∴2α∈，
又由(1)知sin 2α＝，∴cos 2α＝－.
∴tan α－＝－＝＝＝－2×＝2.
第六节 简单的三角恒等变换
[题组练透]
1．化简：＝________.
解析：原式＝＝2cos α.
答案：2cos α
2．(易错题)化简：sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－cos 2α·cos 2β＝________.
解析：法一：原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－·(2cos2α－1)·(2cos2β－1)
＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－(4cos2α·cos2β－2cos2α－2cos2β＋1)
＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－
＝sin2α·sin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－
＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.
法二：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)
原式＝·＋·－cos 2α·cos 2β
＝(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－cos 2α·cos 2β＝.
答案：
3．化简：.
解：原式＝
＝＝＝cos 2x.
[谨记通法]
1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则
2．三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．如“题组练透”第2题．
[命题分析]
研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解．
常见的命题角度有：
(1)给值求值；
(2)给角求值；
(3)给值求角．
[题点全练]
角度一：给值求值
1．(2019·广东高考)已知tan α＝2.
(1)求tan的值；
(2)求的值．
解：(1)tan＝＝＝－3.
(2)
＝
＝＝＝1.
角度二：给角求值
2．(2019·衡水中学二调)－＝( )
A．4 B．2
C．－2 D．－4
解析：选D －＝－＝
＝＝＝－4.
3．化简：sin 50°(1＋tan 10°)＝________.
解析：sin 50°(1＋tan 10°)
＝sin 50°
＝sin 50°×
＝sin 50°×
＝＝＝＝1.
答案：1
角度三：给值求角
4．(2019·菏泽二模)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β＝________.
解析：因为tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝<1，所以0<α<，
又因为tan 2α＝＝＝<1，
所以0<2α<，
所以tan(2α－β)＝＝＝1.
因为0<β<π，所以－π<2α－β<，
所以2α－β＝－.
答案：－
[方法归纳]
三角函数求值的3类求法
(1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．
(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角．
[典例引领]
(2019·天津高考)已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)由已知，有
f(x)＝－
＝－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x＝sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间上是减函数，
在区间上是增函数，
且f＝－，f ＝－，f ＝，
所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.
[由题悟法]
三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察函数的角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．
[即时应用]
(2019·沈阳质检)已知函数f(x)＝2sin xsin.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的值域．
解：(1)f(x)＝2sin x＝×＋sin 2x＝sin＋.
所以函数f(x)的最小正周期为T＝π.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是，
k∈Z.
(2)当x∈时，2x－∈，
sin∈，
f(x)∈.
故f(x)的值域为.
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2019·济南一模)若＝－，则sin α＋cos α的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选C 由已知得
＝＝－，
整理得sin α＋cos α＝.
2．已知sin 2α＝，tan(α－β)＝，则tan(α＋β)等于( )
A．－2 B．－1
C．－ D.
解析：选A 由题意，可得cos 2α＝－，则tan 2α＝－，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝＝－2.
3．(2019·贵州七校联考)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则sin的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D 由三角函数的定义得tan θ＝2，cos θ＝±，
所以tan 2θ＝＝－，cos 2θ＝2cos2θ－1＝－，
所以sin 2θ＝cos 2θtan 2θ＝，
所以sin＝(sin 2θ＋cos 2θ)
＝×＝.
4．(2019·东北三省四市教研联合体)已知tan(3π－x)＝2，则＝________.
解析：由诱导公式得tan(3π－x)＝－tan x＝2，
故＝＝＝－3.
答案：－3
5.的值为________．
解析：原式＝
＝
＝＝＝1.
答案：1
二保高考，全练题型做到高考达标
1．若tan θ＝，则＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A ＝＝tan θ＝.
2．已知锐角α满足 cos 2α＝cos，则sin 2α等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A ∵cos 2α＝cos，
∴cos2α－sin2α＝coscos α＋sinsin α.
∵α为锐角，
∴cos α－sin α＝， ∴sin 2α＝.
3.的值是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 原式＝＝
＝＝.
4．在斜三角形ABC中，sin A＝－cos B·cos C，且tan B·tan C＝1－，则角A的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意知，sin A＝－cos B·cos C＝sin(B＋C)＝sin B·cos C＋cos B·sin C，
在等式－cos B·cos C＝sin B·cos C＋cos B·sin C两边同除以cos B·cos C得tan B＋tan C＝－，
又tan(B＋C)＝＝－1＝－tan A，
即tan A＝1，所以A＝.
5．(2019·成都一诊)若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是( )
A. B.
C.或 D.或
解析：选A 因为α∈，所以2α∈，
又sin 2α＝，所以2α∈，α∈，
故cos 2α＝－.
又β∈，所以β－α∈，
故cos(β－α)＝－.
所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]
＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)
＝－×－×＝，
且α＋β∈，故α＋β＝.
6．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tan αtan β的值为________．
解析：因为cos(α＋β)＝，
所以cos αcos β－sin αsin β＝.①
因为cos(α－β)＝，
所以cos αcos β＋sin αsin β＝.②
①＋②得cos αcos β＝.
②－①得sin αsin β＝.
所以tan αtan β＝＝.
答案：
7．(2019·北京西城一模)若锐角α，β满足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，则α＋β＝________.
解析：因为(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，
所以1＋(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4，
即(tan α＋tan β)＝3－3tan αtan β＝3(1－tan αtan β)，
即tan α＋tan β＝(1－tan αtan β)．
∴tan(α＋β)＝＝.
又∵α，β为锐角，∴α＋β＝.
答案：
8.＝________.
解析：原式＝
＝＝
＝＝＝－4.
答案：－4
9．已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．
解：由cos β＝，β∈，
得sin β＝，tan β＝2.
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
∵α∈，β∈，
∴<α＋β<，
∴α＋β＝.
10．已知函数f(x)＝Acos，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．
解：(1)因为f＝Acos＝Acos＝A＝，所以A＝2.
(2)由f＝2cos
＝2cos＝－2sin α＝－，
得sin α＝，又α∈，
所以cos α＝.
由f ＝2cos
＝2cos β＝，
得cos β＝，又β∈，
所以sin β＝，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝－.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．cos·cos·cos＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选A cos·cos·cos
＝cos 20°·cos 40°·cos 100°
＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝－
＝－
＝－
＝－＝－＝－.
2．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)．
(1)求sin 2α－tan α的值；
(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数g(x)＝f－
2f 2(x)在区间上的值域．
解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，)，
∴sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－＋＝－.
(2)∵f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x，x∈R，
∴g(x)＝cos－2cos2x＝sin 2x－1－cos 2x＝2sin－1，
∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.
∴－≤sin≤1，∴－2≤2sin－1≤1，
故函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域是[－2,1]．
第七节 正弦定理和余弦定理
1．正弦定理
＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：
(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；
(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C.
2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形：cos A＝，cos B＝，cos C＝.
3．三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h表示边a上的高)；
(2)S＝bcsin A＝acsin B＝absin C；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
[小题体验]
1．(2019·广东高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2 ，cos A＝且b＜c，则b＝( )
A．3 B．2
C．2 D.
解析：选C 由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b，解得b＝2或4.又b＜c，∴b＝2.
2．在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为( )
A．3 B．2
C．4 D.
答案：C
3．(教材习题改编)在△ABC中，已知A＝60°，B＝45°，c＝20，则a＝________.
答案：10(3－)
1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．
2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．
[小题纠偏]
1．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有( )
A．无解 B．两解
C．一解 D．解的个数不确定
解析：选B ∵＝，
∴sin B＝sin A＝sin 45°，∴sin B＝.
又∵a0，∴sin A＝1，即A＝.
[答案] B
[类题通法]
判定三角形形状的2种常用途径
[提醒] 在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响．
[越变越明]
[变式1] 母题的条件变为“若2sin Acos B＝sin C”，那么△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析：选B 法一：由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0，因为－π0)，由余弦定理可得
cos C＝＝＝－<0，
又∵C∈(0，π)，∴C∈，
∴△ABC为钝角三角形．
[破译玄机]
本题以比例形式呈现，求解时，常根据比例的性质引入k，从而转化三边长，再利用正、余弦定理求解．
[典例引领]
(2019·全国卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．
(1)求；
(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．
解：(1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，
S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.
因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，
所以AB＝2AC.
由正弦定理，得＝＝.
(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝.
在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.
故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6.
由(1)，知AB＝2AC，所以AC＝1.
[由题悟法]
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
[即时应用]
(2019·湖南四月调研)在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且(2b－c)cos A＝acos C.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝3，b＝2c，求△ABC的面积．
解：(1)由(2b－c)cos A＝acos C，
得2sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A，
即2sin Bcos A＝sin(A＋C)，
所以2sin Bcos A＝sin B，
因为01.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
3．(2019·郑州质量预测)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(b－c)(sin B＋sin C)＝(a－c)sin A，则角B的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
解析：选A 由正弦定理＝＝及(b－c)·(sin B＋sin C)＝(a－c)sin A得(b－c)(b＋c)＝(a－c)a，即b2－c2＝a2－ac，所以a2＋c2－b2＝ac，又因为cos B＝，所以cos B＝，所以B＝30°.
4．(2019·南昌一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cos A＝，则b等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C 因为cos A＝，
所以sin A＝＝ ＝，
所以sin C＝sin[180°－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝cos 45°＋sin 45°＝.
由正弦定理＝，得b＝×sin 45°＝.
5．已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积等于( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由正弦定理得sin B＝2sin Acos B，
故tan B＝2sin A＝2sin＝，又B∈(0，π)，所以B＝，
又A＝B＝，则△ABC是正三角形，
所以S△ABC＝bcsin A＝×1×1×＝.
6．(2019·北京高考)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.
解析：由正弦定理得＝，
由余弦定理得cos A＝，
∵a＝4，b＝5，c＝6，
∴＝＝2··cos A
＝2××＝1.
答案：1
7．(2019·南昌二中模拟)在△ABC中，如果cos(B＋A)＋2sin Asin B＝1，那么△ABC的形状是________．
解析：∵cos(B＋A)＋2sin Asin B＝1，∴cos Acos B＋sin Asin B＝1，∴cos(A－B)＝1，在△ABC中，A－B＝0⇒A＝B，所以此三角形是等腰三角形．
答案：等腰三角形
8．(2019·丰台一模)已知△ABC中，AB＝，BC＝1，sin C＝cos C，则△ABC的面积为________．
解析：由sin C＝cos C得tan C＝>0，所以C＝.
根据正弦定理可得＝，即＝＝2，
所以sin A＝.因为AB>BC，所以A0.
则cos A＝>0，
∵0.
因此得角A的取值范围是.
6.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分钟．
解析：由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，
由正弦定理得＝，
所以AC＝＝＝10，
所以海轮航行的速度为＝(海里/分钟)．
答案：
7.如图，为测得河岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．
解析：在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，
∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，
由正弦定理得＝，
所以BC＝＝10.
在Rt△ABC中，tan 60°＝，
AB＝BCtan 60°＝10(米)．
答案：10
8．(2019·洛阳统考)如图，在△ABC中，sin＝，AB＝2，点D
在线段AC上，且AD＝2DC，BD＝，则cos∠C＝________.
解析：由条件得cos∠ABC＝，sin∠ABC＝.
在△ABC中，设BC＝a，AC＝3b，
则由余弦定理得9b2＝a2＋4－a.①
因为∠ADB与∠CDB互补，
所以cos∠ADB＝－cos∠CDB，
所以＝－，
所以3b2－a2＝－6，②
联合①②解得a＝3，b＝1，所以AC＝3，BC＝3.
在△ABC中，cos∠C＝＝＝.
答案：
9．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.
解：如图所示，根据题意可知AC＝10，∠ACB＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h，并在B处与渔轮相遇，则AB＝21t，BC＝9t，在△ABC中，根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°，所以212t2＝102＋81t2＋2×10×9t×，即360t2－90t－100＝0，解得t＝或t＝－(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h.
此时AB＝14，BC＝6.
在△ABC中，根据正弦定理，得＝，
所以sin∠CAB＝＝，
即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去)，
即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.
所以舰艇以66.8°的方位角航行，需 h 才能靠近渔轮．
10.如图所示，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为.设S的眼睛到地面的距离为米．
(1)求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度；
(2)立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕其中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影爱好者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．
解：(1)作SC垂直OB于C，则∠CSB＝，∠ASB＝.
又SA＝，故在Rt△SAB中，可求得BA＝3，
即摄影爱好者到立柱的水平距离为3米．
由SC＝3，∠CSO＝，在Rt△SCO中，可求得OC＝.
因为BC＝SA＝，故OB＝2，即立柱高为2米．
(2)连接SM，SN，设SN＝a，SM＝b.由(1)知SO＝2，
在△SOM和△SON中，cos∠SOM＝－cos∠SON，
即＝－，可得a2＋b2＝26.
在△MSN中，cos∠MSN＝＝≥＝>，当且仅当a＝b时等号成立，
又∠MSN∈(0，π)，则0<∠MSN<.
故摄影爱好者S可以将彩杆全部摄入画面．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________m．(取＝1.4，＝1.7)
解析：如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，∴∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21 000(m)．
又在△ABC中，＝，
∴BC＝×sin 15°＝10 500(－)．
∵CD⊥AD，∴CD＝BC·sin∠DBC＝10 500(－)×＝10 500(－1)＝7 350.
故山顶的海拔高度h＝10 000－7 350＝2 650(m)．
答案：2 650
2.已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100米和BN＝200米，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100米后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．
解：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，∴PM＝100，连接QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，又PQ＝100，
∴△PQM为等边三角形，
∴QM＝100.
在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.
在Rt△BNQ中，tan θ＝2，BN＝200，
∴BQ＝100，cos θ＝.
在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcos θ＝(100)2，
∴BA＝100.
即两发射塔顶A，B之间的距离是100米．
命题点一 简单的三角恒等变换命题指数：☆☆☆☆☆
难度：中、低题型：选择题、填空题、解答题
1．(2019·重庆高考)若tan α＝2tan，则＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C ∵cos＝cos
＝sin，
∴原式＝＝
＝.
又∵tan α＝2tan，∴原式＝＝3.
2．(2019·全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝________.
解析：法一：由θ在第二象限，且tan＝，因而sin＝－，因而sin θ＋cos θ＝sin＝－.
法二：如果将tan＝利用两角和的正切公式展开，则＝，求得tan θ＝－.又因为θ在第二象限，则sin θ＝，cos θ＝－，从而sin θ＋cos θ＝－＝－.
答案：－
3．(2019·北京高考)已知函数f(x)＝sin x－2sin2.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最小值．
解：(1)因为f(x)＝sin x＋cos x－
＝2sin－，
所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)因为0≤x≤，所以≤x＋≤π.
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值．
所以f(x)在区间上的最小值为f ＝－.
4．(2019·四川高考)已知A，B，C为△ABC的内角，tan A，tan B是关于x的方程x2＋px－p＋1＝0(p∈R)的两个实根．
(1)求C的大小；
(2)若AB＝3，AC＝，求p的值．
解：(1)由已知，方程x2＋px－p＋1＝0的判别式
Δ＝(p)2－4(－p＋1)＝3p2＋4p－4≥0，
所以p≤－2或p≥.
由根与系数的关系，
有tan A＋tan B＝－p，tan Atan B＝1－p，
于是1－tan Atan B＝1－(1－p)＝p≠0，
从而tan(A＋B)＝＝－＝－.
所以tan C＝－tan(A＋B)＝，所以C＝60°.
(2)由正弦定理，得sin B＝＝＝，
解得B＝45°或B＝135°(舍去)．
于是A＝180°－B－C＝75°.
则tan A＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋.
所以p＝－(tan A＋tan B)＝－(2＋＋1)＝－1－.
1.(2019·天津高考)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由余弦定理可得AC 2＝9＋2－2×3××＝5，所以AC＝.再由正弦定理得＝，所以sin A＝＝＝.
2．(2019·江西高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则 的值为( )
A．－ B.
C．1 D.
解析：选D 由正弦定理可得＝22－1＝22－1，因为3a＝2b，所以＝，所以＝2×2－1＝.
3．(2019·福建高考)若锐角△ABC的面积为10，且AB＝5，AC＝8，则BC等于________．
解析：由已知，得S＝×AB×AC×sin A＝10 ，
∴sin A＝＝.∵A∈，∴A＝.
由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos A
＝25＋64－2×5×8×cos ＝49，∴BC＝7.
答案：7
4．(2019·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a,2sin B＝3sin C，则cos A的值为________．
解析：由已知及正弦定理，得2b＝3c，
因为b－c＝a，不妨设b＝3，c＝2，所以a＝4，
所以cos A＝＝－.
答案：－
5．(2019·全国卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝
2sin Asin C.
(1)若a＝b，求cos B；
(2)设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．
解：(1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.
又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.
由余弦定理可得cos B＝＝.
(2)由(1)知b2＝2ac.
因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，
故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝.
所以△ABC的面积为××＝1.
6．(2019·山东高考)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos B＝，sin(A＋B)＝，ac＝2，求sin A和c的值．
解：在△ABC中，由cos B＝，得sin B＝，
因为A＋B＋C＝π，
所以sin C＝sin(A＋B)＝.
因为sin C＜sin B，所以C＜B，可得C为锐角，
所以cos C＝，
因此sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C
＝×＋×＝.
由＝，
可得a＝＝＝2c.
又ac＝2，所以c＝1.
7.(2019·北京高考)如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.
(1)求sin∠BAD；
(2)求BD，AC的长．
解：(1)在△ADC中，因为
cos∠ADC＝，所以sin∠ADC＝.
所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)
＝sin∠ADCcos∠B－cos∠ADCsin∠B
＝×－×＝.
(2)在△ABD中，由正弦定理得
BD＝＝＝3.
在△ABC中，由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠B
＝82＋52－2×8×5×＝49.
所以AC＝7.
命题点三 三角函数与解三角形的综合问题
命题指数：☆☆☆☆☆ 难度：高、中 题型：解答题
1.(2019·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan＝2.
(1)求的值；
(2)若B＝，a＝3，求△ABC的面积．
解：(1)由tan＝2，得tan A＝，
所以＝＝.
(2)由tan A＝，A∈(0，π)，得
sin A＝，cos A＝.
由a＝3，B＝及正弦定理＝，得b＝3.
由sin C＝sin(A＋B)＝sin，得sin C＝.
设△ABC的面积为S，则S＝absin C＝9.
2．(2019·山东高考)设f(x)＝sin xcos x－cos2x＋.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．
解：(1)由题意知f(x)＝－
＝－＝sin 2x－.
由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，
可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；
由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，
可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)，
单调递减区间是(k∈Z)．
(2)由f ＝sin A－＝0，得sin A＝，
由题意知A为锐角，所以cos A＝.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，
即bc≤2＋，当且仅当b＝c时等号成立．
因此bcsin A≤.
所以△ABC面积的最大值为.
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