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- 2021-05-13 发布
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2019年陕西省“超级全能生”高考数学二模试卷(理科)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(5分)已知集合M={x|﹣2<x<2},N={x|log2x>0},则M∩N为( )
A.(﹣2,2) B.(1,+∞) C.(1,2) D.(﹣2,+∞)
2.(5分)已知复数z满足,则|z|=( )
A.3 B. C.4 D.
3.(5分)若实数x,y满足约束条件,则目标函数的最大值为( )
A. B. C. D.
4.(5分)已知命题p:对∀x>0,总有x<sinx;命题q:直线l1:ax+2y+1=0,l2:x+(a﹣1)y﹣1=0若l1∥l2,则a=2或a=﹣1;则下列命题中是真命题的是( )
A.p∧q B.(¬p)∧(¬q) C.(¬p)∨q D.p∨q
5.(5分)陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台,号称“天下第一福地”,是我国著名的道教圣地,古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言.景区内有一处景点建筑,是按古典著作《连山易》中记载的金、木、谁、火、土之间相生相克的关系,如图所示,现从五种不同属性的物质中任取两种,则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为( )
A. B. C. D.
6.(5分)如图是计算值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是( )
A.k≥5 B.k<5 C.k>5 D.k≤6
7.(5分)已知点(2,8)在幂函数f(x)=xn图象上,设,则a,b,c的大小关系是( )
A.b>a>c B.a>b>c C.c>b>a D.b>c>a
8.(5分)要得到函数的图象,只需将函数y=sinx的图象经过下列两次变换而得到的( )
A.先将y=sinx的图象上各点的横坐标缩短为原来的一半,再将所得图象向左平移个单位
B.先将y=sinx的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,再将所得图象向左平移个单位
C.先将y=sinx的图象向左平移个单位,再将所得图上各点的横坐标缩短为原来的一半
D.先将y=sinx的图象向左平移个单位,再将所得图上各点的横坐标伸长为原来的2倍
9.(5分)某三棱锥的三视图如图所示,其俯视图是一个等腰直角三角形,在此三棱锥的六条棱中,最长棱的长度为( )
A.2 B. C. D.
10.(5分)已知抛物线y2=4x的准线过双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点且与双曲线交于A、B两点,O为坐标原点,且△AOB的面积为,则双曲线的离心率为( )
A. B.4 C.3 D.2
11.(5分)一布袋中装有n个小球,甲,乙两个同学轮流且不放回的抓球,每次最少抓一个球,最多抓三个球,规定:由甲先抓,且谁抓到最后一个球谁赢,那么以下推断中正确的是( )
A.若n=9,则甲有必赢的策略
B.若n=11,则乙有必赢的策略
C.若n=6,则乙有必赢的策略
D.若n=4,则甲有必赢的策略
12.(5分)已知函数,又函数g(x)=f2(x)+tf(x)+1(t∈R)有4个不同的零点,则实数t的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣) B.
C. D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)
13.(5分)若,则S1,S2,S3的大小关系为 .
14.(5分)公比为的等比数列{an}的各项都是正数,且a2a12=16,则log2a15
= .
15.(5分)圆x2+y2=1的任意一条切线与圆x2+y2=4相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,O为坐标原点,则x1x2+y1y2= .
16.(5分)在实数集R中定义一种运算“*”,具有性质:
(1)对任意a,b∈R,a*b=b*a;
(2)对任意a,a*0=0;
(3)对任意a,b∈R,(a*b)*c=c(ab)+(a*c)+(b*c)﹣5c.
则函数的最小值为 .
三、解答题(本大题共5小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)(一)必考题:共60分.
17.(12分)某市规划一个平面示意图为如下图五边形ABCDE的一条自行车赛道,ED,DC,CB,BA,AE为赛道(不考虑宽度),BE为赛道内的一条服务通道,∠BCD=∠CDE=∠BAE=,DE=4km,BC=CD=km.
(1)求服务通道BE的长度;
(3)应如何设计,才能使折线段赛道BAE最长?
18.(12分)某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况,对该公司2018年连续6个月的利润进行了统计,并根据得到的数据绘制了相应的折线图,如图所示
(1)由折线图可以看出,可用线性回归模型拟合月利润y(单位:百万元)与月代码x之间的关系,求y关于x的线性回归方程,并预测该公司2019年3月份的利润;
(2)甲公司新研制了一款产品,需要采购一批新型材料,现有A,B两种型号的新型材料可供选择,按规定每种新型材料最多可使用4个月,但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不相同,现对A,B两种新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试,得到两种新型材料使用寿命的聘书统计如下表:
寿命类型
1个月
2个月
3个月
4个月
总计
A
20
35
35
10
100
B
10
30
40
20
100
经甲公司测算平均每包新型材料每月可以带来5万元收入,不考虑除采购成本之外的其他成本,A材料每包的成本为10万元,B材料每包的成本为12万元.假设每包新型材料的使用寿命都是整数月,且以频率作为每包新型材料使用寿命的概率,如果你是甲公司的负责人,以每包新型材料产生利润的期望值为决策依据,你会选择采购哪款新型材料?
参考数据:.
参考公式:回归直线方程为.
19.(12分)如图所示,等腰梯形ABCD的底角∠BAD=∠ADC=60°,直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD,且∠EDA=90°,ED=AD=2AF=2AB=2.
(1)证明:平面ABE⊥平面EBD;
(2)点M在线段EF上,试确定点M的位置,使平面MAB与平面ECD所成角的锐二面角的余弦值为.
20.(12分)已知F1,F2为椭圆的左右焦点,点P(2,3)为其上一点,且|PF1|+|PF2|=8.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线l:y=kx﹣4交椭圆C于A,B两点,且原点O在以线段AB为直径的圆的外部,试求k的取值范围.
21.(12分)函数f(x)=ln(x+t)+,其中t、a为实常数.
(1)若t=0时,讨论函数f(x)的单调性;
(2)t=0时,不等式f(x)≥1在x∈(0,1]上恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若g(x)=ex+,当t≤2时,证明:g(x)>f(x).
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-:4:坐标系与参数方程]
22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1:x2+y2﹣x=0,C2:x2+y2﹣2y=0.
(1)以过原点的直线的倾斜角θ为参数,写出曲线C2的参数方程;
(2)直线l过原点,且与曲线C1,C2分别交于A,B两点(A,B不是原点),求|AB|的最大值.
[选修4-:5:不等式选讲]
23.已知对任意实数x,都有|x+2|+|x﹣4|﹣m≥0恒成立.
(1)求实数m的取值范围;
(2)若m的最大值为n,当正实数a,b满足时,求4a+7b的最小值.
2019年陕西省“超级全能生”高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(5分)已知集合M={x|﹣2<x<2},N={x|log2x>0},则M∩N为( )
A.(﹣2,2) B.(1,+∞) C.(1,2) D.(﹣2,+∞)
【考点】1E:交集及其运算.菁优网版权所有
【专题】11:计算题;37:集合思想;4O:定义法;5J:集合.
【分析】分别求出集合M,N,由此能求出M∩N.
【解答】解:∵集合M={x|﹣2<x<2},
N={x|log2x>0}={x|x>1},
∴M∩N={x|1<x<2}=(1,2).
故选:C.
【点评】本题考查交集的求法,考查交集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
2.(5分)已知复数z满足,则|z|=( )
A.3 B. C.4 D.
【考点】A8:复数的模.菁优网版权所有
【专题】11:计算题;35:转化思想;4G:演绎法;5N:数系的扩充和复数.
【分析】由题意结合复数模的运算法则计算z的模即可.
【解答】解:由复数模的运算法则可得:.
故选:D.
【点评】本题主要考查复数的模的求解等知识,属于基础题.
3.(5分)若实数x,y满足约束条件,则目标函数的最大值为( )
A. B. C. D.
【考点】7C:简单线性规划.菁优网版权所有
【专题】11:计算题;31:数形结合;35:转化思想;49:综合法;5T:不等式.
【分析】作出可行域,表示可行域内的点到原点距离,数形结合可得.
【解答】解:作出实数x,y满足约束条件,所对应的可行域,
而目标函数表示可行域内的点A到原点距离的平方,
由:,解得A(1,3)
数形结合可得最大值为:=,
故选:B.
【点评】本题考查简单线性规划,准确作图是解决问题的关键,属中档题.
4.(5分)已知命题p:对∀x>0,总有x<sinx;命题q:直线l1:ax+2y+1=0,l2:x+(a﹣1)y﹣1=0若l1∥l2,则a=2或a=﹣1;则下列命题中是真命题的是( )
A.p∧q B.(¬p)∧(¬q) C.(¬p)∨q D.p∨q
【考点】2E:复合命题及其真假.菁优网版权所有
【专题】35:转化思想;4R:转化法;5L:简易逻辑.
【分析】根据条件判断命题p,q的真假,结合复合命题真假关系进行判断即可.
【解答】解:设f(x)=sinx﹣x,则f′(x)=cosx﹣1≤0,则函数f(x)在x≥0上为减函数,
则当x>0时,f(x)<f(0)=0,即此时sinx<x恒成立,即命题p是真命题,
若a=0,则两直线方程为l1:2y+1=0,l2:x﹣y﹣1=0,此时两直线不平行,不满足条件.
若a≠0,若两直线平行,则满足,
由得a(a﹣1)=2,即a2﹣a﹣2=0得a=2或a=﹣1,
由≠﹣1得a≠﹣1,
则a=2,即命题q是假命题,
则p∨q是真命题,其余为假命题,
故选:D.
【点评】本题主要考查复合命题真假的判断,根据条件判断命题p,q的真假是解决本题的关键.
5.(5分)陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台,号称“天下第一福地”,是我国著名的道教圣地,古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言.景区内有一处景点建筑,是按古典著作《连山易》中记载的金、木、谁、火、土之间相生相克的关系,如图所示,现从五种不同属性的物质中任取两种,则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为( )
A. B. C. D.
【考点】CB:古典概型及其概率计算公式.菁优网版权所有
【专题】11:计算题;34:方程思想;4O:定义法;5I:概率与统计.
【分析】基本事件总数n=C=10,取出的两种物质恰好是相克关系包含的基本事件个数m==5,由此能求出取出的两种物质恰好是相克关系的概率.
【解答】解:现从五种不同属性的物质中任取两种,
基本事件总数n=C=10,
取出的两种物质恰好是相克关系包含的基本事件个数m==5,
则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为p==.
故选:B.
【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
6.(5分)如图是计算值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是( )
A.k≥5 B.k<5 C.k>5 D.k≤6
【考点】EF:程序框图.菁优网版权所有
【专题】5K:算法和程序框图.
【分析】根据算法的功能确定循环的次数是5,确定跳出循环体的n值为12,k值为6,由此可得判断框内应填的条件.
【解答】解:∵算法的功能是计算值,共循环5次,
∴跳出循环体的n值为12,k值为6,
∴判断框内应填的条件是k>5或k≥6.
故选:C.
【点评】本题考查了循环结构的程序框图,根据算法的功能确定循环的次数,从而求得跳出循环体的k值是关键.
7.(5分)已知点(2,8)在幂函数f(x)=xn图象上,设,则a,b,c的大小关系是( )
A.b>a>c B.a>b>c C.c>b>a D.b>c>a
【考点】4X:幂函数的性质.菁优网版权所有
【专题】11:计算题;33:函数思想;4O:定义法;51:函数的性质及应用.
【分析】推导出f(x)=x3,从而<a=[()0.3]3=()0.9<()0=1,>b=[()0.2]3=()0.6>()0=1,c=()3<(log1)3=0,由此能判断a,b,c的大小关系.
【解答】解:点(2,8)在幂函数f(x)=xn图象上,
∴f(2)=2n=8,解得n=3,∴f(x)=x3,
设,
∴<a=[()0.3]3=()0.9<()0=1,
>b=[()0.2]3=()0.6>()0=1,
c=()3<(log1)3=0,
∴a,b,c的大小关系是b>a>c.
故选:A.
【点评】本题考查三个数的大小的判断,考查幂函数性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
8.(5分)要得到函数的图象,只需将函数y=sinx的图象经过下列两次变换而得到的( )
A.先将y=sinx的图象上各点的横坐标缩短为原来的一半,再将所得图象向左平移个单位
B.先将y=sinx的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,再将所得图象向左平移个单位
C.先将y=sinx的图象向左平移个单位,再将所得图上各点的横坐标缩短为原来的一半
D.先将y=sinx的图象向左平移个单位,再将所得图上各点的横坐标伸长为原来的2倍
【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.菁优网版权所有
【专题】38:对应思想;4O:定义法;57:三角函数的图象与性质.
【分析】根据三角函数的图象变换关系进行判断即可.
【解答】解:要得到函数的图象,只需将函数y=sinx的图象向左平移个单位,
得到y=sin(x+),再将所得图上各点的横坐标缩短为原来的一半,得到y=sin(2x+),
故选:C.
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,根据三角函数的图象变换关系是解决本题的关键.
9.(5分)某三棱锥的三视图如图所示,其俯视图是一个等腰直角三角形,在此三棱锥的六条棱中,最长棱的长度为( )
A.2 B. C. D.
【考点】L!:由三视图求面积、体积.菁优网版权所有
【专题】11:计算题;31:数形结合;35:转化思想;49:综合法;5F:空间位置关系与距离.
【分析】画出几何体的直观图,利用三视图的数据求解几何体的最长棱长.
【解答】解:由题意可知几何体的直观图如图:
可知PA⊥底面ABC,三角形ABC是等腰三角形,AB⊥BC,
可知PC是最长的棱长:=2.
故选:B.
【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长,考查计算能力.
10.(5分)已知抛物线y2=4x的准线过双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点且与双曲线交于A、B两点,O为坐标原点,且△AOB的面积为,则双曲线的离心率为( )
A. B.4 C.3 D.2
【考点】KC:双曲线的性质.菁优网版权所有
【专题】11:计算题;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】求出抛物线y2=4x的准线方程,可得双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点,求出x=﹣1时,y的值,利用△AOB的面积为,求出a,即可求双曲线的离心率.
【解答】解:∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1,
∴双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点为(﹣1,0)
x=﹣1时,代入双曲线方程,由b2=1﹣a2,可得y=,
∵△AOB的面积为,
∴=,
∴a=,
∴e==2.
故选:D.
【点评】
本题考查抛物线、双曲线的几何性质,考查三角形面积的计算,正确运用抛物线、双曲线的几何性质是关键.
11.(5分)一布袋中装有n个小球,甲,乙两个同学轮流且不放回的抓球,每次最少抓一个球,最多抓三个球,规定:由甲先抓,且谁抓到最后一个球谁赢,那么以下推断中正确的是( )
A.若n=9,则甲有必赢的策略
B.若n=11,则乙有必赢的策略
C.若n=6,则乙有必赢的策略
D.若n=4,则甲有必赢的策略
【考点】F4:进行简单的合情推理.菁优网版权所有
【专题】12:应用题;5L:简易逻辑.
【分析】甲若想必胜,则必须最后取球时还剩1﹣﹣3个球,通过简单的合情推理可以得解.
【解答】解:若n=9,则甲有必赢的策略,
必赢策略如下:
第一步:甲先抓1球,
第二步:①当乙抓1球时,甲再抓3球时;
②当乙抓2球时,甲再抓2球时;
③当乙抓3球时,甲再抓1球时;
第三步:这时还有4个球,轮到乙抓,按规定乙最少抓一个球,最多抓三个球,
则布袋中都会剩余1﹣﹣3个球,
第四步:甲再抓走剩下所有的球,从而甲胜.
故选:A.
【点评】本题考查了实际操作的能力及进行简单的合情推理,属简单题.
12.(5分)已知函数,又函数g(x)=f2(x)+tf(x)+1(t∈R)有4个不同的零点,则实数t的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣) B.
C. D.
【考点】57:函数与方程的综合运用.菁优网版权所有
【专题】11:计算题;51:函数的性质及应用;53:导数的综合应用.
【分析】由函数的零点与函数图象的交点问题得:g(x)=f2(x)+tf(x)+1(t∈R)有4个不同的零点等价于t=f(x)的图象与直线m=m1,m=m2的交点有4个,
结合利用导数研究函数的图象可作出函数t=f(x)的图象与直线m=m1,m=m2的位置,
由二次方程区间根问题得:h()<0,解得:t<,得解
【解答】解:由已知有f(x)=(x≥0),
f′(x)=,
易得0≤x<1时,f′(x)>0,x>1时,f′(x)<0,
即f(x)在[0,1)为增函数,在(1,+∞)为减函数,
设m=f(x),则h(m)=m2+tm+1,
设h(m)=m2+tm+1的零点为m1,m2
则g(x)=f2(x)+tf(x)+1(t∈R)有4个不同的零点
等价于t=f(x)的图象与直线m=m1,m=m2的交点有4个,
函数t=f(x)的图象与直线m=m1,m=m2的位置关系如图所示,
由图知:0,
即h()<0,解得:t<,
故选:A.
【点评】本题考查了函数的零点与函数图象的交点问题、利用导数研究函数的图象及二次方程区间根问题,属中档题
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)
13.(5分)若,则S1,S2,S3的大小关系为 S2<S1<S3 .
【考点】67:定积分、微积分基本定理.菁优网版权所有
【专题】11:计算题;21:阅读型;35:转化思想;48:分析法;52:导数的概念及应用.
【分析】运用微积分基本定理可解决此问题.
【解答】解:S1=×(23﹣13)=,
S2=ln2﹣ln1=ln2,
S3=e2﹣e,
其中0<S2<1,2<S1<3,S3>3,
故答案为S2<S1<S3
【点评】本题考查定积分的简单应用.
14.(5分)公比为的等比数列{an}的各项都是正数,且a2a12=16,则log2a15= 6 .
【考点】88:等比数列的通项公式.菁优网版权所有
【专题】35:转化思想;49:综合法;54:等差数列与等比数列.
【分析】等比中项结合对数的运算性质可得结果.
【解答】解:∵a2a12=a72=16,∴a7=4,
∴log2a15=log2a7q8=log24×()8=6.
故答案为:6.
【点评】本题考查了等比数列的性质及对数的运算性质,属基础题.
15.(5分)圆x2+y2=1的任意一条切线与圆x2+y2=4相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,O为坐标原点,则x1x2+y1y2= ﹣2 .
【考点】JF:圆方程的综合应用.菁优网版权所有
【专题】11:计算题;34:方程思想;35:转化思想;5A:平面向量及应用;5B:直线与圆.
【分析】根据题意,设AB与圆x2+y2=1相切于点P,由两个圆的方程分析可得|OP|=1,|OA|=|OB|=2,又由OP⊥AB,分析可得∠AOB=120°;结合数量积的计算公式可得
•=x1x2+y1y2=|OA||OB|cos120°=﹣2,即可得答案.
【解答】解:根据题意,设AB与圆x2+y2=1相切于点P,
分析可得|OP|=1,|OA|=|OB|=2,
又由OP⊥AB,则∠BOP=60°,
则∠AOB=120°,
又由A(x1,y1),B(x2,y2),
则•=x1x2+y1y2=|OA||OB|cos120°=﹣2,
则x1x2+y1y2=﹣2;
故答案为:﹣2.
【点评】本题考查直线与圆相交的性质,涉及圆与圆的位置关系以及数量积的计算公式,属于基础题.
16.(5分)在实数集R中定义一种运算“*”,具有性质:
(1)对任意a,b∈R,a*b=b*a;
(2)对任意a,a*0=0;
(3)对任意a,b∈R,(a*b)*c=c(ab)+(a*c)+(b*c)﹣5c.
则函数的最小值为 ﹣3 .
【考点】3H:函数的最值及其几何意义.菁优网版权所有
【专题】11:计算题;33:函数思想;4O:定义法;51:函数的性质及应用.
【分析】根据题目给出的新定义,写出函数的解析式f(x)=x+﹣5,然后运用基本不等式求最值.
【解答】解:根据定义的运算性质得:f(x)=x*=(x*)*1
=1×(x•)+(x*1)+(*1)﹣5×1=1+1*x+1*=x+﹣5,
因为x>0,由均值不等式得f(x)=x+﹣5≥2﹣5=2﹣5=﹣3(当且仅当x=1时取“=”),
即f(x)的最小值为﹣3.
故答案为﹣3.
【点评】本题考查了函数值域的求法,考查了利用基本不等式求函数最值的方法,解答此题的关键是能够根据题目所给的新定义,正确写出熟悉的函数表达式.
三、解答题(本大题共5小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)(一)必考题:共60分.
17.(12分)某市规划一个平面示意图为如下图五边形ABCDE的一条自行车赛道,ED,DC,CB,BA,AE为赛道(不考虑宽度),BE为赛道内的一条服务通道,∠BCD=∠CDE=∠BAE=,DE=4km,BC=CD=km.
(1)求服务通道BE的长度;
(3)应如何设计,才能使折线段赛道BAE最长?
【考点】HP:正弦定理.菁优网版权所有
【专题】11:计算题;35:转化思想;44:数形结合法;58:解三角形.
【分析】(1)连接BD,在△BCD中,由余弦定理可得BD的值,由BC=CD,可求∠CBD=∠CDB=,可求∠BDE=,利用勾股定理可求BE的值.
(2)在△BAE中,∠BAE=,BE=5,由余弦定理,基本不等式可求AB+AE≤,当且仅当AB=AE时,等号成立,即可得解AB=AE时,折线段赛道BAE最长.
【解答】解:(1)∵连接BD,∠BCD=∠CDE=∠BAE=,DE=4km,BC=CD=km
∴在△BCD中,由余弦定理可得:BD2=BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD=3+3+2×=9,
∴BD=3,
∵BC=CD,
∴∠CBD=∠CDB=,
又∵∠CDE=,
∴∠BDE=,
在Rt△BDE中,BE==5.
(2)在△BAE中,∠BAE=,BE=5,
由余弦定理可得:BE2=AB2+AE2﹣2AB•AE•cos∠BAE,即:25=AB2+AE2+AB•AE,
可得:(AB+AE)2﹣25=AB•AE≤()2,
从而(AB+AE)2≤25,即:AB+AE≤,当且仅当AB=AE时,等号成立,
即设计为AB=AE时,折线段赛道BAE最长.
【点评】本题主要考查了余弦定理,勾股定理,基本不等式在解三角形中的综合应用,考查了转化思想和数形结合思想的应用,属于中档题.
18.(12分)某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况,对该公司2018年连续6个月的利润进行了统计,并根据得到的数据绘制了相应的折线图,如图所示
(1)由折线图可以看出,可用线性回归模型拟合月利润y(单位:百万元)与月代码x之间的关系,求y关于x的线性回归方程,并预测该公司2019年3月份的利润;
(2)甲公司新研制了一款产品,需要采购一批新型材料,现有A,B
两种型号的新型材料可供选择,按规定每种新型材料最多可使用4个月,但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不相同,现对A,B两种新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试,得到两种新型材料使用寿命的聘书统计如下表:
寿命类型
1个月
2个月
3个月
4个月
总计
A
20
35
35
10
100
B
10
30
40
20
100
经甲公司测算平均每包新型材料每月可以带来5万元收入,不考虑除采购成本之外的其他成本,A材料每包的成本为10万元,B材料每包的成本为12万元.假设每包新型材料的使用寿命都是整数月,且以频率作为每包新型材料使用寿命的概率,如果你是甲公司的负责人,以每包新型材料产生利润的期望值为决策依据,你会选择采购哪款新型材料?
参考数据:.
参考公式:回归直线方程为.
【考点】BK:线性回归方程.菁优网版权所有
【专题】38:对应思想;4R:转化法;5I:概率与统计.
【分析】(1)求出回归系数,可得回归方程,即可得出结论;
(2)分别计算相应的数学期望,即可得出结论.
【解答】解:(1)由折现图可知统计数据(,)共6组,
即(1,11),(2,13),(3,16),(4,15),(5,20),(6,21),
计算可得=(1+2+3+4+5+6)=3.5,
=yi=•96=16,
故==2,
故=﹣=16﹣2•3.5=9,
∴x关于y的线性回归方程为=2x+9,
故x=11时,则=2×11+9=31,
即预测公司2018年1月份(即x=7时)的利润为31百万元;
(2)由频率估计概率,A型材料可使用1个月,2个月,3个月、4个月的概率分别为0.2,0.35,0.35,0.1,
∴A型材料利润的数学期望为(5﹣10)×0.2+(10﹣10)×0.35+(15﹣10)×0.35+(20﹣10)×0.1=1.75万元;
B型材料可使用1个月,2个月,3个月、4个月的概率分别为0.1,0.3,0.4,0.2,
∴B型材料利润的数学期望为(5﹣12)×0.1+(10﹣12)×0.3+(15﹣12)×0.4+(20﹣12)×0.2=1.50万元;
∵1.75>1.50,
∴应该采购A型材料.
【点评】本题考查数学知识在实际生活中的应用,考查学生的阅读能力,对数据的处理能力,属于中档题.
19.(12分)如图所示,等腰梯形ABCD的底角∠BAD=∠ADC=60°,直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD,且∠EDA=90°,ED=AD=2AF=2AB=2.
(1)证明:平面ABE⊥平面EBD;
(2)点M在线段EF上,试确定点M的位置,使平面MAB与平面ECD所成角的锐二面角的余弦值为.
【考点】LY:平面与平面垂直;MJ:二面角的平面角及求法.菁优网版权所有
【专题】14:证明题;31:数形结合;41:向量法;5F:空间位置关系与距离;5G:空间角.
【分析】(1)推导出EAD⊥平面ABCD,ED⊥AD,AB⊥AD,由此能证明AB⊥平面BDE,从而平面ABE⊥平面EBD.
(2)以B为坐标原点,以BA,BD为x轴,y轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出点M中线段EF中点时,使平面MAB与平面ECD所成角的锐二面角的余弦值为.
【解答】证明:(1)∵平面ABCD⊥平面ADEF,平面ABCD∩平面ADEF=AD,ED⊥AD,
∴EAD⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴ED⊥AD,
∵AB=1,AD=2,∠BAD=60°,
∴BD==,
∴AB2+BD2=AD2,∴AB⊥AD,
又BD⊂平面BDE,ED⊂平面BDE,BD∩ED=D,
∴AB⊥平面BDE,
又AB⊂平面ABE,∴平面ABE⊥平面EBD.
解:(2)以B为坐标原点,以BA,BD为x轴,y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(1,0,0),B(0,0,0),C(﹣,0),D(0,,0),E(0,),F(1,0,1),
则=(,0),=(0,0,2),=(1,0,0),=(1,﹣,﹣1),
设==(),(0≤λ≤1),
则==(,2﹣λ),
设平面CDE的法向量为=(x,y,z),平面ABM的法向量为=(x,y,z),
则,即,取y=1,得=(﹣,1,0),
,即,
取y=2﹣λ,得=(0,2﹣λ,),
∵平面MAB与平面ECD所成角的锐二面角的余弦值为.
∴|cos<>|===,
解得,
∴点M中线段EF中点时,使平面MAB与平面ECD所成角的锐二面角的余弦值为.
【点评】本题考查面面垂直的证明,考查满足二面角的余弦值的点的位置的确定与求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.
20.(12分)已知F1,F2为椭圆的左右焦点,点P(2,3)为其上一点,且|PF1|+|PF2|=8.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线l:y=kx﹣4交椭圆C于A,B两点,且原点O在以线段AB为直径的圆的外部,试求k的取值范围.
【考点】K4:椭圆的性质;KL:直线与椭圆的综合.菁优网版权所有
【专题】15:综合题;38:对应思想;4R:转化法;5E:圆锥曲线中的最值与范围问题.
【分析】(1)由题意可得,解得a2=16,b2=12求椭圆C的方程.
(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),联立直线与椭圆方程,利用韦达定理以及判别式大于0,通过原点O在以线段AB为直径的圆的外部,推出•>0,然后求解k的范围即可.
【解答】解:(1)由题意可得,解得a2=16,b2=12,
∴椭圆的方程为+=1,
(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),
由得(4k2+3)x2﹣32kx+16=0,
∴x1+x2=,x1x2=,
由△>0,即(﹣32k2)﹣4×16(4k2+3)>0,解得k>或k<﹣.①
∵原点O在以线段AB为直径的圆的外部,则•>0,
∴•=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1﹣4)(kx2﹣4)=(k2+1)x1x2﹣4k(x1+x2)+16
=(k2+1)•﹣4k•+16=>0
解得﹣<k<.②
由①②解得实数k的范围是(﹣,﹣)∪(,).
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用,圆锥曲线的综合应用,考查分析问题解决问题的能力.
21.(12分)函数f(x)=ln(x+t)+,其中t、a为实常数.
(1)若t=0时,讨论函数f(x)的单调性;
(2)t=0时,不等式f(x)≥1在x∈(0,1]上恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若g(x)=ex+,当t≤2时,证明:g(x)>f(x).
【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6E:利用导数研究函数的最值.菁优网版权所有
【专题】34:方程思想;4R:转化法;53:导数的综合应用;59:不等式的解法及应用.
【分析】(1)当t=0时,f(x)=lnx+,x>0,f′(x)=﹣=,对a分类讨论即可得出函数的单调性.
(2)不等式f(x)≥1在x∈(0,1]上恒成立,可得a≥x﹣xlnx,设h(x)=x﹣xlnx,x∈(0,1],利用导数研究其单调性极值与最值即可得出.
(3)g(x)﹣f(x)=ex+﹣ln(x+t)﹣=ex﹣ln(x+t),t≤2,由x+t>0,可得x>﹣t≥﹣2,设m(x)=ex﹣x﹣1,利用导数研究函数的单调性可得ex>x+1.因此要证g(x)>f(x),只要证x+1﹣ln(x+t)>0,设φ(x)=x+1﹣ln(x+t),利用导数研究其单调性即可证明结论.
【解答】解:(1)当t=0时,f(x)=lnx+,x>0,
∴f′(x)=﹣=,
当a≤0时,f′(x)>0恒成立,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,
当a>0时,若0<x<a,则f′(x)<0,函数单调递减,若x>a,则f′(x)>0,函数单调递增,
∴f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)单调递增,
(2)∵不等式f(x)≥1在x∈(0,1]上恒成立,
∴a≥x﹣xlnx,
设h(x)=x﹣xlnx,x∈(0,1]
∴h′(x)=1﹣1﹣lnx=﹣lnx≥0恒成立,
∴h(x)在(0,1]上单调递增,
∴h(x)max=h(1)=1,
∴a≥1
(3)g(x)﹣f(x)=ex+﹣ln(x+t)﹣=ex﹣ln(x+t),t≤2,
∴x+t>0,∴x>﹣t≥﹣2,
设m(x)=ex﹣x﹣1,∴m′(x)=ex﹣1,
当x>0时,m′(x)>0,函数m(x)单调递增,
当x<0时,m′(x)<0,函数m(x)单调递减,
∴m(x)>m(0)=1﹣1>0,
∴ex>x+1,
要证g(x)>f(x),只要证x+1﹣ln(x+t)>0,
设φ(x)=x+1﹣ln(x+t),
∴φ′(x)=1﹣=,
令φ′(x)=0,解得x=1﹣t>﹣1,
当x>1﹣t时,φ′(x)>0,函数φ(x)单调递增,
当﹣t<x<1﹣t时,φ′(x)<0,函数φ(x)单调递减,
∴φ(x)min=φ(1﹣t)=2﹣t≥0,
∴g(x)>f(x).
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-:4:坐标系与参数方程]
22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1:x2+y2﹣x=0,C2:x2+y2﹣2y=0.
(1)以过原点的直线的倾斜角θ为参数,写出曲线C2的参数方程;
(2)直线l过原点,且与曲线C1,C2分别交于A,B两点(A,B不是原点),求|AB|的最大值.
【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程.菁优网版权所有
【专题】11:计算题;5S:坐标系和参数方程.
【分析】(1)先设出圆C2的参数方程的标准形式,再根据两个参数之间的关系可得;
(2)利用极坐标方程的极径的几何意义可求得.
【解答】解:(1)如图,C1:x2+y2﹣x=0,即(x﹣)2+y2=,
是以C1(,0)为圆心,为半径,且过原点的圆,
设∠PC1x=α(0≤α<π).
则,
由已知,以过原点的直线倾斜角为参数,则0≤θ<π,而α=2θ,
所以圆的参数方程为:(θ为参数,且0≤θ<π).
(2)根据已知C1,C2的极坐标方程分别为ρ=cosα,ρ=2sinα(ρ>0),
故|AB|=|ρ1±ρ2|=|2sinα±cosα|=|sin(α±φ)|≤,其中tanφ.
故当|sin(α±φ)|=1时,等号成立.
综上,|AB|的最大值为.
【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程,属中档题.
[选修4-:5:不等式选讲]
23.已知对任意实数x,都有|x+2|+|x﹣4|﹣m≥0恒成立.
(1)求实数m的取值范围;
(2)若m的最大值为n,当正实数a,b满足时,求4a+7b的最小值.
【考点】3R:函数恒成立问题.菁优网版权所有
【专题】35:转化思想;4R:转化法;59:不等式的解法及应用.
【分析】(1)不等式化为|x+2|+|x﹣4|≥m恒成立,利用绝对值不等式求出|x+2|+|x﹣4|的最小值,即可得出m的取值范围;
(2)由(1)知n=6,得=1,则4a+7b=(4a+7b)(+),
再利用基本不等式求出它的最小值.
【解答】解:(1)对任意实数x,都有|x+2|+|x﹣4|﹣m≥0恒成立;
因为|x+2|+|x﹣4|≥|(x+2)﹣(x﹣4)|=6,
所以6≥m,即m≤6,
实数m的取值范围是m≤6;
(2)由(1)知n=6,所以=1,
所以4a+7b=(4a+7b)(+)
=[(a+5b)+(3a+2b)](+)
=4+1++≥5+2=9,
当且仅当b=5a,即a=,b=时取“=”;
所以4a+7b的最小值为9.
【点评】本题考查了绝对值不等式以及基本不等式的应用问题,是中档题.
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