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- 2021-05-13 发布
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2 0 1 3 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试
上海 数学试卷(文史类)
考生注意:
1.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚的填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码
贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.
2.本试卷共有23道试题,满分150分.考试时间120分钟.
一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个
空格填对得4分,否则一律得零分.
1.不等式的解为 .
2.在等差数列中,若,则 .
3.设,是纯虚数,其中是虚数单位,则 .
4.已知,,则 .
5.已知的内角所对的边分别是.若,则角的
大小是 .
6.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的.在一次考试中,男、女生平均分数分别
为、,则这次考试该年级学生平均分数为 .
7.设常数.若的二项展开式中项的系数为,则 .
8.方程的实数解为 .
9.若,则 .
10.已知圆柱的母线长为,底面半径为,是上底面圆心,、是下底面圆周上两个
不同的点,是母线,如图.若直线与所成角的大小为,则 .
11.盒子中装有编号为的七个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的
概率是 (结果用最简分数表示).
12.设是椭圆的长轴,点C在上,且.若,,则的两个焦点
之间的距离为 .
13.设常数.若对一切正实数成立,则的取值范围为 .
14.已知正方形的边长为1.记以为起点,其余顶点为终点的向量分别为、、;
以为起点,其余顶点为终点的向量分别为、、.若,且,,
则的最小值是 .
二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
15.函数的反函数为,则的值是( ).
(A) (B) (C) (D)
16.设常数,集合,.若,则的取值
范围为( ).
(A) (B) (C) (D)
17.钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“好货”是“不便宜”的( ).
(A) 充分条件 (B) 必要条件
(C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件
18.记椭圆围成的区域(含边界)为,当点分别在上时,
的最大值分别是,则( ).
(A) 0 (B) (C) 2 (D)
三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分)
如图,正三棱锥的底面边长为2,高为1,求该三棱锥的体积及表面积.
20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分9分.
甲厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求),每一小时可获得的利润
是元.
(1)求证:生产千克该产品所获得的利润为元;
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
已知函数,其中常数.
(1)令,判断函数的奇偶性,并说明理由;
(2)令,将函数的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数
的图像.对任意,求在区间上零点个数的所有可能值.
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.
已知函数,无穷数列满足,.
(1)若,求;
(2)若,且成等比数列,求的值;
(3)是否存在,使得成等差数列?若存在,求出所有这样的;若不存在,说明理由.
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.
如图,已知双曲线,曲线.是平面内一点,若存在过点的直线与、都有公共点,则称为“型点”.
(1)在正确证明的左焦点是“型点”时,要使用一条过
该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);
(2)设直线与有公共点,求证,进而证明原点
不是“型点”;
(3)求证:圆内的点都不是“型点”.