2015年高考福建文科数学试题及答案(word解析版) 7页

‎2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）‎ 数学（文科）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．‎ ‎（1）【2015年福建，文1，5分】若（，是虚数单位），则的值分别等于（ ）‎ ‎（A）3,-2 （B）3,2 （C）3,-3 （D）-1,4‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知得，故，，故选A．‎ ‎（2）【2015年福建，文2，5分】若集合，，则等于（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】由交集定义得，故选D．‎ ‎（3）【2015年福建，文3，5分】下列函数为奇函数的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数和是非奇非偶函数；是偶函数；是奇函数，故选D．‎ ‎（4）【2015年福建，文4，5分】阅读如图所示的程序框图，阅读相应的程序．若输入的值为1，则输出的值为（ ）‎ ‎（A）2 （B）7 （C）8 （D）128‎ ‎【答案】C ‎【解析】该程序表示分段函数，则，故选C．‎ ‎（5）【2015年福建，文5，5分】若直线过点，则的最小值等于（ ）‎ ‎ （A）2 （B）3 （C）4 （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知得，则，因此，所以，故，当，即时取等号，故选C．‎ ‎（6）【2015年福建，文6，5分】若，且为第四象限角，则的值等于（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，且为第四象限角，则，则，故选D．‎ ‎（7）【2015年福建，文7，5分】设，，．若，则实数的值等于（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知得，因为，则，因此，解得，‎ 故选A．‎ ‎（8）【2015年福建，文8，5分】如图，矩形中，点在轴上，点的坐标为．且点 与点在函数的图像上．若在矩形内随机取一点，则该点取自 阴影部分的概率等于（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知得，，，，则矩形面积为，阴影部分面积为，‎ 故该点取自阴影部分的概率等于故选B． ‎ ‎（9）【2015年福建，文9，5分】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，且底面直角梯形 的两底分别为1,2，直角腰长为1，斜腰为．底面积为，侧面积为则其表面 积为，所以该几何体的表面积为，故选C．‎ ‎（10）【2015年福建，文10，5分】变量满足约束条件，若的 最大值为2，则实数等于（ ）‎ ‎（A）-2 （B）-1 （C）1 （D）2‎ ‎【答案】C ‎【解析】将目标函数变形为，当取最大值，则直线纵截距最小，故当时，不满足题意；当时，画出可行域，如图所示， 其中．显然不是最优解，故只能是最优解，代入目标函数得，解得，故选C．‎ ‎（11）【2015年福建，文11，5分】已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】设左焦点为，连接，，则四边形是平行四边形，故，所以，‎ 所以，设，则，故，从而，，，所以椭圆的离 心率的取值范围是，故选A．‎ ‎（12）【2015年福建，文12，5分】“对任意，”是“”的（ ）‎ ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】当，，构造函数，则．故在单调递增，故，则；当时，不等式等价于，构造函数，则，故在递增，故，则．综上所述，“对任意，”是“”的必要不充分条件，故选B．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎（13）【2015年福建，文13，5分】某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为 ．‎ ‎【答案】25‎ ‎【解析】由题意得抽样比例为，故应抽取的男生人数为．‎ ‎（14）【2015年福建，文14，5分】若中，，，，则等于 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得．由正弦定理得，则，所以．‎ ‎（15）【2015年福建，文15，5分】若函数满足，且在单调递增，则实数的最小值等于 ．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由得函数关于对称，故，则，由复合函数单调性得在 递增，故，所以实数的最小值等于1．‎ ‎（16）【2015年福建，文16，5分】若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于 ．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】由韦达定理得，，则，当适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，，当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，，解得，；当是等差中项时，，解得，，综上所述，，所以．‎ 三、解答题：本大题共6题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． ‎ ‎（17）【2015年福建，文17，12分】等差数列中，，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求的值．‎ 解：（1）设等差数列的公差为．由已知得，解得．‎ 所以．‎ ‎（2）由（1）可得．所以 ‎．‎ ‎（18）【2015年福建，文18，12分】全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．‎ 组号 分组 频数 ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎（1）现从融合指数在和内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合 指数在的概率；‎ ‎（2）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．‎ 解：解法一：‎ ‎（1）融合指数在内的“省级卫视新闻台”记为，，；融合指数在内的“省级卫视新闻台”记为 ‎ ，．从融合指数在和内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：，‎ ‎，，，，，，，，，共10个．其中，至少有1家融合指数在内的基本事件是：，，，，，，，，，共9个．所以所求的概率．‎ ‎（2）这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于．‎ 解法二：‎ ‎（1）融合指数在内的“省级卫视新闻台”记为，，；融合指数在内的“省级卫视新闻台”记为 ‎，．从融合指数在和内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：，‎ ‎，，，，，，，，，共10个．其 中，没有1家融合指数在内的基本事件是：，共1个．所以所求的概率．‎ ‎（2）同解法一．‎ ‎（19）【2015年福建，文19，12分】已知点为抛物线的焦点，点 在抛物线上，且．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）已知点，延长交抛物线于点，证明：以点为圆心且与直线相 切的圆，必与直线相切．‎ 解：解法一：‎ ‎（1）由抛物线的定义得．因为，即，解得，‎ 所以抛物线的方程为． ‎ ‎（2）因为点在抛物线上，所以，由抛物线的对称性，不妨设．‎ 由，可得直线的方程为．由，得，‎ 解得或，从而．又，所以，，‎ 所以，从而，这表明点到直线，的距离相等，‎ 故以为圆心且与直线相切的圆必与直线相切．‎ 解法二：‎ ‎（1）同解法一．‎ ‎（2）设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为．因为点在抛物线上，所以 ‎，由抛物线的对称性，不妨设．由，可得直线的方程为 ‎．由，得，解得或，从而．又，‎ 故直线的方程为，从而．‎ 又直线的方程为，所以点到直线的距离．‎ 这表明以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切．‎ ‎（20）【2015年福建，文20，12分】如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且．‎ ‎（1）若为线段的中点，求证平面；‎ ‎（2）求三棱锥体积的最大值；‎ ‎（3）若，点在线段上，求的最小值．‎ 解：解法一：‎ ‎（1）在中，因为，为的中点，所以．又垂直于圆所在的平面，所 以．因为，所以平面．‎ ‎（2）因为点在圆上，所以当时，到的距离最大，且最大值为1．‎ 又，所以面积的最大值为．又因为三棱锥的高，‎ 故三棱锥体积的最大值为．‎ ‎（3）在中，，，所以．同理，‎ 所以．在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，‎ 使之与平面共面，如图所示．当，，共线时，取得最小值．‎ 又因为，，所以垂直平分，即为中点．从而 ‎，亦即的最小值为．‎ 解法二：‎ ‎（1）（2）同解法一．‎ ‎（3）在中，，，所以，．同理．‎ 所以，所以．在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，‎ 使之与平面共面，如图所示．当，，共线时，取得最小值．所以在中，‎ 由余弦定理得：．‎ 从而．所以的最小值为．‎ ‎（21）【2015年福建，文21，12分】已知函数．‎ ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移（）个单位长度后得到函数的 图象，且函数的最大值为2．‎ ‎（i）求函数的解析式；‎ ‎（ii）证明：存在无穷多个互不相同的正整数，使得．‎ 解：（1）‎ 所以函数的最小正周期．‎ ‎（2）（i）将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，再向下平移（）个单 位长度后得到的图象．又已知函数的最大值为2，所以，解 得．所以．‎ ‎（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，就是要证明存在无穷多个互不相同的 正整数，使得，即．由知，存在，使得．‎ 由正弦函数的性质可知，当时，均有．因为的周期为，‎ 所以当时，均有．‎ 因为对任意的整数，，‎ 所以对任意的正整数，都存在正整数，使得．‎ 亦即存在无穷多个互不相同的正整数，使得．‎ ‎（22）【2015年福建，文22，14分】已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）证明：当时，；‎ ‎（3）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．‎ 解：（1），．由得解得．‎ 故的单调递增区间是．‎ ‎（2）令，．则有．当时，，所以在 上单调递减，故当时，，即当时，．‎ ‎（3）由（2）知，当时，不存在满足题意．‎ 当时，对于，有，则，从而不存在满足题意．‎ 当时，令，，则有．‎ 由得，．解得，．‎ 当时，，故在内单调递增．‎ 从而当时，，即，综上，的取值范围是．‎