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- 2021-05-13 发布
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1、（本小题满分14分）
已知函数．
（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；
（2）当时，试比较与的大小；
（3）求证：（）．
2、设函数，其中为常数．
（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；
（Ⅲ）当且时，求证：．
3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若∙，（i）求证：直线过定点；
（ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由.
评卷人
得分
二、计算题
（每空？ 分，共？ 分）
4、设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；②对一切实数，不等式恒成立．
（Ⅰ）求函数的表达式；
（Ⅱ）求证：．
5、已知函数：
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，函数在区间上总存在极值？
(3)求证：．
6、已知函数=，.
(Ⅰ)求函数在区间上的值域；
（Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由.
7、已知函数
（Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；
（Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围；
（Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
8、已知函数：
⑴讨论函数的单调性；
⑵若函数的图象在点处的切线的倾斜角为45o，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求m的取值范围；
⑶求证：．
9、已知正方形的中心在原点，四个顶点都在函数图象上．
（1）若正方形的一个顶点为，求，的值，并求出此时函数的单调增区间；
（2）若正方形唯一确定，试求出的值．
10、已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（I）求a，b的值；
（II）如果当x>0，且时，，求k的取值范围．
11、设函数f(x)=x2+b ln(x+1),其中b≠0.
(Ⅰ)当b>时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数f(x)的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数n,不等式ln)都成立.
12、如图7，椭圆的离心率为，x轴被曲线 截得的线段长等于的长半轴长。
（Ⅰ）求，的方程；
（Ⅱ）设与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.
(i)证明：MD⊥ME;
(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是,.问：是否存在直线l,使得=?
请说明理由。
13、已知点是直角坐标平面内的动点，点到直线的距离为，到点的距离为，且．
(1)求动点P所在曲线C的方程；
(2)直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B(点A或B不在x轴上)，分别过A、B点作直线的垂线，对应的垂足分别为，试判断点F与以线段为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；
(3)记，，(A、B、是(2)中的点)，问是否存在实数，使成立．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
进一步思考问题：若上述问题中直线、点、曲线C：，则使等式成立的的值仍保持不变．请给出你的判断 (填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)．
14、如图，在轴上方有一段曲线弧，其端点、在轴上（但不属于），对上任一点及点，，满足：．直线，分别交直线于，两点．
（1）求曲线弧的方程；
（2）求的最小值（用表示）；
（3）曲线上是否存点，使为正三角形？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
15、设、是函数的两个极值点．
(1)若，求函数的解析式；
(2)若，求的最大值．
(3)若，且，，求证：．
16、 已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）设，若对任意，，不等式 恒成立，求实数的取值范围．
17、已知函数
（1）若曲线处的切线平行，求a的值；
（2）求的单调区间；
（3）设是否存在实数a，对均成立；若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。
18、已知函数图象的对称中心为，且的极小值为.
（1）求的解析式；
（2）设，若有三个零点，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，当时，使函数
在定义域[a,b] 上的值域恰为[a,b]，若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由.
19、已知函数．
（1）若方程在区间内有两个不相等的实根，求实数的取值范围；
（2）如果函数的图像与x轴交于两点，且，求证：（其中，是的导函数，正常数满足）．
20、已知函数f(x)＝ax＋x2－xlna(a＞0，a≠1)．
（1）当a＞1时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
（2）若函数y＝|f(x)－t|－1有三个零点，求t的值；
（3）若存在x1，x2∈[－1，1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1，试求a的取值范围．
21、已知函数处取得极小值，其图象过点A（0，1），且在点A处切线的斜率为—1。
(Ⅰ)求的解析式；
（Ⅱ）设函数上的值域也是，则称区间为函数的“保值区间”。证明：当不存在“保值区间”；
22、已知函数
（1）求证函数上的单调递增；
（2）函数有三个零点，求t的值；
（3）对恒成立，求a的取值范围。
23、已知函数，其中
（Ⅰ）若函数上有极值，求的取值范围；
（Ⅱ）若函数有最大值（其中为无理数，约为2．71828）,求的值；
（Ⅲ）若函数有极大值,求的值。
24、已知函数。
（1）若函数在区间上存在极值，其中，求实数的取值范围；
（2）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：
25、已知函数,，其中R．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；
（Ⅲ）设函数,当时，若，，总有成立，求实数的取值范围．
26、 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）设m>0，求在[m，2m]上的最大值；
（3）试证明：对任意N+，不等式＜恒成立．
27、已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）设，求证：；
（3）设，求证：.
28、已知二次函数对都满足且，设函数
（，）．
（Ⅰ）求的表达式；
（Ⅱ）若，使成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）设，，求证：对于，恒有.
29、已知函数
不等式求实数的取值范围；
（3）若函数
30、已知函数
（Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；
（Ⅱ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，直线的斜率为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
31、已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
⑴求实数的值；
⑵若，且对任意恒成立，求的最大值；
⑶当时，证明．
32、已知函数在点的切线方程为.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）设，求证：在上恒成立；
（Ⅲ）已知，求证：.
33、已知
（1）若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围；
（2）当时，证明：函数只有一个零点；
（3）若的图象与轴交于两点，AB中点为，求证：
参考答案
一、综合题
1、解：（1）当时，，定义域是，
， 令，得或． …2分
当或时，，当时，，
函数在、上单调递增，在上单调递减． ……………4分
的极大值是，极小值是．
当时，； 当时，，
当仅有一个零点时，的取值范围是或．……………5分
（2）当时，，定义域为．
令，
，
在上是增函数． …………………………………7分
①当时，，即；
②当时，，即；
③当时，，即． …………………………………9分
（3）（法一）根据（2）的结论，当时，，即．
令，则有， ． ……………12分
． ……………………………………14分
(法二)当时，．
，，即时命题成立． ………………………………10分
设当时，命题成立，即 ．
时，．
根据（2）的结论，当时，，即．
令，则有，
则有，即时命题也成立．……………13分
因此，由数学归纳法可知不等式成立． ………………………………14分
（法三）如图，根据定积分的定义，
得．……11分
，
． ………………………………12分
，
又，，
．
． …………………………………14分
【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识．
2、解：（1）由题意知，的定义域为，
当时， ，函数在定义域上单调递增．
（2）①由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点．
②时，有两个相同的解，
时，
时，函数在上无极值点．
③当时，有两个不同解，
时，，
,
此时 ，随在定义域上的变化情况如下表：
减
极小值
增
由此表可知：时，有惟一极小值点，
ii) 当时，0<<1
此时，，随的变化情况如下表：
增
极大值
减
极小值
增
由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；
综上所述：
当且仅当时有极值点;
当时，有惟一最小值点；
当时，有一个极大值点和一个极小值点
（3）由(2)可知当时，函数，
此时有惟一极小值点
且
令函数
3、【解析】（Ⅰ）由题意:设直线,
由消y得:,设A、B,AB的中点E,则由韦达定理得: =,即,
,所以中点E的坐标为E,因为O、E、D三点在同一直线上，所以，即，解得
，所以=,当且仅当时取等号,即的最小值为2.
（Ⅱ）（i）证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为,所以由得交点G的纵坐标为,又因为,,且∙，所以,又由（Ⅰ）知: ,所以解得,所以直线的方程为,即有,令得,y=0,与实数k无关,所以直线过定点(-1,0).
（ii）假设点，关于轴对称,则有的外接圆的圆心在x轴上,又在线段AB的中垂线上,
由（i）知点G(,所以点B(,又因为直线过定点(-1,0),所以直线的斜率为，又因为，所以解得或6，又因为,所以舍去,即，此时k=1，m=1，E，AB的中垂线为2x+2y+1=0，圆心坐标为，G(,圆半径为，圆的方程为
.综上所述, 点，关于轴对称,此时的外接圆的方程为.
二、计算题
4、（Ⅰ）解：由已知得：． ……………1分
由为偶函数，得为偶函数，
显然有． …………2分
又，所以，即． …………3分
又因为对一切实数恒成立，
即对一切实数，不等式恒成立． …………4分
显然，当时，不符合题意． …………5分
当时，应满足
注意到 ，解得． …………7分
所以． ……………8分
（Ⅱ）证明：因为，所以．………9分
要证不等式成立,
即证． …………10分
因为, …………12分
所以
．
所以成立． ……………14分
5、解：（1） (1分),
当时，的单调增区间为，减区间为；…………2分
当时，的单调增区间为，减区间为；…………3分
当时，不是单调函数…………4分
（2）因为函数的图像在点处的切线的倾斜角为，
所以，所以，， ……………..…6分
， …………………………………….……7分
要使函数在区间上总存在极值，所以只需， ………………ks5u……..……9分 解得………………………………………………………10分
⑶令此时，所以，
由⑴知在上单调递增，∴当时，
即，∴对一切成立，………12分
∵，则有，∴
…………14分
6、 解：(Ⅰ) 在区间上单调递增，在区间上单调递减,且
的值域为 ………………3分
（Ⅱ）令，则由(Ⅰ)可得，原问题等价于：对任意的在上总有两个不同的实根，故在不可能是单调函数 …………………5分
当时, ,.s 在区间上递减，不合题意
当时, ,在区间上单调递增，不合题意
当时, ,在区间上单调递减，不合题意
当即时, 在区间上单调递减; 在区间上单递增，由上可得，此时必有的最小值小于等于0 而由可得，则
综上，满足条件的不存在。………………………..8分
（Ⅲ）设函数具备性质“”，即在点处的切线斜率等于，不妨设，则，而在点处的切线斜率为，
故有………………10分
即，令，则上式化为，
………………12分
令，则由可得在上单调递增，故，即方程无解，所以函数不具备性质“”. ……………………14分
7、解（Ⅰ） 1分
若函数在上递增，则对恒成立，即对恒成立，而当时，
若函数在上递减，则对恒成立，即对恒成立，这是不可能的．
综上， 的最小值为1． 4分
（Ⅱ）解1、由
令
得=0的根为1，所以
当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，
所以在处取到最大值，又 ，，
所以要使与有两个不同的交点，则有 ……………8分
（Ⅲ）假设存在，不妨设
9分
若则，即，即． （*） 12分
令，（)，
则＞0．∴在上增函数， ∴，
∴（*）式不成立，与假设矛盾．∴
因此，满足条件的不存在． 15分
8、
9、⑴因为，所以，因此，
所以函数的图象在点处的切线方程为，…………………………2分
由得，由，得．…4分
⑵因为，
所以，由题意知在上有解，
因为，设，因为，
则只要解得，
所以b的取值范围．………………………………………………………………8分
⑶不妨设．因为函数在区间上是增函数，所以，
函数图象的对称轴为，且，
（ⅰ）当时，函数在区间上是减函数，所以，
所以等价于，
即，
等价于在区间上是增函数，
等价于在区间上恒成立，
等价于在区间上恒成立，
所以，又，
所以；………………………………………………………………………………………10分
（ⅱ）当时，函数在区间上是减函数，在上为增函数．
①当时，
等价于，
等价于在区间上是增函数，
等价于在区间上恒成立，
等价于在区间上恒成立，
所以，又，
所以；……………………………………………………………………………12分
②当时，
等价于，
等价于在区间上是增函数，
等价于在区间上恒成立，
等价于在区间上恒成立，
所以，故．………………………………………………………………14分
③当时，
由图象的对称性知，只要对于①②同时成立，那么对于③，
则存在，
使恒成立；
或存在，
使恒成立．
因此，．
综上，b的取值范围是．……………………………………………………16分
10、解：
（Ⅰ）
由于直线的斜率为，且过点，故即
解得，。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以
。
考虑函数，则
。
(i)设，由知，当时，。而，故
当时，，可得；
当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0
从而当x>0，且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.
（ii）设00，故 (x）>0，而
h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0，与题设矛盾。
（iii）设k1.此时（x）>0，而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0，与题设矛盾。
综合得，k的取值范围为（-，0]
解：（2）由（1）知．
故要证： 只需证
为去分母，故分x>1与01时，需证
即 即需证． （1）
设，则
由x>1得，所以在（1，+）上为减函数．又因g（1）=0
所以 当x>1时 g（x）<0 即（1）式成立．
同理00,∴u（t）在（0，1）上单调递增，∴u（t）0
从而上也单调递增，所以。
………………………………………………………………9分
（3）由（2）知：当，，
令则所以
，…，叠加得：
=。
则
所以………………14分
25、解：（Ⅰ）的定义域为，且， ----------------1分
①当时，，在上单调递增； ----------------2分
②当时，由，得；由，得；
故在上单调递减，在上单调递增． ------4分
（Ⅱ），的定义域为
----------------5分
因为在其定义域内为增函数，所以，
而，当且仅当时取等号，
所以 ------- --- -----6分
（Ⅲ）当时，，
由得或
当时，；当时，．
所以在上， ----------------8分
而“，，总有成立”等价于
“在上的最大值不小于在上的最大值”
而在上的最大值为
所以有 ---------------10分
所以实数的取值范围是---------------------------12分
26、
27、解：（1）定义域为，由………………2分
令
故的增区间： ， 减区间：……………………5分
（2）即证：
令由，令，得，且在在，所以
故当时，有得证……………………10分
（3）由（2）得，即
所以则
…………………………………………14分
28、解：（Ⅰ）设，于是
所以
又，则．所以. …………3分
（Ⅱ）
当m>0时，由对数函数性质，f（x）的值域为R；…………4分
当m=0时，对，恒成立； …………5分
当m<0时，由，列表：
x
－
0
＋
减
极小
增
所以若，恒成立，则实数m的取值范围是.
故使成立，实数m的取值范围．…………9分
（Ⅲ）因为对，所以在内单调递减.
于是
记，则
所以函数在是单调增函数，
所以，故命题成立. …………12分
29、
30、（Ⅰ） 2分
若函数在上递增，则对恒成立，即对恒成立，而当时，
若函数在上递减，则对恒成立，即对恒成立，这是不可能的．
综上， 的最小值为1． 6分
（Ⅱ）假设存在，不妨设
9分
若则，即，即． （*） 12分
令，（)，
则＞0．∴在上增函数， ∴，
∴（*）式不成立，与假设矛盾．∴
因此，满足条件的不存在． 16分
31、（1）解：因为，所以．
因为函数的图像在点处的切线斜率为3，
所以，即．
所以．
（2）解：由（1）知，，
所以对任意恒成立，即对任意恒成立．
令，
则，
令，
则，
所以函数在上单调递增．
因为，
所以方程在上存在唯一实根，且满足．
当，即，当，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以
．
所以．
故整数的最大值是3．
（3）证明1：由（2）知，是上的增函数，
所以当时，．
即．
整理，得
．
因为， 所以．
即．
即．
所以．[来源:Zxxk.Com]
证明2：构造函数
，
则．
因为，所以．
所以函数在上单调递增．
因为， 所以．
所以
．
即．
即．
即．
所以
32、解：（Ⅰ）将代入切线方程得
∴，化简得 …………………………………………2分
解得：.
∴ . …………………………………………4分
（Ⅱ）由已知得在上恒成立
化简
即在上恒成立
设，
…………………………………………6分
∵ ∴，即
∴在上单调递增，
∴在上恒成立 …………………………………………8分
（Ⅲ）∵ ∴，
由（Ⅱ）知有， …………………………………………10分
整理得
∴当时，. …………………………………………12分
33、解：（1）依题意：
在（0，+∞）上递增，
恒成立
即恒成立，
只需 …………2分
，当且仅当时取“=”，
的取值范围为 …………4分
（2）当时，，其定义域是（0，+∞）
时，；
当时，
函数在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减……6分
时，函数取得最大值，其值为，
当
函数只有一个零点，…………8分
（3）由已知得 两式相减，得
……10分
由，得
令
在（0，1）上递减，…………13分
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