2019高考数学一轮总复习数列53等比数列及其前n项和模拟演练理 9页

‎2019-2020年高考数学一轮总复习第5章数列5.3等比数列及其前n项和模拟演练理 ‎1．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝(　　)‎ A．4×n B．4×n－1‎ C．4×n D．4×n－1‎ 答案　B 解析　由题意得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，故a1＝4，a2＝6，所以an＝4×n－1＝4×n－1.‎ ‎2．[xx·常州模拟]在等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值为(　　)‎ A．1 B．－ C．1或－ D．－1或 答案　C 解析　根据已知条件得 ‎∴＝3，即2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－.‎ ‎3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则S9的值是(　　)‎ A．255 B．256 C．511 D．512‎ 答案　C 解析　解法一：依题意，设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，∵S3＝7，S6＝63，∴解得∴S9＝511，选C.‎ 解法二：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，∴S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，∵S3＝7，S6＝63，∴S9－S6＝448，∴S9＝448＋S6＝448＋63＝511，选C.‎ ‎4．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝(　　)‎ A．7 B．5‎ C．－5 D．－7‎ 答案　D 解析　设数列{an}的公比为q，由得或所以或所以或所以a1＋a10＝－7.‎ ‎5．已知{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a3a5＝a1，且a4与a7的等差中项为，则S5等于(　　)‎ A．35 B．33 C．31 D．29‎ 答案　C 解析　设等比数列{an}的公比是q，所以a3a5＝aq6＝a1，得a1q6＝，即a7＝.又a4＋a7‎ ‎＝2×，解得a4＝2，所以q3＝＝，所以q＝，a1＝16，故S5＝＝＝31，故选C.‎ ‎6．设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________.‎ 答案　 解析　由题意得 两式作差，得a1q2＋a1q3＝3a1q(q2－1)，即2q2－q－3＝0，解得q＝或q＝－1(舍去)．‎ ‎7．等比数列{an}满足：对任意n∈N*,2(an＋2－an)＝3an＋1，an＋1>an，则公比q＝________.‎ 答案　2‎ 解析　由题知2(anq2－an)＝3anq，即2q2－3q－2＝0，解得q＝2或q＝－，又an＋1>an，故q＝2.‎ ‎8．[xx·重庆模拟]已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________.‎ 答案　64‎ 解析　由a1、a2、a5成等比数列，得(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)，即(1＋d)2＝1＋4d，解得d＝2(d＝0舍去)，S8＝×8＝64.‎ ‎9．[xx·全国卷Ⅰ]已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求{bn}的前n项和．‎ 解　(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1.‎ ‎(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝，‎ 因此数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列．‎ 记{bn}的前n项和为Sn，‎ 则Sn＝＝－.‎ ‎10．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，a＝Sn＋1＋Sn.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝a2n－1·2an，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解　(1)因为a＝Sn＋1＋Sn，①‎ 所以当n≥2时，a＝Sn＋Sn－1，②‎ ‎①－②得a－a＝an＋1＋an，‎ 即(an＋1＋an)(an＋1－an)＝an＋1＋an，‎ 因为an>0，所以an＋1－an＝1，‎ 所以数列{an}从第二项起，是公差为1的等差数列．‎ 由①知a＝S2＋S1，因为a1＝1，所以a2＝2，‎ 所以当n≥2时，an＝2＋(n－2)×1，即an＝n.③‎ 又因为a1＝1也满足③式，所以an＝n(n∈N*)．‎ ‎(2)由(1)得bn＝a2n－1·2an＝(2n－1)·2n，‎ Tn＝2＋3·22＋5·23＋…＋(2n－1)·2n，④‎ ‎2Tn＝22＋3·23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，⑤‎ ‎④－⑤得－Tn＝2＋2×22＋…＋2×2n－(2n－1)·2n＋1，‎ 所以－Tn＝2＋－(2n－1)·2n＋1，‎ 故Tn＝(2n－3)·2n＋1＋6.‎ ‎[B级　知能提升](时间：20分钟)‎ ‎11．[xx·天津高考]设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的(　　)‎ A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　若对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0，则a1＋a2<0，又a1>0，所以a2<0，所以q＝<0；若q<0，可取q＝－1，a1＝1，则a1＋a2＝1－1＝0，不满足对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0.所以“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的必要而不充分条件．故选C.‎ ‎12．[xx·安徽六校素质测试]在各项均为正数的等比数列{an}中，a2，a4＋2，a5成等差数列，a1＝2，Sn是数列{an}的前n项的和，则S10－S4＝(　　)‎ A．1008 B．xx C．2032 D．4032‎ 答案　B 解析　由题意知2(a4＋2)＝a2＋a5，即2(2q3＋2)＝2q＋2q4＝q(2q3＋2)，得q＝2，所以an＝2n，S10＝＝211－2＝2046，S4＝＝25－2＝30，所以S10－S4＝xx，故选B.‎ ‎13．已知数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且bn＝，若b10·b11＝2，则a21＝________.‎ 答案　1024‎ 解析　∵b1＝＝a2，b2＝，∴a3＝b2a2＝b1b2.‎ ‎∵b3＝，∴a4＝b1b2b3，…，an＝b1b2b3·…·bn－1，‎ ‎∴a21＝b1b2b3·…·b20＝(b10b11)10＝210＝1024.‎ ‎14．[xx·广东高考]设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.‎ ‎(1)求a4的值；‎ ‎(2)证明：为等比数列；‎ ‎(3)求数列{an}的通项公式．‎ 解　(1)∵4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1，‎ ‎∴n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，‎ ‎∴4(a1＋a2＋a3＋a4)＋5(a1＋a2)＝8(a1＋a2＋a3)＋a1，‎ ‎∴4×＋5×＝8×1＋＋＋1，解得a4＝.‎ ‎(2)证明：∵n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1，‎ ‎∴4(Sn＋2－Sn＋1)－2(Sn＋1－Sn)‎ ‎＝2，‎ ‎∴(Sn＋2－Sn＋1)－(Sn＋1－Sn)‎ ‎＝，‎ ‎∴an＋2－an＋1＝.‎ 又a3－a2＝，‎ ‎∴是首项为1，公比为的等比数列．‎ ‎(3)由(2)知是首项为1，公比为的等比数列，∴an＋1－an＝n－1，‎ 两边同乘以2n＋1，得an＋1·2n＋1－an·2n＝4.‎ 又a2·22－a1·21＝4，‎ ‎∴{an·2n}是首项为2，公差为4的等差数列，‎ ‎∴an·2n＝2＋4(n－1)＝2(2n－1)，‎ ‎∴an＝＝.‎ ‎2019-2020年高考数学一轮总复习第5章数列5.4数列求和模拟演练文 ‎1．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，且a2＋a6＝a8，则＝(　　)‎ A．8 B．6 C．5 D．3‎ 答案　D 解析　在等差数列中，由a2＋a6＝a8得2a1＋6d＝a1＋7d，得a1＝d≠0，所以＝＝＝＝3.‎ ‎2．已知数列{an}，an＝2n＋1，则＋＋…＋＝(　　)‎ A．1＋ B．1－2n C．1－ D．1＋2n 答案　C 解析　an＋1－an＝2n＋1＋1－(2n＋1)＝2n＋1－2n＝2n，‎ 所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＝1－n＝1－.‎ ‎3．[xx·银川一中模拟]在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln ，则an＝(　　)‎ A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n C．2＋nln n D．1＋n＋ln n 答案　A 解析　由已知条件得a2＝a1＋ln 2，a3＝a2＋ln ，a4＝a3＋ln ，…，an＝an－1＋ln ，得an＝a1＋ln 2＋ln ＋ln ＋…＋ln ＝2＋ln 2×××…×＝2＋ln n，故选A.‎ ‎4．[xx·烟台模拟]已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝，若bn＝anan＋1，则数列{bn}的前n项和Sn为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　由an＋1＝，得＝＋2，‎ ‎∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列，‎ ‎∴＝2n－1，又bn＝anan＋1，‎ ‎∴bn＝＝，‎ ‎∴Sn＝＝，故选B.‎ ‎5．数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n项和Sn>1020，那么n的最小值是(　　)‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ 答案　D 解析　an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1.∴Sn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝(21＋22＋…＋2n)－n＝2n＋1－n－2，∴S9＝1013<1020，S10＝2036>1020，‎ ‎∴Sn>1020，n的最小值是10.‎ ‎6．在数列{an}中，anan＋1＝，a1＝1，若Sn为数列{an}的前n项和，则S20＝________.‎ 答案　15‎ 解析　由anan＋1＝，a1＝1，得数列{an}的通项公式为an＝则S20＝10×1＋10×＝15.‎ ‎7．数列{an}的前n项和为Sn，前n项之积为∏n，且∏n＝()n(n＋1)，则S5＝________.‎ 答案　62‎ 解析　an＝＝()n(n＋1)－n(n－1)＝2n(n≥2)，当n＝1时，a1＝∏1＝()1×2＝21，所以an＝2n，所以S5＝2＋22＋…＋25＝＝26－2＝62.‎ ‎8．[xx·郑州模拟]设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.‎ 答案　130‎ 解析　由an＝2n－10(n∈N*)知，{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0，得n≥5，所以当n<5时，an<0，当n≥5时，an≥0，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.‎ ‎9．[xx·山东高考]在等差数列{an}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝a，记Tn＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)nbn，求Tn.‎ 解　(1)由题意知(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，‎ 即(a1＋2)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝2，‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝2n.‎ ‎(2)由题意知bn＝a＝n(n＋1)．‎ 所以Tn＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn×(n＋1)．‎ 因为bn＋1－bn＝2(n＋1)，‎ 所以当n为偶数时，‎ Tn＝(－b1＋b2)＋(－b3＋b4)＋…＋(－bn－1＋bn)‎ ‎ ＝4＋8＋12＋…＋2n＝＝；‎ 当n为奇数时，‎ Tn＝Tn－1＋(－bn)＝－n(n＋1)＝－.所以Tn＝ ‎10．[xx·广西南宁模拟]等差数列{an}的首项a1＝3, 且公差d≠0，其前n项和为Sn，且a1，a4，a13分别是等比数列{bn}的b2，b3，b4项．‎ ‎(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；‎ ‎(2)证明：≤＋＋…＋<.‎ 解　(1)设等比数列的公比为q，‎ 因为a1，a4，a13分别是等比数列{bn}的b2，b3，b4项，‎ 所以(a1＋3d)2＝a1(a1＋12d)．‎ 又a1＝3，所以d2－2d＝0，‎ 所以d＝2或d＝0(舍去)．‎ 所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.‎ 等比数列{bn}的公比为＝＝3，b1＝＝1.‎ 所以bn＝3n－1.‎ ‎(2)证明：由(1)知Sn＝n2＋2n.‎ 所以＝＝，‎ 所以＋＋…＋ ‎＝ ‎＝ ‎＝－<.‎ 因为＋≤＋＝，‎ 所以－≥，‎ 所以≤＋＋…＋<.‎ ‎[B级　知能提升](时间：20分钟)‎ ‎11．[xx·宁德模拟]数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝3，Sn是数列{an}的前n项和，则S2025＝(　　)‎ A．1516 B. C．1518 D. 答案　B 解析　∵an＋an＋1＝，a2＝3，∴an＝ ‎∴S2025＝1013×＋1012×3＝.‎ ‎12．[xx·广州模拟]在数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝(　　)‎ A．(2n－1)2 B. C．4n－1 D. 答案　D 解析　由题意得，当n＝1时，a1＝1，当n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝2n－1－1，则an＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1(n≥2)，n＝1时也成立，所以an＝2n－1，则a＝22n－2，所以数列{a}为首项为1，公比为4的等比数列，所以a＋a＋…＋a＝＝，故选D.‎ ‎13．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，当整数n>1时，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，则S15＝________.‎ 答案　211‎ 解析　当n>1时，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)可以化为(Sn＋1－Sn)－(Sn－Sn－1)＝2S1＝2，即n>1时，an＋1－an＝2，即数列{an}从第二项开始组成公差为2的等差数列，所以S15＝a1＋(a2＋…＋a15)＝1＋×14＝211.‎ ‎14．数列{an}的前n项和为Sn，对于任意的正整数n都有an>0,4Sn＝(an＋1)2.‎ ‎(1)求证：数列{an}是等差数列，并求通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.‎ 解　(1)证明：令n＝1,4S1＝4a1＝(a1＋1)2，‎ 解得a1＝1，‎ 由4Sn＝(an＋1)2，‎ 得4Sn＋1＝(an＋1＋1)2，‎ 两式相减得 ‎4an＋1＝(an＋1＋1)2－(an＋1)2，‎ 整理得(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0，‎ 因为an>0，‎ 所以an＋1－an＝2，‎ 则数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，‎ an＝1＋2(n－1)＝2n－1.‎ ‎(2)由(1)得bn＝，‎ Tn＝＋＋＋…＋，①‎ Tn＝＋＋＋…＋，②‎ ‎①－②得 Tn＝＋2－ ‎＝＋2×－＝－，‎ 所以Tn＝1－.‎