四川省绵阳市高考数学二诊试卷理科解析 19页

‎2016年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选型中，只有一个是符合题目要求的.‎ ‎1．若集合A={x|y=2x}，集合，则A∩B=（　　）‎ A．（0，+∞） B．（1，+∞） C．[0，+∞） D．（﹣∞，+∞）‎ ‎2．为了得到函数y=3sin（2x+），x∈R的图象，只需把函数y=3sin（x+），x∈R的图象上所有的点的（　　）‎ A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变 ‎3．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，则该双曲线的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．在复平面内，复数z=（|a|﹣1）+（a+1）i（a∈R，i为虚数单位）对应的点位于第四象限的充要条件是（　　）‎ A．a≥﹣1 B．a＞﹣1 C．a≤﹣1 D．a＜﹣1‎ ‎5．已知直线2x+y﹣3=0的倾斜角为θ，则的值是（　　）‎ A．﹣3 B．﹣2 C． D．3‎ ‎6．在闭区间[﹣4，6]上随机取出﹣个数x，执行如右图所示的程序框图，则输出的x不小于39的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内（含边界）一动点，则•的取值范围是（　　）‎ A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．[﹣1，3] D．[﹣1，4]‎ ‎8．已知正项等比数列{an}满足a5+a4﹣a3﹣a2=8，则a6+a7的最小值为（　　）‎ A．4 B．16 C．24 D．32‎ ‎9．已知f（x）=x2++c（b，c为常数）和g（x）=x+是定义在M={x|1≤x≤4}上的函数，对任意的x∈M，存在x0∈M使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0），且f（x0）=g（x0），则f（x）在集合M上的最大值为（　　）‎ A． B．5 C．6 D．8‎ ‎10．已知抛物线x2=4py（p＞0）的焦点F，直线y=x+2与该抛物线交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若•+（+）•=﹣1﹣5p2，则p的值为（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.‎ ‎11．某小组4个同学的数学成绩的茎叶图如图，则该组同学的成绩的中位数是______．‎ ‎12．在x（x﹣1）5展开式中含x3项的系数是______（用数字作答）．‎ ‎13．从数字0、1、2、3、4、5这6个数字中任选三个不同的数字组成的三位偶数有______个．（用数字作答）‎ ‎14．已知点P在单位圆x2+y2=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2，则d1+d2的最小值是______．‎ ‎15．现定义一种运算“⊕”：对任意实数a，b，a⊕b=，设f（x）=（x2﹣2x）⊕（x+3），若函数g（x）=f（x）+k的图象与x轴恰有两个公共点，则实数k的取值范围是______．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16．某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，原理毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性，禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段性在[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示．‎ ‎（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；‎ ‎（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求[50，60）年龄段抽取的人数；‎ ‎（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，记X为年龄在[50，60）年龄段的人数，求X的分布列及数学期望．‎ ‎17．已知函数f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x．‎ ‎（1）若x是某三角形的一个内角，且f（x）=﹣，求角x的大小；‎ ‎（2）当x∈[0，]时，求f（x）的最小值及取得最小值时x的集合．‎ ‎18．已知二次函数f（x）=x2+4x+m（m∈R，m为常数）的图象与坐标轴有三个交点，记过这三个交点的圆为圆C．‎ ‎（I）求m的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）试证明圆C过定点（与m的取值无关），并求出该定点的坐标．‎ ‎19．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足：S5=30，S10=110，数列{bn}的前n项和Tn满足：b1=1，bn+1﹣2Tn=1．‎ ‎（1）求Sn与bn；‎ ‎（2）比较Snbn与2Tnan的大小，并说明理由．‎ ‎20．在平面直角坐标系中，动点M到定点F（﹣1，0）的距离和它到直线l：x=﹣2的距离之比是常数，记动点M的轨迹为T．‎ ‎（1）求轨迹T的方程；‎ ‎（2）过点F且不与x轴重合的直线m，与轨迹T交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，与轨迹T是否存在点Q，使得四边形APBQ为菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当m≥时，设g（x）=2f（x）+x2的两个极值点x1，x2（x1＜x2）恰为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，求y=（x1﹣x2）h′（）的最小值．‎ ‎　‎ ‎2016年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选型中，只有一个是符合题目要求的.‎ ‎1．若集合A={x|y=2x}，集合，则A∩B=（　　）‎ A．（0，+∞） B．（1，+∞） C．[0，+∞） D．（﹣∞，+∞）‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法；交集及其运算．‎ ‎【分析】求出集合A中函数的定义域确定出A，求出集合B中函数的定义域确定出B，求出A与B的交集即可．‎ ‎【解答】解：集合A中的函数y=2x，x∈R，即A=R，‎ 集合B中的函数y=，x≥0，即B=[0，+∞），‎ 则A∩B=[0，+∞）．‎ 故选C ‎　‎ ‎2．为了得到函数y=3sin（2x+），x∈R的图象，只需把函数y=3sin（x+），x∈R的图象上所有的点的（　　）‎ A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变 ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点横坐标变为原来的一半 ‎【解答】解：由函数图象变换的规则函数的图象，可以由函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，则该双曲线的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程，得出=，再利用离心率e==计算．‎ ‎【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程为：y=±x，‎ ‎∵双曲线的一条渐近线方程是y=x，‎ ‎∴=，‎ 则离心率e=====．‎ 故选：B ‎　‎ ‎4．在复平面内，复数z=（|a|﹣1）+（a+1）i（a∈R，i为虚数单位）对应的点位于第四象限的充要条件是（　　）‎ A．a≥﹣1 B．a＞﹣1 C．a≤﹣1 D．a＜﹣1‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．‎ ‎【分析】由复数z的实部大于0，且虚部小于0联立不等式组求得答案．‎ ‎【解答】解：由z=（|a|﹣1）+（a+1）i对应的点位于第四象限，‎ 得，即a＜﹣1．‎ ‎∴复数z=（|a|﹣1）+（a+1）i对应的点位于第四象限的充要条件是a＜﹣1．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．已知直线2x+y﹣3=0的倾斜角为θ，则的值是（　　）‎ A．﹣3 B．﹣2 C． D．3‎ ‎【考点】同角三角函数基本关系的运用；直线的倾斜角．‎ ‎【分析】由直线的倾斜角和斜率的关系可得tanθ=﹣2，要求的式子可化为，代入计算可得．‎ ‎【解答】解：∵直线2x+y﹣3=0的倾斜角为θ，‎ ‎∴tanθ=﹣2，‎ ‎∴===．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．在闭区间[﹣4，6]上随机取出﹣个数x，执行如右图所示的程序框图，则输出的x不小于39的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型；程序框图．‎ ‎【分析】根据程序框图求出x的取值范围，结合几何概型的概率公式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：由程序框图知，第一次循环，n=1，满足条件n≤3，y=2x+1，n=2，‎ 第二次循环，n=2，满足条件n≤3，y=2（2x+1）+1=4x+3，n=3，‎ 第三次循环，n=3，满足条件n≤3，y=2（4x+3）+1=8x+7，n=4，此时不满足条件n≤3输出y=8x+7，‎ 由8x+7≥39得x≥4，‎ 即4≤x≤6，‎ 则对应的概率P==，‎ 故选：A ‎　‎ ‎7．已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内（含边界）一动点，则•的取值范围是（　　）‎ A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．[﹣1，3] D．[﹣1，4]‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】如图所示，由题意可得：点M所在的圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1（0≤x≤2，0≤y≤2）．可设点M（x，y）可得•=（x﹣1）2+y2﹣1，由∈[0，2]，即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ 由题意可得：点M所在的圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1（0≤x≤2，0≤y≤2）．‎ 可设点M（x，y）‎ A（0，0），B（2，0）．‎ ‎∴•=（﹣x，﹣y）•（2﹣x，﹣y）=﹣x（2﹣x）+y2=（x﹣1）2+y2﹣1，‎ 由∈[0，2]，‎ ‎∴•∈[﹣1，3]，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．已知正项等比数列{an}满足a5+a4﹣a3﹣a2=8，则a6+a7的最小值为（　　）‎ A．4 B．16 C．24 D．32‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；等比数列的性质；数列与函数的综合．‎ ‎【分析】可判数列{an+an+1}也是各项均为正的等比数列，设数列{an+an+1}的公比为x，a2+a3=a，则x∈（1，+∞），a4+a5=ax，结合已知可得a=，代入可得y=a6+a7的表达式，x∈（1，+∞），由导数求函数的最值即可．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}是各项均为正的等比数列，‎ ‎∴数列{an+an+1}也是各项均为正的等比数列，‎ 设数列{an+an+1}的公比为x，a2+a3=a，‎ 则x∈（1，+∞），a5+a4=ax，‎ ‎∴有a5+a4﹣a3﹣a2=ax﹣a=8，即a=，‎ ‎∴y=a6+a7=ax2=，x∈（1，+∞），‎ 求导数可得y′==，令y′＞0可得x＞2，‎ 故函数在（1，2）单调递减，（2，+∞）单调递增，‎ ‎∴当x=2时，y=a6+a7取最小值：32．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．已知f（x）=x2++c（b，c为常数）和g（x）=x+是定义在M={x|1≤x≤4}上的函数，对任意的x∈M，存在x0∈M使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0），且f（x0）=g（x0），则f（x）在集合M上的最大值为（　　）‎ A． B．5 C．6 D．8‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义．‎ ‎【分析】由基本不等式可得g（x）≥1（当且仅当x=，即x=2时，等号成立），从而可得c=﹣1﹣，求导f′（x）=x﹣=，从而可得b=8，c=﹣5，从而解得．‎ ‎【解答】解：∵g（x）=x+≥2=1，‎ ‎（当且仅当x=，即x=2时，等号成立），‎ ‎∴f（2）=2++c=g（2）=1，‎ ‎∴c=﹣1﹣，‎ ‎∴f（x）=x2+=x2+﹣1﹣，‎ ‎∴f′（x）=x﹣=，‎ ‎∵f（x）在x=2处有最小值，‎ ‎∴f′（2）=0，‎ 即b=8，故c=﹣5，‎ 故f（x）=x2+﹣5，f′（x）=，‎ 故f（x）在[1，2]上是减函数，在[2，4]上是增函数，‎ 而f（1）=+8﹣5=，f（4）=8+2﹣5=5，‎ 故f（x）的最大值为5，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．已知抛物线x2=4py（p＞0）的焦点F，直线y=x+2与该抛物线交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若•+（+）•=﹣1﹣5p2，则p的值为（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），把y=x+2代入x2=4py得x2﹣4px﹣8p=0．利用韦达定理，结合向量的数量积公式，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），把y=x+2代入x2=4py得x2﹣4px﹣8p=0．‎ 由韦达定理得x1+x2=4p，x1x2=﹣8p，所以M（2p，2p+2），所以N点（2p，0）．‎ 同理y1+y2=4p+4，y1y2=4‎ ‎∵•+（+）•=﹣1﹣5p2，‎ ‎∴（﹣x1，p﹣y1）•（﹣x2，p﹣y2）+（﹣x1﹣x2，2p﹣y1﹣y2）•（2p，﹣p）=﹣1﹣5p2，‎ 代入整理可得4p2+4p﹣3=0，‎ ‎∴p=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.‎ ‎11．某小组4个同学的数学成绩的茎叶图如图，则该组同学的成绩的中位数是　127　．‎ ‎【考点】众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】根据茎叶图中的数据，计算数据的中位数即可．‎ ‎【解答】解：根据茎叶图，得到4位同学的成绩为：114，126，128，132，‎ 所以中位数是=127．‎ 故答案为：127．‎ ‎　‎ ‎12．在x（x﹣1）5展开式中含x3项的系数是　﹣10　（用数字作答）．‎ ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎【分析】把（x﹣1）5 按照二项式定理展开，可得x（x﹣1）5展开式中含x3项的系数．‎ ‎【解答】解：在x（x﹣1）5=x•[x5﹣5x4+10x3﹣10x2+5x﹣1]的开式中，‎ 含x3项的系数是﹣10，‎ 故答案为：﹣10．‎ ‎　‎ ‎13．从数字0、1、2、3、4、5这6个数字中任选三个不同的数字组成的三位偶数有　52　个．（用数字作答）‎ ‎【考点】计数原理的应用．‎ ‎【分析】分两类，第一类，个位为0，第二类，个位是2或4，再利用分步计数原理求出每一类有多少个，然后相加．‎ ‎【解答】解：分两类，第一类，个位为0，有A52=20个；‎ 第二类，个位是2或4，有C21×C41×C41=32个，‎ ‎∴可组成没有重复数字的三位偶数有20+32=52个，‎ 故答案为：52．‎ ‎　‎ ‎14．已知点P在单位圆x2+y2=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2，则d1+d2的最小值是　5﹣　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】设点P（cosu，sinu），求出P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2，即可求出d1+d2的最小值．‎ ‎【解答】解：设点P（cosu，sinu），P到直线3x﹣4y﹣l0=0的距离为d1=|3cosu﹣4sinu﹣10|=（10﹣3cosu+4sinu），‎ d2=3﹣cosu，∴d1+d2=（10﹣3cosu+4sinu）+3﹣cosu=5+（4sinu﹣8cosu）=5+sin（u﹣t），‎ ‎∴它的最小值=5﹣．‎ 故答案为：5﹣．‎ ‎　‎ ‎15．现定义一种运算“⊕”：对任意实数a，b，a⊕b=，设f（x）=（x2﹣2x）⊕（x+3），若函数g（x）=f（x）+k的图象与x轴恰有两个公共点，则实数k的取值范围是　（﹣3，﹣2）∪（﹣8，﹣7]∪{1}　．‎ ‎【考点】函数的图象；函数解析式的求解及常用方法．‎ ‎【分析】由条件根据新定义求得f（x）的解析式，由题意可得f（x）的图象和直线y=﹣k有2个交点，数形结合求得k的范围．‎ ‎【解答】解：令（x2﹣2x）﹣（x+3）=1，‎ 求得x=﹣1，或x=4，‎ 故当x≤﹣1或x≥4时，‎ ‎（x2﹣2x）﹣（x+3）≥1，f（x）=x+3；‎ 当x∈（﹣1，4）时，‎ ‎（x2﹣2x）﹣（x+3）＜1，f（x）=x2﹣2x．‎ 函数g（x）=f（x）+k的图象与x轴恰有两个公共点，‎ 则f（x）的图象和直线y=﹣k有2个交点，‎ 如图所示：‎ 故有﹣k=﹣1，或2＜﹣k＜3，或 7≤﹣k＜8，‎ 求得实数k的取值范围为：（﹣3，﹣2）∪（﹣8，﹣7]∪{1}．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16．某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，原理毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性，禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段性在[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示．‎ ‎（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；‎ ‎（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求[50，60）年龄段抽取的人数；‎ ‎（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，记X为年龄在[50，60）年龄段的人数，求X的分布列及数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（I）由频率分布直方图求出随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的频率，由此能求出随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数．‎ ‎（II）由频率分布直方图得不小于40岁的人的频数是25人，由此能求出在[50，60）年龄段抽取的人数．‎ ‎（III）由已知X=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．‎ ‎【解答】解：（I）由频率分布直方图知，随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的频率为：‎ ‎1﹣10×（0.020+0.025+0.015+0.010）=0.3，‎ 即随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数为100×0.3=30人． …‎ ‎（II）由（I）知，年龄段在[40，50），[50，60）的人数分别为100×0.15=15人，100×0.1=10人，‎ 即不小于40岁的人的频数是25人，‎ ‎∴在[50，60）年龄段抽取的人数为10×=2人． …‎ ‎（III）由已知X=0，1，2，‎ P（X=0）=，‎ P（X=1）=，‎ P（X=2）=，‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎∴EX=0×+1×+2×=． …‎ ‎　‎ ‎17．已知函数f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x．‎ ‎（1）若x是某三角形的一个内角，且f（x）=﹣，求角x的大小；‎ ‎（2）当x∈[0，]时，求f（x）的最小值及取得最小值时x的集合．‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．‎ ‎【分析】（1）利用二倍角公式和两角和公式化简函数解析式，由题意可得cos（2x+）=﹣，根据x∈（0，π），利用余弦函数的性质即可得解．‎ ‎（2）由x∈[0，]，可得2x+∈[，]，利用余弦函数的图象和性质可得f（x）的最小值为﹣，此时2x+=π，即x=．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x ‎=（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）﹣sin2x=cos2x﹣sin2x ‎=（cos2x﹣sin2x）‎ ‎=cos（2x+），‎ ‎∴f（x）=cos（2x+）=﹣，可得：cos（2x+）=﹣．‎ ‎∵由题意可得：x∈（0，π），可得：2x+∈（，），可得：2x+=或，‎ ‎∴x=或．‎ ‎（2）∵x∈[0，]，2x+∈[，]，‎ ‎∴cos（2x+）∈[﹣1，]，‎ ‎∴f（x）=cos（2x+）∈[﹣，1]．‎ ‎∴f（x）的最小值为﹣，此时2x+=π，即x=．‎ ‎　‎ ‎18．已知二次函数f（x）=x2+4x+m（m∈R，m为常数）的图象与坐标轴有三个交点，记过这三个交点的圆为圆C．‎ ‎（I）求m的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）试证明圆C过定点（与m的取值无关），并求出该定点的坐标．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由二次函数图象与两坐标轴有三个交点，得到抛物线不过原点，再令y=0，得到关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，即可得到m的范围；‎ ‎（Ⅱ）设所求圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0得到关于x的方程，与已知方程为同一方程，确定出D与F，令x=0得到关于y的方程，将y=m代入表示出E，将D、E、F代入即可确定出圆C的方程，进而可求圆C经过定点．‎ ‎【解答】解：（I）令x=0，得抛物线与y轴交点是（0，m）；‎ 令f（x）=x2+4x+m=0，‎ 由题意得：m≠0且△＞0，即m≠0且16﹣4m＞0‎ 解得：m＜4且m≠0；‎ ‎（Ⅱ）证明：设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，‎ 令y=0得：x2+Dx+F=0这与x2+4x+m=0=是同一个方程，故D=4，F=m；‎ 令x=0得：y2+Ey+F=0，此方程有一个根为m，代入得出E=﹣m﹣1，‎ ‎∴圆C的方程为x2+y2+4x﹣（m+1）y+m=0．‎ ‎∴x2+y2+4x﹣y+（﹣y+1）m=0‎ ‎∴，‎ ‎∴或，‎ ‎∴圆C经过定点（0，1）和（﹣4，1）．‎ ‎　‎ ‎19．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足：S5=30，S10=110，数列{bn}的前n项和Tn满足：b1=1，bn+1﹣2Tn=1．‎ ‎（1）求Sn与bn；‎ ‎（2）比较Snbn与2Tnan的大小，并说明理由．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）由等差数列前n项和公式列出方程组求出首项与公差，由此能求出Sn与bn；由，能求出数列{bn}的通项公式．‎ ‎（2）推导出Snbn=（n2+n）•3n﹣1，2Tnan=2n•（3n﹣1），由此利用作差法能比较Snbn与2Tnan的大小．‎ ‎【解答】解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，‎ ‎∵S5=30，S10=110，‎ ‎∴，解得 ‎∴an=2+（n﹣1）×2=2n，Sn==n2+n．…‎ 对数列{bn}，由已知有b2﹣2T1=1，即b2=2b1+1=3，‎ ‎∴b2=3b1，（*）‎ 又由已知bn+1﹣2Tn=1，可得bn﹣2Tn﹣1=1（n≥2，n∈N*），‎ 两式相减得bn+1﹣bn﹣2（Tn﹣Tn﹣1）=0，即bn+1﹣bn﹣2bn=0（n≥2，n∈N*），‎ 整理得bn+1=3bn （n≥2，n∈N*），‎ 结合（*）得（常数），n∈N*，‎ ‎∴数列{bn}是以b1=1为首项1，3为公比的等比数列，‎ ‎∴bn=3n﹣1．…‎ ‎（2）2Tn=bn+1﹣1=3n﹣1，‎ ‎∴Snbn=（n2+n）•3n﹣1，2Tnan=2n•（3n﹣1），‎ 于是Snbn﹣2Tnan=（n2+n）•3n﹣1﹣2n•（3n﹣1）=n[3n﹣1（n﹣5）+2]，…‎ 当n≤4（n∈N*）时，Snbn﹣2Tnan＜0，即Snbn＜2Tnan；‎ 当n≥5（n∈N*）时，Snbn﹣2Tnan＞0，即Snbn＞2Tnan．‎ ‎∴当n≤4（n∈N*）时，Snbn＜2Tnan；当n≥5（n∈N*）时，Snbn＞2Tnan．…‎ ‎　‎ ‎20．在平面直角坐标系中，动点M到定点F（﹣1，0）的距离和它到直线l：x=﹣2的距离之比是常数，记动点M的轨迹为T．‎ ‎（1）求轨迹T的方程；‎ ‎（2）过点F且不与x轴重合的直线m，与轨迹T交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，与轨迹T是否存在点Q，使得四边形APBQ为菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）设动点M（x，y），由点到直线的距离公式和两点间距离公式列出方程，能求出轨迹T的方程．‎ ‎（2）假设存在Q（x0，y0）满足条件．设依题意设直线m为x=ky﹣1，联立，消去x，得（k2+2）y2﹣2ky﹣1=0，由此利用韦达定理、椭圆性质、直线方程，结合已知条件能求出直线m的方程．‎ ‎【解答】解：（1）设动点M（x，y），‎ ‎∵动点M到定点F（﹣1，0）的距离和它到直线l：x=﹣2的距离之比是常数，‎ ‎∴由题意，得，‎ 化简整理得C的方程为．‎ ‎∴轨迹T的方程为=1．…‎ ‎（2）假设存在Q（x0，y0）满足条件．设依题意设直线m为x=ky﹣1，‎ 联立，消去x，得（k2+2）y2﹣2ky﹣1=0，‎ 令M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 则y1+y2=，x1+x2=k（y1+y2）﹣2=，…‎ ‎∴AB的中点N的坐标为（，）．‎ ‎∵PQ⊥l，∴直线PQ的方程为y﹣=﹣k（x+），‎ 令y=0，解得x=，即P（，0）．…‎ ‎∵P、Q关于N点对称，∴ =（ x0），=（ y0+0），‎ 解得x0=，y0=，即Q（，）． …‎ ‎∵点Q在椭圆上，∴（）2+2（）2=2，‎ 解得k2=，∴，∴ =±，‎ ‎∴m的方程为y=x+或y=﹣x﹣． …‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当m≥时，设g（x）=2f（x）+x2的两个极值点x1，x2（x1＜x2）恰为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，求y=（x1﹣x2）h′（）的最小值．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（I）求出函数f（x）的导数，讨论m的取值，利用导数判断函数f（x）的单调性与单调区间；‎ ‎（II）对函数g（x）求导数，利用极值的定义得出g'（x）=0时存在两正根x1，x2；‎ 再利用判别式以及根与系数的关系，结合零点的定义，构造函数，利用导数即可求出函数y的最小值．‎ ‎【解答】解：（I）∵函数f（x）=lnx﹣mx，∴，x＞0；‎ 当m＞0时，由1﹣mx＞0解得x＜，即当0＜x＜时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；‎ 由1﹣mx＜0解得x＞，即当x＞时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；‎ 当m=0时，f'（x）=＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；‎ 当m＜0时，1﹣mx＞0，故f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；‎ ‎∴当m＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）；‎ 当m≤0时，f（x） 的单调递增区间为（0，+∞）； …‎ ‎（II）g（x）=2f（x）+x2=2lnx﹣2mx+x2，则，‎ ‎∴g'（x）的两根x1，x2即为方程x2﹣mx+1=0的两根；‎ 又∵m≥，‎ ‎∴△=m2﹣4＞0，x1+x2=m，x1x2=1； …‎ 又∵x1，x2为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，‎ ‎∴lnx1﹣cx12﹣bx1=0，lnx2﹣cx22﹣bx2=0，‎ 两式相减得﹣c（x1﹣x2）（x1+x2）﹣b（x1﹣x2）=0，‎ 得b=，‎ 而，‎ ‎∴y=‎ ‎=]‎ ‎==，…‎ 令（0＜t＜1），‎ 由（x1+x2）2=m2得x12+x22+2x1x2=m2，‎ 因为x1x2=1，两边同时除以x1x2，得t++2=m2，‎ ‎∵m≥，故t+≥，解得t≤或t≥2，∴0＜t≤；…‎ 设G（t）=，‎ ‎∴G'（t）=，则y=G（t）在（0，]上是减函数，‎ ‎∴G（t）min=G（）=﹣+ln2，‎ 即的最小值为﹣+ln2． …‎ ‎　‎ ‎2016年10月6日