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- 2021-05-13 发布
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2013年高考理科数学试题解析(新课标Ⅰ)
第Ⅰ卷
一、 选择题共12小题。每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合,则 ( )
A.A∩B=Æ B.A∪B=R C.B⊆A D.A⊆B
2.若复数满足,则的虚部为 ( )
A. B. C.4 D.
3.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( )
A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样
4.已知双曲线:()的离心率为,则的渐近线方程为
A. B. C. D.
5.运行如下程序框图,如果输入的,则输出s属于
A. B. C. D.
6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 ( )
A. B. C. D.
7.设等差数列的前项和为,则 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
A. B. C. D.
9.设为正整数,展开式的二项式系数的最大值为,展开式的二项式系数的最大值为,若,则 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
10.已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点。若的中点坐标为,则的方程为 ( )
A. B. C. D.
11.已知函数,若||≥,则的取值范围是
A. B. C. D.
12.设的三边长分别为,的面积为,,若,,则( )
A.{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列
C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列
二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。
13.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则t=_____.
14.若数列{}的前n项和为Sn=,则数列{}的通项公式是=______.
15.设当时,函数取得最大值,则______
16.若函数=的图像关于直线对称,则的最大值是______.
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°
(1)若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA
18.(本小题满分12分)
如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.
(Ⅰ)证明AB⊥A1C;
(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值。
19.(本小题满分12分)
一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n。如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验。
假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立
(1)求这批产品通过检验的概率;
(2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望。
20.(本小题满分12分)已知圆:,圆:,动圆与外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线 C.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)是与圆,圆都相切的一条直线,与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.
21.(本小题满分共12分)已知函数=,=,若曲线和曲线都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线
(Ⅰ)求,,,的值;(Ⅱ)若≥-2时,≤,求的取值范围。
22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲 如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于D。
(Ⅰ)证明:DB=DC;
(Ⅱ)设圆的半径为1,BC= ,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径。
23.(本小题10分)选修4—4:坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为。
(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)。
24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数=,=.
(Ⅰ)当=2时,求不等式<的解集;
(Ⅱ)设>-1,且当∈[,)时,≤,求的取值范围.
参考答案
一、选择题
1. B. 2. D. 3. C.4..
5. . 6. A. 7. C. 8. . 9. B. 10. D. 11. D. 12.B
13.【解析】=====0,解得=.
14.【解析】当=1时,==,解得=1,
当≥2时,==-()=,即=,
∴{}是首项为1,公比为-2的等比数列,∴=.
15.【解析】∵==
令=,,则==,
当=,即=时,取最大值,此时=,∴===.
16.【解析】由图像关于直线=-2对称,则
0==,
0==,解得=8,=15,
∴=,
∴==
=
当∈(-∞,)∪(-2, )时,>0,
当∈(,-2)∪(,+∞)时,<0,
∴在(-∞,)单调递增,在(,-2)单调递减,在(-2,)单调递增,在(,+∞)单调递减,故当=和=时取极大值,==16.
17.【解析】(Ⅰ)由已知得,∠PBC=,∴∠PBA=30o,在△PBA中,由余弦定理得==,∴PA=;
(Ⅱ)设∠PBA=,由已知得,PB=,在△PBA中,由正弦定理得,,化简得,,
∴=,∴=.
18.【解析】(Ⅰ)取AB中点E,连结CE,,,
∵AB=,=,∴是正三角形,
∴⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB, ∵=E,∴AB⊥面,
∴AB⊥; ……6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB,⊥AB,
又∵面ABC⊥面,面ABC∩面=AB,∴EC⊥面,∴EC⊥,
∴EA,EC,两两相互垂直,以E为坐标原点,的方向为轴正方向,||为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系,
有题设知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0),则=(1,0,),==(-1,0,),=(0,-,), ……9分
设=是平面的法向量,
则,即,可取=(,1,-1),
∴=,
∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为. ……12分
19.【解析】设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A,第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C,第二次取出的1件产品是优质品为事件D,这批产品通过检验为事件E,根据题意有E=(AB)∪(CD),且AB与CD互斥,
∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=+=.…6分
(Ⅱ)X的可能取值为400,500,800,并且
P(X=400)=1-=,P(X=500)=,P(X=800)==,
∴X的分布列为
X
400
500
800
P
……10分
EX=400×+500×+800×=506.25 ……12分
20.【解析】由已知得圆的圆心为(-1,0),半径=1,圆的圆心为(1,0),半径=3.
设动圆的圆心为(,),半径为R.
(Ⅰ)∵圆与圆外切且与圆内切,∴|PM|+|PN|===4,
由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为.
(Ⅱ)对于曲线C上任意一点(,),由于|PM|-|PN|=≤2,∴R≤2,
当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.
∴当圆P的半径最长时,其方程为,
当的倾斜角为时,则与轴重合,可得|AB|=.
当的倾斜角不为时,由≠R知不平行轴,设与轴的交点为Q,则=,可求得Q(-4,0),∴设:,由于圆M相切得,解得.
当=时,将代入并整理得,解得=,∴|AB|==.
当=-时,由图形的对称性可知|AB|=,
综上,|AB|=或|AB|=.
21.【解析】(Ⅰ)由已知得,
而=,=,∴=4,=2,=2,=2;……4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,
设函数==(),
==,
有题设可得≥0,即,
令=0得,=,=-2,
(1)若,则-2<≤0,∴当时,<0,当时,>0,即在单调递减,在单调递增,故在=取最小值,而==≥0,
∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立,
(2)若,则=,
∴当≥-2时,≥0,∴在(-2,+∞)单调递增,而=0,
∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立,
(3)若,则==<0,
∴当≥-2时,≤不可能恒成立,
综上所述,的取值范围为[1,].
22.【解析】(Ⅰ)连结DE,交BC与点G.
由弦切角定理得,∠ABF=∠BCE,∵∠ABE=∠CBE,∴∠CBE=∠BCE,BE=CE,
又∵DB⊥BE,∴DE是直径,∠DCE=,由勾股定理可得DB=DC.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,∠CDE=∠BDE,BD=DC,故DG是BC的中垂线,∴BG=.
设DE中点为O,连结BO,则∠BOG=,∠ABE=∠BCE=∠CBE=,
∴CF⊥BF, ∴Rt△BCF的外接圆半径等于.
23. 【解析】将消去参数,化为普通方程,
即:,将代入得,
,
∴的极坐标方程为;
(Ⅱ)的普通方程为,
由解得或,∴与的交点的极坐标分别为(),.
24.【解析】当=-2时,不等式<化为,
设函数=,=,
其图像如图所示
从图像可知,当且仅当时,<0,∴原不等式解集是.
(Ⅱ)当∈[,)时,=,不等式≤化为,
∴对∈[,)都成立,故,即≤,
∴的取值范围为(-1,].