2008高考安徽数学文科试卷和答案全word版080612 12页

2008 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数 学（文科） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第 1 至第 2 页， 第Ⅱ卷第 3 至第 4 页．全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟． 考生注意事项： 1． 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所 粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致． 2． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3． 答第Ⅱ卷时，必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．在试题卷上作答无效． 4． 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式： 如果事件 互斥，那么 球的表面积公式 其中 表示球的半径 如果事件 相互独立，那么 球的体积公式 其中 表示球的半径 第 I 卷（选择题共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． （1）．若 位全体实数的集合， 则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． （2）．若 ， , 则 （ ） A． （1，1） B．（－1，－1） C．（3，7） D．（-3,-7） （3）．已知 是两条不同直线， 是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A． B． C． D． A B， 24πS R= ( ) ( ) ( )P A B P A P B+ = + R A B， 34 π3V R= ( ) ( ) ( )P A B P A P B=  R A { }2, 1,1,2B = − − }{ 2, 1A B = − − ( ) ( ,0)RC A B = −∞ (0, )A B = +∞ }{( ) 2, 1RC A B = − − (2,4)AB = (1,3)AC = BC = ,m n , ,α β γ , ,α γ β γ α β⊥ ⊥若 则 ‖ , ,m n m nα α⊥ ⊥若 则 ‖ , ,m n m nα α若 则‖ ‖ ‖ , ,m mα β α β若 则‖ ‖ ‖ （4）． 是方程 至少有一个负数根的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 （5）．在三角形 中， ,则 的大小为（ ） A． B． C． D． （6）．函数 的反函数为 A． B． C． D． （7）．设 则 中奇数的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 （8）．函数 图像的对称轴方程可能是（ ） A． B． C． D． （9）．设函数 则 （ ） A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数 （10）若过点 的直线 与曲线 有公共点，则直线 的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． （11） 若 为不等式组 表示的平面区域，则当 从－2 连续变化到 1 时，动直线 扫过 中的那部分区域的面积为 ( ) A． B．1 C． D．5 （12）12 名同学合影，站成前排 4 人后排 8 人，现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排，若其 他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是 ( ) A． B． C． D． 0a < 2 2 1 0ax x+ + = ABC 5, 3, 7AB AC BC= = = BAC∠ 2 3 π 5 6 π 3 4 π 3 π 2( ) ( 1) 1( 0)f x x x= − + ≤ 1( ) 1 1( 1)f x x x− = − − ≥ 1( ) 1 1( 1)f x x x− = + − ≥ 1( ) 1 1( 2)f x x x− = − − ≥ 1( ) 1 1( 2)f x x x− = − − ≥ 8 8 0 1 8(1 ) ,x a a x a x+ = + + + 0, 1 8, ,a a a sin(2 )3y x π= + 6x π= − 12x π= − 6x π= 12x π= 1( ) 2 1( 0),f x x xx = + − < ( )f x (4,0)A l 2 2( 2) 1x y− + = l [ 3, 3]− ( 3, 3)− 3 3[ , ]3 3 − 3 3( , )3 3 − A 0 0 2 x y y x ≤  ≥  − ≤ a x y a+ = A 3 4 7 4 2 6 8 6C A 2 2 8 3C A 2 2 8 6C A 2 2 8 5C A 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数 学（文科） 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 考生注意事项： 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把答案填在答题卡的相应位置． （13）．函数 的定义域为 ． （14）．已知双曲线 的离心率是 。则 ＝ （15） 在数列 在中， ， ， ,其中 为常数， 则 （16）已知点 在同一个球面上, 若 ,则 两点间的球面距离是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）．（本小题满分 12 分） 已知函数 （Ⅰ）求函数 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数 在区间 上的值域 （18）．（本小题满分 12 分） 在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了 10 张卡片，每张卡片印有一个汉字的拼 音，其中恰有 3 张卡片上的拼音带有后鼻音“g”. （Ⅰ）现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这 10 张卡片总随机抽取 1 张，测 试后放回，余下 2 位的测试，也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上， 拼音都带有后鼻音“g”的概率。 （Ⅱ）若某位被测试者从 10 张卡片中一次随机抽取 3 张，求这三张卡片上，拼音带有后鼻音 “g”的卡片不少于 2 张的概率。 2 2 1( ) log ( 1) xf x x − −= − 2 2 112 x y n n − =− 3 n { }na 54 2na n= − 2 1 2 na a a an bn+ + = + *n N∈ ,a b ab = , , ,A B C D ,AB BCD⊥ 平面 ,BC CD⊥ 6,AB = 2 13,AC = 8AD = ,B C ( ) cos(2 ) 2sin( )sin( )3 4 4f x x x x π π π= − + − + ( )f x ( )f x [ , ]12 2 π π− M A B D C O（19）．（本小题满分 12 分 如图，在四棱锥 中，底面 四边长为 1 的 菱 形， , , , 为 的 中点。 （Ⅰ）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小 ； （Ⅱ）求点 B 到平面 OCD 的距离。 （20）．（本小题满分 12 分） 设函数 为实数。 （Ⅰ）已知函数 在 处取得极值，求 的值； （Ⅱ）已知不等式 对任意 都成立，求实数 的取值范围。 O ABCD− ABCD 4ABC π∠ = OA ABCD⊥ 底面 2OA = M OA 3 23( ) ( 1) 1,3 2 af x x x a x a= − + + + 其中 ( )f x 1x = a ' 2( ) 1f x x x a> − − + (0, )a∈ +∞ x （21）．（本小题满分 12 分） 设数列 满足 其中 为实数，且 （Ⅰ）求数列 的通项公式 （Ⅱ）设 ， ,求数列 的前 项和 ； （Ⅲ）若 对任意 成立，证明 （22）．（本小题满分 14 分） 设椭圆 其相应于焦点 的准线方程为 . （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）已知过点 倾斜角为 的直线交椭圆 于 两点，求证： ; （Ⅲ）过点 作两条互相垂直的直线分别交椭圆 于 和 ,求 的最 小值 { }na * 0 1, 1 , ,n na a a ca c c N+= = + − ∈ ,a c 0c ≠ { }na 1 1,2 2a c= = *(1 ),n nb n a n N= − ∈ { }nb n nS 0 1na< < *n N∈ 0 1c< ≤ 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > (2,0)F 4x = C 1( 2,0)F − θ C ,A B 2 4 2 2AB COS θ= − 1( 2,0)F − C ,A B ,D E AB DE+ 2008 年高考安徽文科数学试题参考答案 一. 选择题 1D 2B 3B 4B 5A 6C 7A 8D 9A 10D 11C 12C 二. 13: 14: 4 15: －1 16: 三. 解答题 17 解： （1） （2） 因为 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减， 所以 当 时， 取最大值 1 又 ， 当 时， 取最小值 所以 函数 在区间 上的值域为 18 解： （1）每次测试中，被测试者从 10 张卡片中随机抽取 1 张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的概 率为 ，因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的，因而所求的概 率为 [3, )+∞ 4 3 π ( ) cos(2 ) 2sin( )sin( )3 4 4f x x x x π π π= − + − + 1 3cos2 sin 2 (sin cos )(sin cos )2 2x x x x x x= + + − + 2 21 3cos2 sin 2 sin cos2 2x x x x= + + − 1 3cos2 sin 2 cos22 2x x x= + − sin(2 )6x π= − 2T 2 π π= =周期∴ 5[ , ], 2 [ , ]12 2 6 3 6x x π π π π π∈ − ∴ − ∈ − ( ) sin(2 )6f x x π= − [ , ]12 3 π π− [ , ]3 2 π π 3x π= ( )f x 3 1( ) ( )12 2 2 2f f π π− = − < = ∴ 12x π= − ( )f x 3 2 − ( )f x [ , ]12 2 π π− 3[ ,1]2 − 3 10 3 3 3 27 10 10 10 1000 × × = Q M A B D C O P （2）设 表示所抽取的三张卡片中，恰有 张卡片带有后鼻音“g”的事件，且其 相应的概率为 则 , 因而所求概率为 1９ 方法一（综合法） （1） 为异面直线 与 所成的角（或其补角） 作 连接 ， 所以 与 所成角的大小为 （２） 点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等， 连接 OP,过点 A 作 于点 Q， 又 ,线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离 ， ，所以点 B 到平面 OCD 的距离为 ( 1,2,3)iA i = i ( ),iP A 1 2 7 3 2 3 10 7( ) 40 C CP A C = = 3 3 3 3 10 1( ) 120 CP A C = = 2 3 2 3 7 1 11( ) ( ) ( ) 40 120 60P A A P A P A+ = + = + = CD ‖AB, MDC∠∴ AB MD ,AP CD P⊥ 于 MP ⊥ ⊥平面ABCD，∵OA ∴CD MP 2,4 2ADP π∠ =∵ ∴DP= 2 2 2MD MA AD= + =∵ 1cos ,2 3 DPMDP MDC MDPMD π∠ = = ∠ = ∠ =∴ AB MD 3 π AB 平面∵ ∴‖ OCD, AQ OP⊥ , , ,AP CD OA CD CD OAP⊥ ⊥ ⊥ 平面∵ ∴ ,AQ OAP AQ CD⊂ ⊥平面∵ ∴ ,AQ OP AQ OCD⊥ ⊥ 平面∵ ∴ 2 2 2 2 2 1 3 24 1 2 2OP OD DP OA AD DP= − = + − = + − =∵ 2 2AP DP= = 22 22 33 2 2 OA APAQ OP = = =∴ 2 3 方法二(向量法) 作 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 轴建立坐标系 , (1)设 与 所成的角为 , , 与 所成角的大小为 (2) 设平面 OCD 的法向量为 ,则 即 取 ,解得 设点 B 到平面 OCD 的距离为 ,则 为 在向量 上的投影的绝对值, , . 所以点 B 到平面 OCD 的距离为 20 解: (1) ，由于函数 在 时取得极值，所以 即 (2) 方法一 由题设知： 对任意 都成立 即 对任意 都成立 AP CD⊥ , ,x y z 2 2 2(0,0,0), (1,0,0), (0, ,0), ( , ,0), (0,0,2), (0,0,1)2 2 2A B P D O M− AB MD θ 2 2(1,0,0), ( , , 1)2 2AB MD= = − − ∵ 1cos ,2 3 AB MD AB MD πθ θ= = = ⋅     ∴ ∴ ∴ AB MD 3 π 2 2 2(0, , 2), ( , , 2)2 2 2OP OD= − = − − ∵ ∴ ( , , )n x y z= 0, 0n OP n OD= =    2 2 02 2 2 2 02 2 y z x y z  − = − + − = 2z = (0,4, 2)n = d d OB (0,4, 2)n = (1,0, 2)OB = −∵ 2 3 OB n d n ⋅ = =  ∴ 2 3 ' 2( ) 3 ( 1)f x ax x a= − + + ( )f x 1x = ' (1) 0f = 3 1 0, 1a a a− + + = =∴ 2 23 ( 1) 1ax x a x x a− + + > − − + (0, )a∈ +∞ 2 2( 2) 2 0a x x x+ − − > (0, )a∈ +∞ 设 , 则对任意 ， 为单调递增函数 所以对任意 ， 恒成立的充分必要条件是 即 ， 于是 的取值范围是 方法二 由题设知： 对任意 都成立 即 对任意 都成立 于是 对任意 都成立，即 于是 的取值范围是 21 解 (1) 方法一： 当 时， 是首项为 ，公比为 的等比数列。 ，即 。当 时， 仍满足上式。 数列 的通项公式为 。 方法二 由题设得：当 时， 时， 也满足上式。 数列 的通项公式为 。 (2) 由（1）得 2 2( ) ( 2) 2 ( )g a a x x x a R= + − − ∈ x R∈ ( )g a ( )a R∈ (0, )a∈ +∞ ( ) 0g a > (0) 0g ≥ 2 2 0x x− − ≥ 2 0x− ≤ ≤∴ x }{ | 2 0x x− ≤ ≤ 2 23 ( 1) 1ax x a x x a− + + > − − + (0, )a∈ +∞ 2 2( 2) 2 0a x x x+ − − > (0, )a∈ +∞ 2 2 2 2 x xa x +> + (0, )a∈ +∞ 2 2 2 02 x x x + ≤+ 2 0x− ≤ ≤∴ x }{ | 2 0x x− ≤ ≤ 1 1 ( 1)n na c a+ − = −∵ ∴ 1a ≠ { }1na − 1a − c 11 ( 1) n na a c −− = −∴ 1( 1) 1n na a c −= − + 1a = 1na = ∴ }{ na 1( 1) 1n na a c −= − + *( )n N∈ 2n > 2 1 1 1 2 11 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)n n n n na c a c a c a a c− − − −− = − = − = = − = − 1( 1) 1n na a c −= − +∴ 1n = 1a a= ∴ }{ na 1( 1) 1n na a c −= − + *( )n N∈ 1 1(1 ) ( )2 n n nb n a c n−= − = 2 1 2 1 1 12( ) ( )2 2 2 n n nS b b b n= + + + = + + +  (3) 由（1）知 若 ，则 由 对任意 成立，知 。下面证 ，用反证法 方法一：假设 ，由函数 的函数图象知，当 趋于无穷大时， 趋于无穷大 不能对 恒成立，导致矛盾。 。 方法二：假设 ， ， 即 恒成立 （＊） 为常数， （＊）式对 不能恒成立，导致矛盾， 22 解 ：（1）由题意得： 椭圆 的方程为 2 3 11 1 1 1( ) 2( ) ( )2 2 2 2 n nS n += + + + 2 11 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 n n nS n += + + + −∴ 2 11 1 1 1 1 11 ( ) ( ) ( ) 2[1 ( ) ] ( )2 2 2 2 2 2 n n n n nS n n−= + + + + − = − −∴ 12 (2 )( )2 n nS n= − +∴ 1( 1) 1n na a c −= − + 10 ( 1) 1 1na c −< − + < 10 (1 ) 1na c −< − < 10 1,a a< = <∵ 1 *10 ( )1 nc n Na −< < ∈−∴ 1 0nc − > *n N∈ 0c > 1c ≤ 1c > ( ) xf x c= n 1nc − 1 1 1 n a − < −∴c *n N∈ 1c ≤∴ 0 1c< ≤∴ 1c > 1 1 1 nc a − < −∵ 1 1log log 1 n c cc a − < −∴ *11 log ( )1cn n Na − < ∈− ,a c∵ ∴ *n N∈ 1c ≤∴ 0 1c< ≤∴ 22 2 2 2 2 2 84 4 c aa c b a b c =   = =  =  = + ∴ ∴ C 2 2 18 4 x y+ = (2)方法一： 由（1）知 是椭圆 的左焦点，离心率 设 为椭圆的左准线。则 作 ， 与 轴交于点 H(如图) 点 A 在椭圆上 同理 。 方法二： 当 时，记 ，则 将其代入方程 得 设 ，则 是此二次方程的两个根. ................(1) 代入（1）式得 ........................(2) 1( 2,0)F − C 2 2e = l : 4l x = − 1 1 1 1,AA l A BB l B⊥ ⊥于 于 l x ∵ 1 1 2 2AF AA=∴ 1 1 2 ( cos )2 FH AF θ= + 1 22 cos2 AF θ= + 1 2 2 cos AF θ = −∴ 1 2 2 cos BF θ = + 1 1 2 2 2 4 2 2 cos2 cos 2 cos AB AF BF θθ θ = + = + = −− +∴ 2 πθ ≠ tank θ= : ( 2)AB y k x= + 2 22 8x y+ = 2 2 2 2(1 2 ) 8 8( 1) 0k x k x k+ + + − = 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2,x x 2 2 1 2 1 22 2 8 8( 1), .1 2 1 2 k kx x x xk k −+ = − =+ +∴ 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) (1 )( ) (1 )[( ) 4 ]AB x x y y k x x k x x x x= − + − = + − = + + − 2 2 2 2 2 2 2 2 8 32( 1) 4 2(1 )(1 )[( ) ]1 2 1 2 1 2 k k kk k k k − − += + − =+ + + 2 2tan ,k θ=∵ 2 4 2 2 cosAB θ= − 当 时， 仍满足（2）式。 （3）设直线 的倾斜角为 ，由于 由（2）可得 ， 当 时， 取得最小值 2 πθ = 2 2AB = 2 4 2 2 cosAB θ= −∴ AB θ ,DE AB⊥ 2 4 2 2 cosAB θ= − 2 4 2 2 sinDE θ= − 2 2 2 2 2 4 2 4 2 12 2 12 2 12 cos 2 sin 2 sin cos 2 sin 24 AB DE θ θ θ θ θ + = + = =− − + + 3 4 4 π πθ θ= =或 AB DE+ 16 2 3