高考模拟试卷江西汇编——压轴题 33页

‎1.（江西省十所重点中学2010届高三第一次模拟考试（理科））‎ ‎22.(本小题满分14分) ‎ ‎ 已知数列中，，.‎ ‎ (1)求;‎ ‎ (2)求 的通项公式;‎ ‎ (3)设Sn为数列的前n项和,证明:.‎ ‎22.【解析】: ‎ ‎1)由,得:…2分 ‎2)由(1)可归纳猜想:……………………3分，‎ ‎ 现用数学归纳法证明：‎ ‎ ①当n=1时，显然成立；‎ ‎ ②假设n=k(k∈N*)时成立，即，则：‎ ‎ n=k+1时：；‎ ‎ 所以，n=k+1时，猜想也成立。‎ ‎ 故：由①②可知，对任意n∈N*,猜想均成立。……………………………………8分;‎ ‎3)证明:设f(x)=x-sinx ,则f`(x)=1-cosx≥0,‎ ‎ ∴f(x)=x-sinx在上是增函数. ∴f(x)≥f(0)=0,即sinx≤x .‎ ‎ 又∵,∴,‎ ‎ ∴…………14分。‎ ‎2.（江西师大附中、临川一中、南昌三中2010届高三联考理数）‎ ‎22．（本题满分14分）‎ 数列满足，.‎ ‎（1）求通项公式；‎ ‎（2）令，数列前项和为，‎ 求证：当时，；‎ ‎（3）证明：.‎ ‎22．【解析】（1），两边同除以得：‎ ‎∴‎ ‎∴是首项为，公比的等比数列………………4分 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（2），当时，，………………5分 两边平方得：‎ ‎……‎ 相加得：‎ 又 ‎∴…………………………………………9分 ‎（3）（数学归纳法）‎ 当时，显然成立 当时，证明加强的不等式 假设当时命题成立，即 则当时 ‎∴当时命题成立，故原不等式成立……………………14分 ‎3.（江西师大附中、临川一中、南昌三中2010届高三联考文数）‎ ‎22．已知数列中，，对于任意的，有 ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足：求数列的通项公式；‎ ‎（3）设，是否存在实数，当时，恒成立，若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由.‎ ‎22．（1）取p＝n，q＝1，则　　　　…………（2分）‎ ‎∴（）‎ ‎∴是公差为2，首项为2的等差数列 ‎∴　　　　　　　…………（4分）‎ ‎（2）∵　①‎ ‎∴　　②‎ ‎①－②得：　　　　　…………（5分）‎ ‎　　　　…………（6分）‎ 当时，　∴满足上式　　　　…………（7分）‎ ‎∴　　　　　　　…………（8分）‎ ‎（3）　　　　　　　　‎ 假设存在，使 ‎　　　　　　　…………（9分）‎ 当为正偶函数时，恒成立 当时 ‎∴　　　　　　　　…………（11分）‎ 当为正奇数时，恒成立 ‎∴‎ 当时 ‎∴　　　　　　　　…………（13分）‎ 综上，存在实数，且　　　　…………（14分）‎ ‎4.（江西师大附中2010届高三上学期数学（理科）期中试卷）‎ ‎22.（本小题满分14分）‎ 已知数列的前n项和为，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列满足：，且 求证：；‎ ‎（3）求证：.‎ ‎22．解：（1）当时，，‎ ‎，可得：，‎ ‎．‎ 可得，‎ ‎（2）当时，，不等式成立．‎ 假设当时，不等式成立，即那么，当时，‎ 所以当时，不等式也成立.‎ 根据（），（）可知，当时，‎ ‎（3）设 在上单调递减，‎ ‎∵当时，‎ ‎，‎ ‎5.（江西师大附中2010届高三上学期数学（文科）期中试卷）‎ ‎22．（本小题满分14分）设函数满足，且对任意，都有=‎ ‎。‎ （1） 求得解析式 （2） 若数列，且，求数列通项公式；‎ （3） 设数列的前项和为，求证：‎ ‎22．解：（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ 两式想减得：‎ ‎ ‎ ‎6.(江西省南昌一中、南昌十中2009—2010学年度高三11月联考（数学理）‎ ‎22．已知各项均不为零的数列的前项和为 ‎ 且，其中 ① 求数列的通项公式 ② 求证：对任意的正整数，不等式都成立 ‎22．【解析】：时，由及得 ‎ 当时，得 ‎ ‎ ‎ 因为，所以 ‎ 从而 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎②由①知，不等式 只需证即 令 ‎ 在上恒正，所以在上单调递增，当时，恒有 即原不等式得证 ‎7.（南昌三中高三第三次月考理科数学试卷）‎ ‎22.（本小题满14分）‎ 已知函数有两个极值点 ‎（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）证明：. ‎ ‎22. 【解析】：‎ ‎ （Ⅰ）由题设知，函数的定义域是，‎ ‎ ，‎ ‎ 且有两个不同的根，故的判别式 ‎ ‎ 即 且 ①又故 ‎ 因此的取值范围是．‎ ‎ 当变化时，与的变化情况如下表：‎ ‎（）‎ ‎（）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 因此在区间和（）是增函数，在区间是减函数．‎ ‎（Ⅱ）由题设和①知 ‎ 于是 ‎ ‎ 设函数 ， 则 ‎ 当时， 当时，0，故在区间是增函数．‎ ‎ 于是，当时，‎ ‎ 因此 ‎8.（2010届鹰潭市高三第一次模拟考试（文）数学试题）‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ ‎（文科）在数列 ‎（1）求证：数列为等差数列；‎ ‎（2）若m为正整数，当 解：（I）由变形得：‎ 故数列是以为首项，1为公差的等差数列 （5分）‎ ‎ （II）（法一）由（I）得 ‎（7分）‎ 令 当 又 则为递减数列。‎ 当m=n时，‎ 递减数列。 （9分）‎ 要证：时，‎ 故原不等式成立。 （14分）‎ ‎（法二）由（I）得 ‎ （7分）‎ 令 上单调递减。（9分）‎ 也即证，‎ 故原不等式成立。 （14分）‎ ‎9.（2010届鹰潭市高三第一次模拟考试（理）数学试题）‎ ‎（理科）已知数列中，，当时，其前项和满足，‎ （1） 求的表达式及的值；‎ （2） 求数列的通项公式；‎ （3） 设，求证：当且时，。‎ 解：（1）‎ 所以是等差数列。则。。‎ ‎（2）当时，，综上，。‎ ‎（3）令，当时，有 （1）‎ 法1：等价于求证。‎ 当时，令 ‎，则在递增。‎ 又，所以即。‎ 法（2）‎ ‎ （2）‎ ‎ （3）‎ 因 所以 由（1）（3）（4）知。‎ 法3：令，则 所以 因则 ‎ 所以 （5） ‎ 由（1）（2）（5）知 ‎10.（江西省重点中学协作体2010届高三第三次联考（数学文理））‎ ‎22. 双曲线的离心率,是左，右焦点，过作 轴的垂线与双曲线在第一象限交于P点，直线F1P与右准线交于Q点，已知 ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）设过的直线MN分别与左支，右支交于M、N ，线段MN的垂线平分线与轴交于点，若,求的取值范围。‎ ‎22.【解析】：（1） ，，，P ‎ ‎ ‎ ，设Q ‎ 三点共线 ‎ ‎ 得 ‎ ‎（2）设MN：代入 得：‎ ‎ ‎ ‎ 设M，N ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 且 ‎ ‎ ‎ 令 ‎ 在 上单调递增 ‎ 得 ‎ ‎11.（抚州一中2010届高三第二次同步考试 理科数学）‎ ‎22．已知数列，{)在直线上, ‎ ‎（1）求数列的通项公式； ‎ ‎（2）求证：（其中e为自然对数的底数）；‎ ‎（3）记 ‎ 求证： ‎ ‎22.（I）【解析】：由题意， ‎ ‎ 为首项，为公比的等比数列。 ‎ ‎ 证明：‎ ‎ 构造辅助函数 ‎ ∵，单调递减，‎ ‎ ∴，即 令 则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （III）证明：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 时，‎ ‎ ‎ ‎ （当且仅当n=1时取等号）。 ‎ 另一方面，当时，‎ ‎.c.o.‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ （当且仅当时取等号）。‎ ‎ （当且仅当时取等号）。‎ ‎ 综上所述，有 ‎ ‎12.（抚州一中2010届高三第二次同步考试 文科数学）‎ ‎22．已知数列是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公比为的等比数列，且满足，其中.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若数列与数列有公共项，将所有公共项按原顺序排列后构成一个新数列，求数列的通项公式；‎ ‎（3）记（2）中数列的前项之和为，求证：‎ ‎.‎ ‎22.【解析】（Ⅰ）由题设. ‎ ‎ 由已知，所以.又b＞0，所以a＜3. ‎ ‎ 因为，则.又a＞0，所以b＞2，从而有. 因为，故. ‎ ‎（Ⅱ）设，即. ‎ 因为，则，所以.因为，且b∈N*，所以，即，且b＝3.故. ‎ ‎（Ⅲ）由题设，. 当时，，当且仅当时等号成立，所以.于是. ‎ 因为S1＝3，S2＝9，S3＝21，则 ‎. ‎ ‎13.（江西省八校2010届高三下学期联考试卷（数学理））‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 设数列，满足，且，．‎ ‎（１）求数列的通项公式；‎ ‎（２）对一切，证明成立；‎ ‎（３）记数列,的前项和分别为、，证明：．‎ ‎22【解析】‎ ‎（１）解：∵　　　∴ ‎ ‎∴数列是以为首项，以为公比的等比数列 (2分)‎ ‎∴　　　　 ‎ ‎∴ (4分)‎ ‎（２）证明：‎ ‎　　　 ‎ 构造函数　（ ‎ ‎　　　　， (7分)‎ ‎∴在内为减函数，则 ‎ ‎∴　（‎ ‎∴，∴对一切，都成立 (9分)‎ ‎（３）证明：∵‎ ‎∵‎ 由(２)可知 ‎ ‎∴‎ ‎ (12分)‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ∴‎ ‎∴ (14分)‎ ‎14.（江西省白鹭洲中学2009年高三第二次月考理科数学试卷）‎ ‎22. 对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列 ‎．‎ 对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；‎ 又定义．‎ 设是每项均为正整数的有穷数列，令．‎ ‎（1）如果数列为5，3，2，写出数列；‎ ‎（2）对于每项均是正整数的有穷数列，证明；‎ ‎（3）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，．‎ ‎【解析】：（1）解：，，；‎ ‎，．‎ ‎（2）证明：设每项均是正整数的有穷数列为，‎ 则为，，，，，从而 ‎．‎ 又，‎ 所以 ‎，故．‎ ‎（3）证明：设是每项均为非负整数的数列．‎ 当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，‎ 则．‎ 当存在，使得时，若记数列为，‎ 则．所以．‎ 从而对于任意给定的数列，由 可知．‎ 又由（Ⅱ）可知，所以．‎ 即对于，要么有，要么有．‎ 因为是大于2的整数，所以经过有限步后，必有．‎ 即存在正整数，当时，．‎ ‎15.（江西省白鹭洲中学2009年高三第二次月考文科数学试卷）‎ ‎22. 已知函数，函数其中一个零点为5，数列满足，且．‎ ‎（1）求数列通项公式；‎ ‎（2）试证明；‎ ‎（3）设，试探究数列是否存在最大项和最小项？若存在求出最大项和最小项，若不存在，说明理由．‎ ‎【解析】：（1）解：函数有一个零点为5，即方程，有一个根为5，将代入方程得，∴，∴ ‎ 由得 ‎∴或 ‎ 由（1）知，∴不合舍去 由得 方法1：由得 ‎ ‎∴数列是首项为，公比为的等比数列 ‎∴，∴ ‎ ‎〔方法2：由---①得当时----②‎ ‎①-②得 ‎∴（）即数列是首项为，公比为的等比数列 ‎∵，∴---------------③‎ 由①得代入③整理得〕‎ ‎（2）由（1）知 ‎ ‎∴＝ ‎ ‎∵对有，∴‎ ‎∴，即 ‎ ‎（3）由得 ‎∴＝‎ 令，则，＝‎ ‎∵函数在上为增函数，在上为减函数 当时，当时，当时，，当时，‎ ‎∵，且 ‎∴当时,有最小值，即数列有最小项，最小项为 ‎ ‎ 当即时，有最大值，即数列有最大项，最大项为．‎ ‎16.（江西省崇义中学2010届高三第一次月考（数学理））‎ ‎22．设函数，函数，其中为常数且，令函数。（1）求函数的表达式，并求其定义域；（2）当时，求函数的值域；（3）是否存在自然数，使得函数的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数所构成的集合；若不存在，试说明理由。‎ ‎22．【解析】：（1），其定义域为；‎ ‎（2）令，则且 ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎∵在上递减，在上递增，‎ ‎∴在上递增，即此时的值域为 ‎（3）令，则且 ‎∴‎ ‎∵在上递减，在上递增，‎ ‎∴在上递增，上递减，时的最大值为，‎ ‎∴，又时 ‎∴由的值域恰为，由，解得：或 即的值域恰为时， ‎ 所求的的集合为www.jb1000.com www.jb1000.com 教学资源网 教学资源网 ‎17.（江西省赣州十一县（市）2010届下学期高三期中联考（数学理））‎ ‎22、(本小题满分14分) 已知数列是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公比为的等比数列，且满足，其中.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若数列与数列有公共项，将所有公共项按原顺序排列后构成一个新数列，求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）记（Ⅱ）中数列的前n项之和为，求证：‎ ‎.‎ ‎22【解析】：（1）由题设. １分 由已知，所以.又b＞0，所以a＜3. ‎ 因为，则.又a＞0，所以b＞2，从而有. ‎ 因为，故. ４分 ‎ ‎（2）设，即. ‎ 因为，则，所以. www.ks￥5……u.com 因为，且b∈N*，所以，即，且b＝3. ‎ 故. 8分 ‎（3）由题设，. ‎ 当时，‎ ‎，当且仅当时等号成立，所以 　　　　　 10分 于是.12分 因为S1＝3，S2＝9，S3＝21，则 ‎. 14分 ‎18.（江西省赣州十一县（市）2010届下学期高三期中联考（数学文））‎ ‎22. 如图，已知：及点,在上任取一点，连并作的中垂线，设与直线交于点，若点取遍⊙上的点.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）若过点的直线与曲线交于两点,且,则当时,求直线的斜率的取值范围.‎ ‎22．【解析】：(1)　∵是线段A的中垂线，∴,‎ ‎∴||PA|－|P||=||P|－|P||=||=.‎ 即点P在以、A为焦点，以4为焦距，以为实轴长的双曲线上，‎ 故轨迹C的方程为. ………6分 ‎ ‎ (2)设,,则直线的方程为,则由,得 ‎ ,.由,得.‎ ‎∴,,.‎ 由,,,消去,得.‎ ‎∵,函数在上单调递增.‎ ‎∴,，所以 或.‎ 故直线的斜率的取值范围为. ………14分 ‎ www.ks5u.com www.ks5u.com ‎19.（江西省九江市2010届高考数学模拟试卷（文、理））‎ ‎22．（本小题满分14分）（理）已知数列中，。若是函数的一个极值点。‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求证：对于任意正整数，都有；‎ ‎（3）若，证明：。‎ ‎22．【解析】：（1），所以。‎ 整理得：。‎ 当时，是常数列，得；‎ 当时，是以为首项，为公比的等比数列，所以 方法一：由上式得，即 ‎，所以。‎ 又，当时上式仍然成立，故。‎ 方法二：由上式得：，所以是常数列，，。又，当时上式仍然成立，故。‎ ‎（2）。因为，所以，即。从而，，于是 ‎（3）且，所以 因为，‎ 所以，从而原命题得证。‎ ‎20.（江西省九江市六校2010届高三第二次联考数学理）‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 已知数列的前n项和为，且 ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列满足：，且，求证：；‎ ‎（3）求证：。‎ ‎22、【解析】：（1）当时，，‎ ‎ ，可得：，‎ ‎.‎ 可得，……………………….4分 ‎ （2）当时，，不等式成立. ‎ ‎ 假设当时，不等式成立，即那么，当时，‎ ‎ ‎ ‎ 所以当时，不等式也成立。‎ ‎ 根据（），（）可知，当时，……………………….9分 ‎ （3）设 ‎ 在上单调递减，‎ ‎ ∵当时，‎ ‎ ，‎ ‎………………………14分 ‎21.（九江市六校联考第一次考试（理数））‎ ‎22．（本题满分14分）‎ ‎（理）已知，其中 ‎（1）若，求的极值；‎ ‎（2）求证：在（1）的条件下，；‎ ‎（3）是否存在实数，使的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，请说 ‎ 明理由．‎ ‎22.（理）【解析】（1）∵，‎ ‎ ∴当，此时单调递减，‎ 当－1＜x＜0时，此时单调递增，‎ ‎∴的极小值为． …………4分 ‎（2）∵的极小值即在[－e，0)上的最小值为1，‎ ‎∴||min＝1，‎ 令＋， ‎ 又＝，‎ ‎∴当，且在处连续 ‎∴在[－e，0)上单调递减，‎ ‎∴ ‎ ‎∴当[－e，0) 时， …………8分 ‎ ‎（3）假设存在实数 ‎ ‎①当≥时， 由于（－e，0)， 则 ‎∴函数的增函数 ‎∴ ‎ ‎②当＜时， 则当－e＜＜时，= 此时是减函数，‎ 当时，= 此时 是增函数，‎ ‎∴‎ 由①、②知，存在实数，使得当 [－e，0]，时有最小值3…………14分 ‎22.（九江市六校联考第一次考试（文数））‎ ‎22．（本题满分14分）‎ ‎（文）设为奇函数，且 ‎（1）试求的反函数的解析式及的定义域；‎ ‎（2）设，是否存在实数，使得对于任意的，‎ 恒成立，如果存在，求实数的取值范围. 如果不存在，请说明理由．‎ ‎22.【解析】（文）（1）因为为奇函数，且所以，得， …………6分 ‎（2）假设存在满足条件的实数。‎ 因为，所以 ‎ 由得，所以，‎ 所以当时，恒成立 …………10分 即，又 所以的取值范围是 …………14分 ‎23.（江西省九江一中2010届高三上学期第二次月考理数）‎ ‎22.(本小题满分14分）已知函数．‎ ‎(Ⅰ)求函数的最小值；‎ ‎(Ⅱ)求证：；-‎ ‎(Ⅲ)对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”.设函数，，与是否存在“分界线”？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎22. (Ⅰ)解：因为，令，解得，‎ 令，解得，‎ 所以函数在上递减，上递增，‎ 所以的最小值为． ‎ ‎(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知函数在取得最小值，所以，即 两端同时乘以得，把换成得，当且仅当时等号成立．‎ 由得，，， ，…‎ ‎ ，．‎ 将上式相乘得 ‎． ‎ ‎（Ⅲ）设.‎ ‎ 则．‎ ‎ 所以当时，；当时，．‎ 因此时取得最小值0，则与的图象在处有公共点．‎ 设与存在 “分界线”，方程为.‎ 由在恒成立，‎ 则在恒成立.‎ 所以成立.因此.‎ 下面证明成立.‎ ‎ 设，.‎ ‎ 所以当时，；当时，.‎ ‎ 因此时取得最大值0，则成立.‎ 所以，. ‎ ‎24.（江西省九江一中2010届高三上学期第三次月考理数）‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 已知数列的首项为，前项和为，且对任意的，当时，总是与的等差中项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，是数列的前项和，，求；‎ ‎（3）设，是数列的前项和，，试证明：.‎ ‎22、【解析】：（1）依题意，对任意的，当时，有，‎ ‎，，‎ ‎∴.‎ 又，∴，∴，∴，‎ ‎∴数列是首项为2，公比为的等比数列，‎ ‎∴数列的通项公式为 ‎（2）由（1）知，，‎ 则 ①‎ ‎∴ ②‎ ‎①－②，得 ‎，‎ ‎∴.‎ ‎（3）∵，‎ ‎∴‎ ‎. 即得证.‎ ‎25.（江西省六校2010届高三下学期联考（数学理））‎ ‎22、(14分)设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈N*, 点(n, )都在函数f(x)＝x＋的图象上。‎ ‎(1)求a1, a2, a3的值，猜想an的表达式，并证明你的猜想。‎ ‎(2)设An为数列{}的前n项积，是否存在实数a，使得不等式An对一切n∈N*都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由。‎ ‎22．【解析】(1)∵点(n, )都在函数f(x)＝x＋的图象上，故＝n＋. ‎ ‎∴Sn＝n2＋an, 令n＝1得a1＝1＋a1, ∴a1＝2‎ 令n＝2得a1＋a2＝4＋a2, ∴a2＝4‎ 令n＝3得a1＋a2＋a3＝9＋a3, ∴a3＝6‎ 由此猜想：an＝2n (n∈N*)， ……………………2分 下面用数字归纳法证明：‎ ‎①当n＝1时，由上面的求解知，猜想成立。 ……………………3分 ‎②假设n＝k时猜想成立，即ak＝2k成立，‎ 那么，当n＝k＋1时，由条件知，Sk＝k2＋ak，Sk＋1＝(k＋1)2＋ak＋1, ‎ 两式相减，得ak＋1＝2k＋1＋ak＋1－ak，‎ ‎∴ak＋1＝4k＋2－ak＝4k＋2―2k＝2(k＋1)‎ 即当n＝k＋1时，猜想成立。‎ 根据①、②知，对一切n∈N*，an＝2n成立。 ……………………6分 ‎(2)∵＝1－, 故An＝(1―)(1―)…(1―),‎ ‎∴An＝(1―)(1―)…(1―)‎ 又f(a)－＝a＋－＝a－‎ 故An＜f(a)－对一切n∈N*都成立，就是 ‎(1―)(1―)…(1―)·＜a－对一切n∈N*都成立. ………8分 设g(n)＝(1―)(1―)…(1―)，则只需g(n)max＜a－即可。‎ ‎ ……………………9分 由于＝(1－)·＝·‎ ‎＝＜1‎ ‎∴g(n＋1)＜g(n), 故g(n)是单调递减，‎ 于是g(n)max＝g(1)＝, ………………………………12分 由＜a－得＞0解得－＜a＜0或a＞.‎ 综上所述，使得所给不等式对一切n∈N*都成立的实数a存在，且a的取值范围为(－, 0)∪(, ＋∞). …………………………14分 ‎26.（江西省南昌大学附属中学2010届高三第五次月考数学（理）试题）‎ ‎22.（本小题满14分）‎ 已知函数有两个极值点 ‎（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）证明：. ‎ ‎22. 【解析】‎ ‎ （Ⅰ）由题设知，函数的定义域是，‎ ‎ ，‎ ‎ 且有两个不同的根，故的判别式 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎ 且 ①‎ ‎ 又故 ‎ 因此的取值范围是．‎ ‎ 当变化时，与的变化情况如下表：‎ ‎（）‎ ‎（）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 因此在区间和（）是增函数，在区间是减函数．‎ ‎（Ⅱ）由题设和①知 ‎ ‎ ‎ 于是 ‎ ‎ 设函数 ，‎ ‎ 则 ‎ ‎ 当时，‎ ‎ 当时，0，故在区间是增函数．‎ ‎ 于是，当时，‎ ‎ ‎ ‎ 因此 ‎ ‎27.（江西省重点中学协作体2010届高三年级第二次联考 数学文）‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 如图，已知抛物线：过点F（1，0）作两条互相垂直的弦，AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N。‎ ‎ （1）线段MN是否恒过一个定点？如果经过点，试求出它的坐标，如果不经过定点，试说明理由；‎ ‎ （2）求分别以弦AB，CD为直径的两圆公共弦中点的轨迹方程，并说明它表示怎样的曲线。‎ ‎22．【解析】方程为：并整理得：‎ 设则有：‎ 所以点 …………3分 将t换成，即得：‎ 由两点式得直线MN的方程为：‎ ‎ …………5分 当y=0时，x=3，所以直线MN恒过定点T（3，0）。 …………6分 ‎ （2）以弦AB为直径的圆M的方程为：‎ ‎① …………9分 又将t换成，即得经弦CD为直径的圆N的方程为：‎ ‎②‎ ‎①—②得两圆公共弦所在直线方程为：③ …………11分 又直线MN的方程为：④ …………12分 联解③④，消去t，得两圆公共弦中点的轨迹方程为：‎ ‎，‎ 其轨迹方程是以OT为直径且过点T（3，0）的圆。 …………14分 ‎28.(江西省新余一中、宜春中学2010届高三11月联考（数学理）)‎ ‎22、（14分）已知在数列｛an｝中，a1=t，a2=t2，其中t>0，x=是函数f(x)=an-1x3-3[(t+1)an-an+1]x+1 (n≥2)的一个极值点 ‎（Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式 ‎（Ⅱ）当时，令，数列前项的和为，‎ ‎ 求证：‎ ‎（Ⅲ）设，数列前项的和为，求同时满足下列两个条件的的值：（1） （2）对于任意的，均存在，‎ 当时，‎ ‎22、【解析】（Ⅰ）由题意得：f′()=0 即3an-1t-3[(t+1)an-an+1]=0‎ ‎ 故an+1-an=t(an-an-1)(n≥2)‎ ‎ 则当t≠1时，数列{an+1-an}是以t2-t为首项 ‎ t为公比的等比数列 ‎ ∴an+1-an=（t2-t）tn-1‎ ‎ 由an+1-an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) ‎ ‎ =t+(t2-t)[1+t+t2+…+tn-2]‎ ‎ =t+(t2-t)· =tn 此式对t=1也成立 ‎∴an=tn (n∈N)………………………………………4分 ‎（Ⅱ） ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅲ） （1）当 时，由Ⅱ得 ‎ ‎ ‎ 取，当时，‎ ‎ （2）当时，，所以 ‎ ‎ ‎ 取因为，不存在，使得当时，‎ ‎ （3）当时，，‎ ‎ ，由（1）可知存在，当时 ‎ ，故存在，当时，‎ ‎ ‎ ‎ 综上，‎