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- 2021-05-13 发布
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高考数学
典型易错题会诊
（中）
命题角度1
不等式的概念与性质
1．(典型例题)如果a、b、c满足cac B．c(b-a)>0
C．cb2c，而ab，ao不一定成立，原因是不知a的符号．
[专家把脉] 由d>b>c，且ac<0．则。与c必异号，又由a>c，故a>0，c<0，条件分析不透．
[对症下药] C．由a>b>c且ac>0，故a>0且c<0．
(1)由b>c，又∵a>0，∴ab>ac．(2)∵b-a<0，c< 0(b-a)·c>0，D．a-c>0，acab;②|a|>|b|；③aloga(1+)
③a1+aa
其中成立的是 ( )
A.①与③ B．①与④
C.②与③ D．②与④
[考场错解] B ∵1+a<1+，故1oga(1+a)< loga(1+)．
[专家把脉] 对数函数比较大小要考虑底数a的范围，它与指数函数一样．
[对症下药] D ∵0 1oga(1+)，a1+a>a．
4．(典型例题)已知实数a、b满足等式，下列五个关系式①0-b，∴a0时，a>b” ．不能弱化条件变成“”也不能强化条件变为“a>b>0 ”
考场思维训练
1 若，|a|>，|b|>0，且ab>0，则下列不等式中能成立的是 ( )
A． B．
C． D．
答案： C 解析：利用特值法可看出某些选择不能成立，而事实上，∵|a|，|b|>0，
又0<<1，∴10g|a|N 解析：由>0，
得，由s，0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是 ( )
A． B．
C． D．
[考场错解] Di不一定大于或等于
[专家把脉] D中直接放缩显然不易比较．
[对症下药] B A：a+b≥2ab,
∴成立
C：a2+b2+2=a2+1+b2+1≥2a+2b (当且仅当a=b=1时取“=”)
∴成立
D：两边平方|a-b|≥a+b-2
∴a-b≥a+b-2或a-b≤-a-b+2当时显然成立．
解得a≥b或a≤b ∴成立．
2．(典型例题)设x∈(0，π)，则函数f(x)=sinx+的最小值是 ( )
A．4 B．5
C．3 D．6
[考场错解] 因为x∈(0，π)，所以sinx>0，>0， f(x)=sinx+=4，因此f(x)的最小值是
4．故选A
[专家把脉] 忽略了均值不等式a+b≥2(a.0， b>0)中等号成立的条件：当且仅当a=b时等号成立．事实上，sinx=不可能成立，因为它成立的条件是sinx=±2，这不可能．
[对症下药] (1)f(x)=sinx+=sinx++，因为sinx+≥2，当且仅当sinx=1即x= 时等号成立．又≥3，当且仅当sinx=1即x=时等号成立．所以f(x)=sinx+≥2+3=5，f(x)的最小值是5．故应选B．
(2)令sinx=t，因为x∈(0，π)，所以01;
(Ⅱ)点P(xo,yo)(00与a<0两种情况的讨论。
[对症下药](1)同错解(1)
(2)由
=
综上所述不等式成立
专家会诊
(1) 证明不等式，要掌握不等式的证明基本方法，如分析法、综合法、放缩法、函数法、反证法、换元法等.
(2) 对不等式与数列、函数方和程、导数等内容的综合证明题，难度较大，要结合性质与不等式的基本证明方法相结合，灵活解题，也体现了不等式的工具性，是高考命题的趋势。
考场思维训练
1．已知函数
(1)若f(x)在x=1和x=3处取得极值，试求b、c的值；
答案：解析：(1)f′(x)=x2+(b-1)x+c，
由题意得，1和3是方程x2+(b-1)x+c=0的两根
(2)若f(x)在(-∞,x1)∪(x2,+ ∞)上单调递增且在(x1,x2)上单调递减，又满足x2-x1>1.求证：b2>2(b+2c)；
答案：由题意得，当x∈(-∞，x1)∪(x2，+∞)时，f′(x)>0；x∈(x1，x2)时f′，(x)<0，
∴x1，x2是方程f′，(x)=x2+(b-1)x+c的两根，
则x1+x2=1-b，x1x2=c，
∴b2-2(b+2c)=b2-2b-4c=(b-1)2-4c-1
=(x1+x2)2-4x1x2-1=(x2-x1)2-1．
∵x2-x1>1，∴(x2-x1)2-1>0，
∴b2>2(b+2c)．
(3)在(2)的条件下，若t1+x1>1+t，∴t+1-x2<0，又t0，即t2+bt+c>x1 .
2．已知数列
(1) 问是否存在m∈N,使xm=2,并证明你的结论；
答案：假设存在m∈N*，使xm=2，则2=xm-1=2，
同理可得xm-2=2，
以此类推有x1=2，这与x1=1矛盾，故不存在m∈N*，使xm=2．
(2) 试比较xn与2的大小关系；
(3) 设
答案：当n≥2时，xn+1，-2=-2==-，则xn>0，∴xn+1
-2与xn-2符号相反，而x1=1< 2，则x2>2，以此类推有：x2n-1<2，x2n>2；
(3)
命题角度4 不等式的解法
1．(典型例题)在R上定义运算⊗:x⊗y=x(1-y),若不等式(x-a) ⊗(x+a)<1对任意实数x成立，则a的范围是 ( )
[考场错解]A
[专家把脉] 对x⊗y=x(1-y)的运算关系式理解不清。
[对症下药]
2．(典型例题)已知函数f(x)
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 设k>1,解关于x的不等式：
[考场错解]
[专家把脉](2)问中两边约去(2-x),并不知2-x的符号.
[对症下药](1)同错解中(1)
① 当10解集为x∈(1,2) ∪(2,+ ∞);
③ 当k>2时，解集为x∈(1,2) ∪(k,+ ∞).
3.(典型例题)设函数f(x)=kx+2,不等式|f(x)|<6的解集为(-1,2)试求不等式的log的解集。
[考场错解]
当k>0时，k≤2,当k<0,k≥-4.
∴k=2或-4.
当k=2时f(x)=2x+2,当k=-4时f(x)=-4x+2再由解对数不等式。
[专家把脉]在求k的值时分析讨论不严密，上式中是在x∈(-1,2)时恒成立，而k的值并不能使之成立.
[对症下药] ∵|kx+2|<6, ∴(kx+2)2<36,
即k2x2+4kx-32<0.
由题设可得
解得k=-4, ∴f(x)=-4x+2.
①
②
③
①解得由②解得x<1,由③得
4．(典型例题)设对于不大于
[考场错解]A={x|a-b0的解集是(1,+ ∞),则关于x的不等式的解集是( )
A.(-∞,-1)∪(2,+ ∞)
B.(-1,2)
C.(1,2)
D(-∞,1) ∪(2,+ ∞)
答案： A解析：a>0-且=1，>0(x+1)(x-2)>0x<-1或x>2．
2.若
答案：(-1，cosα)∪(-cosα，1) 解析：∵20<1-x20时，原不等式为>x>1,∴x>1②当x<0时，原不等式为
(x+1)·(2x-1)>0且x<0，∴x<-1．
综上①，②可得{x|x<-1或x>1}．
命题角度5 不等式的综合应用
1．(典型例题)已知函数f(x)=ax-
( Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)设0logtba=1，∴0|logab+logba|．故选D．
2 已知不等式x2-2x+a>0时，任意实数x恒成立，则不等式a2x+10 对x∈R恒成立．△<0，即a>1．
∴不等式(a2x+10)
(2) 当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？
答案： P=-()+49．5≤-2×4+49．5=41．5，当且仅当x=时，即x=8时，P有最大值41．5 万元．
探究开放题预测
预测角度1 不等式的概念与性质
1．下列命题正确的是 ( )
[解题思路]利用均值不等式成立的条件判断。
[解答]D对于A，当a、b同为负数时也成立；对于B，当a、b、c中有一个为0，其余为正数时也成立；对于C，当a、b、c∈(0，1)时也成立；D正确。
2．已知a=sin15.+cos15.,b=sin16.,则下列各式中正确的是 ( )
[解题思路]利用两角和与差的公式化简b、a、然后再比较大小.
[解答]B
预测角度2不等式的解法
1．关于x的不等式x|x-a|≥2a2(a∈(-∞,0)的解集为 ( )
A.[-a,+ ∞] B.[a,+ ∞]
C.[2a,a] ∪[-a+∞] D.(- ∞,a)
[解题思路]讨论a、x的大小，去绝对值符号.
[解答]A当x>a,x2-ax-2a2≥0, ∴x≥-a.当x.即可求解。
[解答]A由已知有f(x)为奇函数，则原不等式变形为f(x)<画图可知A正确，所以选A
3．函数则使g(x) ≥f(x)的x的取值范围是
[解题思路]利用数形结合法.
[解答]D用数形结合法，分别作出f(x)=sinx和g(x)=-9
4.解关于x的不等式
[解题思路]本题的关键不是对参数a进行讨论，而是取绝对值时必须对未知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。
[解答]当x≥a 时，不等式可转化为
预测角度3 不等式的证明
1．已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足：(1)对于任意x∈[0,1]总有f(x) ≥0;
(2)f(1)=1;(3)若x1≥0,x2≥0,x1+xz≤1,则有f(x1+x2) ≥f(x1)+f(x2).
(Ⅰ)试求f(0)的值；(Ⅱ)试求函数f(x)的最大值；(Ⅲ)试证明：当x∈
[解题思路](1)赋值法； (2)变形f(x2)=f[(x2-x1)+x1],即可求函数f(x)的最大值；
[解答](Ⅰ)令
得f(0) ≥0, ∴f(0)=0.
(Ⅱ)任取
(Ⅲ)
1． 设y=f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)>1且对任意的实数x,y∈R,有f(x+y)=f(x) ·f(y)成立，数列{an}满足a1=f(0),且f(an+1)=
2．
(1) 判断y=f(x)是否为单调函数，并说明理由；
(2)
(3)若不等式
[解题思路](1)利用函数的单调性证明;(2)裂项法求出Tn再解不等式；(3)利用函数的单调性求k的最大值.
[解答](1)设
(3)由
预测角度4 不等式的工具性
1．若直线2ax-by+2=0(a、b>0)始终平分圆x2+y2+2x-4y+1=0的周长，则的最小值是 ( )
A.4 B.2
C. D.
[解题思路]利用重要不等式求最小值。
[解答]A直线2ax-by+2=0过圆心(-1,2), ∴a+b=1,
2.已知函数f(x)=ax2+8x+3(a<0),对于给定的负数a有一个最大的正数l(a),使得在整个区间[0,l(a)]上，不等式|f(x)| ≤5恒成立，则l(a)的最大值是( )
[解题思路]考虑区间[0，l(a)]的端点处不等式|f(x)| ≤5恒成立.
3.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>b>c),已知f(1)=0,且存实数m,使f(m)=-a.
(1) 试推断f(x)在区间[0，+∞]上是否为单调函数，并说明你的理由；
(2) 设g(x)=f(x)+bx,对于x1，x2∈R,且x1≠x2,若g(x1)=g(x2)=0,求|x1-x2|的取值范围；
(3) 求证：f(m+3)>0.
[解题思路]由二次函数的对称轴两边为单调的性质判断；(2)由根与系数的关系求出a、b、c的关系，从而转化为二次函数的最值；
[解答](1) ∵f(m)=-a,m∈R. ∴方程ax2+bx+c+a=0有实根⇒∆=b2-4a(a+c) ≥0
∵f(1)=0, ∴a+b+c=0,即a+c=-b.
∴b2-4a·(-b)=b(b+4a) ≥0.
∵a>b>c, ∴a>0,c<0.从而b+4a=-(a+c)+4a=3a-c>0.
∴b≥0.⇒x=
∴f(x)在[0，+∞]上是增函数.
(2)据题意x1,x2是方程g(x)=0即ax2+2bx+c=0的两实根.
=
(3)∵f(1)=0.设f(x)=a(x-1)(x-)
4.在xOy平面上有一系列点P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn),…,对每个正整数n,点PN 位于函数y=x2(x≥0)的图像上,以点Pn 为圆心的圆Pn与x轴都相切,且圆Pn与圆PN+1又彼此相外切. 若x1=1,且x n+10的解集为 ( )
A.{x|-32}
C.{x|-33}
D.{x|-10得，由题
4函数f(x)是R上的增函数,A(0,1),B(3,1)是其图像上的两点,那么|f(x+1)|<1的解集是( )
A.(1,4) B(-1,2)
C.(- ∞,1) ∪[4,+ ∞]D.(- ∞,-1) ∪[2,+ ∞]
答案： B 易知过A、B两点的直线即y=x-1，即f(x)=x-1是增函数，由f(x+1)=(x+1)-1，得当
∴
5已知f(x)=
A.{x|13或x<2}
C.{x|10,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集为 ( )
A．(-3,0) ∪(3,+ ∞)
B.(-3,0) ∪(0,3)
C.(- ∞,-3) ∪(3,+ ∞)
D.(- ∞,-3) ∪(0,3)
答案： D 解析：设F(x)=f(x)·g(x)，
F(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-F(x)
∴F(x)为奇函数
又x<0时，F′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′，(x)>0
∴x<0时，F(x)为增函数
∵奇函数在对称区间上的单凋性相同，
∴x>0时，9(x)也为增函数
∵F(-3)=f(-3)g(-3)=0
∴F(3)=-F(-3)=0
如图为一个符合题意的图象观
察知9(x)=f(x)，g(x)<0
解集为(-∞，-3)∪(0，3)
7已知y=logb(2-bx)在[0,1]上是增函数，则不等式：logb|x+2|>logb|x-4|的解集是________.
答案：{x|x<1，x7≠-2} 解析：因为当b>0，所以2-bx在[0，1]上递减，由已知可知00时，f(x)=x+
答案：依题意x∈[-3，-1]时f(x)=f(-x)=-x+=(),∴m=f(-1)=5，n=f(-2)=4，m-n=1，
9定义符号函数sgnx=
答案：-2解析：略；
10已知关于x的不等式
(1)a=4时，求集合M；
答案：当a=4时，原不等式可化为，
即4(x-)(x-2)(x+2)<0，∴x∈(-∞，-2)∪(，2)，故M为(-∞，-2)∪(，2)．
(2)若3∈M且5M,求实数a的取值范围。
答案：由3∈M得<0，∴a>9或a<， ①
由5M得≥0，∴1≤2
s=(|t+x|+|t-x1)2=2(t2+x2)+2|t2-x2|-(|t+x|+|t-x|)2=2(t2+x2)+2|t2-x2|.
当|t|≥|x|时，s=4t2≤4；当|t||x|时s=4x2<4
∴|t+x|+|t-x|≤2<1f(tx+1)|即，|t+x|+|t-x|<|f(tx+1)|
(1) 设x是正实数，求证:[f(x+1)]n-f(xn+1) ≥2n-2.
答案： n=1时，结论显然成立
当n≥2时，[f(x+1)]n-f(xn+1)
=(x+)n-(xn+)
=
考点8 直线与圆
典型易错题会诊
命题角度1 直线的方程
1．(典型例题)已知点A
[考场错解] ∵
[专家把脉]主要是没有考虑到
[对症下药]
2.(典型例题)点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是 ( )
[考场错解]直接运用点到直线的距离公式.
[专家把脉]在运用点到直线的距离公式时，没有理解直线Ax+By+C=0中，B的取值，B应取-1,而不是取1.
[对症下药]
2．(典型例题)若直线2x-y+c=0按向量a=(1,-1)平移后与圆x2+y2=5相切，则c的值为( )
A.8或-2 B.6或-4
C.4或-6 D.2或-8
[考场错解]C.直线2x-y+c=0按向量a=(1,-1)平移后的直线方程为：2(x+1)-(y+1)+c=0即：2x-y+1+c=0,此直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即或-6, 故选C.
[专家把脉]坐标平移公式运用错误，应用x-h,y-k分别来替换原来的x,y.
[对症下药]A直线2x-y+c=0按向量a=(1,-1)平移后的直线为2x-y-3+c=0,此直线与圆相切有：或者说c=-2,故选A.
4.(典型例题)设直线ax+by+c=0的倾斜角为a,且sina+cosa=0,则a、b满足 ( )
A.A+b=1 B.a-b=1
C.a+b=0 D.a-b=0
[考场错解]C.
[专家把脉]直线Ax+By+c=0的斜率k=
[对症下药]D
专家会诊
1． 已知直线的方程，求直线的斜率与倾斜角的范围，反之求直线方程，注意倾斜角的范围及斜率不存在时的情况。
2． 会用直线的五种形式求直线方程，不可忽视每种形式的限制条件。
考场思维训练
1已知A(3,0),B(-1,-6),延长BA到P，使则点P的坐标是_________.
答案：(，2) 解析：由已知P分的比为-，由定比分点坐标公式可得．
2直线
A(-2,3) B(-4,5)
C(-2-) D(-3,4)
答案： D解析：略．
答案：16．2x-y+8=0 解析：由已知可设l2的方程为：y=tan2α·x-2，l1与l3垂直，l1，的斜率为k1=2,∴tan2α=，即l2的方程为y=-x-2，解方程组得P点坐标(-3，2)．由点斜式得l1，的方程为y=2(x+3)+2．
命题角度2两直线的位置关系
1．(典型例题)已知过点A(-2,m)和B(M,4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为 ( )
A.0 B.-8 C.2 D.10
[考场错解]A两直线平行故斜率相等可得：∴m=0.故选A.
[专家把脉]
[对症下药]B利用两直线平行斜率相等可得：
2．在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有
A．1条 B.2条 C.3条 D.4条
[考场错解]D由题意知所求直线必不与任何坐标轴平行，可设直线y=kx+b即,kx-y+b=0,
[专家把脉]当时此时kAB=-不符合题意。
[对症下药]B法一：由题意知所求直线必不与任何坐标轴平行可设直线y=kx+b,即kx-y+b=0
法二：以A为圆心，1为半径画圆，以B为圆心2为半径作圆，∵圆心距|AB|=∴⊙A′与⊙B必相交，则⊙A与⊙B的分切线有两条，
即到点A距离为1到点B距离为2的直线有2条.
3．(典型例题)如下图，定圆半径为a,圆心为(b,c)则直线ax+by+c=0与直线x-y+1=0的交点在 ( )
A．第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
[考场错解]B由图知b>a>c>0.取b=3,a=2,c=1.解方程组
[专家把脉]由图看出的是长度大小关系，在比较时坐标值与长度值相混淆。
[对症下药]C由图形如此图圆心在第二象限且a、b、c满足球队00时,z最大，当B<0时，当直线过可行域且y轴上截距最大时，z值最小。
2． 由于最优解是通过图形来规定的，故作图要准确，尤其整点问题。
考场思维训练
1在直角坐标面上有两个区域M和N.M是由y≥0,y≤x和y≤2-x三个不等式来确定的.N是由不等式t≤x≤t+1来确定的，t的取值范围是0≤t≤1,设M和N的公共面积是函数f(t),则f(t)为 ( )
2
答案： A 解析：画出M和N的所表示的区域，可得面积等于-t2+t+,所以选A
2设实数x,y满足不等式组
A．7+3a,1-3a B.7+3a,-1-2a
C.-1-2a,1-3a D.以上都不对
答案： A 解析：画出不等式组所表示的平面区域，由线性规划的知识知选A
3某运输公司有10辆载重量为6吨的A型卡车与载重量为8吨的B型卡车，有11名驾驶员。在建筑某段高速公路中，该公司承包了每天至少搬运480吨沥青的任务。已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车8次，B型卡车7次；每辆卡车每天的成本费A型车350元，B型车400元。问每天派出A型车与B型车各多少辆，公司所花的成本费最低，最低为多少？
答案：解：设每天派出A型车与B型车各x、y辆，并设公司每天的成本为z元．由题意，得
且z=350x+400y.
作出可行域，作直线l0:350x+400y=0，
即7x+8y=0．
作出一组平行直线：7x+8y=t中(t为参数)经过可行域内的点和原点距离最近的直线，此直线经过6x +7y=60和y=5的交点A(，5)，由于点A的坐标不都是整数，而x，y∈N,所以可行域内的点A(,5)不是最优解．
为求出最优解，必须进行定量分析．
因为，7×+8×5≈69.2，所以经过可行域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)且与原点最小的直线是7X+8y=10，在可行域内满足该方程的整数解只有x=10，y=0，所以(10，0)是最优解，即当l通过B点时，z=350×10+400×O=3500元为最小．
答：每天派出A型车10辆不派B型车，公司所化的成本费最低为3500元
命题角度4 圆的方程
1(典型例题)从原点向圆x2+y2-12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 ( )
[考场错解]由半径为3，圆心与原点距离为6，可知两切线间的夹角为60。，故所相应的圆心角为120，故所求劣弧为圆弧长的.
[专家把脉]没有理解清楚优弧，劣弧的概念，劣弧应为相对较短的一段弧。
[对症下药]所求劣弧是整个圆弧的.
2.(典型例题) △ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H.则实数m=______.
[考场错解]选取特殊三角形，取△ABC为等边三角形，则故m 可取任意实数。
[专家把脉]情况太特殊，若所取三角形为等腰三角形(非等边三角形)此时此时与m为任意实数相矛盾。
[对症下药]
3．(典型例题)圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆C的方程为_____.
[考场错解]设圆的方程为
解得x0=-3,y0=-13,r=.故所求圆的方程为(x+3)2+(y+13)2=168.
[专家把脉]应是令x=0,而不是令y=0，故后面的结果均错。2
[对症下药] 法一:∵AB的中垂线,必过圆心
故解得圆心坐标为
所求圆的方程为
法二:设圆C 的方程:
圆心在直线上
①
又圆过A (0, -4) B (0, -2)
②
③
由①②③解得圆的方程
专家会诊
1.求圆的方程应注意根据所给的条件,恰当选
择方方程的形式,用待定系数法求解.
2讨论点、直线、圆与圆的位置关系时，一般可从代数特征（方程组解的个数）或几何特征去考虑，其中几何特征数更为简捷实用。
考场思维训练
1过点A（1，-2），B（-1，1），且圆心在直线0上的圆的方程是 ( )
A.
B.
C.
D.
答案： A ∵只有A中的圆心(3，-1)在直线x+y-2=0上，
∴选A.
2 方程所以表示的曲线图形是
答案： D 解析：方程的解为x=1或x2+y2=2，且x2+y2>1，当x=1，y≠0．
3．已知两点A（-1，0），B（0，2），若点P是圆（x-1）2+( )
3已知两点A（-1，0），B（0，2），若点P是圆
y2=1上的动点，则△ABP面积的最大值和最小值分别为 （ ）
答案： B 解析：过圆心C作CM⊥AB于M，设CM交圆于P、Q两点，从图可以看出，△ABP和△ABQ分别为最大和最小值，可以求得最大值和最小值分别为(4+)， (4-)，所以选B
4 如图8 – 5，已知点A、B的坐标分别是（-3，0），（3，0），点C为线段AB上任一点，P、Q分别以AC和BC为直径的两圆 O1、O 2的外公切线的切点，求线段PQ的中点的轨迹方程.
答案：解：作MC⊥AB交PQ于点M，则MC是两圆的公切线，
∴|MC|=|MQ|，|MC|=|MP|，即M为PQ的中点．设M(x，y)，则点C、O1、O2的坐标分别是(x，0)、(, 0)、(，0)．连O1M，O2M，由平几知识得：∠O1MO2=90°，
∴有|O1M|2+|O2M|2=|O1O2|2，即：
(x-)2+y2+(x-)2+y2
=(-)2，化简得x2+4y2=9.
又∵点C(x,0)在线段AB上，且AC、BC是圆的直径，
∴ -30)，由于A、B两点在抛物线上，
∴解出：r=，p= .
得抛物线方程为y2=x.
由此可知A点坐标为(1，1)，且A点关于M(3，0)的对称点C的坐标是(5，-1)，∴直线l的方程为y-(-1)=(x-5),，即x-3y-8=0．
(3)将圆方程(x-3)2+y2=(2)2分别与AC、BD的直线方程：
y=(x-2)，y=2(x-3)联立，可解得A(-1，2)， B(5，4)．
设抛物线方程为了y2=a(x-m)(*)将A(-1，2)、B (5，4)的坐标代入(*)，得
解得：a=2，m=-3，
∴抛物线的方程为y2=2(x+3)．
A(-1，2)，点关于M(3，0)的观点为C(7，-2)，
故直线l的方程为y-(-2)=(x-7)，即x-3y- 13=0．
预测角度2
两直线的位置关系
1．若直线mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A(-2，3)，B(3，2)，求实数m的取值范围．
[解题思路] 运用数形结合的思想来解，直线mx+y+ 2=0的斜率-m应为倾角的正切，而当倾角在(0°，90°)或 (90°，180°)内，角的正切函数都是单调递增的，因此当直线在∠ACB内部变化时，众应大于或等于kBC，或者k小于或等于kAC，当A、B两点的坐标变化时，求出m的范围．
[解答] 直线m+y+2=0过一定点C(0，-2)，直线mx+y+2=0实际上表示的是过定点(0，-2)的直线系，因为直线与线段AB有交点，则直线只能落在∠ABC的内部，设BC、CA这两条直线的斜率分别为k1、k2，则由斜率的定义可知，直线mx+y+2=0的斜率A应满足k≥k1，或k≤k2，∵A(-2，3) B(3，2)
2．如图8-11，已知：射线OA为y=kx(k>0，x>0)，射线OB为了y=-kx(x>0)，动点P(x，y)在∠AOx的内部，PM⊥OA于M，PN⊥kOB于N，四边形ONPM的面积恰为k．
(1)当k为定值时，动点P的纵坐标y是横坐标x的函数，求这个函数y=f(x)的解析式；
(2)根据A的取值范围，确定y=f(x)的定义域．
[解题思路] (1)设点的坐标而不求，直接转化．
(2)垂足N必须在射线OB上，所以必须满足条件：y0，b>0)．则|OM|=a，|ON|=b．
由动点P在∠AOx的内部，得00，∴y=
(2)由0．
当01时，由不等式②得x2>
∴(*)x>
但垂足N必须在射线OB上，否则O、N、P、M四点不能组成四边形，所以还必须满足条件：y1)，或x∈A(0｝；
当01时，定义域为{x|0，即t>0，而且直线l往右平移时，t随之增大．当直线l平移至ll的位置时，直线经过可行域上的点
B，此时所对应的t最大；当l在l0的左上方时，直线l上的点(x，y)满足2x-y<0，即t<0，而且直线l往左平移时，t随之减小．当直线l平移至l2的位置时，直线经过可行域上的点C，此时所对应的t最小．
由 解得点B的坐标为(5，3)；
由解得点C的坐标为(1，)．
所以，z最大值=2×5-3=7；z最小值=2
2．已知三种食物P、Q、R的维生素含量与成本如下表所示．
食物P
食物Q
食物R
维生素A（单位/kg）
400
600
400
维生素B（单位/kg）
800
200
400
成本（元/kg）
6
5
4
现在将xkg的食物P和ykg的食物Q及zkg的食物 R混合，制成100kg的混合物．如果这100kg的混合物中至少含维生素A44000单位与维生素B48000单位，那么 x、y、z为何值时，混合物的成本最小?
[解题思路] 由x+y+z=100，得z=100-x-y，所以上述问题可以看作只含x、y两个变量．设混合物的成本为k元，那么k=6x+5y+4(100-x-y)=2x+y+400．于是问题就归结为求∵在已知条件下的线性规划问题．
[解答] 已知条件可归结为下列不等式组：
①
在平面直角坐标系中，画出不等式组①所表示的平面区域，这个区域是直线x+y=100，y=20，2x-y=40围成的一个三角形区域EFG(包括边界)，即可行域，如图所示的阴影部分．
设混合物的成本为k元，那么k=6x+5y+4(100- x-y)=2x+y+400．
作直线l0：2x+y=0，把直线l0向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上的点E，且与原点的距离最小，此时2x+y的值最小，从而A的值最小．
由
得 即点E的坐标是(30，20)．
所以，k最小值=2×30+20+400=480(元)，此时z= 100-30-20=50．
答：取x=30，y=20，z=50时，混合物的成本最小，最小值是480元．
预测角度4
直线与圆
1．已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t
(00，x2>0
由 解得k2>3．
由双曲线左准线方程 x=-1且e=2，有
|AMl|·|BM1|=e|x1+1|·e|x2+1|
=4[x1x2+(x1+x2)+1]=4
∵k2-3>0，∴|AM1|×|BM1|>100
又当直线倾斜角等于 时，A(4，y1)、B(4，y2)，|AM1|= |BM1|=e(4+1)=10，|AM1|·|BM1|=100
故 |AM1|·|BM1|≥100．
考点高分解题综合训练
说明：1～4解析：略
1 方程 (λ∈R且λ≠1)表示的曲线是 ( )
A．以点M1(x1，y1)、M2(x2，y2)为端点的线段
B．过点M1(x1，y1)、M2(x2，y2)的直线
C．过点Ml(x1，y1)、M2(x2，y2)两点的直线，去掉点M1的部分
D．过点M1(x1，y1)、M2(x2，y2)两点的直线去掉M2的部分
答案： D
2 直线l经过A(2，1)、B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是 ( )
A．[0，π] B．[0，]∪(，π)
C．[0，] D．[0，]∪[π，π]
答案： B
3 曲线y=1+，x∈[-2,2]与直线y=k(x-2)+4有两个交点时，实数k的取值范围是 ( )
答案： D
4 若x、y满足x2+y2-2x+4y=0，则x-2y的最大值是 ( )
答案： C
5 使可行域为的目标函数z=ax+by(ab≠0)，在x=2，y=2取得最大值的充要条件是 ( )
A． |a|≤b B． |a|≤|b|
C. |a|≥b D． |a|≥|b|
答案： A 解析：画出可行区域，直线l：ax+by=0的斜率为-，要使目标函数z=ax+by在x=2，y=2时，取得最大值，必须且只需|-|≤1，且直线l向上平移时，纵截距变大，所以必须且只需|-|≤1且 b>0．
6 已知向量a=(2cosα，2sina)，b=(3cosβ，3sinβ)，a与b的夹角为60°，则直线xcosα-ysinα+=0与圆(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=的位置关系是 ( )
A.相切 B．相交
C．相离 D．随α,β的值而定
答案： C 解析：略
7 当x，y满足约束条件 (k为常数)时，能使z=x+3y的最大值为12的k的值为 (
)
A．-9 B．9
C．-12 D．12
答案： A 解析：画出线性约束条件所表示的平面区域，，由图可知，目标函数y=-的图像过直线y=x与2x+y+k=0的交点时，z最大，解得交点为(-，-)，得z=12，所以选A.
说明：8～11解析：略
8 已知点M(-3，0)、N(3，0)、O(1，0)，⊙C与直线MN切于点B，过M、N与⊙C相切的两直线相交于点P， 则P点的轨迹方程为 ( )
A．x2-=1
B．x2-=1(x>1)
C．x2+=1
D．x2+=1
答案： B
9 有下列4个命题：
①两直线垂直的充要条件是k1k2=-1；
②点M(x0，y0)在直线Ax+By+C=0外时，过点M(x0，y0)与直线Ax+By+C=0(AB≠0)平行的直线方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0；
③直线l1:y=2x-1到l2：y=x+5的角是；
④两平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离是d=其中正确的命题有 ( )
A．①② B．③④
C．②④ D．以上答案均对
答案： C
10 圆x2+y2-4x+2y+c=0与y轴交于A、B两点，圆心为P，若∠APB=120°，则实数c等于____________
答案：-11
11 直线=1与圆x2+y2=r2(r>0)相切的充要条件是_________
答案：|ab|=r
12 已知动圆户与定圆C：(x+2)2+y2=1相外切，又与定直线L:x=1相切，那么动圆圆心户的轨迹方程是________
答案： y2=-8x 解析：设圆心的坐标为(x，y)，
由已知有1-x=，整理后可得．
13 已知△ABC的顶点A(3，-1)，AB边上的中线所在直线的方程为6x+l0y-59=0，∠B的平分线所在直线的方程为：x-4y+10=0，求边BC所在直线的方程．
答案：解：设B(a，b)，B在直线BT上，∴a-4b+10=0①
又AB中点
M()在直线CM上，∴点M的坐标满足方程6x+10y-59=0
∴6·+10·-59=0②
解①、②组成的方程组可得a=10，b=5
∴B(10，5)，
又由角平分线的定义可知，直线BC到BT的角等于直线BT到直线BA的角，又kAB=，kBT=
∴ ∴kBC=-∴BC所在直线的方程为y-5=-(x-10)即2x+9y-65=0
14 某人有楼房一幢，室内面积共180m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积为18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元．装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益?
答案：解：设隔出大房间x间，小房间y间时收益为z元，则x、y满足
且 z=200x+150y.
作出可行域及直线l：200x+150y=0，即4x+3y =0．(如图4)把直线l0向上平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点B，且与原点距离最大．此时，z=200x+150y取最大值．但解6x+5y=60与5x+3y=40联立的方程组得到B()．由于点B的坐标不是整数，而
x、y∈N，所以可行域内的点B不是最优解．
为求出最优解，同样必须进行定量分析．
因为4×+3×=≈37．1，但该方程的非负整数解(1，11)、(4，7)、(7，3)均不在可行域内，所以应取4x+3y=36．同样可以验证，在可行域内满足上述方程的整点为(0，12)和(3，8)．此时z取最大值 1800元．
15 设有半径为3km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，B向北直行，A先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与。相遇．设A、B两人速度一定，其速度比为3：1，问两人在何处相遇?
答案：解：如图建立平面直角坐标系，由题意可设A、B两人速度分别为3v千米／小时，v千米／小时，再设出发x0小时，在点P改变
方向，又经过y0小时，在点Q处与B相遇．
则P、Q两点坐标为(3vx0，0)，(0，vx0+vy0)．
由|OP|2+|OQ|2=|PQ|2知，(3vx0)2+(vx0+vy0)2=(3vy0)2，
即(x0+y0)(5x0-4y0)=0．
∵x0+y0>0，∴5x0=4y0 ①
将①代人kPQ=- 得kPQ=-
又已知PQ与圆O相切，直线PQ在y轴上的截距就是两个相遇的位置．
设直线y=-x+b与圆O：x2+y2=9相切，
则有=3，∴b=．
答：A、B相遇点在离村中心正北3 千米处．
16 设数列{an}的前n项和Sn=na+n(n-1)b，(n=1，2，…)，a、b是常数且b≠0．
(1)证明：{an}是等差数列．
答案：证明：由条件，得al=S1=a，当n≥2时，
有an=Sn-Sn-1=[na++n(n-1)b]-[(n-1)a+(n- 1)(n-2)b]=a+2(n-1)b．
因此，当n≥2时，有an-an-1=[a+2(n-1)b]-[a+2(n-2)b]=2b．
所以{an}是以a为首项，2b为公差的等差数列．
(2)证明：以(an，-1)为坐标的点Pn(n=1，2，…)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程．
答案：证明：∵b≠0，对于n≥2，有
∴所有的点Pn(an，)(n=1，2，…)都落在通过P1 (a，a-1)且以为斜率的直线上．此直线方程为了y-(a-1)= (x-a)，即x-2y+a-2=0.
(3)设a=1，b=，C是以(r，r)为圆心，r为半径的圆(r>0)，求使得点P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围．
答案：解：当a=1,b=时，Pn的坐标为(n，)，
使P1(1，0)、P2(2, )、P3(3，1)都落在圆c外的条件是
①
②
③
由不等式①，得r≠1
由不等式②，得r<-或r>+
由不等式③，得r<4-，或r>4+
再注意到r>0，1< --<4-=+<4+
故使P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围是(0，1)∪ (1，-)∪(4+，+∞)．
考点9
圆锥曲线
►对椭圆相关知识的考查 ►对双曲线相关知识的考查
►对抛物线相关知识的考查 ►对直线与圆锥曲线相关知识的考查
►对轨迹问题的考查 ►考察圆锥曲线中的定值与最值问题
►椭圆 ►双曲线
►抛物线 ►直线与圆锥曲线
►轨迹问题 ►圆锥曲线中的定值与最值问题
典型易错题会诊
命题角度1
对椭圆相关知识的考查
1．(典型例题Ⅰ)设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△FlPF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ( )
[考场错解] A
[专家把脉] 没有很好地理解椭圆的定义，错误地把当作离心率．
[对症下药] D 设椭圆的方程为=l (a，b >0) 由题意可设|PF2|=|F1F2|=k，|PF1|=k，则e=
2．(典型例题)设双曲线以椭圆=1长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 ( )
A．±2 B．± C．± D．±
[考场错解] D 由题意得a=5，b=3，则c=4而双曲线以椭圆=1长轴的两个端点为焦点，则a=c =4，b=3 ∴k=
[专家把脉] 没有很好理解a、b、c的实际意义．
[对症下药] C 设双曲线方程为=1，则由题意知c=5，=4 则a2=20 b2=5，而a=2 b=
∴双曲线渐近线斜率为±=
3．(典型例题)从集合{1，2，3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程=1中的m和n，则能组成落在矩形区域B={(x，y)‖x|<11，且|y|<9}内的椭圆个数为 ( )
A．43 B．72 C．86 D．90
[考场错解] D 由题意得，m、n都有10种可能，但m≠n故椭圆的个数10×10-10=90．
[专家把脉] 没有注意，x、y的取值不同．
[对症下药] B 由题意得m有10种可能，n只能从集合11，2，3，4，5，6，7，81中选取，且m≠n，故椭圆的个数：10×8-8=72．
4．(典型例题)设直线l与椭圆=1相交于A、B两点，l又与双曲线x2-y2=1相交于C、D两点，C、D三等分线段AB，求直线l的方程 ( )
[考场错解] 设直线l的方程为y=kx+b
如图所示，l与椭圆，双曲线的交点为A(x1，y1)、B (x2，y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)，依题意有=3
由
所以x1+x2=-
由得(1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0
(2)
若k=±1，则l与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k≠±1
所以x3+x4=、由x3-x1=x2-x4 x1+x2=x3+x4-bk=0或b =0
①当k=0时，由(1)得x1、2=± 由(2)得x3、4=±由=3(x4-x1)即 故l的方程为y=±
②当b=0时，由(1)得x1、2=±，由(2)得x3、4=由=3(x4-x3)即
综上所述：直线l的方程为：y=
[专家把脉] 用斜截式设直线方程时没有注意斜率是否存在，致使造成思维片面，漏解．
[对症下药] 解法一：首先讨论l不与x轴垂直时的，情况．
设直线l的方程为y=kx+b，如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为：A(x1，y1)、B(x2， y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)，依题意有．
由得(16+25k2)x2+50bkx+(25b2-400)=0．(1)
所以x1+x2=-
由得(1-k2+x2-2bkx-(b2+1)=0．
若k=±1，则l与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k≠±1．
所以x3+x4=由x1+x2=x2+x4或 b=0．①当k=0时，由(1)得
由(2)得x3、4=±由(x4-x3)．
即故l的方程为 y=±
②当b=0时，由(1)得x1、2=
自(2)得x3、4=(x4-x3)．即
故l的方程为y=．再讨论l与x轴垂直时的情况．
设直线l的方程为x=c，分别代入椭圆和双曲线方程可解得yl、2=
y3、4=
即
综上所述，直线l的方程是：y=x、y=±和x=
解法二：设l与椭圆、双曲线的交点为：
A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)，则有
由i的两个式子相减及j的两个式子相减，得：
因C、D是AB的三等分点，故CD的中点(x0，y0)与AB的中点重合，且
于是x0=y0=x2-x1=3 (x4-x3)．
因此
若x0y0≠0，则x2=x1x4=x3y4=y3y2=y1．
因A、B、C、D互异，故xi≠xj，yi≠yj，这里ij=1，2，3，4且 i≠j(1)÷(2)得16=-25，矛盾，所以x0y0=0．
①当x0=0，y0≠0时，由(2)得y4=y3≠0，这时l平行 x轴．
设l的方程为y=b，分别代入椭圆、双曲线方程得：xl、2=x3、4=
∵x2-x1=3(x4-x3)．
故l的方程为y=±
②当y0=0，x0≠0，由(2)得x4=x3≠0，这时l平行y轴．
设l的方程为x=c，分别代入椭圆、双曲线方程得：yl、2=y3、4=
∵y2-y1=3(y4-y3)
故l的方程为：
③当x0=0，y0=0时，这时l通过坐标原点且不与x轴垂直．
设l的方程为y=kx，分别代入椭圆、双曲线方程得：x1、2=
故l的方程为y=
综上所述，直线l的方程是：y=、y=和x=
5．(典型例题)设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点，点N(1，3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点．
(1)确定A的取值范围，并求直线AB的方程；
(Ⅱ)试判断是否存在这样的A，使得A、B、C、D四点在同一个圆上?并说明理由．(此题不要求在答题卡上画图)
[考场错解] (1)设A(x1，y1)B(x2，y2)则有:
(x1-x2)(x1+x2)+(yl-y2)(yl+y2)=0
依题意，x1≠x2 ∴kAB-
∵N(1，3)是AB的中点，
∴x1+x2=2,yl+y2=6从而kAB=-9
又由N(1，3)在椭圆内，∴λ<3×12+32=12
∴λ的取值范围是(-∞，12)
直线AB的方程为y-3=-9(x-1)即9x+y-12=0
[专家把脉]
①用“差比法”求斜率时kAB=这地方很容易出错．②N(1，3)在椭圆内，λ>3×12+32=12应用结论时也易混淆．
[对症下药] (1)解法1：依题意，可设直线AB的方程为y=A(x-1)+3，代入3x2+y2=λ，整理得(k2+3)x2-2k(k-3)x+(k-3)2-λ=0．①
设A(x1，y1)、B(x2、y2)，则x1，x2是方程①的两个不同的根，
∴△=4[λ(k2+3)-3(k-3)2]>0，②
且x1+x2=，由N(1，3)是线段AB的中点，得，∴A(k-3)=k2+3．
解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范围是(12，+∞)．
于是，直线AB的方程为y-3=-(x-1)，即x+y-4=0．
解法2：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有
(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0
依题意，x1≠x2，∴kAB=-
∵N(1，3)是AB的中点，∴x1+x2=2，yl+y2=6，从而kAB=-1．
又由N(1，3)在椭圆内，∴λ>3×12+32=12，
∴λ的取值范围是(12，∞)．
直线AB的方程为y-3=-(x-1)，即x+y-4=0．
(Ⅱ)解法1：∵CD垂直平分AB，∴直线CD的方程为y-3 =x-1，即x-y+2=0，代入椭圆方程，整理得4x2+4x+4
又设C(x3，y3)，D(x4，y4)，CD的中点为M(x0，y0)，则x3， x4是方程③的两根，∴x3+x4=-1，且x0=(x3+x4)=-，y0=x0+2=，即M(-，)．于是由弦长公式可得|CD|= ④
将直线AB的方程x+y-4=0，代入椭圆方程得4x2-8x+ 16-λ=0 ⑤
同理可得|AB|= ⑥
∵当λ>12时，>,∴|AB|<|CD|
假设存在λ>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心．点M到直线AB的距离为d=⑦
于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 |MA|2=|MB|2=d2+
故当λ>12时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，为半径的圆上．
(注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：)
A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角|AN|2 =|CN|·|DN|，
即. ⑧
由⑥式知，⑧式左边=,由④和⑦知，⑧式右边=
∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆解法2：由(Ⅰ)解法1及λ>12，
∵CD垂直平分AB，∴直线CD方程为y-3=x-1，代入椭圆方程，整理得4x2+4x+4-λ=0．③
将直线AB的方程x+y-4=0，代入椭圆方程，整理得
4x2-8x+16-λ=0．⑤
解③和⑤式可得 xl，2=
不妨设A(1+
计算可得,∴A在以CD为直径的圆上．又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆．
(注：也可用勾股定理证明AC⊥AD)
专家会诊
1．重点掌握椭圆的定义和性质，加强直线与椭圆位置关系问题的研究．
2.注重思维的全面性，例如求椭圆方程时只考虑到焦点在，轴上的情形；研究直线与椭圆位置关系时忽略了斜率不存在的情形……
3．注重思想方法的训练，在分析直线与椭圆位置关系时要利用数形结合和设而不求法与弦长公式韦达定理联系去解决；关于参数范围问题常用思路有：判别式法，自身范围法等．求椭圆的方程常用方法有：定义法，直接法，待定系数法，相关点法，参数法等．
考场思维调练
1 已知椭圆的中心O是坐标原点，A是它的左顶点，F是它的左焦点，l1，l2分别为左右准线，l1与x轴交于O，P、Q两点在椭圆上，且PM⊥l1于M,PN⊥l2于N，QF⊥AO，则下列比值中等于椭圆离心率的有( )
A.1个 B．2个 C.4个 D．5个
答案： C 解析：对(1)，(4)的正确性容易判断；对(3)，由于=e，故(3)正确；对(5)，可求得|QF|=
|BF|=,,故(5)正确；(2)显然不对，所选C．
2 椭圆有这样的光学性质：从随圆的一个焦点出发的光线，经椭圆壁反射后，反射光线经过随圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为20，焦距为2c，静放在点A的小球 (小球的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是 ( )
A．4a B．2(a-c)
C.2(a+c) D．以上答案均有可能
答案： D 解析：(1)静放在点A的小球(小球的半径不计)从点A沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(d-c)，则选B；
(2)静放在点A的小球(小球的半径不计)从点A沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A时，小
球经过的路程是2(a+c)，则选C；
(3)静放在点A的小球(小球的半径不计)从点A沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a，则选A.
于是三种情况均有可能，故选D.
3 已知椭圆+y2=1(a>1)，直线l过点A(-a，0)和点B(a，ta)(tt>0)交椭圆于M．直线MO交椭圆于N
(1)用a，t表示△AMN的面积S；
(2)若t∈[1，2]，a为定值，求S的最大值．
答案：易得l的方程为了y=(x+a)…1分由
得(a2t2+4)y2-4aty=0
解得了y=0或y=即点M的纵坐标yM=S=S△AMN=2S△AOM=|OA|·yM= (2)由(1)得， S== (t>0)
令V=+a2t，V′=-+a2由V′=O
当时t>时，V′>0；当02，则0<<1，∵V=+ a2t在[1，2]上递增，进而S(t)为减函数．∴当t=1时，Smax=
综上可得Smax
命题角度2
对双曲线相关知识的考查
1．(典型例题1)已知双曲线x2-=1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且，则点M到x轴的距离为 ( )
[考场错解] B
[专家把脉] 没有理解M到x轴的距离的意义．
[对症下药] C 由题意得a=1，b=，c=可设M (x0，y0)|MF1|=|ex0+a|=|x0+1|，|MF2|= |ex0-a|=|x0-1|
由|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2得 x02=即点M到x轴的距离为
2．(典型例题)已知双曲线=1(a>0，b>0)的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为(O为原点)，则两条渐近线的夹角为 ( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
[考场错解] B
[专家把脉] 把两条渐近线的夹角看成渐近线的倾斜角．
[对症下药] D 由题意得A()s△OAF=·c·，则两条渐近线为了y=x与y=-x则求两条渐近线的夹角为90°．
3．(典型例题Ⅲ)双曲线=1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a，0)和(0,b)，且点(1，0)到直线l的距离与点(-1，0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线的离心率e的取值范围．
[考场错解] 直线l的方程为=1即bx+ay-ab=0点(-1，0)到直线l的距离：，点(1，0)到直线l的距离: ∴+=得5a于是得5
即4e4-25e2+25≤0解不等式得≤e2≤5，所以e的取值范围是
[专家把脉] 没有理解双曲线离心率的意义及自身存在的范围e>1．
[对症下药] 解法：直线J的方程为=1，即 bx+ay-ab=0．
由点到直线的距离公式，且a>1，得到点(1，0)到直线l的距离d1=
同理得到点（-1，0）到直线l的距离d2=
s=d1+d2=
由
解不等式，得
专家会诊
1．注意双曲线两个定义的理解及应用，在第二定义中，要强调e>1，必须明确焦点与准线的对应性
2．由给定条件求出双曲线的方程，常用待定系数法，当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏．
3．掌握参数a、b、c、e的关系，渐近线及其几何意义，并注意灵活运用．
考场思维训练
1 已知F1，F2为双曲线=1(a>0,b>0)的两个焦点，过F2作垂直x轴的直线，它与双曲线的一个交点为P，且∠pF1F2=30°，则双 曲线的渐近线方程为 ( )
答案： D 解析：由已知有=tan30°=，所以2a2=b2渐近线方程为y=±,所以选取D
2 若Fl、F2双曲线=1的左、右焦点，O为坐标原点，P在双曲线左支上，M在右准线上，且满足
(1)求此双曲线的离心率；
答案：由知四边形PF1OM为平行四边形，又由
知OP平分∠F1OM, ∴PF1OM菱形，设半焦距为c，由=c
知，即c+
e2-e-2=0, ∴e=2(e=-1舍去)
(2)若此双曲线过点N(2，)，求双曲线方程：
答案：∵e=2=∴c=2a, ∴双曲线方程为代入，
有 即所求双曲线方程为=1.
(3)设(2)中双曲线的虚轴端点为B1，B2(B1在y轴正半轴上)，求B2作直线AB与双曲线交于A、B两点，求时，直线AB的方程．
答案：依题意得B1（0，3），B2（0，-3）,设直线AB的方程为y=kx-3,A(x1,y1),B(x2,y2)
则由
∵双曲线的渐近线为y=±,∴当k=±时，AB与双曲线只有一个交点，
即k≠±.∵x1+x2=
y1+y2=k(x1+x2)-6=,y1y2=k2x1x2-k(x1+x2)+9=9
又（x1，y1 -3）,=(x2,y2 -3), ⊥
,即k2=5, ∴k=±.
故所求直线AB的方程为y=x-3或y=-x-3.
3 设双曲线-y2=1的右顶点为A、P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP(O为坐标原点)分别交于Q和R两点．
(1)证明：无论P点在什么位置，总有；
答案：设OP：y=kx与AR：y=
解得
同理可得所以|·|
设||2=（m,n）,则由双曲线方程与OP方程联立解得m2=
所以||2=m2+n2=(点在双曲线上，1-4k2>0);
(2)设动点C满足条件：，求点C的轨迹方程．
答案：∵点C为QR的中心，设C（x,y）,
则有 ，消去k,可得所求轨迹方程为x2-x2-4y2=0(x≠0).
命题角度3
对抛物线相关知识的考查。
1．(典型例题)过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 ( )
A.有且仅只有一条 B．有且仅有两条
C.有无穷多条 D．不存在
[考场错解] D 由题意得|AB|=5 p=4，通径长为 2×4=8 5<8，故不存在这样的直线．
[专家把脉] 没有理解抛物线焦点的弦长及p的意义．
[对症下药] B 解法一：由题意得P=2，通径长为4，而|AB|=x1+x2+p=7，由7>4，则这样的直线有且仅有两条，解法二：用待定系数法设直线方程为y=k(x-1)采用设而不求的方法求出k有两个值，即直线有且仅有两条．
2．(典型例题1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在抛物线y=2x2上，l是AB的垂直平分线．
(1)当且仅当x1+x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论；
(Ⅱ)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围．
[考场错解] (Ⅱ)，设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y=2x+b，过点A、B的直线方程可写为y=与y=2x2联立得
2x2+x-m=0．得x1+ x2=-；设AB的中点N的坐标为(x0，y0)则x0=(x1+x2)=-,y0=-x0+m=+m．
由N∈l,得+m=-+b，于是b=
即得l在y轴上截距的取值范围为[].
[专家把脉] 没有借助“△>0”来求出m>，无法进一步求出b的范围，只好胡乱地把m当作大于或等于0．
[对症下药] (1)F∈l|FA|=|FB|A、B两点到抛物线的准线的距离相等．
∵抛物线的准线是x轴的平行线，y1≥0，y2≥0，依题意 y1、y2不同时为0，
∴上述条件等价于yl=y2x12 =x22 (x1+x2)(x1-x2)=0；
∵x1≠x2，∴上述条件等价于 x1+x2=0．
即当且仅当x1+x2=0时，l经过抛物线的焦点F。
(Ⅱ)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y=2x+b过点A、B的直线方程可写为y=-x+m，所以x1、x2满足方程2x2+x-m=0，
得x1+x2=-；
A、B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式
+8m>0，即m>
设AB的中点N的坐标为(x0，y0)，则
x0=(x1+x2)=-，y0=-x0+m=+m
由N∈l，得+m=-+b，于是b=+m>
即得l在y轴上截距的取值范围为(，+∞)．
3．(典型例题)如图，过抛物线y2=2px(p>0)上一定点p(x0，y0)(y0>0)，作两条直线分别交抛物线于A (x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离；
(Ⅱ)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数．
[考场错解] (1)当y=时，x=又抛物线的准线方程为x=-P，由抛物线定义得，所求距离为
(Ⅱ)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB
由y21=2px1,y20=2px0
相减得(yl-y0)(y1+y0)=2P(x1-x0) 故kPA= (x1≠x0)．
同理可得kpB=(x2≠x0)由kPA=-kPB得y0=-2 (yl+y2)故
设直线AB的斜率为kAB。
由y22=2px2,y21=2px1 相减得
(y2-y1)(y2+y1)=2P(x2-x1)故kAB=
将y1+y2=-y0(y0>0)代入得kAB=-故kAB是非零常数．
[专家把脉] ①没有掌握抛物线的准线方程，②计算不够准确．
[对症下药] (1)当y=时，x=，又抛物线y2= 2px的准线方程为x=，
由抛物线定义得，所求距离为-(-)=
(Ⅱ)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB
由y12=2px1，y20=2px0
相减得(y1-y0)(yl+y0)=2P(x1-x0)，
故kPA=(x1≠x0)．
同理可得kPB=(x2≠x0)．
由PA、PB倾斜角互补知kPA=-kPB，
即=-，所以yl+y2=-2y0，
故=-2. 设直线AB的斜率为kAB
由y22=2px2，y21=2pxl
相减得(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1)，
所以
将yl+y2=-2y0(y0>0)代入得
所以kAB是非零常数．
4．(典型例题)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO(如图所示)．
(1)求△AOB的重心C(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程；
(Ⅱ)△AOB的面积是否存在最小值?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
∵OA⊥OB．
[考场错解]（Ⅰ）设△AOB的重心为G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)则
∵OA x1x2+yly2=0(2)
又点A、B在抛物线上，有y1=x12，y2=x22代入(2)化简得xlx2=0或-1∴y=[（x1+x2）2-2x1x2]=3x2+
或3x2，
故重心为G的轨迹方程为y=3x2或y=3x2+.
[专家把脉]没有考虑到x1x2=0时，△AOB不存在
[对症下药] （Ⅰ）设△AOB的重心为G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)则
又点A、B在抛物线上，有y1=x12，y2=x22代入(2)化简得xlx2=-1
∴y=[（x1+x2）2-2x1x2]==3x2+
所以重心为G的轨迹方程为y=3x2+
(Ⅱ)S△AOB=
由(1)得S△AOB=
当且仅当x16=x26即x1=-x2=-1时，等号成立。
所以△AOB的面积存在最小值，最小值为1。
专家会诊
1. 用待定系数法求抛物线标准方程，注意分类讨论思想。
1. 凡涉及抛物线的弦长，弦的中点，弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。
2. 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。
考场思维调练
1 已知抛物线y2=4x的准线与x轴交于M点，过M作直线与抛物线交于A、B两点，若线段AB的垂直平分线与x轴交于D(x0，0)
(1)求x0的取值范围．
1． 答案：由题意易得M（-1，0）
设过点M的直线方程为y=k(x+1)(k≠0)代入y2=4x得k2x2+(2k2-4)x+k2=0 (1)
再设A(x1,y1),B(x2,y2),
则
∴AB的中点坐标为
那么线段AB的垂直平分线方程为
又方程（1）中Δ=（2k2-4）2-4k4＞0，∴0＜k2 ＜1，
∴
(2)△ABD能否是正三角形?若能求出x0的值，若不能，说明理由
答案：若ΔABD是正三角形，则有点D到AB的距离等于
｜AB|2=(1+k2)(x1-x2)2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=
点以AB的距离d=
据d2
∴4k4+k2-3=0,(k2+1)(4k2-3)=0, ∴k2=,满足00)
(2)若直线l的斜率k>2，且点M到直线3x+4y+m=0的距离为，试确定m的取值范围．
答案：
∴
∴
∵
∴0<1-3-m<
∴0<1-3-m<或0<1-3-m<
∴0)
得8x-2y2=0即y2=4x(x>0)
故点P的轨迹是（0，0）为顶点，以（2，0）为焦距的抛物线.(除去原点)
(2)若动直线l经过点D(4，0)，交曲线C与A、B两点，求是否存在垂直于x轴直线l'被以AD为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在，求出l'的方程，若不存在，请说明理由．
答案：设AD中点为H，垂直于x轴的直线l′的方程为x=a.
以AD为直径的圆交l′于E、F两点。EF的中点为G
因为|EH|=|AD|（其中（x1,y1）为坐标），|HG|=
所以|EG|2=|EH|2=[（x1-4）2+yx2]-[(x1-2a)2+4]
=[(x1-4)2+4x1]-[(x1-2a)2+8(x1-2a)+16]=[4ax1-12x1-4a2+16a]
=（a+3）x1-a2+4a
所以当a=3时，以AD为直径的圆截得的弦长恒为定值，l′的方程x=3.
命题角度4
对直线与圆锥曲线的关系的考查
1．(典型例题Ⅰ)设双曲线C：(a>0)与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B，
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
(Ⅱ)设直线l与y轴的交点为P，且，求a的值．
[考场错解] (1)由C点与l相交于两个不同的点，
故知方程组 有两个不同的实数解，消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0①故4a4+8a2(1-a2) >0
解得：00．
[对症下药] (1)由C与l相交于两个不同的点，故知方程组
有两个不同的实数解，消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x +2a2x-2a2=0
所以解得0且e≠，
即离心率e的取值范围为()∪()．
(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，1)．∵
∴(x1,y1-1)=(x2,y2-1)由此得x1=x2，由于x1，x2都是方程①的根，且1-a2≠0，所以x2=-，消x2，得-，由a>0，所以a=
2．(典型例题Ⅱ)给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点
(1)设l的斜率为1，求与夹角的大小；
(Ⅱ)设，若λ∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围．
[考场错解] (1)设与夹角为α；由题意l的方程为了y=x-1，将y=x-1代入y2=4x得x2-6x+1=0设A(x1，y1)B(x2，y2)则有x1+x2=6，x1x2=1．易得·=x1x2+y1y2=-3，cosα=∴α=-arccos
(Ⅱ)由题意知，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为A'、B'．
∴|FB|=|BB'|，|AF|=|AA'| ∴|BB’|=λ|AA'|，λ∈[4， 9]
设l的方程为y=k(x-1)由得k2x2-(2k2 +4)x+k2=0
∴x= ∴|AA'|=+l
=
|BB'|=
[专家把脉] (Ⅰ)没有理解反余弦的意义．(Ⅱ)思路不清晰．
[对症下药] (1)C的焦点为F(1，0)，直线l的斜率为1，所以l的方程为了y=x-1．
将y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有xl+x2=6，x1x2=1．
=(x1，y1)·(x2,y2)=x1x2+yly2=2x1x2-(x1 +x2)+1=-3．
所以与夹角的大小为π-arc cos (Ⅱ)由题设得 (x2-1，y2)=λ(1-x1，-y1)，
即 ①
②
由②得y22=λ2y21．∵y21=4x1，y22=4x2，∴x2=λ2x1 ③
联立①、③解得x2=λ，依题意有λ>0，∴B(λ，2 )或B (λ，-2 )，又9(1，0)，得直线l方程为(λ-1)y= (x-1)或(λ-1)y=2(x-1)．当λ∈[4，9]时，l在 y轴上的截距为或-
由=，可知：在[4，9]上是递减的，
∴≤≤，-≤-≤-
直线l在y轴上截距的变化范围为[-，- ]∪[，]．
3．(典型例题)已知椭圆C：(a>b>0)的左、右焦点为Fl、F2，离心率为e直线l:y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点Fl关于直线l的对称点为P，设
(1)证明：λ=1-e2；
(Ⅱ)确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形．
[考场错解] (Ⅱ)要使△PF1F2为等腰三角形必有三种情况： (1)当|PF1|=|F1F2|时
设点p的坐标是(x0，y0)
则 解得
由|PF1|=|F1F2| 得[]2+
两边同时除以4a2，化简得 从而e2=于是
(2)当|PF1|=|F1F2|时，同理可得
解得e2=3于是λ=1-3=-2．
(3)当|PF2|=|F1F2|时，同理可得=4c2
解得e2=1 于是λ=1-1=0
综上所述，当λ=或-2或0时△PF1F2，F2为等腰三角形．
[专家把脉] (1)没有注意到因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|
(2)没有注意到椭圆离心率的范围．
[对症下药] (1)证法一：因为A、B分别是直线l：y= ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B
的坐标分别是(-)(0,a).
由
所以点M的坐标是(-c,)，由得(-c+)=λ(，a)．
即
证法二：因为A、B分别是直线l:y=ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是(-，0)，(0，a)，设M的坐标是(x0，y0)，由 得()，
所以 因为点M在椭圆上，所以=1，
即
e4-2(1-λ)e2+(1-λ)2=0，解得e2=1-λ 即λ=1-e2．
(Ⅱ)解法一：因为PF1⊥l，所以 ∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|,即|PF1|=c.
设点F1到l的距离为d，由|PF1|=d，
=,
得=e．所以e2=，于是λ=1-e2=.
即当λ=时，△PF1F2为等腰三角形．
解法二：因为PF1⊥l，所以，∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|,设点P的坐标是(x0，y0)，
则 解得
由|PF1|=|FlF2|得=4c2，
两边同时除以4a2，化简得=e2．从而e2=
于是λ=l-e2=．即当λ=时，△PF1F2为等腰三角形．
4．(典型例题)抛物线C的方程为y=ax2(a<0)，过抛物线C上一点P(x0，y0)(x0≠0)作斜率为k1，k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1，y1)B(x2，y2)两点(P、A、B三点互不相同)，且满足k2+λk1=0(λ≠0且λ≠-1)．
(Ⅰ)求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
(Ⅱ)设直线AB上一点M满足=λ，证明线段PM的中点在y轴上
(Ⅲ)当A=1时，若点P的坐标为(1，-1)，求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围．
[考场错解] (1)抛物线C的方程y=ax2(a<0)得，焦点坐标为(，0)准线方程为x=-
(Ⅲ)∵P(-1，1)在y=ax2上，故a=-1∴y=-x2
由(Ⅱ)易得y1=-(k1+1)2，y2=(k2+1)2，因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为A(-k1 -1,-k21-2k1-1)，B(k1-1，-k21+2k1-1)
于是= (k1+2,k21+2k1)，=(2k1，4k1)，2k1(k1+2)(2k1+1)因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有·<0
易得k1的取值范围是 k1<-2或n>0)的离心率分别为e1、e2、e3，则 ( )
A．e1e2>e3 B．e1e2c=2, ∴a2=8
∴b2=a2-c2=8-4=4,
∴所求椭圆方程为
(3)与E点轨迹相切的直线l交椭圆于P、Q两点，求 |PQ|的最大值及此时l的方程．
答案：由（1）可知点E的轨迹是圆
设是圆上的任点，则过(x0,y0)点的切线方程是x0x+y0y=1
当y0≠0时，代入椭圆方程得：
令
则
∵15≤t<31
∴当t=15时|PQ|2取最大值为15，|PQ|的最大值为此时直线l的方程为
y=±1.
②当时，容易求得故所求的最大值为，此时l的方程为y=±1.
命题角度5
对轨迹问题的考查
1．(典型例题)已知双曲线的中心在原点，离心率为若它的一条准线与抛物线y2=4x的准线重合，则该双曲线与抛物线y2=4x的交点到原点的距离是 ( )
A.2 B．
C．18+12 D．21
[考场错解] C
[专家把脉] 对双曲线的定义理解不够深刻．
[对症下药] B 设双曲线方程为=1，由题意得则a=b=，则双曲线方程为=1,由得A（3，2），
故交点到原点的距离为
2．(典型例题)已知点A（-2，0）、B(3，0)，动点P(x，y)满足=x2，则点P的轨迹是 ( )
A. 圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[考场错解] C 由·=x2，得(-2-x，-y)· (3-x，-y)=x2
即(-2-x)(3-x)+(-2x)(-y)+(-y)(3-x)+ (-y)·(-y)=x2
化简得y2+2xy-x-3y-6=0则点 P的轨迹是C.
[专家把脉] 没有理解数量积的坐标运算．
[对症下药] D 考查了圆锥曲线中的轨迹方程．
由题=(-2-x，-y)，=(3-x，-y)，由·=x2．
∴(-2-x)·(3-x)+y2=x2即y2=x+6．
3．(典型例题)如图，直线l1:y=kx(k>0)与直线l2:y=-kx之间的阴影区域 (不含边界)记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2．
(1)分别用不等式组表示 W1和W2；
(Ⅱ)若区域Ⅳ中的动点p(x,y)到l1，l2的距离之积等于d2，求P点的轨迹C的方程；
(Ⅲ)设不过原点O的直线l与(Ⅱ)中的曲线C相交于Ml，M2两点，且与l1，l2分别交于M3，M4两点，求证△OM1M2的重心与△OM3M3的重心重合．
[考场错解] (1)W1={(x,y)|y≠±kx x<0|W2=｛(x，y)｝y=±kx,x>0|
(Ⅱ)直线l1:kx-y=0 直线l2:kx+y=0由题意得
·=d2即=d2
∴k2x2-y2±(k2+1)d2=0故动点P的轨迹C的方程为k2x2-y2±(k2+1)d2=0
(Ⅲ)略
[专家把脉] 没有很好地理解题意，第二问出现两解，致使第三问过于复杂难以完成．
[对症下药] 解：(I)W1={(x，y)|kx0}，
(Ⅱ)直线l1:kx-y=0 直线l2:kx+y=0，由题意得
·=d2，即=d2，
由P(x，y)∈W，知k2x2-y2>0，
所以=d2，即k2x2-y2-(k2+1)d2=0，
所以动点P的轨迹C的方程为k2x2-y2-(k2+1)d2=0；
(Ⅲ)当直线J与，轴垂直时，可设直线J的方程为，x=a (a≠0)．由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为(a，0)，所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为(a，0)，即它们的重心重合，
当直线l1与x轴不垂直时，设直线J的方程为y=mx+n(n ≠0)．
由, 得(k2-m2)x2-2mnx-n2-k2d2-d2=0
由直线l与曲线C有两个不同交点，可知k2-m2≠0且△=(2mn)2+4(k2-m2)×x(n2+k2d2+d2)>0
设M1、M2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1+x2=，y1+y2=m(x1+x2)+2n，
设M3、M4的坐标分别为(x3，y3)，(x4,y4)，
由及 得x3=,x4=
从而x3+x4==x1+x2，
所以y3+y4=m(x3+x4)+2n=m(x1+x2)+2n=y1+y2，
于是△OM1M2的重心与△OM3M4的重心也重合．
4．(典型例题)已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1(-c，0)、F2(c，0)，Q是椭圆外的动点，满足=2a，点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足·=0，||≠0．
(1)设x为点P的横坐标，证明||=a+；
(Ⅱ)求点T的轨迹C的方程；
(Ⅲ)试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=b2，若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由．
[考场错解] (1)证明：由焦半径公式得=a+ ex=a+
(Ⅱ)设点T的坐标为(x、y)
由=0 得，
在△QF1F2中故有x2+b2= a2(x=±a)
(Ⅲ)C上存在M(x0，y0)使s=b2的充要条件是：
又=(-C-x0-y0)，=(c-x0,y0)
由·=x02-c2+y20=a2-c2=b2
即cos∠F1MF2=b2又s=sin∠FlMF2
得tan ∠FlMF2=2
[专家把脉] (1)没有注意证明题的书写格式(2)思考问题不够全面．
[对症下药] (1)证法一：设点P的坐标为(x，y)．由P(x，y)在椭圆上，得
2
由|x|≤a，知a+≥-c+a>0，所以=a+x．
证法二：设点P的坐标为(x，y)．记
则r1= ，r2=.
由r1+r2=2a，r21-r22=4cx，得=r1=a+．
证法三：设点P的坐标为(x，y)．椭圆的左准线方程a+=0．
由椭圆第二定义得 即
由x≥-a，知a+≥-c+a>0，所以 =a+
(Ⅱ)解法一：设点T的坐标为(x，y)．
当=0时，点(a，0)和点(-a，0)在轨迹上．
当且时，由=0，得
又，所以T为线段F2Q的中点．
在△QF1F2中，=a，所以有x2+y2=a2
综上所述，点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2
解法二：设点T的坐标为(x，y)．当||=0时，点(a，0)和点(-a，0)在轨迹上．
当且时，由
又||=||，所以T为线段F2Q的中点．
设点Q的坐标为(x'，y')，则
因此①
由=2a得(x'+c)2+y'2=4a2．②
将①代入②，可得x2+y2=a2．
综上所述，点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2
(Ⅲ)解法一：C上存在点M(x0，y0)使S=b2的充要条件是
由③得，|y0|≤a，由④得，|y0|≤，所以，当a≥时，存在点M，使S=b2；
当a<时，不存在满足条件的点M．
当a≥时，=(-c-c0,-y0)，=(c-c0,-y0)，
由·=x02-c2+y20=a2-c2=b2，
解法二：C上存在点M(x0，y0)使S=b2的充要条件是
由④得|y0|，上式代入③得x20=a2- =(a-) (a+)≥0．
于是，当a≥时，存在点M，使s=b2;
当a<时，不存在满足条件的点M．
当a≥时，记k1=kF1M=
由|F1F2|<2a,知∠F1MF2<90°，所以tan∠F1MF2==2．
专家会诊
(1)求轨迹方程的本质是用代数形式将动点的运动规律表示出来，实质上是一个翻译过程，故选取一定解题策略找到动点运动规律的一些表现形式是关键，往往和研究曲线几何性质，讨论直线与曲线位置关系等联系在一起．
(2)求轨迹要注意取值范围和“杂点”的去除．
考场思维训练
1 已知椭圆：=1(a>b>0)，点户为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.
(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；
1． 答案：∵点F2关于l的对称点为Q，连接PQ，
∴∠F2PQ=∠QPR，|F2R|=|PQ|=|PF2|又因为l为∠F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在R（x0,y0）,Q(x1,y1),F1(-c,0),F2(c,0).
|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则（x1+c）2+y12=(2a)2.
又
得x1=2x0-c,y1=2y0.
∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2, ∴x02+y02=a2
故R的轨迹方程为：x2+y2=a2(y≠0)
(2)设点R形成的曲线为C，直线l：y=k(x+a)与曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值．
答案：如下图：∵S△AOB=|OA|·|OB|·sinAOB=sinAOB
当∠AOB=90°时，S△AOB最大值为a2.
此时弦心距|OC|=
在RT△AOC中，∠AOC=45°，∴°=
2 已知两点M(-2，0)，N(2，0)，动点P在y轴上的射影为H，||是2和的等比中项．
(1)求动点P的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；
1． 答案：设动点的坐标为P(x,y),则H（0,y）,
(-2-x,-y)·(2-x,-y)=x2-4+y2
=|x|,由题意得|PH|2=2·，即x2=2(x2-4+y2)
即=1，所以点P的轨迹为椭圆
(2)若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方程．
答案：由已知求得N（2，0）关于直线x+y=1的对称点E（1,-1）,则|QE|=|QN|
双曲线的C实轴长2a=|QM|-|QN|=||QM|-|QE||≤|ME|=(当且仅当Q、E、M共线时取“=”)，双曲线C的实半轴长a=
3 已知△OFQ的面积为2，且=m．
(1)设0，只能x=，于是y=
点P的坐标是()
(2)直线AP的方程是x-+6=0．设点M(m，0)，则M到直线AP的距离是 ．于是= |m-6|，又-6≤m≤6，解得m=2．
椭圆上的点(x，y)到点M的距离d有，d2=(x-2)2+y2 =x2-4x+4+20-x2 =(x-)2+15，
由于-6≤m≤6，∴当x=时，d取得最小值
2．(典型例题)如图，直线y= x严与抛物线y=x2-4交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=-5交于点Q．
(1)求点Q的坐标
(2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含点A、B)的动点时，求△OPQ面积的最大值．
[考场错解] (1)略(Ⅱ)由(1)得Q(5，-5) 直线OQ的方程为x+y=0
设P(x, -4)∵点P到直线OQ的距离
d=
∵-4≤x≤8． ∴S△OPQ最大值=|(-4+4)2-48|=15
[专家把脉] 要注意二次函数最大值的求法．
[对症下药] (1)解方程组，得即A(-4，-2)，B(8，4)，从而AB的中点为M(2，1)，由，得线段AB的垂
直平分线方程y-1=-2(x-2)．令y=-5，得x=5，∴Q(5，-5)．
(2)直线OQ的方程为x+y=0，设P(x，-4)，∵点P到直线OQ的距离d=
∵P为抛物线上位于线段AB下方点，且P不在直线OQ上．
∴ -4≤x<4-4或4-40，y2>0．
由y=x2，①
得y'=x.
∴过点P的切线的斜率k切=x1,
∵x1=0不合题意， ∴x1≠0．
∴直线l的斜率k1=,直线l的方程为y-x21=(x-x1)．②
方法一：联立①②消去y，得x2+-x21-2=0．
∵M为PQ的中点，
消去x1,得y0=x02++1(x0≠0)，∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0)，
方法二：由y1=x21,y2=x22，x0=，得y1-y2=x21-x22=(x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2)，则x0=k1=-
∴x1=-,
将上式代入②并整理，得y0=x20++1(x0≠0)，
∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0)．
(Ⅱ)设直线l：y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，则T(0，b)．分别过P、Q作PP'⊥x轴，QQ'⊥y轴，垂足分别为p'、 Q'，则
由消去x，得y2-2(k2+b)y+b2=0．③
则
方法一：
∵y1、y2可取一切不相等的正数，
∴ 的取值范围是(2，+∞)．
方法二：∴
当b>0时，=|b|+2>2；
当b<0时, =-b
又由方程③有两个相异实根，得△=4(k2+b)2-4b2= 4k2(k2+2b)>0．
于是k2+2b>0，即k2>-2b．
所以
∵当b>0时，可取一切正数，
的取值范围是(2+∞)．
方法三：
由P、Q、T三点共线得kTQ=kTP,
即
则x1y2-bx1=x2y1-bx2，即b(x2-x1)=(x2y1-x1y2)．
于是b=
可取一切不等于l的正数，的取值范围是(2，+∞)．
专家会诊
①直线过定点的问题，常用直线系的思想处理．
②定值问题常常用函数的思想处理，即把所求定值通过一些基本变量表示，最终化成常数．
③最值问题往往用几何方法，函数或不等式等方法处理．
考场思维调练
1 已知椭圆C：(m>0)，经过其右焦点F且以=(1，1)为方向向量的直线l交椭圆C于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线 OM交椭圆C于N点．
(Ⅰ)证明：
(Ⅱ)求的值．
答案： a2=
∵直线l过焦点F（m,0）且与向量a(1,1)平行，
∴直线l的方程为：y=x-m
将其代和椭圆C的方程，并整理可得：８x2-10mx-…①
设A(xA,yA),B(xB,yB),M(xM,yM),N(xN,yN).
∵M是线段AB的中点，在方程①中由韦达定理，可得：
设N’为OM延长线上的点，且M为ON’的中心，则N’平行四边形，将N’的坐标代入椭圆C方程的左端并化简得
N’点在椭圆C上，N’与N点重合，
∴四边形OANB为平行四边形于是
2 已知椭圆C：(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e= ,P1为椭圆上一点，满足
斜率为k的直线l过左焦点F1且与椭圆的两个交点为P、Q，与y轴交点为C，点Q分有向线段所成的比为λ．
(Ⅰ)求椭圆C的方程．
答案：设
△P2F1F2为直角三角形且∠P1F2F1=90°，
则r1cos∠F1P1F2,由
(Ⅱ)设线段PQ中点R在左准线上的射影为H，当 1≤λ≤2时，求|RH|的取值范围．
答案：可求得|RH|=3
在y=k(x+1)中，令x=0得y=k,即得G（o,k）,定比分点坐标公式
在[1，2]上递增，∴
3 过椭圆C：=1(a>b>0)外一定点A(m，0)作一直线l交椭圆C：于P、Q两点，又Q关于x轴对称点为Ql，连结PQ1交x轴于B点．
(1)若λ，求证=λ，
1． 答案：连结AQ1，因为Q与Q1关于x轴对称，而A在x轴上则在△APQ1中，AB平分∠PAQ1
由内角平分线定理可知：|A，故λ>0且|AP、B、Q1在同一直线且与
于是有：
(2)求证：点B为一定点(，0)．
答案：设过A（m,0）的直线l与椭圆C：，交于P（x1,x2）,Q(x2,y2),Q1与Q关于x轴对称，则Q1（x2,-y2）
由
而PQ过A（m,0）,则有：
而PQ1过B（Xb,0）,同理可求得：
下面利用分析法证明：mxB=a2,
①
只需证： [a2b2+b2x1x2-ab2(x1+x2)][a2b2+b2x1x2+ab2(x1+x2)]=(a2y1y2)2
只需证： b2[a2-a(x1+x2)+x1x2]·b2[a2+a(x1+x2)+x1+x2]=(a2y1y2)2
即证： b4(a-x1)(a-x2)(a+x1)(a+x2)=(a2y1y2)2
②
而（x1,y1）在椭圆上，则b2(a2- ③
同理b2 ④
由③×④可知②成立，从而①式得证.mxB=a2成立.
∴xB=
另法：证（1）设l直线过A（m,0）和椭圆交于P（x1,y1）,Q(x2,y2),而Q1与Q关于x轴对称，则Q1(x1,-y2)
由，则 y1-0=λ(y2-0)
∴0-y1=λ(-y2-0) ∴
①
②
由①×②得 ③
④
④-⑤·
由③⑥可知mxB=a2 ∵
∴点B为一定点
探究开放题预测
预测角度l
椭圆
1．以椭圆两焦点为直径端点的圆，交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率等于( )
A．
[解题思路] 利用正六边形的性质，求出交点坐标，代入椭圆方程中，可求e．
[解答]C 设椭圆方程为
在椭圆上，∴
2．设F1、F2为椭圆的两个焦点，椭圆上有一点P与这两个焦点张成90度的角，且∠PF1F2>PF2F1，若椭圆离心率为，则∠PF1F2：∠PF2F1
为( )
A．1：5 B．1：3 C．1：2 D．1：l
[解题思路] 求角的比，联想到运用正弦定理，转化为焦半径的比，再利用合比性质解三角形．
[解答]A 提示：设∠PF1F2=α，则∠PF2F1=90°-α,0<α<45°，在△PF1F2中，由正弦定理得：
3．已知一椭圆以抛物线x2=2p(y+)的准线为下准线，焦点为下焦点，椭圆和抛物线分别与直线x=在第一象限内交于点A、B，且A为OB的中点(O为原点)．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若椭圆过点(0，5)，求抛物线和椭圆的方程．
[解题思路] (1)运用椭圆第二定义；(2)椭圆过点 (0，5)可求出F，运用定义求出两方程．
[解答] (1)由已知抛物线的准线为y=-p，焦点为坐标原点，所以椭圆的下准线为y=-p，下焦点为原点O，则点B的坐标是方程组
的解，由方程组得3y2=2py+p2，即3y2-2py-p2=0
解之得yl=p，y2= (舍去) ∴B(p，p)，A()．
由点A在椭圆上，根据椭圆的第二定义有=e (dA为A到椭圆下准线的距离)
即得
(2)椭圆过点(0，5)，故得p=∴抛物线的方程为x2=5(y+)
设M(x，y)为椭圆上任一点，由椭圆下焦点为(0， 0)，下准线为y=-，离心率为．
4．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2，相应于焦点F(c，0)(c>0)的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)若=0，求直线PQ的方程；
(3)设=λ(λ>1)，过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明=-λ．
[解题思路] (1)设出椭圆的方程，由a、b、c的关系及|OF|=2|FA|可求．(2)运用设而不求的方法求直线PQ的斜率；
(3)运用向量的坐标，将M、E点表示出来，即可求证．
[解答] (1)解：由题意，可设椭圆的方程为= 1(a>)．
由已知得 解得a=，c=2．
所以椭圆的方程为，离心率e=。
(2)解：由(1)可得A(3，0)．
设直线PQ的方程为y=k(x-3)． 由方程组
得(3k2+1)x2-18k2x+27k2-6=0，依题意△= 12(2-3k2)>0，得-1，解得x2=
因F(2，0)、M(x1，-y1)，故=(x1-2，-y1)=(λ(x2- 3)+1，-y1)=(,-y1)=-λ(，y2)．
而=(x2-2，y2)=( ，y2)，所以=-λ．
预测角度2
双曲线
1．双曲线=1的左右焦点分别为F1、F2、p是双曲线右支上一点，I为△PF1F2的内心，PI交x轴于Q点，若|F1Q|=|PF2|，则I分线段PQ的比为 ( )
A．2 B
[解题思路] 利用双曲线的第一定义及三角形内心的性质求得．
[解答]A 设=λ，由内角平分线性质定理知，λ=
又|F1P|-|F2P|=4， ∴|F2P|=
∴|F2Q|= |F2P|=,∴|F1F2|= |F1Q|+|QF2|=|PF2|+|QF2|==6，
解方程，得λ1=-(舍去)，λ2=2，故I分PQ的比为2．选A 2．
2.设A是双曲线(a>0，b>0)的右顶点,P是双曲线上除顶点外的任一点，过A作两渐近线的平行线分别交直线OP于Q和R两点．
(1)求证：|OP|2=|OQ|·|OR|；
(2)试确定双曲线上是否存在这样的点P，使得△AQR的面积等于,如果存在，则求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
[解题思路] (1)联立OP与渐近线方程，求出Q、R点坐标，从而可证；(2)反证法，假设存在这样的点户，利用S△ARQ=S△OARQ-S△OAR，求出点P的坐标，检验是否符合条件．
[解答] (1)证明：设P(x0，y0)(y0≠0)，则直线OP的方程为y=，且b2x02-a2y02=a2b2．
由得Q点坐标为
由得R点坐标为
∴|OQ|·|OR|==x02+y02=|OP|2．
即|OP|2=|OQ|·|OR|．
(2)假设存在这样的点P，依据双曲线的对称性，可先讨论P在第一象限内的情形．
设P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，yQ>yR
则S△ARQ=S△OARQ-S△OAR=a(yQ-yR)
=
由S△ARQ=,得, ∴y02=,从而y0=,∴x0=a
所以第一象限内的点P(a，)符合条件．
根据双曲线的对称性，另外还有三个这样的点P(-a，)、P（-a，-）和P（a，-）
3．已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点且两条渐近线与以点A（0）为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称。
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线l经过M（-2，0）及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围；
（Ⅲ）若Q是双曲线C上的任一点，F1F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程。
[解题思路]（1）直接设方程可求；（2）联立方程求出直线L的方程由k的范围从而求出b的范围；（3）运用相关点法求点N的轨迹方程
[解答]（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=0
∵该直线与圆x2+(y-)2=1相切，∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x。
故设双曲线C的方程为，又双曲线C的一个焦点为（0）。
∴2a2=2,a2=1. ∴双曲线C的方程为x2-y2=1.
(Ⅱ)由得（1-m2）x2-2mx-2=0
令f(x)=(1-m2)x2-2xm-2
直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在（-∞，0）上有两个不等实根。
因此解得10.解得m>2或m<0
∴x1+x2=m,x1x2=m,
A、P、F共线，∴KAP=KAF
∴（x3-x2）(x2x3-1)=0
x2≠x3,x2x3=1
同理由A、E、Q共线得x1x4=1
预测角度 4
直线与圆锥曲线
1．直线y=x+3与曲线的公共点的个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
[解题思路]讨论x≥0或x<0，再运用数形结合的方法.
[解答]将y=x+3代入得4x2-9x|x|+24x=0.当x≥0时，有x=0或;当x<0时，有故应选取C。也可以由数形结合法求得。
2．过椭圆的右焦点F作直线l交椭圆于M、N两点，设
（Ⅰ）求直线l的斜率k；
（Ⅱ）设M、N在椭圆右准线上的射影分别为M1、N1，求的值。
[解题思路]（1）运用弦长公式求直线l的斜率k;
(2)利用向量数量积公式。
[解答]（Ⅰ）F（），l:y=k(x-)
由,得(1+4k2)x2-8k2x+12k2-4=0
设M（x1,y1）、N(x2,y2),则x1+x2=①
x1·x2=②
③
把①②代入③，并整理，得，解得
（Ⅱ）设与的夹角为θ，0<θ<
则由（Ⅰ）知
3．已知圆M:x2+y2-6x+a=0(a<9)上有四个点A、B、C、D（A、B、C、D顺时针排列），满足而直线CD的一个方向向量的坐标为（3，1）。
(1) 求直线AC及BD的斜率；
(2) 如果在x轴上方的A，B两点在一条以原点为顶点，以x轴为对称轴的抛物线上，求抛物线方程及直线CD的方程。
[解题思路]（1）运用公式tan求直线AC及BD的斜率；
（2）设而不求的方法求抛物线方程.
[解答]（1）四边形ABCD为平行四边形。
又∵四边形ABCD内接于圆，∴四这形ABCD为矩形
由∴四边形ABCD为正方形。
由∠D的方向向量坐标是（3，1）得kCD=
由∠DCA=∠BDC=45°得tan45°=
解得kAC=-,kBD=2.
(2)设抛物线方程为y2=2px代入⊙M的方程x2+y2-6x+a=0得x2+(2p-6)x+a=0(*)
设A（）、
B
即3
即+3-10p=0 ①∵AM⊥BM，圆心M（3，0）
∴kAM·kBM=即
∴ ②由①,②得
∴抛物线方程为y2=x,由方程（*）得x1=1,x2=4,
∴A(1,1)
∴lAB为y-1=(x-1)即x-3y+2=0
∵CD//AB, ∴设lCD为x-3y+t=0 ,由M(3,0)到AB、CD的距离相等可求得t=-8, ∴CD的方程为x-3y-8=0
4．已知椭圆C：、右焦点分别为F1、F2，离心率e=,P1为椭圆上一点，满足
斜率为k的直线l过左焦点F1且椭圆的两个交点为P、Q，与y轴交点为G，点Q分有向线段所成的比为λ.
（Ⅰ）求椭圆C的方程。
（Ⅱ）设线段PQ中点R在左准线上的射影为H，当1≤λ≤2时，求|RH|的取值范围。
[解题思路]（1）利用椭圆的第一定义与余弦定理求椭圆C的方程；（2）由定比分点求K的范围，从而求|RH|的取值范围。
[解答]（1）设为直角三角形且∠P1F2F1=90°，则r1cos∠F1P1F2=r2,由
由
解得a2=4,b2=3∴椭圆C的方程为
（2）可求得在y=k(x+1)中，令x=0,得y=k,即得G(0,k),
由这下比分点坐标公式
显然f(λ)=3λ2+8λ+4在[1，2]上递增，∴
预测角度 5
轨迹问题
1．设F（2，0），动点P到y轴的距离为d，则满足点P的轨迹方程是y2=8x和y=0(x≤0)的一个条件是 （ ）
A.|PF|-d=-2 B.|PF|-d=2
C.|PF|-d=-3 D.|PF|-d=3
[解题思路]由抛物线的定义性质可判断。
[解答]当点P在原点时，选择支A、C、D均错；也可正面验证B的正确性。
2．已知两点M（-2，0），N（2，0）动点P在y轴上的射影是H，如果数列的第三、四项，
（1） 求动点P的轨迹C；
（2） 已知过点N的直线l交曲线C于x轴下方两个不同点A，B，设R为AB的中点，若过R与定点Q（0，-2）的直线交x轴于点D（x0,0），求x0的取值范围
[解题思路]（1）由向量坐标运算求动点P的轨迹方程C；（1）设直线l的斜率k，运用直线与双曲线的位置关系求出k的范围，从而求x0的取值范围。
[解答]（1）设P（x,y）,则H(0,y),
∴
∴2x2=x2-4+y2, ∴P的轨迹方程为：y2-x2=4(x≠0)。
（2）将y=k(x-2)代入y2-x2=4得(k2-1)y2-4ky-8k2=0
依题意
则AB的中点R为（），可得RQ的方程为y+2=
令y=0得x0=,则单调性可得20,定义运算“”x1x2=(x1+x2)2,定义运算“”x1x2=(x1-x2)2
(1)若x≥0,求动点P（x，的轨迹C的方程；）
(2)已知直线l:y=x+1与（1）中的轨迹C交于A（x1,y1）,B(x2,y2)两点，若试求a的值；
(3)设P（x,y）是平面上任一点，定义：d1(p)=在轨迹C上是否存在两点A1、A2，使其满足d1(Ai)=d2(Ai)(i=1,2),若存在，请求出d1(A1)+d1(A2)的值；若不存在，请说明理由。
[解题思路]（1）由条件易求轨迹C的方程；（2）利用弦长公式求a的值；（3）由根与系数的关系解得a的范围，从而求出d1(A1)+d1(A2)的值。
[解答]（1）y= 所以y2=4ax(y≥0)
(2)将y=x+1代入y2=4ax,得x2+4(1-4a)x+4=0, 由
(3)设C上有两点A1（x1,y1）、A2(x2,y2),满足d1(Ai)=d2(Ai)(i=1,2),则、x2是方程（a-1）x2-2(a2+2a)x+a3=0的两根，因为x1≥0，x2≥0,x1≠x2所以
，解得a<1，所以当a>1时存在满足条件的两点，当01时（x1-a）(x2-a)=x1x2-a(x1+x2)+a2=
所以，d1(A1)+d2(A2)=[d2(A1)+d2(A2)]=|x1-x2|=
4．(本小题满分12分)设G、M分别为不等边△ABC的重心与外心，A（-1，0）、B（1，0），且。
（1） 求点C的轨迹E的过程；
（2） 若直线L过点（0，1），并与曲线E交于P、Q两点，且满足，求直线L的方程。
[解题思路]（1）由三角形重心与外心的性质求点C的轨迹E的方程；（2）设而不求的方法求直线L的方程。
[解答]（1）设C(x,y,)则G()其中x·y≠0,设外心M（0，m）,由于，则GM//AB，
则m=得
整理得轨迹E的方程是：3x2+y2=3(xy≠0).
设L的方程为y=kx+1,代入3x2+y2=3.化简得
（k2+3）x2+2kx-2=0
则△=4k2+8(k2+3)>0,
设P(x.,kx1+1),Q(x2,kx2+1),∴x1+x2=①
由=0，得(kx1+1)(kx2+1)+x1x2=0,即(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1=0,
结合①得3k2=1.则k=.故直线L的方程为：
y=x+1.
预测角度 6
圆锥曲线中的定值与最值问题
1．若F1、F2中二次曲线C：（为参数）的焦点，P为曲线C上一点，当△PF1F2的面积为时，的值为 （ ）
A．0 B．-1 C．1 D．-2
[解题思路]将参数方程化为普通方程，再运用性质可求。
[解答]B 曲线方程为=1，设P（x,y），由S△F1PF2=代入求得
|x|=,不妨取P（），有.
2．已知=（2，0），动点M到定直线y=1的距离等于d，并且满足，其中O是坐标原点，k是参数。
（1） 求动点M的轨迹方程；
（2） 当k=，求的最大值与最小值；
（3）如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e满足，求k的取值范围.
[解题思路]（1）坐标轨迹法可求；（2）运用坐标运算转化为二次函数的最值问题；（3）由椭圆的性质及a,b,c的关系求k的取值范围。
[解答]（1）设M（x,y），则由=（2，0），=（0，1）且O是坐标原点，得A（2，0）、B（2，1）、C（0，1），从而=（x,y）,=(x-2,y),=(x,y,-1), =((x-2),y-1),d=|y-1|,根据
得（1-k）x2+2(k-1)x+y2=0为所求轨迹方程，当k=1时，y=0时，动点M的轨迹是直线；当k=0时，动点M的轨迹是一个圆；当k>1时，动点M的轨迹是一条双曲线；当00, ∴f(m)在（1，2）上是增函数，
∴当m=2jf ,的最大值为
此时P（2，0），椭圆另一焦点为P’（-2，0），则椭圆长轴长2a=|PQ|+|P’Q|=2
∴a=,b2=10-4=6,故椭圆方程为
（2）方法二：当直线l与x轴重合时，M（，0）、N（）、D（5，0）
这时
猜想：λ1+λ2=0
设过P（2，0）的直线方程，y=k(x-2)
由
设l与椭圆的两交点为M（x1,y1）、N(x2,y2)
则x1+x2=
由题意P、D分
∴λ1=
∴
故λ1+λ2=0
方法二：由题意P、D分
过M、N分别作准线的垂线，垂足分别为M1、N1
由定比分点的意义及椭圆的定义得：
∴λ1+λ2=0
4．已知如图，A、B为两个定点，且|AB|=2，动点M到A点的距离是4，线段MB的垂直平分线l交MA于点P，直线k⊥AB且点B到直线k的距离为3。
（1） 求证：点P到点B的距离与到直线K的距离的比为定值。
（2） 若点P到A、B两点的距离之积为m，当m取最大值时，求P点的坐标，
（3） 若|PA|-|PB|=1，求
[解题思路]（1）由椭圆的定义可证；（2）运用定义及不等式求最值；（3）由余弦定理及定义求的值。
[解答]建立直角坐标系，则A（-1，0），B（1，0），直线k:x=4.
(1) ∵l是MB中垂线，∴|PA|+|PB|=|PA|+|PM|=4，4>|AB|=2, ∴点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，其右准线为k:x=,即x=4,且其离心率为e=
故P到B的距离与到直线k距离之比为定值.
(1) ∵|PA|+|PB|=4，∴m=|PA|·|PB|≤当且仅当|PA|=|PB|时取等号。此时m的最大值为4，P为椭圆短轴的两个端点，坐标为P（0，）或P（0，-）
(2) 由解得|PA|=5/2，|PB|=3/2，又|AB|=2，在△PAB中，
cos∠APB=
考点高分解题综合训练
1．已知椭圆的焦点在x轴上，则这一椭圆的离心率e的取值范围是 （ ）
答案： A 解析：由已知条件得5a>4a2+1, ∴由离心率的定义得：
2．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为1时，的值为 （ ）
A．0 B．1
C． D．2
答案： A 解析：利用公式可得.
3．已知A、B是抛物线y2=2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|=|OB|，且△AOB的垂心为抛物线的焦点，则直线AB的方程是 （ ）
A．x=p B．x=p
C．x= D．x=3p
答案： C 解析：设AB的方程是x=x1,则A（x1,）、B(x1, -),OA的斜为，BF的斜率为
4．过双曲线的右焦点F，作渐近线
的垂线与双曲线左右两支都相交，则双曲线离心率e的取值范围为 （ ）
A．1 D．e>2
答案： C 解析：略
5．已知两定点F1（-8，3）、F2（2，3），动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,当a为3或5时，点P的轨迹是 （ ）
A．双曲线和一直线
B．双曲线和一射线
C．双曲线的一支和一直线
D．双曲线的一支和一射线
答案： D 解析：在双曲线第一定义中，设F1、F2是双曲线的左、右焦点则（1）||PF2|-|PF1||=2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；（2）当|PF2|-|PF1|=±2a时，P点的轨迹是双曲线的一支，取正号时为左支，取负号时为右支；（3）
当||PF2|-|PF1||=2a=|F1F2|时，P点的轨迹是以F1或F2为端点的射线.
6．若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为 （ ）
答案： D 解析：略
7．已知|2x-3y-12|的最大值为______________.
答案：解析：由知动点P的轨迹为以A（-）为焦点，长轴长为6的椭圆，其方程为
8.已知圆锥曲线C经过点p（3，2），它的一个焦点为F（1，0），对应于焦点的准线为x=-1，过焦点F任意作曲线C的弦AB，若弦AB的长度不超过8，且直线AB与椭圆3x2+y2=2相交于不同的两点，则AB的倾斜角θ的取值范围_____________.
答案：解：由计算得：点P到C的准线的距离为4，|PF|=4.
∴曲线C为抛物线，方程为y2=4x,设直线AB的方程为y=k(x-1),得ky2-4y-4k=0.设A(x1,y1)、B(x2,y2),则
另一方面，把y=k(x-1)代入椭圆方程，得（2k2+3）x2-4k2x+2(k2-1)=0 ∴△16k4-8(2k2+3)(k2-1)>0, ∴k2<3 (2)
由（1）、（2）可得，3＞k2≥1, ∴1≤|k|<,
∴AB的倾斜角的取值范围是：
9．已知O为坐标原点，=（2，1），=（1，7），=（5，1），
（Ⅰ）求点P（x,y）的轨迹方程；
答案：
∴y=5(x-2)2-8这就是所求点P（x,y）的轨迹方程
（Ⅱ）将点P（x,y）的轨迹按向量a=(-2,8)平移到曲线C，M，N是曲线C上的两不同的点，如果，求证直线MN恒过一定点，并求出定点坐标。
答案：将y=f(x)的图象按向量平移到曲线C，所得的曲线C的方程为：y=5x2
设M（x1,y1）、N(x2,y2)则OM⊥ON
△(2kyo-5)-4k2yo2=25-20kyo>0即
故直线MN的方程为：
所以直线MN恒过定点（5，0）.
10．若F1、F2为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，P在双曲线左支上，M在右准线上，且满足
（1）求此双曲线的离心率；
（2）若此双曲线过点N（2，），求双曲线方程；
答案：
知OP平分∠F1OM，∴PF1OM为菱形，设半焦距为c,由
（3）设（2）中双曲线的虚轴端点为B1、B2（B1在y轴正半轴上），求B2作直线AB与双曲线交于A、B两点，求时，直线AB的方程。
答案：依题意得B1(0,3),B2(0,-3).设直线AB的方程为y=kx-3,A(x1,y1),B(x2,y2).
则由
∵双曲线的渐近线为y=±
AB与双曲线只有一个交点，
故所求直线AB的方程为y=
11．已知常数a>0,向量=（0，a）,=(1,0),经过定点A（0，-a）以为方向向量的直线与经过定点B（0，a）以为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
答案：设P点的坐标为（x,y）,则
又n=(1,0),m=(0,a),故m+λn=(λ,a),
n+2λm=(1,2λa).
由题知向量与向量m+λn平行，故λ（y+a）=ax.
又向量与向量n+2λm平行，故y-a=2λax.
两方程联立消去参数λ，得点P(x,y)的轨迹方程是（y+a）(y-a)=2a2x2,即y2-a2=2a2x2.
（Ⅱ）若a=,过E（0，1）的直线l交曲线C于M、N两点，求的取值范围。
答案：故点P的轨迹方程为2y2-2x2=1,
此时点E(0,1)为双曲线焦点.
①若直线l的斜率不存在，其方程为x=0,l与双曲线交于
②若直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+1,代入
2y2-2x2=1 化简得
2(k2-1)x2+4kx+1=0.
∴直线l与双曲线交于两点，
∴△(4k)2-8(k2-1)>0且k2-1≠0.
解得k≠±1.
设两交点为M(x1,y1)、N(x2,y2),
12．如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l为折痕将正方形在其上方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为B；折痕l与AB交于点E，点M满足关系
（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求点M的轨迹方程；
答案：建立适当坐标系，设E（0，t）,B’(xo,2),M(x,y),则在△ABE中可求得|AB’|=
（Ⅱ）若曲线C是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，F是边AB上的一点，，过点F的直线交曲线C于P、Q两点，且求实数λ的取值范围。
答案：显然PQ与x轴垂直时不符合题意，故可以设直线PQ的方程为：y=kx+P(x1,y1),Q(x2,y2)
整理得：x2+4kx-2=0(*)
∴x1+x2=-4k,x1x2=-2(1)且△=16k2+8>0
即x1=-λx2(2)代入(1)得：
又根据图像可知，当且仅当时，直线与曲线c有两个交点，
考点10
空间直线与平面
►空间直线与平面的位置关系
►空间角
►空间距离
►简单几何体
►利用三垂线定理作二面角的平面角
►求点到面的距离
►折叠问题
典型易错题会诊
命题角度1
空间直线与平面的位置关系
1．（典型例题）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.
（1）证明：PA//平面EDB；
（2）证明：BP⊥平面EFD；
（3）求二面角C—PD—D的大小.
[考场错解]第（2）问证明：∵PD=DC，E为PC的中点，∴DE⊥PC，∴DF在平面PBC上的射影为EF，又由已知EF⊥PB，所以根据三垂线定理可得：DF⊥PB，又EF⊥PB，∴PB⊥平面EFD。
[专家把脉]直线在平面上的射影的概念理解错误，只有DE⊥PC，不能得出EF为DF在面PBC上的射影，应先证明DE⊥平面PBC，才能得出EF为DF在面PBC上的射影，再利用三垂线定理。
[对症下药]（1）如图，连接AC、AC交BD于O，连接EO。∵底面ABCD为正方形，∴O为AC的中点，在△PAC中，EO是中位线，∴PA//EO，又EO平面EDB，且PA平面EDB，所以PA//平面EDB；
（2）∵PD⊥平面ABCD，∴平面PDC⊥平面ABCD，又底面ABCD为正方形，∴BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∴BC⊥DE，又DE⊥PC，∴DE⊥平面PBC，∴DF在平面PBC上的射影为EF，又EF⊥PB，∴DF⊥PB，又PB⊥EF，∴PB⊥平面DEF；
（3）由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C—PB—D的平面角。由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB，设正方形ABCD的边长为a则PD=DC=a，BD=a，PB=a，PC=a,DE=PC=,在Rt△PDBk ,OF=.在Rt△EFD中，sin∠EFD=,∴∠EFD=所以二面角C—PB—D的大小为
2．（典型例题）下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是_________.(写出所有符合要求的图形序号)
[考场错解]由于l在MN、NP、MP所在的面内的射影分别为各面正方形的对角线，由正方形的性质可得l⊥MN，l⊥MP，l⊥NP，∴（1）中l⊥面MNP；（2）中l在下底面的射影与MP垂直，∴l⊥MP，∴l⊥面MNP；（3）中取AB的中点E，连接ME、NE，∵l在下底面的射影垂直于EN，∴l⊥EN，∴l⊥面MEN，∴l⊥MN，同理l⊥MP，∴l⊥面MNP；（4）中l在面ADD1A1上的射影与MP垂直，∴l⊥MP，∴l⊥面MNP；（5）中取AA1中点E，连接ME，EP，l在面ADD1A1、面ABB1A1内的射影分别与ME，EP垂直，∴l⊥ME，∴l⊥面MP，得l⊥面MPN；综合知，本题的答案是（1）、（2）、（3）、（4）、（5）
[专家把脉]直线与平面垂直的判定有误，证一条直线与一个面垂直，应该证明这条直线与该平面内的两条相交直线垂直，而错解中只证一条垂直，所以出错。
[对症下药]（1）中l在面ADD1A、A1B1C1D1，内的射影分别为AD1，B1D1，而AD1⊥MN，B1D1⊥MP，∴l⊥MN，l⊥MP, ∴l⊥面MNP；（2）中若l⊥MN,则取AA1的中点E，连接ME、NE，l在面ADD1A1内的射影为AD1而AD1⊥ME，∴l⊥ME，结合l⊥MN，得l⊥面MEN，∴l⊥NE,这显然不可能，∴l与MN不可能垂直，∴l与面MNP不垂直；（3）类似（2）的证明，可得l与面MNP不垂直；（4）中l⊥MP易证，而MN∥AC，l⊥AC，∴l⊥MN，∴l⊥
面MNP；（5）中取AA1中点E，连接ME，PE，可证得l⊥面MEP，∴l⊥MP，同理可证l⊥NP，∴l⊥面MNP，综上知，本题的正答案是（1）、（4）、（5）。
3．（典型例题）如图10-4所示，在正三棱锥A—BCD中，∠BAC=30°，AB=a，平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于E、F、G、H。
（1）判定四边形EFGH的形状，并说明理由；
（2）设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC⊥平面EFGH，请给出证明。
[考场错解]（1）∵AD∥平面EFGH，又平面ACD平面EFGH=HG，∴AD∥HG，同理AD∥EF，∴EF∥HG，同理EH∥FG，∴四边形EFGH为平行四边形；
（2）取AD中点P，连接BP、CP，∵ABCD为正棱锥，所以BP⊥AD，CP⊥AD，∴AD⊥面BCP，又由（1）知HG∥AD，∴HG⊥面BCP，∴P为所求，此时AP=.
[专家把脉]正三棱锥的性质不熟悉而出错，正三棱锥的相对的棱互相垂直；正三棱锥的三个侧面是等腰三角形不是等边三角形。
[对症下药]（1）∵AD∥面EFGH，面ACD面EFGH=HG，∴AD∥HG，同理EF∥AD，所以HG∥EF，同理EH∥FG，∴EFGH为平行四边形。又A—BCD为正三棱锥，∴A在底面BCD上的射影O是△BCD的中心，∴DO⊥BC，根据三垂线定理，AD⊥BC，∴HG⊥EH，四边形EFGH为矩形；
（2）作CP⊥AD于P点，连接BP，∵AD⊥BC，∴AD⊥面BCP，∴HG∥AD，∴HG⊥面BCP，又HG面EFGH，∴面BCP⊥面EFGH，在Rt△APC中，∠CAP=30°，AC=a, ∴AP=.
专家会诊
解线面位置关系的题目，首先要熟悉各种位置关系的判定方法及性质，其次解题时应将判定与性质结合起来，多用分析法，如要证a∥α则过a作一平面β，使βα=b，再证a∥b；第三要善于转化，如两条羿面直线是否垂直，要用三垂线定理将其转化为两相交直线是否垂直。线面的位置关系是立体几何的基础，学习时应予以重视。
考场思维训练
1 如图10-5 所示的四个正方体图形中，A、B为正方体的四个项点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是____________ .(写出所有符合要求的图形序号)
答案：①③ 解析：①中平面MNP//平面AB， ∴AB//平面
MNP；②中取下底面中心O，MP的中点C，连接NO，
NC，则由已知AB//NO，AB■NC．∴AB■面MNP；③
中AB//MP,∴AB//平面MNP；④中AB■面MNP．
∴填①③．
2 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，E是棱BB1的中点。
（1）求证：平面A1EC⊥平面AA1C1C；
答案：连接A1C与AC1交于点F，则由条件可得EC1=EA1，则EF⊥AC1，同理EC1=EA，则EF⊥A1C所以EF上平面AA1C1C，而EF平面A1EC，所以平面A1EC⊥平面AA1C1C.
（2）若把平面A1EC与平面A1B1C1所成锐二面角为60°时的正三棱柱称为“黄金棱柱”
，请判断此三棱柱是否为“黄金棱柱”，并说明理由。
答案：延长CE交C1B1的延长线于点H，则有C1B1=B1H=A1R1,故∠HA1C1=90°且∠CA1H=90°，所以∠CA1C为平面A1EC与平面A1B1C1所成的锐二面角的平面角，若此棱柱为“黄金棱柱”，则 ∠CA1=60°, 应有CC1=与条件AB=AA1矛盾．∴此三棱柱不为“黄金棱柱”．
（3）设AB=a，求三棱锥A-A1EC的体积。
答案： VA1-A1EC=VE-AA1C=·EF··AA1·AC
3 已知正三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直，G是侧面△PAB的重心，E是BC上的一点，且BE=BC，F是PB上一点， 且
PF=PB，如图
（1）求证：GF⊥平面PBC；
答案：连接BG并延长交AP于M，由C为APAB的重心，则MG=BM，又由PF=，∴GF//MP
∵AP⊥BP,AP⊥CP．∴AP⊥平面PBC，
∴GF⊥平面PBC
（2）求证：EF⊥BC；
答案：在侧面PBC内作FD//PC交BC于D．∵PF=PB,∴DC=BC.又BE=BC,∴DE=BC.故BE=DE，E为BD的中点，由△PBC为等腰三角形，得△FBD也为等腰三角形．∴FB=FD． ∴EF⊥BC．
（3）求证：GE是异面直线PG与BC的公垂线。
答案：∵GF⊥平面PBC，且EF⊥BC，∴GE⊥BC，连PG交AB于H，则GH=PH，过C作GN//AB交PB于N，则BN= PB．∵PH⊥AB，∴PG⊥AB，∴PG⊥GN．
∵BN=PB，BE=BC，∴NE//PC，而PC上平面PAB，∴NE⊥平面PAB，又PG面PAB，∴NE⊥PG，又PG⊥GN，∴PG⊥平面GEN，而GEC平面GEN．∴PG⊥GE，又由GE⊥BC，∴GE是异面直线PG与BC的公垂线．
命题角度 2
空间角
1．（典型例题）如图10-8，在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点。
（1）证明：AC⊥SB；
（2）求二面角N—CM—B的大小；
（3）求点B到平面CMN的距离。
[考场错解] 第（2）问：过N作NF⊥CM，过F作FE⊥CM交BC于E点，则∠NFE为二面角N—CM—B的平面角。（此题只做到此处，因为不知E、F的位置，∠NFE等于多少计算不出来）。
[专家把脉] 求二面角的大小时，只顾用定义作出二面角的平面角，给计算千百万麻烦或根本就算不出来，所以一般用三垂线定理来作二面角的平面角，就是便于计算。
[对症下药] （1）如图10-9，取AC中点D，连接SD，DB，∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SD，且AC⊥BD，∴AC⊥平面SDB。又SB 平面SDB，∴AC⊥SB。
（2）取BD的中点E，连接NE，过E作EF⊥CM于F，连续NF，∵平面SAC⊥平面ABCD，SD⊥AC，∴SD⊥面ABCD，又N、E分别为SB、BD的中点，∴NE∥SD，NE⊥面ABC，又EF⊥CM，∴NF⊥CM，∴∠NFE为二面角N—CM—B的平面角。
NE=SD=，在正△ABC中，由平面几何知识可求得EF=MB=，在Rt△NEF中，tan∠NEF=,∴二面角N—CM
B的大小是arctan2；
（3）在Rt△NEF中，NF=
∴S△CMN=CM·NF=，S△CMB=BM·CM=2.设点B到平面CMN的距离为h, ∵VB—CMN=VN-CMB,NE⊥平面CMB，∴S△CMN·h=S△CMB·NE，∴h=即点B到平面CMN的距离为。
2．（典型例题）在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2，E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1。
（1）求二面角C—DE—C1的正切值
（2）求直线EC1与FD1所成角的余弦值。
[考场错解] 第（2）问：∵D1F∥DE，∴∠C1ED为EC1与FD1所成的角，DE=3，C1D=2，C1E=，∴cos∠C1EE=∴EC1与FD1所成角的余弦值为。
[专家把脉] 缺少空间想象能力，题中的D1F与DE不平行，实际上D1F与DE是异面直线。
[对症下药] 正解一：（1）如图过C作CG⊥DE，垂足为G，连接C1G。∵CC1⊥平面ABCD，∴CG是C1G在平面ABCD上的射影，由三垂线定理得DE⊥C1G。
∴∠CGC1是二面角C—DE—C1的平面角。
在△ADE中，AE=AD=3，∠DAE=90°，∴∠ADE=45°，得∠CDG=45°，∴CG=CD·sin∠CDG=2
∴tan∠CGC1=
∴二面角C—DE—C1的正切值为
（2）延长BA至点E1，使AE1=1，连接DE1有D1C1∥E1E，D1C1=E1E，∵四边形D1E1EC1是平行四边形。∴E1D1∥EC1，于是∠E1D1F为EC1与FD1所成的角。
在Rt△BE1F中，E1F=，在Rt△D1DE1中，D1E1=，在Rt△D1DF中，FD1=，所以在△E1FD1中，由余弦定理得：cos∠E1D1F=
正解二：（1）以A为原点，分别为x轴,y轴,z
轴的正向建立空间直角坐标系,则有D(0,3,0)、D1（0，3，2）、E（3，0，0）、F（4，1，0）C1（4，3，2）于是=（3，-3，0），=(1,3,2),=(-4,2,2).设向量=(x,y,z)为平面C1DEA的法向量,则有,得x=y=-,令x=1,得=(1,1,-2),向量=(0,0,2)与平面CDE垂直, 成的角θ为二面角C—DE—C1的平面角。
（2）设EC1与FD1所成的角为β，则cosβ=
3．(典型例题)如图10-11，四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，AE⊥PD，EF∥CD，AM=EF。
（1）证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；
（2）若PA=3AB，求直线AC与平面EAM所成角的正弦值。
[考场错解] 第（2）问：由（1）知PC⊥MF，∴AF为AC在面EAM内的射影，∴∠CAF为AC与平面EAM所成的角，通过解三角形FAC，解得sin∠CAF=.∴AC与平面EAM所成的角的正弦值为。
[专家把脉] 直线AC与平面EAM所成的角不是就得不出AF为AC在面EAM内的射影，直线与平面所成的角必须是斜线与斜线在平面内的射影所夹的角，所以找射影是关键。
[对症下药]（1）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵底面ABCD为正方形，∴CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，得平面PCD⊥平面PAD，又AE平面PAD，AE⊥PD，∴AE⊥平面PCD，∴AE⊥CD，又EF∥CD∥AB，AM=EF，∴四边形AMFE为平形四边形，∴MF∥AE，MF⊥CD，MF⊥AB，MF⊥PC，∴MF为异面直线AB与PC的公垂线；
（2）解法一：连接BD交AC于O，连接BE，过O作OH⊥BE，H为垂足，∵AE⊥PD，CD⊥PD，EF∥CD，∴EF⊥PD，PD⊥平面MAE，又OH⊥BE，∴OH∥DE，∴OH⊥平面MAE。连接AH，则∠HAO是直线AC与平面MAE所成的角，设AB=a则PA=3a，AO=AC=，因Rt△ADE~Rt△PDA,故ED=从而Rt△AHO中，sin∠HAO=
解法二：以、、分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（0，0，0）、E（0，），
∴为平面EAM的法向量，且=（x,y,z），可得面EAM的一个法向量为（0，1，-3），=（a,a,0）
∴sinα=。
专家会诊
空间的各种角是对点、直线、平面所组成的穿间图形的位置关系进行定性分析和宣量计算的重要组成部分，空间角的度量都是转化为平
面角来实现的，要熟练掌握种类角转化为平面角的常用方法，为了实现这种转化，一是靠经验和知识的积累；二是利禄识图和画图的训
练；三要以推理为主要依据，求角的一般步骤是：（1）找出或作出要求的角；（2）证明它符合定义；（3）在某一三角形中进行计算，得
结果，当然在解选择或填空题时，一些间接方法也经常用。
考场思维训练
1 如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=a，现沿AC折成二面角D—AC—B，使BD为异面直线AD、BC的公垂线。
（1）求证：平面ABD⊥平面ABC；
答案：解：(1)∵AD⊥CD，AD⊥BD，∴AD⊥平面BCD，∴BC⊥AD，又BC上BD，∴BC⊥平面ABD，而BC平面ABC，故面ABD⊥面ABC．
（2）a为何值时，二面角D—AC—B为45°；
答案：∵面ABD上面ABC，作DE⊥AB于E，则DE⊥平面ABC，作EF⊥AC于F，由三垂线定理有AC⊥DF，∴∠DFE为二面角D---AC--B的平面角．在Rt△ADC中，AD2=AF．AC，
∴AF=又Rt△AFE∽Rt△ABC， ∴EF=
（3）a为可值时，异面直线AC与BD所成的角为60°。
答案：作BM⊥AC于M，过点O作BN∥AC与FE的延长线交于点，则BMFN为矩形，且BN⊥DN．∴∠DBN为异面直线AC与BD所成的角．∵MF=AC-2AF=
∴又在Rt△BND中cos∠DBN=
2 如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、DD1上的点，且AE⊥A1B，AF⊥A1D。
（1）求证：A1C⊥平面AEF
答案：在长方体ABCD--A1B1C1D1中，A1B为A1C在平面A1B1BA内的射影，∵AE上A1B，∴AE⊥A1C同理AF⊥A1C，∴A1C⊥平面AEF
（2）若AB=3，AD=4，AA1=5，M是B1C1的中点，求AM与平面AEF所成角的大小。
答案：以D为坐标原点，分别为x、y、z轴的正方向建立空间坐标系．则A(4,0,0)，M(2，3，5)，A1(4，0，5)，C(0,3,0)，∴
为平面AEF的—个法向量，
∴直线AM与平面AEF的所成的角为 arcsin
3 已知四棱锥P—ABCD，底面是边长为2的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，M、N分别为AD、BC的中点。MQ⊥PD于Q，直线PC与平面PBA所成角的正弦值为
如图所示。
（1）求证：平面PMN⊥平面PAD；
答案：∵M、N分别是AD、BC的中点，∴MN⊥AD，又平面PMN，
∴平面PMN⊥平面PAD.
（2）求PA的长；
答案：由已知BC⊥平面PBA，∴∠BPC是PC和平面PBA所成的角. ∴PC=可得PA=2.
（3）求二面角P—MN—Q的余弦值。
答案：由（1）知，MN⊥PM，MN⊥QM. ∴∠PMQ是二面角P—MN—Q的平面角.由（2）知△PMQ为等腰直角三形.且AM=DM=1.
∴二面角P—MN—Q的余弦值为
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