陕西省宝鸡市高考数学一模试卷理科解析 25页

‎2017年陕西省宝鸡市高考数学一模试卷（理科）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．（5分）已知复数是纯虚数，则实数a=（　　）‎ A．﹣2 B．‎4 ‎C．﹣6 D．6‎ ‎2．（5分）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|﹣5≤x≤0}，则M∩N=（　　）‎ A．（﹣1，0] B．[0，4） C．（0，4] D．[﹣1，0）‎ ‎3．（5分）设x，y满足约束条件，若z=x+3y的最大值与最小值的差为7，则实数m=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的某一种算法．执行该程序框图，输入分别为98，63，则输出的结果是（　　）‎ A．14 B．‎18 ‎C．9 D．7‎ ‎5．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin（A+B）=，a=3，c=4，则sinA=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=cos（2x﹣）的图象（　　）‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎7．（5分）我市正在建设最具幸福感城市，原计划沿渭河修建7个河滩主题公园．为提升城市品位、升级公园功能，打算减少2个河滩主题公园，两端河滩主题公园不在调整计划之列，相邻的两个河滩主题公园不能同时被调整，则调整方案的种数为（　　）‎ A．12 B．‎8 ‎C．6 D．4‎ ‎8．（5分）已知A，B，C三点都在以O为球心的球面上，OA，OB，OC两两垂直，三棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积为（　　）‎ A． B．16π C． D．32π ‎9．（5分）正项等比数列{an}中，a2016=a2015+‎2a2014，若aman=‎16a12，则+的最小值等于（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎10．（5分）已知双曲线C：mx2+ny2=1（mn＜0）的一条渐近线与圆x2+y2﹣6x﹣2y+9=0相切，则C的离心率等于（　　）‎ A． B． C．或 D．或 ‎11．（5分）在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，M，N（不与A，C重合）为AC边上的两个动点，且满足||=，则•的取值范围为（　　）‎ A．[，2] B．（，2） C．[，2） D．[，+∞）‎ ‎12．（5分）已知函数y=x2的图象在点（x0，x02）处的切线为l，若l也与函数y=lnx，x∈（0，1）的图象相切，则x0必满足（　　）‎ A．0＜x0＜ B．＜x0＜‎1 ‎C．＜x0＜ D．＜x0‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）若（ax﹣1）9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，且a0+a1+a2+…+a9=0，则a3=　　．‎ ‎14．（5分）设函数f（x）=‎ ‎，若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是　　．‎ ‎15．（5分）如图，在Rt△ABC中，两条直角边分别为AB=2，BC=2，P为△ABC内一点，∠BPC=90°，若∠APB=150°，则tan∠PBA=　　．‎ ‎16．（5分）我市在“录像课评比”活动中，评审组将从录像课的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优．若A录像课的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B课，则称A课不亚于B课．假设共有5节录像课参评，如果某节录像课不亚于其他4节，就称此节录像课为优秀录像课．那么在这5节录像课中，最多可能有　　节优秀录像课．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共60分）‎ ‎17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式 ‎（Ⅱ）若数列{} 的前n 项和为Tn，求证：1≤Tn＜3．‎ ‎18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E是棱PD的中点，点F是PC的中点F．‎ ‎（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；‎ ‎（Ⅱ）若ABCD为正方形，探究在什么条件下，二面角C﹣AF﹣D大小为60°？‎ ‎19．（12分）现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．‎ ‎（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；‎ ‎（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；‎ ‎（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．‎ ‎20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过（1，1）与（，）两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|．求证：++为定值．‎ ‎21．（12分）设函数f（x）=ax2lnx+b（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）过点（e，e2﹣e+1），且在点（1，0）处的切线方程为y=0．‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）证明：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；‎ ‎（Ⅲ）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎　‎ 选修题[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．‎ ‎（1）求C的直角坐标方程；‎ ‎（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．‎ ‎　‎ 五、选修4-5：不等式选讲 ‎23．（10分）已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．‎ ‎（1）解不等式|g（x）|＜5；‎ ‎（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2017年陕西省宝鸡市高考数学一模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．（5分）（2017•宝鸡一模）已知复数是纯虚数，则实数a=（　　）‎ A．﹣2 B．‎4 ‎C．﹣6 D．6‎ ‎【分析】化简复数，由纯虚数的定义可得关于a的式子，解之可得．‎ ‎【解答】解：化简可得复数==，‎ 由纯虚数的定义可得a﹣6=0，‎2a+3≠0，‎ 解得a=6‎ 故选：D ‎【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，涉及纯虚数的定义，属基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2017•宝鸡一模）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|﹣5≤x≤0}，则M∩N=（　　）‎ A．（﹣1，0] B．[0，4） C．（0，4] D．[﹣1，0）‎ ‎【分析】求出M中不等式的解集确定出M，找出M与N的交集即可．‎ ‎【解答】解：由M中不等式变形得：（x﹣4）（x+1）＜0，‎ 解得：﹣1＜x＜4，即M=（﹣1，4），‎ ‎∵N=[﹣5，0]，‎ ‎∴M∩N=（﹣1，0]，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2017•宝鸡一模）设x，y满足约束条件，若z=x+3y的最大值与最小值的差为7，则实数m=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，进一步求出最值，结合最大值与最小值的差为7求得实数m的值．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 联立，解得A（1，2），‎ 联立，解得B（m﹣1，m），‎ 化z=x+3y，得．‎ 由图可知，当直线过A时，z有最大值为7，‎ 当直线过B时，z有最大值为‎4m﹣1，‎ 由题意，7﹣（‎4m﹣1）=7，解得：m=．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2017•宝鸡一模）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的某一种算法．执行该程序框图，输入分别为98，63，则输出的结果是（　　）‎ A．14 B．‎18 ‎C．9 D．7‎ ‎【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序，可得：‎ m=98，n=63，‎ 第一次执行循环体，r=35，m=63，n=35，不满足退出循环的条件；‎ 第二次执行循环体，r=28，m=35，n=28，不满足退出循环的条件；‎ 第二次执行循环体，r=7，m=28，n=7，不满足退出循环的条件；‎ 第二次执行循环体，r=0，m=7，n=0，满足退出循环的条件；‎ 故输出的m值为7．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2017•宝鸡一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin（A+B）=，a=3，c=4，则sinA=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由内角和定理及诱导公式知sin（A+B）=sinC=，再利用正弦定理求解．‎ ‎【解答】解：∵A+B+C=π，‎ ‎∴sin（A+B）=sinC=，‎ 又∵a=3，c=4，‎ ‎∴=，‎ 即=，‎ ‎∴sinA=，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了三角形内角和定理及诱导公式，正弦定理的综合应用．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2017•宝鸡一模）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=cos（2x﹣）的图象（　　）‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎【分析】利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．‎ ‎【解答】解：把函数y=cos（2x﹣）=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位长度，‎ 可得y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x﹣）的图象，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2017•宝鸡一模）我市正在建设最具幸福感城市，原计划沿渭河修建7个河滩主题公园．为提升城市品位、升级公园功能，打算减少2个河滩主题公园，两端河滩主题公园不在调整计划之列，相邻的两个河滩主题公园不能同时被调整，则调整方案的种数为（　　）‎ A．12 B．‎8 ‎C．6 D．4‎ ‎【分析】利用间接法，任选中间5个的2个，再减去相邻的4个，问题得以解决．‎ ‎【解答】解：利用间接法，任选中间5个的2个，再减去相邻的4个，故有C52﹣4=6种，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查组合的应用，要灵活运用各种特殊方法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2017•宝鸡一模）已知A，B，C三点都在以O为球心的球面上，OA，OB，OC两两垂直，三棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积为（　　）‎ A． B．16π C． D．32π ‎【分析】设球O的半径为R，则OA=OB=OC=R，所以三棱锥O﹣ABC的体积为，利用三棱锥O﹣ABC的体积为，求出R，即可求出球O的表面积．‎ ‎【解答】解：设球O的半径为R，则OA=OB=OC=R，‎ 所以三棱锥O﹣ABC的体积为．‎ 由，解得R=2．‎ 故球O的表面积为16π．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2017•宝鸡一模）正项等比数列{an}中，a2016=a2015+‎2a2014，若aman=‎16a12，则+的最小值等于（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【分析】设正项等比数列{an}的公比为q，（q＞0），运用等比数列的通项公式，解方程可得q=2，由条件可得m+n=6，运用乘1法和基本不等式，计算即可得到所求最小值．‎ ‎【解答】解：设正项等比数列{an}的公比为q，（q＞0），‎ 由a2016=a2015+‎2a2014，得q2=q+2，‎ 解得q=2或q=﹣1（舍去）．‎ 又因为aman=‎16a12，即a12•‎2m+n﹣2=‎16a12，‎ 所以m+n=6．‎ 因此 ‎=≥（5+2）=，‎ 当且仅当m=4，n=2时，等号成立．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，考查等比数列的通项公式，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2017•宝鸡一模）已知双曲线C：mx2+ny2=1（mn＜0）的一条渐近线与圆x2+y2﹣6x﹣2y+9=0相切，则C的离心率等于（　　）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【分析】讨论当m＞0，n＜0时，双曲线的焦点在x轴上，求得渐近线方程，圆的圆心和半径，运用相切的条件：d=r，由点到直线的距离公式化简可得‎16m=﹣9n，化双曲线方程为标准方程，运用离心率公式计算可得；同样讨论当m＜0，n＞0时，双曲线的焦点在y轴上，可得离心率．‎ ‎【解答】解：当m＞0，n＜0时，双曲线的焦点在x轴上，‎ 可得渐近线方程为x±y=0，‎ 圆x2+y2﹣6x﹣2y+9=0的圆心为（3，1），半径为1，‎ 由题意可得d==1，‎ 化简可得‎16m=﹣9n，‎ 双曲线C：mx2+ny2=1的标准方程为﹣=1（m＞0，n＜0），‎ a2=，b2=﹣，‎ 离心率为====；‎ 当m＜0，n＞0时，双曲线的焦点在y轴上，‎ 可得渐近线方程为x±y=0，‎ 圆x2+y2﹣6x﹣2y+9=0的圆心为（3，1），半径为1，‎ 由题意可得d==1，‎ 化简可得‎16m=﹣9n，‎ 双曲线C：mx2+ny2=1的标准方程为﹣=1（m＜0，n＞0），‎ a'2=，b'2=﹣，‎ 离心率为===．‎ 综上可得，离心率为或．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用分类讨论思想方法，结合直线和圆相切的条件：d=r，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2017•宝鸡一模）在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，M，N（不与A，C重合）为AC边上的两个动点，且满足||=，则•的取值范围为（　　）‎ A．[，2] B．（，2） C．[，2） D．[，+∞）‎ ‎【分析】以等腰直角△ABC的直角边为坐标轴，建立平面直角坐标系，写出直线AC的方程，设出M的坐标，由||表示出点N的坐标，求出、与它们的数量积•的取值范围即可．‎ ‎【解答】解：以等腰直角△ABC的直角边为坐标轴，建立平面直角坐标系，‎ 如图所示；则B（0，0），直线AC的方程为x+y=2；‎ 设M（a，2﹣a），则0＜a＜1，‎ 由||=，得N（a+1，1﹣a）；‎ ‎∴=（a，2﹣a），=（a+1，1﹣a）；‎ ‎∴•=a（a+1）+（2﹣a）（1﹣a）=‎2a2﹣‎2a+2=2（a﹣）2+．‎ ‎∵0＜a＜1，∴当a=时，•取得最小值，‎ 且a=0或1时，•=2，无最大值；‎ ‎∴•的取值范围是[，2）．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了平面向量的数量积运算问题，采用坐标法可使问题计算简便，注意a的范围是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2017•山西二模）已知函数y=x2的图象在点（x0，x02）处的切线为l，若l也与函数y=lnx，x∈（0，1）的图象相切，则x0必满足（　　）‎ A．0＜x0＜ B．＜x0＜‎1 ‎C．＜x0＜ D．＜x0‎ ‎【分析】求出函数y=x2的导数，y=lnx的导数，求出切线的斜率，切线的方程，可得2x0=，lnm﹣1=﹣x02，再由零点存在定理，即可得到所求范围．‎ ‎【解答】解：函数y=x2的导数为y′=2x，‎ 在点（x0，x02）处的切线的斜率为k=2x0，‎ 切线方程为y﹣x02=2x0（x﹣x0），‎ 设切线与y=lnx相切的切点为（m，lnm），0＜m＜1，‎ 即有y=lnx的导数为y′=，‎ 可得2x0=，切线方程为y﹣lnm=（x﹣m），‎ 令x=0，可得y=lnm﹣1=﹣x02，‎ 由0＜m＜1，可得x0＞，且x02＞1，‎ 解得x0＞1，‎ 由m=，可得x02﹣ln（2x0）﹣1=0，‎ 令f（x）=x2﹣ln（2x）﹣1，x＞1，‎ f′（x）=2x﹣＞0，f（x）在x＞1递增，‎ 且f（）=2﹣ln2﹣1＜0，f（）=3﹣ln2﹣1＞0，‎ 则有x02﹣ln（2x0）﹣1=0的根x0∈（，）．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查函数方程的转化思想，以及函数零点存在定理的运用，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）（2017•宝鸡一模）若（ax﹣1）9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，且a0+a1+a2+…+a9=0，则a3=　84　．‎ ‎【分析】根据题意，令x=1求出a0+a1+a2+…+a9的值，从而求出a的值；再利用二项式展开式的通项公式求出a3的值．‎ ‎【解答】解：（ax﹣1）9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，‎ 令x=1，得（a﹣1）9=a0+a1+a2+…+a9=0，‎ ‎∴a=1；‎ ‎∴（x﹣1）9展开式的通项公式为：‎ Tr+1=•x9﹣r•（﹣1）r，‎ 令9﹣r=3，解得r=6；‎ ‎∴a3=•（﹣1）6=84．‎ 故答案为：84．‎ ‎【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了赋值法求二项式展开式的特殊项问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2017•宝鸡一模）设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是　（，+∞）　．‎ ‎【分析】根据题意，分析可得若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则函数y=f（x）的图象与直线y=k有且只有两个交点；作出函数y=f（x）的图象，分析直线y=k与其图象有且只有两个交点时k的取值范围，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，‎ 则函数y=f（x）的图象与直线y=k有且只有两个交点，‎ 而函数f（x）=，其图象如图，‎ 若直线y=k与其图象有且只有两个交点，必有k＞，即实数k的取值范围是（，+∞）；‎ 故答案为：（，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查函数零点的判断方法，关键是将函数零点的个数转化为函数图象的交点个数的问题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2017•宝鸡一模）如图，在Rt△ABC中，两条直角边分别为AB=2，BC=2，P为△ABC内一点，∠BPC=90°，若∠APB=150°，则tan∠PBA=　　．‎ ‎【分析】由题意设∠PBA=α，在Rt△PBC中求出PB，在△PBA中，由∠APB=150°和内角和定理求出∠PAB，由正弦定理列出方程，由两角差的正弦函数化简后，由商的关系求出tan∠PBA的值．‎ ‎【解答】解：由题意知：‎ ‎∠ABC=∠BPC=90°，AB=2，BC=2‎ 设∠PBA=α，在Rt△PBC中，‎ PB=BCcos（90°﹣α）=2sinα，‎ 在△PBA中，∠APB=150°，则∠PAB=30°﹣α，‎ 由正弦定理得，，‎ 则，即，‎ sinα=2（cosα﹣sinα），‎ 化简得4sinα=cosα，则tanα=，‎ 所以tan∠PBA=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查正弦定理，两角差的正弦函数，以及商的关系的应用，考查分析问题、解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2017•宝鸡一模）我市在“录像课评比”活动中，评审组将从录像课的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优．若A录像课的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B课，则称A课不亚于B课．假设共有5节录像课参评，如果某节录像课不亚于其他4节，就称此节录像课为优秀录像课．那么在这5节录像课中，最多可能有　5　节优秀录像课．‎ ‎【分析】记这5节录像课为A1﹣A5，设这5节录像课为先退到两节录像课的情形，若A1的点播量＞A2的点播量，且A2的专家评分＞A1的专家评分，则优秀录像课最多可能有2部，以此类推可知：这5节录像课中，优秀录像课最多可能有5部．‎ ‎【解答】解：记这5节录像课为A1﹣A5，‎ 设这5节录像课为先退到两节录像课的情形，若A1的点播量＞A2的点播量，‎ 且A2的专家评分＞A1的专家评分，则优秀录像课最多可能有2部； ‎ 再考虑3节录像课的情形，若A1的点播量＞A2的点播量＞A3的点播量，‎ 且A3的专家评分＞A2的专家评分＞A1的专家评分，则优秀录像课最多可能有3部．‎ 以此类推可知：这5节录像课中，优秀录像课最多可能有5部． ‎ 故答案为：5．‎ ‎【点评】‎ 本题考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，分析这5节录像课为先退到两部电影是关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共60分）‎ ‎17．（12分）（2017•宝鸡一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式 ‎（Ⅱ）若数列{} 的前n 项和为Tn，求证：1≤Tn＜3．‎ ‎【分析】（I）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．‎ ‎（II）=，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．‎ ‎【解答】（I）解：∵Sn=2an﹣2，∴a1=‎2a1﹣2，解得a1=2，‎ n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2﹣（2an﹣1﹣2），化为：an=2an﹣1，‎ ‎∴数列{an}是等比数列，首项为2，公比为2．‎ ‎∴an=2n．‎ ‎（II）证明：=，‎ ‎∴数列{} 的前n 项和Tn=++…+，‎ ‎=+…++，‎ ‎∴=1++…+﹣=﹣=﹣，‎ ‎∴Tn=3﹣∈[1，3）．‎ ‎∴1≤Tn＜3．‎ ‎【点评】本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2017•宝鸡一模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E是棱PD的中点，点F是PC的中点F．‎ ‎（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；‎ ‎（Ⅱ）若ABCD为正方形，探究在什么条件下，二面角C﹣AF﹣D大小为60°？‎ ‎【分析】（Ⅰ）连接BD，设AC∩BD=O，连结OE，则PB∥EO，由此能证明PB∥平面AEC．‎ ‎（Ⅱ）由题意知AD，AB，AP两两垂直，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出当AP等于正方形ABCD的边长时，二面角C﹣AF﹣D的大小为60°．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，设AC∩BD=O，连结OE，‎ ‎∵四边形ABCD为矩形，‎ ‎∴O是BD的中点，‎ ‎∵点E是棱PD的中点，‎ ‎∴PB∥EO，‎ 又PB⊄平面AEC，EO⊂平面AEC，‎ ‎∴PB∥平面AEC．‎ 解：（Ⅱ）由题意知AD，AB，AP两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz，‎ 设AB=‎2a，AD=2b，AP=‎2c，‎ 则A（0，0，0），B（‎2a，0，0），C（‎2a，2b，0），D（0，2b，0），P（0，0，‎2c）．‎ 设AC∩BD=O，连结OE，则O（a，b，0），E（0，b，c）．‎ 因为，，‎ 所以，所以∥，a=b，A（0，0，0），B（‎2a，0，0），‎ C（‎2a，‎2a，0），D（0，‎2a，0），P（0，0，‎2c），E（0，a，c），F（a，a，c），‎ 因为z轴⊂平面CAF，所以设平面CAF的一个法向量为=（x，1，0），‎ 而，所以=2ax+‎2a=0，得x=﹣1，所以=（﹣1，1，0）．‎ 因为y轴⊂平面DAF，所以设平面DAF的一个法向量为=（1，0，z），‎ 而，所以=a+cz=0，得，‎ 所以=（1，0，﹣）∥=（c，0，﹣a）．‎ cos60°==，得a=c．‎ 即当AP等于正方形ABCD的边长时，二面角C﹣AF﹣D的大小为60°．‎ ‎【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2012•天津）现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．‎ ‎（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；‎ ‎（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；‎ ‎（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．‎ ‎【分析】依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为 设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai（i=0，1，2，3，4），故P（Ai）=‎ ‎（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）；‎ ‎（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪A4，利用互斥事件的概率公式可求；‎ ‎（3）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．‎ ‎【解答】解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为 设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai（i=0，1，2，3，4），∴P（Ai）=‎ ‎（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）=；‎ ‎（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪A4，‎ ‎∴P（B）=P（A3）+P（A4）=‎ ‎（3）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P（ξ=0）=P（A2）=‎ P（ξ=2）=P（A1）+P（A3）=，P（ξ=4）=P（A0）+P（A4）=‎ ‎∴ξ的分布列是 ‎ ‎ ξ ‎ 0‎ ‎ 2‎ ‎ 4‎ ‎ P 数学期望Eξ=‎ ‎【点评】本题考查概率知识的求解，考查互斥事件的概率公式，考查离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2017•宝鸡一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过（1，1）与（，）两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|．求证：++为定值．‎ ‎【分析】（I）把（1，1）与（，）两点代入椭圆方程解出即可．‎ ‎（II）由|MA|=|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．‎ ‎①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点；同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点；直接代入计算即可．‎ ‎②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y=kx（k≠0），则直线OM的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆的方程联立解出坐标，即可得到=，同理，代入要求的式子即可．‎ ‎【解答】解析（Ⅰ）将（1，1）与（，）两点代入椭圆C的方程，‎ 得解得．‎ ‎∴椭圆PM2的方程为．‎ ‎（Ⅱ）由|MA|=|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．‎ ‎①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时 ‎=．‎ 同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点，此时 ‎=．‎ ‎②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y=kx（k≠0），‎ 则直线OM的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由解得，，‎ ‎∴=，同理，‎ 所以=2×+=2，‎ 故=2为定值．‎ ‎【点评】本小题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等 ‎　‎ ‎21．（12分）（2017•宝鸡一模）设函数f（x）=ax2lnx+b（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）过点（e，e2﹣e+1），且在点（1，0）处的切线方程为y=0．‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）证明：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；‎ ‎（Ⅲ）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出函数的f′（x），通过f′（1）=a+b=0，f（e）=e2﹣e+1，求出a，b．‎ ‎（Ⅱ）求出f（x）的解析式，设g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1），求出导数，二次求导，判断g′（x）的单调性，然后证明f（x）≥（x﹣1）2．‎ ‎（Ⅲ）设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，求出h′（x），利用（Ⅱ） 中知x2lnx≥（x﹣1）2+x﹣1=x（x﹣1），推出h′（x）≥3（x﹣1）﹣‎2m（x﹣1），①当时，②当时，求解m的范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=ax2lnx+b（x﹣1）（x＞0），可得f′（x）=2alnx+ax+b，‎ ‎∵f′（1）=a+b=0，f（e）=ae2+b（e﹣1）=a（e2﹣e+1）=e2﹣e+1∴a=1，b=﹣1．…（4分）‎ ‎（Ⅱ）f（x）=x2lnx﹣x+1，‎ 设g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1），g′（x）=2xlnx﹣x+1（g′（x））′=2lnx＞0，∴g′（x）在[0，+∞‎ ‎）上单调递增，∴g′（x）≥g′（1）=0，∴g（x）在[0，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（1）=0．∴f（x）≥（x﹣1）2．…（8分）‎ ‎（Ⅲ）设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，h′（x）=2xlnx+x﹣‎2m（x﹣1）﹣1，‎ ‎（Ⅱ） 中知x2lnx≥（x﹣1）2+x﹣1=x（x﹣1），∴xlnx≥x﹣1，∴h′（x）≥3（x﹣1）﹣‎2m（x﹣1），‎ ‎①当3﹣‎2m≥0即时，h′（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）单调递增，∴h（x）≥h（1）=0，成立．‎ ‎②当3﹣m＜0即时，h′（x）=2xlnx﹣（1﹣‎2m）（x﹣1），（h′（x））′=2lnx+3﹣‎2m，‎ 令（h′（x））=0，得，‎ 当x∈[1，x0）时，h′（x）＜h′（1）=0，∴h（x）在[1，x0）上单调递减∴h（x）＜h（1）=0，不成立．‎ 综上，．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性的判断参数的范围的求法，考查分析问题解决问题的能力．‎ ‎　‎ 选修题[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）（2017•宝鸡一模）极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．‎ ‎（1）求C的直角坐标方程；‎ ‎（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．‎ ‎【分析】（1）将极坐标方程两边同乘ρ，进而根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可求出C的直角坐标方程；‎ ‎（2）将直线l的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，求出对应的t值，根据参数t的几何意义，求出|EA|+|EB|的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）‎ ‎∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ ‎∴x2+y2=2x+2y 即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）‎ ‎（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，‎ 得t2﹣t﹣1=0，‎ 所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）‎ ‎【点评】本题考查的知识点是参数方程与普通方程，直线与圆的位置关系，极坐标，熟练掌握极坐标方程与普通方程之间互化的公式，及直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键．‎ ‎　‎ 五、选修4-5：不等式选讲 ‎23．（10分）（2017•宝鸡一模）已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．‎ ‎（1）解不等式|g（x）|＜5；‎ ‎（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．‎ ‎（2）利用条件说明{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）由||x﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x﹣1|+2＜5‎ ‎∴﹣7＜|x﹣1|＜3，‎ 得不等式的解为﹣2＜x＜4…（5分）‎ ‎（2）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，‎ 所以{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，‎ 又f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|=|a+3|，‎ g（x）=|x﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，‎ 所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．…（10分）‎ ‎【点评】本题考查函数的恒成立，绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．‎ ‎　‎