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  • 2021-05-13 发布

2010年(全国卷II)(含答案)高考理科数学

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‎2010年普通高等学校招生全国统一考试(2全国Ⅱ卷)‎ 数学(理)试题 一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)‎ ‎(1)复数( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(2)函数的反函数是( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(3)若变量满足约束条件则的最大值为( )‎ ‎(A)1 (B)2 (C)3 (D)4‎ ‎(4)如果等差数列中,,那么( )‎ ‎(A)14 (B)21 (C)28 (D)35‎ ‎(5)不等式的解集为( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(6)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有( )‎ ‎(A)12种 (B)18种 (C)36种 (D)54种 ‎(7)为了得到函数的图像,只需把函数的图像( )‎ ‎(A)向左平移个长度单位 (B)向右平移个长度单位 ‎(C)向左平移个长度单位 (D)向右平移个长度单位 ‎(8)△ABC中,点D在边AB上,CD平分∠ACB,若=a,=b,|a ‎|=1,|b|=2,则   等于(  ) ‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(9)已知正四棱锥中,,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为( )‎ ‎(A)1 (B) (C)2 (D)3‎ ‎(10)若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18,则( )‎ ‎(A)64 (B)32 (C)16 (D)8‎ ‎(11)与正方体的三条棱、、所在直线的距离相等的点( )‎ ‎(A)有且只有1个 (B)有且只有2个 ‎(C)有且只有3个 (D)有无数个 ‎(12)已知椭圆的离心率为,过右焦点且斜率为的直线与相交于两点.若,则( )‎ ‎(A)1 (B) (C) (D)2‎ 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎(13)已知是第二象限的角,,则 .‎ ‎(14)若的展开式中的系数是,则 .‎ ‎(15)已知抛物线的准线为,过且斜率为的直线与相交于点,与的一个交点为.若,则 .‎ ‎(16)已知球的半径为4,圆与圆为该球的两个小圆,为圆与圆的公共弦,.若,则两圆圆心的距离 .‎ 三.解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎(17)(本小题满分10分)中,为边上的一点,,,,求.‎ ‎(18)(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和Sn=(n2+n)·3n.‎ ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ)证明:.‎ ‎(19)(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=BC,AA1=AB,D为BB1的中点,E为AB1上的一点,AE=3EB1. ‎ ‎(Ⅰ)证明:为异面直线与的公垂线;‎ ‎(Ⅱ)设异面直线与的夹角为45°,求二面角的大小.‎ ‎(20)(本小题满分12分) 如图,由M到N的电路中有4个元件,分别标为T1,T2,T3,T4,电流能通过T1,T2,T3的概率都是p,电流能通过T4的概率是0.9.电流能否通过各元件相互独立.已知T1,T2,T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.‎ ‎(Ⅰ)求p;‎ ‎ (Ⅱ)求电流能在M与N之间通过的概率;‎ ‎ (Ⅲ)表示T1,T2,T3,T4中能通过电流的元件个数,求的期望.‎ ‎(21)(本小题满分12分) 己知斜率为1的直线l与双曲线C:相交于B、D两点,且BD的中点为.‎ ‎ (Ⅰ)求C的离心率;‎ ‎ (Ⅱ)设C的右顶点为A,右焦点为F,,证明:过A、B、D三点的圆与x轴相切.‎ ‎(22)(本小题满分12分)设函数.‎ ‎(Ⅰ)证明:当时,;‎ ‎(Ⅱ)设当时,,求a的取值范围.‎ ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试(2全国Ⅱ卷)‎ 数学(理)试题 答案解析:‎ 一、选择题 ‎(1)A ‎ 解析:.‎ ‎(2)D 解析:由y=,得ln(x-1)=2y-1,解得 x=e2y-1+1,故反函数为y=e2x-1+1(x∈R).故选D。‎ ‎(3)C ‎ 解析:约束条件所对应的可行域如图. 由z=2x+y得y=-2x+z.‎ 由图可知,当直线y=-2x+z经过点A时,z最大.由,得,则A(1,1).‎ ‎∴zmax=2×1+1=3..‎ ‎(4)C ‎ 解析:∵{an}为等差数列,a3+a4+a5=12,‎ ‎∴a4=4.‎ ‎∴a1+a2+…+a7==7a4=28. ‎ ‎(5)C 解析:,利用数轴穿根法解得-2<x<1或x>3,故选C ‎(6)B 解析:标号1,2的卡片放入同一封信有种方法;其他四封信放入两个信封,每个信封两个有种方法,共有种,故选B.‎ ‎(7)B ‎ 解析:=,=,所以将的图像向右平移个长度单位得到的图像,故选B.‎ ‎(8)B ‎ 解析:因为平分,由角平分线定理得,所以D为AB的三等分点,且,所以 ‎,故选B.‎ ‎(9)C 解析:本试题主要考察椎体的体积,考察告辞函数的最值问题.‎ 设底面边长为a,则高,‎ 所以体积,‎ 设:,则,当y取最值时,,解得a=0或a=4时,体积最大,此时,故选C.‎ ‎(10)A ‎ 解析:,切线方程是,令,,令,,∴三角形的面积是,解得.故选A.‎ ‎(11)D 解析:直线B1D上取一点,分别作PO1,PO2,PO3垂直于B1D1,B1C,B1A于O1,O2,O3则PO1⊥平面A1C1,PO2⊥平面B1C,PO2⊥平面A1B,O1,O2,O3分别作O1N⊥A1D1,O2M⊥CC1,O3Q⊥AB,垂足分别为M,N,Q,连PM,PN,PQ,由三垂线定理可得,PN⊥A1D1;PM⊥CC1;PQ⊥AB,由于正方体中各个表面、对等角全等,所以PO1=PO2=PO3,O1N=O2M=O3Q,∴PM=PN=PQ,即P到三条棱AB、CC1、A1D1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件,故选D.‎ ‎(12)B 解析:设直线l为椭圆的有准线,e为离心率,过A,B分别作AA1,BB1垂直于l,A1,B为垂足,过B作BE垂直于AA1与E,由第二定义得,‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎(13) ‎ 解析:由得,又,解得,又是第二象限的角,所以.‎ ‎(14)1 ‎ 解析:展开式中的系数是.‎ ‎(15)2 ‎ 解析:过B作BE垂直于准线于E,∵,∴M为中点,∴,又斜率为,,∴,∴,‎ ‎∴M为抛物线的焦点,∴2.‎ ‎(16)3 ‎ 解析:设E为AB的中点,则O,E,M,N四点共面,如图,∵,所以,∴,由球的截面性质,有,∵,所以与全等,所以MN被OE垂直平分,在直角三角形中,由面积相等,可得, ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎(17)解:由 由已知得 ‎ 从而 ‎ 由正弦定理得 所以 ‎ ‎(18)解:(I)‎ 所以 ‎ ‎ (II)当n=1时,‎ 当时,‎ 所以,当 ‎ ‎(19)解:(1)证明:连结A1B,记A1B与AB1的交点为F, ‎ 因为面AA1B1B为正方形,故A1B⊥AB1,且AF=FB1,又AE=3EB1,所以FE=EB1,又D为BB1的中点,故DE∥BF,DE⊥AB1.‎ 作CG⊥AB,G为垂足,由AC=BC知,G为AB中点.‎ 又由底面ABC⊥面AA1B1B,得CG⊥面AA1B1B,‎ 连结DG,则DG∥AB1,故DE⊥DG,由三垂线定理,得DE⊥CD,‎ 所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线.‎ ‎(2)因为DG∥AB1,故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角,∠CDG=45°,设AB=2,则 AB1=2,DG=,CG=,AC=,‎ 作B1H⊥A1C1,H为垂足,‎ 因为底面A1B1C1⊥面AA1C1C,‎ 故B1H⊥面AA1C1C.‎ 又作HK⊥AC1,K为垂足,连结B1K,由三垂线定理,得B1K⊥AC1,因此∠B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角.‎ B1H==,‎ HC1==,‎ AC1==,HK==,‎ tan∠B1KH==.‎ 所以二面角A1-AC1-B1的大小为arctan.‎ ‎(20)解:记A1表示事件,电流能通过 A表示事件:中至少有一个能通过电流,‎ B表示事件:电流能在M与N之间通过。‎ ‎ (I)相互独立,‎ ‎ ‎ 又 故 ‎ ‎ (III)由于电流能通过各元件的概率都是0.9,且电流能通过各元件相互独立。‎ 故 ‎ ‎ ‎(21)解:(1)由题设知,l的方程为y=x+2. ‎ 代入C的方程,并化简,得 ‎(b2-a2)x2-4a2x-4a2-a2b2=0,‎ 设B(x1,y1)、D(x2,y2),‎ 则x1+x2=,x1x2=-,               ①‎ 由M(1,3)为BD的中点知=1,故 ‎×=1,即b2=3a2,                         ②‎ 故c==2a,所以C的离心率e==2.‎ ‎(2)由①②知,C的方程为3x2-y2=3a2,‎ A(a,0),F(2a,0),x1+x2=2,x1·x2=-<0,‎ 故不妨设x1≤-a,x2≥a.‎ ‎|BF|===a-2x1,‎ ‎|FD|===2x2-a.‎ ‎|BF|·|FD|=(a-2x1)(2x2-a)‎ ‎=-4x1x2+2a(x1+x2)-a2‎ ‎=5a2+4a+8.‎ 又|BF|·|FD|=17,‎ 故5a2+4a+8=17,‎ 解得a=1或a=- (舍去).‎ 故|BD|=|x1-x2|=·=6.‎ 连结MA,则由A(1,0),M(1,3)知|MA|=3,从而MA=MB=MD,且MA⊥x轴,因此以M为圆心,MA为半径的圆经过A、B、D三点,且在点A处与x轴相切.‎ 所以过A、B、D三点的圆与x轴相切.‎ ‎(22)解:(1)当x>-1时,f(x)≥,当且仅当ex≥1+x.令g(x)=ex-x-1,则g(x)=ex-1.‎ 当x≥0时,g′(x)≥0,g(x)在[0,+∞)上是增函数;‎ 当x≤0时,g′(x)≤0,g(x)在(-∞,0]上是减函数.‎ 于是g(x)在x=0处达到最小值,因而当x∈R时,g(x)≥g(0),即ex≥x+1.所以当x>-1时,f(x)≥.‎ ‎(2)由题设x≥0,此时f(x)≥0.‎ 当a<0时,若x>-,则<0,f(x)≤不成立;‎ 当a≥0时,令h(x)=axf(x)+f(x)-x,则 f(x)≤当且仅当h(x)≤0,‎ h′(x)=af(x)+axf′(x)+f′(x)-1=af(x)-axf(x)+ax-f(x).‎ ‎(ⅰ)当0≤a≤时,由(1)知x≤(x+1)f(x),‎ h′(x)≤af(x)-axf(x)+a(x+1)f(x)-f(x)=(2a-1)·f(x)≤0,‎ h(x)在[0,+∞)上是减函数,h(x)≤h(0)=0,即f(x)≤.‎ ‎(ⅱ)当a>时,由(ⅰ)知x≥f(x),h′(x)=af(x)-axf(x)+ax-f(x)‎ ‎≥af(x)-axf(x)+af(x)-f(x)=(2a-1-ax)f(x),‎ 当0<x<时,h′(x)>0,所以h(x)>h(0)=0,即f(x)>,综上,a的取值范围是[0,].‎