上海市高考二轮数列复习题 9页

数列与不等式结合典型题 ‎1.已知数列中，，其前n项和为，满足，‎ ‎. 数列满足 ‎ （Ⅰ）求数列、的通项；‎ ‎ （Ⅱ）若为数列的前n项和，求证：‎ ‎2．已知定义在（－1，1）上的函数时，有 ‎ （I）判断的奇偶性，并证明之；‎ ‎ （II）令的通项公式；‎ ‎ （III）设Tn为数列的前n项和，问是否存在正整数m，使得对任意的成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，则说明理由.‎ ‎3．（本小题满分14分）‎ 设函数 ‎（Ⅰ）求及定义域；‎ ‎（Ⅱ）若数列的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）Sn表示{bn}的前n项和，试比较Sn与的大小.‎ ‎4.（本小题满分14分）‎ 已知数列 ‎ （1）求数列的通项公式；‎ ‎ （2）设，试推断是否存在常数A，B，C，使对一切都 有成立？说明你的理由；‎ ‎ （3）求证：‎ ‎5. 设函数f（x）=（a ÎN*）, 又存在非零自然数m, 使得 f（m）= m , f（– m）< –成立.‎ ‎ （1） 求函数f（x）的表达式;‎ ‎ （2） 设{an}是各项非零的数列, 若对任意nÎN*成立, 求数 ‎ 列{an}的一个通项公式;‎ ‎ （3） 在（2）的条件下, 数列{an}是否惟一确定? 请给出判断, 并予以证明 ‎6. 已知函数的图象过点A（1，2）和B（2，5）.‎ ‎ （1）求函数的反函数的解析式；‎ ‎ （2）记，试推断是否存在正数k，使得 ‎ 对一切均成立？若存在，求出k的 ‎ 最大值；若不存在，说明理由.‎ ‎7.设向量a =（），b =（）（），函数 a·b在[0，1]上的最小值与最大值的和为，又数列{}满足：．‎ ‎ （1）求证：；‎ ‎（2）求的表达式；‎ ‎（3），试问数列{}中，是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有≤成立？证明你的结论.‎ 答案 ‎1．解：（I）时， 1分 ‎ 当 ①‎ ‎ ②‎ ‎ 由②－①，有 2分 ‎ 从而，‎ ‎ ∴数列是以1为首项，为公比的等比数列.‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴‎ ‎ （II）当时， 1分 ‎ ∵‎ ‎ ， ③‎ ‎ . ④‎ ‎ 由③－④，得 ‎ 1分 ‎ 1分 ‎2．解：（I）令。‎ ‎ 又当时，。‎ ‎ ∴对任意。‎ ‎ 为奇函数。 3分 ‎ （II）‎ ‎ 。‎ ‎ ‎ ‎ 在（－1，1）上是奇函数， ‎ ‎ ‎ ‎ 为首项，以2为公比的等比数列。‎ ‎ ‎ ‎ （III）‎ ‎ ‎ ‎ 假设存在正整数m，使得对任意的，有.‎ ‎ 即.只需 ‎ 故存在正整数m，使得对成立.‎ ‎ 此时m的最小值为10.‎ ‎3．解（Ⅰ）由 ‎∵‎ ‎∴ …………2分 ‎∴ …………6分 ‎（Ⅱ）∵‎ ‎∴ ………………8分 ‎∵ ∴‎ ‎∴‎ ‎ ………………10分 ‎（Ⅲ）∴‎ ‎∵‎ ‎∴当 ‎ …………12分 当 当时，‎ 对于 ……………………14分 ‎4.．（满分14分）‎ ‎（1）由已知；‎ 则数列是公比为2的等比数列.‎ 又……………………4分 ‎ （2）‎ ‎，恒成立，则 故存在常数A，B，C，满足条件.………………………………9分 ‎ （3）由（2）知：‎ ‎…………14分 ‎5. （本小题满分14分）‎ ‎（1） 由, 得 2分 由（1）得 m = ,‎ 当a = 2时, m = 2, 满足（2）式;‎ 当a = 3时, m = 1, 不满足（2）式, 舍去. 得f （ x ） = （ x ¹ 1）. 3分 ‎（2） 由条件得 ‎∴ an（1 – an） = 2Sn （3） , 2分 令n = 1,得 a1 = –1, ‎ 又an – 1（1 – an – 1 ）= 2S n – 1 , ∴（an + a n – 1 ）（an + 1 – a n – 1 ）= 0,‎ 由an – a n – 1 = – 1 , a1 = –1,得{an}是首项为– 1, 公差为– 1的等差数列,‎ ‎∴ an= – 1 +（n – 1 ）（ – 1）= – n . 3分 ‎（3）由（2）知,满足条件的数列不惟一.‎ ‎ 考虑到a1 ¹ 1, 由 an = – a n – 1 及an – a n – 1 = – 1和a1 = –1,‎ 构造数列{ –1, –2, 2,–2, –3, – 4, … , – n +2, … }. 2分 用数学归纳法证明,该数列满足（3）式,‎ 当n = 1, 2, 3, 4, 5时,直接代入可得（3）式成立,‎ 假设n = k （ k ³ 5）时,（3）成立, 则n = k + 1时,‎ Sk+1=Sk+ak+1=ak（1 – ak）+ a k + 1 =（1+a k +1）·[1－（1 + ak+1）]+a k + 1 =ak+1（1–a k+1）.‎ ‎ 所以n = k + 1时（3）式成立, 即该数列满足题设条件.‎ ‎ 得满足条件的数列不惟一. ‎ 注：构造数列也可能是:‎ ‎{ –1, 1, –1, –2, –3, – 4, … , – n , … };‎ 或{ –1, –2,2, –2, 2, –2, … , （–1） n – 1 2 , … }（ n > 1 ）等等.‎ ‎6. ．解：（1）由已知得…………3分 ‎ 令，由，‎ ‎………………5分 ‎ （2）…………………………………………6分 ‎ 设存在正数k，使成立 ‎ 则，………………………………8分 ‎ 记，则 ‎ ‎ ‎ 是随n的增大而增大………………………………12分 ‎ 即k的最大值为…14分 ‎7.解 （1）证明：a·b =，因为对称轴 ,‎ 所以在[0，1]上为增函数，。‎ ‎（2）解：由 ‎ 得 ‎ 两式相减得，‎ ‎ 当时， ‎ 当≥2时， ‎ 即 ‎ ‎（3）解：由（1）与（2）得 设存在正整数，使得对于任意的正整数，都有≤成立，‎ 当时， ‎ 当≥2时，，‎ 所以当时，，‎ 当时，， ‎ 当时， ‎ 所以存在正整数，使得对于任意的正整数，都有≤成立． ‎