安徽大学附中2014三维设计高考数学一轮单元复习检测导数及其应用 9页

安徽大学附中2019三维设计高考数学一轮单元复习检测：导数及其应用 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷(选择题　共60分)‎ 一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．已知，则的最大值是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎2．曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与直线y＝1所围成的图形面积是( )‎ A．2π B．3π C． D．π ‎【答案】A ‎3．设直线x=k 与函数 的图像分别交于点M,N,则当达到最小时k的值为( )‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎4．,若,则的值等于( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎5．函数在（1，1）处的切线方程是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎6．曲线在点,处的切线方程为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎7．曲线在点处的切线方程为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎8．设为可导函数，且满足，则过曲线上点（1，）处的切线斜率为( )‎ A．2 B．-1 C．1 D．-2‎ ‎【答案】D ‎9．若，则等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎10．设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎11．等于( )‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】C[来源:Zxxk.Com]‎ ‎12．若函数在上既是奇函数，也是减函数，则的图像是( )‎ ‎【答案】A 第Ⅱ卷(非选择题　共90分)‎ 二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．已知直线与曲线相切，则a的值为____________‎ ‎【答案】2‎ ‎14．如图，直线是曲线在处的切线，则的值是____________‎ ‎【答案】6‎ ‎15．已知函数f（x）=3x2+2x+1，若成立，则a= 。‎ ‎【答案】a=-1或a=-‎ ‎16． ‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．已知函数在处的切线方程为[来源:Zxxk.Com]‎ ‎(1）若=，求证：曲线上的任意一点处的切线与直线和直线 围成的三角形面积为定值；‎ ‎(2）若，是否存在实数，使得对于定义域内的任意都成立；‎ ‎(3）若方程有三个解，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）因为 所以 ，‎ 又 设图像上任意一点因为 ,‎ 所以切线方程为 令 得； 再令得 ,‎ 故三角形面积, 即三角形面积为定值 ‎(2）由得，‎ 假设存在满足题意,则有 化简,得 对定义域内任意都成立,‎ 故只有解得 所以存在实数使得对定义域内的任意都成立 ‎(3）由题意知,‎ 因为且化简,得 ‎ 即 如图可知,‎ 所以即为的取值范围.‎ ‎18．已知函数f（x）=（x2+ax-2a-3）·e3-x (a∈R）‎ ‎(1）讨论f（x）的单调性；‎ ‎(2）设g（x）=（a2+）ex (a>0），若存在x1，x2∈[0，4]使得|f（x1）-g（x2）|<1成立，求a的取值范围．‎ ‎【答案】⑴，令，‎ 即所以 所以 ‎ ‎，此时在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数；‎ 当时，，此时在上为减函数；‎ 当时，此时在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数．‎ ‎⑵ 当时，，则在上为增函数，在上为减函数 又 ‎∴在上的值域为[来源:1ZXXK]‎ 又在上为增函数，其值域为 等价于 存在使得成立，只须 ‎，又 ‎∴a的取值范围为．‎ ‎19．设函数(为自然对数的底数)，（）．‎ ‎(Ⅰ）证明：；‎ ‎(Ⅱ）当时，比较与的大小，并说明理由；‎ ‎(Ⅲ）证明：（）．‎ ‎【答案】（Ⅰ）设，所以．‎ 当时，，当时，，当时，．‎ 即函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 在处取得唯一极小值，‎ 因为，所以对任意实数均有 ．‎ 即，所以．‎ ‎(Ⅱ）当时，．‎ 用数学归纳法证明如下：‎ ‎①当时，由（1）知；‎ ‎②假设当（）时，对任意均有，[来源:1ZXXK]‎ 令，，‎ 因为对任意的正实数，， ‎ 由归纳假设知，，‎ 即在上为增函数，亦即，‎ 因为，所以．‎ 从而对任意，有,即对任意，有，‎ 这就是说，当时，对任意，也有．‎ 由①,②知，当时，都有．‎ ‎(Ⅲ）证明1：先证对任意正整数，．‎ 由（Ⅱ）知，当时，对任意正整数，都有．‎ 令，得．所以．‎ 再证对任意正整数，‎ 要证明上式，只需证明对任意正整数，不等式成立．‎ 即要证明对任意正整数，不等式（*）成立．‎ 方法1（数学归纳法）：‎ ‎①当时，成立，所以不等式（*）成立．‎ ‎②假设当（）时，不等式（*）成立，即．‎ 则．‎ ‎ ,这说明当时，不等式（*）也成立．‎ 由①，②知，对任意正整数，不等式（*）都成立．‎ 综上可知，对，不等式成立．‎ 方法2（基本不等式法）：‎ 因为，，……，，[来源:学,科,网]‎ 将以上个不等式相乘，得．所以对任意正整数，不等式（*）都成立．‎ 综上可知，对，不等式成立． ‎ ‎20．已知函数.‎ ‎(1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.‎ ‎(2）记函数，若的最小值是，求函数的解析式. ‎ ‎【答案】⑴ ∴在上恒成立 令 ‎∵恒成立 ∴‎ ‎(2) ‎ 易知时, 恒成立 ‎∴无最小值,不合题意 ∴‎ 令,则(舍负) 列表如下,(略)可得,‎ 在 (上单调递减，在上单调递增，则是函数的极小值点。 ‎ 解得 ‎ ‎21．设函数．‎ ‎(Ⅰ）求函数的单调递增区间；‎ ‎(II）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）函数的定义域为，‎ ‎∵，则使的的取值范围为，‎ 故函数的单调递增区间为．‎ ‎(2）方法1：∵，‎ 令，‎ ‎∵，且，‎ 由．‎ ‎∴在区间内单调递减，在区间内单调递增，‎ 故在区间内恰有两个相异实根 ‎ 即解得：．‎ 综上所述，的取值范围是．‎ 方法2：∵，‎ 即，‎ 令， ∵，且，‎ 由．‎ ‎∴在区间内单调递增，在区间内单调递减．‎ 又，‎ 故在区间内恰有两个相异实根．‎ 即．‎ 综上所述，的取值范围是．‎ ‎22．已知函数，‎ ‎(I）若时，函数在其定义域内是增函数，求b的取值范围；‎ ‎(II）设函数的图象与函数的图象交于点、，过线段的中点作轴的垂线分别交、于点、，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（I）依题意：在（0,+）上是增函数，‎ 对∈（0,+）恒成立，‎ ‎，则 的取值范围是.‎ ‎ (II）设点P、Q的坐标是 则点M、N的横坐标为 C1在点M处的切线斜率为 C2在点N处的切线斜率为 ‎ 假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则 即 则 ‎ 设则 点R不存在.‎