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  • 2021-05-13 发布

安徽大学附中2014三维设计高考数学一轮单元复习检测导数及其应用

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安徽大学附中2019三维设计高考数学一轮单元复习检测:导数及其应用 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.‎ 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题 (本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.已知,则的最大值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎2.曲线y=cosx(0≤x≤2π)与直线y=1所围成的图形面积是( )‎ A.2π B.3π C. D.π ‎【答案】A ‎3.设直线x=k 与函数 的图像分别交于点M,N,则当达到最小时k的值为( )‎ A.1 B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎4.,若,则的值等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎5.函数在(1,1)处的切线方程是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎6.曲线在点,处的切线方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎7.曲线在点处的切线方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎8.设为可导函数,且满足,则过曲线上点(1,)处的切线斜率为( )‎ A.2 B.-1 C.1 D.-2‎ ‎【答案】D ‎9.若,则等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎10.设函数,当自变量由改变到时,函数的改变量为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎11.等于( )‎ A.1 B. C. D.‎ ‎【答案】C[来源:Zxxk.Com]‎ ‎12.若函数在上既是奇函数,也是减函数,则的图像是( )‎ ‎【答案】A 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题 (本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13.已知直线与曲线相切,则a的值为____________‎ ‎【答案】2‎ ‎14.如图,直线是曲线在处的切线,则的值是____________‎ ‎【答案】6‎ ‎15.已知函数f(x)=3x2+2x+1,若成立,则a= 。‎ ‎【答案】a=-1或a=-‎ ‎16. ‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 (本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.已知函数在处的切线方程为[来源:Zxxk.Com]‎ ‎(1)若=,求证:曲线上的任意一点处的切线与直线和直线 围成的三角形面积为定值;‎ ‎(2)若,是否存在实数,使得对于定义域内的任意都成立;‎ ‎(3)若方程有三个解,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)因为 所以 ,‎ 又 设图像上任意一点因为 ,‎ 所以切线方程为 令 得; 再令得 ,‎ 故三角形面积, 即三角形面积为定值 ‎(2)由得,‎ 假设存在满足题意,则有 化简,得 对定义域内任意都成立,‎ 故只有解得 所以存在实数使得对定义域内的任意都成立 ‎(3)由题意知,‎ 因为且化简,得 ‎ 即 如图可知,‎ 所以即为的取值范围.‎ ‎18.已知函数f(x)=(x2+ax-2a-3)·e3-x (a∈R)‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(2)设g(x)=(a2+)ex (a>0),若存在x1,x2∈[0,4]使得|f(x1)-g(x2)|<1成立,求a的取值范围.‎ ‎【答案】⑴,令,‎ 即所以 所以 ‎ ‎,此时在上为减函数,在上为增函数,在上为减函数;‎ 当时,,此时在上为减函数;‎ 当时,此时在上为减函数,在上为增函数,在上为减函数.‎ ‎⑵ 当时,,则在上为增函数,在上为减函数 又 ‎∴在上的值域为[来源:1ZXXK]‎ 又在上为增函数,其值域为 等价于 存在使得成立,只须 ‎,又 ‎∴a的取值范围为.‎ ‎19.设函数(为自然对数的底数),().‎ ‎(Ⅰ)证明:;‎ ‎(Ⅱ)当时,比较与的大小,并说明理由;‎ ‎(Ⅲ)证明:().‎ ‎【答案】(Ⅰ)设,所以.‎ 当时,,当时,,当时,.‎ 即函数在上单调递减,在上单调递增,‎ 在处取得唯一极小值,‎ 因为,所以对任意实数均有 .‎ 即,所以.‎ ‎(Ⅱ)当时,.‎ 用数学归纳法证明如下:‎ ‎①当时,由(1)知;‎ ‎②假设当()时,对任意均有,[来源:1ZXXK]‎ 令,,‎ 因为对任意的正实数,, ‎ 由归纳假设知,,‎ 即在上为增函数,亦即,‎ 因为,所以.‎ 从而对任意,有,即对任意,有,‎ 这就是说,当时,对任意,也有.‎ 由①,②知,当时,都有.‎ ‎(Ⅲ)证明1:先证对任意正整数,.‎ 由(Ⅱ)知,当时,对任意正整数,都有.‎ 令,得.所以.‎ 再证对任意正整数,‎ 要证明上式,只需证明对任意正整数,不等式成立.‎ 即要证明对任意正整数,不等式(*)成立.‎ 方法1(数学归纳法):‎ ‎①当时,成立,所以不等式(*)成立.‎ ‎②假设当()时,不等式(*)成立,即.‎ 则.‎ ‎ ,这说明当时,不等式(*)也成立.‎ 由①,②知,对任意正整数,不等式(*)都成立.‎ 综上可知,对,不等式成立.‎ 方法2(基本不等式法):‎ 因为,,……,,[来源:学,科,网]‎ 将以上个不等式相乘,得.所以对任意正整数,不等式(*)都成立.‎ 综上可知,对,不等式成立. ‎ ‎20.已知函数.‎ ‎(1)若函数在上单调递增,求实数的取值范围.‎ ‎(2)记函数,若的最小值是,求函数的解析式. ‎ ‎【答案】⑴ ∴在上恒成立 令 ‎∵恒成立 ∴‎ ‎(2) ‎ 易知时, 恒成立 ‎∴无最小值,不合题意 ∴‎ 令,则(舍负) 列表如下,(略)可得,‎ 在 (上单调递减,在上单调递增,则是函数的极小值点。 ‎ 解得 ‎ ‎21.设函数.‎ ‎(Ⅰ)求函数的单调递增区间;‎ ‎(II)若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)函数的定义域为,‎ ‎∵,则使的的取值范围为,‎ 故函数的单调递增区间为.‎ ‎(2)方法1:∵,‎ 令,‎ ‎∵,且,‎ 由.‎ ‎∴在区间内单调递减,在区间内单调递增,‎ 故在区间内恰有两个相异实根 ‎ 即解得:.‎ 综上所述,的取值范围是.‎ 方法2:∵,‎ 即,‎ 令, ∵,且,‎ 由.‎ ‎∴在区间内单调递增,在区间内单调递减.‎ 又,‎ 故在区间内恰有两个相异实根.‎ 即.‎ 综上所述,的取值范围是.‎ ‎22.已知函数,‎ ‎(I)若时,函数在其定义域内是增函数,求b的取值范围;‎ ‎(II)设函数的图象与函数的图象交于点、,过线段的中点作轴的垂线分别交、于点、,问是否存在点,使在处的切线与在处的切线平行?若存在,求出的横坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(I)依题意:在(0,+)上是增函数,‎ 对∈(0,+)恒成立,‎ ‎,则 的取值范围是.‎ ‎ (II)设点P、Q的坐标是 则点M、N的横坐标为 C1在点M处的切线斜率为 C2在点N处的切线斜率为 ‎ 假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行,则 即 则 ‎ 设则 点R不存在.‎