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- 2021-05-13 发布
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1.函数f(x)=+ln(3x-x2)的定义域是( )
A.(2,+∞) B.(3,+∞)
C.(2,3) D.(2,3)∪(3,+∞)
解析:选C.由解得2<x<3,则该函数的定义域为(2,3),故选C.
2.已知函数f(x)=x|x|,x∈R,若f(x0)=4,则x0的值为( )
A.-2 B.2
C.-2或2 D.
解析:选B.当x≥0时,f(x)=x2,f(x0)=4,
即x=4,解得x0=2.
当x<0时,f(x)=-x2,f(x0)=4,
即-x=4,无解.
所以x0=2,故选B.
3.(2019·广州综合测试(一))已知函数f(x)=,则f(f(3))=( )
A. B.
C.- D.-3
解析:选A.因为f(3)=1-log23=log2 <0,
所以f(f(3))=f(log2)=2=2=,故选A.
4.已知f=,则f(x)的解析式为( )
A.f(x)= B.f(x)=-
C.f(x)= D.f(x)=-
解析:选C.令=t,则x=,所以f(t)==,故函数f(x)的解析式为f(x)=,故选C.
5.已知f=2x-5,且f(a)=6,则a等于( )
A.- B.
C. D.-
解析:选B.令t=x-1,则x=2t+2,
所以f(t)=2(2t+2)-5=4t-1
所以f(a)=4a-1=6,即a=.
6.已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于( )
A.-3 B.-1
C.1 D.3
解析:选A.因为f(1)=2,所以f(a)=-f(1)=-2,
当a>0时,f(a)=2a=-2,无解;
当a≤0时,f(a)=a+1=-2,所以a=-3.
综上,a=-3,选A.
7.设函数f(x)=则(a≠b)的值为( )
A.a B.b
C.a,b中较小的数 D.a,b中较大的数
解析:选C.若a-b>0,即a>b,则f(a-b)=-1,
则=[(a+b)-(a-b)]=b(a>b);
若a-b<0,即a<b,则f(a-b)=1,
则=[(a+b)+(a-b)]=a(a<b).综上,选C.
8.若二次函数g(x)满足g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,则g(x)的解析式为( )
A.g(x)=2x2-3x B.g(x)=3x2-2x
C.g(x)=3x2+2x D.g(x)=-3x2-2x
解析:选B.用待定系数法,设g(x)=ax2+bx+c(a≠0),因为g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,
所以解得所以g(x)=3x2-2x.
9.已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3],则y=f(2x-1)的定义域为( )
A.[-3,7] B.[-1,4]
C.[-5,5] D.
解析:选D.因为y=f(x+1)的定义域为[-2,3],
所以-1≤x+1≤4.
由-1≤2x-1≤4,得0≤x≤,
即y=f(2x-1)的定义域为.
10.(2019·石家庄质量检测(一))设函数f(x)=,若f(f())=2,则实数n为( )
A.- B.-
C. D.
解析:选D.因为f()=2×+n=+n,当+n<1,即n<-时,f(f())=2(+n)+n=2,解得n=-,不符合题意;当+n≥1,即n≥-时,f(f())=log2(+n)=2,即+n=4,解得n=,故选D.
11.(2019·石家庄质量检测(一))已知函数f(x)=,则f(f(x))<2的解集为( )
A.(1-ln 2,+∞) B.(-∞,1-ln 2)
C.(1-ln 2,1) D.(1,1+ln 2)
解析:选B.因为当x≥1时,f(x)=x3+x≥2,当x<1时,f(x)=2ex-1<2,所以f(f(x))<2等价于f(x)<1,即2ex-1<1,解得x<1-ln 2,所以f(f(x))<2的解集为(-∞,1-ln 2),故选B.
12.已知具有性质:f=-f(x)的函数,我们称f(x)为满足“倒负”变换的函数,下列函数:
①f(x)=x-;②f(x)=x+;③f(x)=
其中满足“倒负”变换的函数是( )
A.①② B.①③
C.②③ D.①
解析:选B.对于①,f(x)=x-,f=-x=-f(x),满足;对于②,f=+x=f(
x),不满足;对于③,f=
即f=故f=-f(x),满足.
13.函数f(x),g(x)分别由下表给出.
x
1
2
3
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
g(x)
3
2
1
则f(g(1))的值为________;满足f(g(x))>g(f(x))的x的值为________.
解析:因为g(1)=3,f(3)=1,所以f(g(1))=1.
当x=1时,f(g(1))=f(3)=1,g(f(1))=g(1)=3,不合题意.
当x=2时,f(g(2))=f(2)=3,g(f(2))=g(3)=1,符合题意.
当x=3时,f(g(3))=f(1)=1,g(f(3))=g(1)=3,不合题意.
答案:1 2
14.若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)-f(-x)=3x+1,则f(1)=________.
解析:令x=1,得2f(1)-f(-1)=4,①
令x=-1,得2f(-1)-f(1)=-2,②
联立①②得f(1)=2.
答案:2
15.已知函数f(x)=若a[f(a)-f(-a)]>0,则实数a的取值范围为________.
解析:易知a≠0.由题意得,当a>0时,则-a<0,故a[f(a)-f(-a)]=a(a2+a-3a)>0,化简可得a2-2a>0,解得a>2或a<0.又因为a>0,所以a>2.当a<0时,则-a>0,故a[f(a)-f(-a)]=a[-3a-(a2-a)]>0,化简可得a2+2a>0,解得a>0或a<-2,又因为a<0,所以a<-2.综上可得,实数a的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).
答案:(-∞,-2)∪(2,+∞)
16.已知函数f(x)满足对任意的x∈R都有f+f=2成立,则f+f+…+f=________.
解析:由f+f=2,
得f+f=2,f+f=2,f+f=2,
又f==×2=1,
所以f+f+…+f=2×3+1=7.
答案:7
1.设x∈R,定义符号函数sgn x=则( )
A.|x|=x|sgn x| B.|x|=xsgn|x|
C.|x|=|x|sgn x D.|x|=xsgn x
解析:选D.当x<0时,|x|=-x,x|sgn x|=x,x·sgn|x|=x,|x|sgn x=(-x)·(-1)=x,排除A,B,C,故选D.
2.设f(x),g(x)都是定义在实数集上的函数,定义函数(f·g)(x):∀x∈R,(f·g)(x)=f(g(x)).若f(x)=g(x)=则( )
A.(f·f)(x)=f(x) B.(f·g)(x)=f(x)
C.(g·f)(x)=g(x) D.(g·g)(x)=g(x)
解析:选A.对于A,(f·f)(x)=f(f(x))=当x>0时,f(x)=x>0,(f·f)(x)=f(x)=x;当x<0时,f(x)=x2>0,(f·f)(x)=f(x)=x2;当x=0时,(f·f)(x)=f2(x)=0=02,因此对任意的x∈R,有(f·f)(x)=f(x),故A正确,选A.
3.已知函数f(x)=x3-x2+x+,则的值为( )
A.0 B.504.5
C.1 009 D.2 018
解析:选B.因为f(1-x)=(1-x)3-(1-x)2+(1-x)+=1-3x+3x2-x3-+3x-x2+-x+=-x3+x2-x+,所以f(x)+f(1-x)=x3-x2+x+-x3+x2-x+=,所以=f+f+…+f=1 009×=1 009×=504.5.故选B.
4.已知定义在D=[-4,4]上的函数f(x)=,对任意x∈D,存在x1,x2∈D,使得f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最大值与最小值之和为________.
解析:
作出函数f(x)的图象如图所示,由任意x∈D,f(x1)≤f(x)≤f(x2)知,f(x1),f(x2)分别为f(x
)的最小值和最大值,由图可知|x1-x2|max=8,|x1-x2|min=1,所以|x1-x2|的最大值与最小值之和为9.
答案:9
5.设函数f(x)=且f(-2)=3,f(-1)=f(1).
(1)求f(x)的解析式;
(2)画出f(x)的图象.
解:(1)由f(-2)=3,f(-1)=f(1),得
解得a=-1,b=1,
所以f(x)=
(2)f(x)的图象如图:
6.已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)=-2f(x+1),且f(x)在区间[0,1]上有表达式f(x)=x2.
(1)求f(-1),f(1.5);
(2)写出f(x)在区间[-2,2]上的表达式.
解:(1)由题意知f(-1)=-2f(-1+1)=-2f(0)=0,
f(1.5)=f(1+0.5)=-f(0.5)=-×=-.
(2)当x∈[0,1]时,f(x)=x2;
当x∈(1,2]时,x-1∈(0,1],f(x)=-f(x-1)=-(x-1)2;
当x∈[-1,0)时,x+1∈[0,1),
f(x)=-2f(x+1)=-2(x+1)2;
当x∈[-2,-1)时,x+1∈[-1,0),
f(x)=-2f(x+1)=-2×[-2(x+1+1)2]=4(x+2)2.
所以f(x)=.